2023年上海中考数学一轮复习：二次根式（原卷版+解析）

专题11二次根式

二次根式知识点是中考数学的主要考查内容之一，常常以客观题的形式进行考查，重点要求熟练掌

握二次根式的定义、性质、同类二次根式、最简二次根式和二次根式的运算，二次根式的运算另一种考查

形式是求二次根式的值，尤其是分母中含有根式或根式中含有字母类型的题目是考查的热点。

在知识导图

概念

三次根式的有关概念和性质“性质

二次根式有意义的条件

二次根式乘法法则

;二次根式除法法则

二次根式加减运算

0二次根式的运算

二次根式混合运算

最简二次根式特点及注意事项

二次根式比较大小的方法

心重宜考向

1.二次根式

形如20）的式子叫做二次根式，如防,左,70.02,囱等式子,都叫做二次根式.

2.最简二次根式

①被开方数是整数或整式；

②被开方数中不含能开方的因数或因式.

满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如0,而,3«,Ji?+方2等都是最简二次根式.

要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指

数2.

3.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.

要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如血

与瓜，由于血=2血,血与血显然是同类二次根式•

4.二次根式的性质

a(a>0)

=|a|=

-a(a<0)

(⑸2与日的瓯

(何2

从运算顺序看先开方，后平方先平方，后开方

从取值范围看a>0a取任何实数

从运算结果看a\a\

意义表^-个非负数。表示一个实数a

的算术平方根的平方的平方的算术平方根

(⑸z与的e系

1.含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。

2.结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。

3.当a叁。时，

5.分母有理化：把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘,

若他们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式

常用二次根式的有理化因式：

①而与痴互为有理化因式;

②a+6与a-、e互为有理化因式;

③+6与Ji-Ji互为有理化因式。

□

一、单选题

1.下列式子一定是二次根式的是（）

A.JxB.Jf+lC.占2-1D.乘

2.代数式/有意义，则x的取值范围是（）

x-6

A.x<5B.C.x>5且D.%25且

3.下列各式中，能与出合并的是（）

A.-\/12B.C.D.732

4.下列式子中二次根式有（）

rr/11—

①行；②3；®~y/x2+1•④#8；⑤；⑥/叫+1；©A/X2+2X+1：⑧Jl-x。＞1)

A.2个B.3个C.4个D.5个

5.下列二次根式中，与&是同类二次根式的是（）

A.-\/6B.Jo.3C.D.A/12

6.下列各式是最简二次根式的是（）

A.y/13B.yJ12C.,2a%D.W

7.下面说法正确的是（）

A.JIZ是最简二次根式B.后与而是同类二次根式

C.形如〃■的式子是二次根式D.4=a

8.实数。在数轴上的位置如图所示，则化简J/一8〃+16+-11）2结果为（).

J----1-------1-------------►

05a10

A.7B.-7C.2a-15D.无法确定

二、填空题

9.当初时，二次根式J1-3.有意义.

10.若y=Jx-5+-2x+4,则+y=

11.函数丫=叵卫的定义域为

x-1

12.已知函数y（x）=二I,若/（。）=2,则。=

⑶居二窑成立的条件是——

14.若相<0,化简2〃

15.已知W>。，化简二次根式x/J的结果是

16.计算：庐式6<0）=

心重序考向

6.二次根式的运算

①因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而

移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反

之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.

②二次根式的加减法：将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根

指数不变，即合并同类二次根式.

要点：

二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根

式.如行+30-5VI=（1+3-5）后=-VL

③乘除法：

乘除法法则：

类型法则逆用法则

积的算术平方根化简公式：

二次根式的乘法-Jaxy/b-yfab（a>0,b>0）

Jab=x&（a>0,£>>0）

商的算术平方根化简公式：

二次根式的除法合亲/0涉>0）

「耳…b>0）

要点:

（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=ac屈.

（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如15义（一9）丰产又口.

④有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都

适用于二次根式

1.下列各式的计算正确的是（）

B.4|=2#

C.&263

D.

iT"T-TT

2.估算：岳xJ的值应在（）

A.0和1之间B.1和2之间C.2和3之间D.3和4之间

④卜闽底

3.下列等式:@V18H-V2=9,6+2=3

@（A/5+V3）（A/5-72）=5-76.正确的个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

4.二次根式而7的一个有理化因式是（）

A.，x-yB.y/x+y/yC.\[x--JyD.2dx+y

5.下列各式中，是°+26的有理化因式的是（）

A.2a+s[bB.2a-4bC.a+2抵D.a—2Jb

6.下列结论正确的是（）

A.尸7的有理化因式可以是67

B.7（1-V2）2=1-72

C.不等式（2-亚）龙>1的解集是x>-（2+^5）

D.是最简二次根式

已知"=忑匕'

7.人=2+百，则〃，b的关系是（)

A.相等B.互为相反数

C.互为倒数D.互为有理化因式

8.甲、乙两位同学对代数式分别作了如下变形：甲:

户==当"扬，乙：上^

+诙G"关于这两种变

Ja+Jb“卜a-Jb)4a+4b

形过程的说法正确的是（）

A.甲、乙都正确B.甲、乙都不正确

C.只有甲正确D.只有乙正确

、填空题

计算:展

9.

10.计算：(1)—+=；(2)-1)=

(3)748-73=；(4)^|XA/50=.

11.不等式氐-3x<6的解集是.

〃>0,〃>0）化为最简二次根式:

13.若最简二次根式4r1与，必*二i是同类二次根式，则％+产.

14.若收的整数部分为。，小数部分为匕，则代数式（1+缶）b的值为.

15.已知G+-/==3,贝|〃+工=____.

yjaa

16.海伦一秦九韶公式；海伦公式又译作希伦公式，海龙公式、希罗公式、海伦一秦九韶公式，它是利用

三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为：S=Qp（p-a）（p-b）（p-c）,它的特点是形

式漂亮，便于记忆，而公式里的P为半周长（周长的一半）即：p=£±|±£.已知三角形最短边是3,最

长边是10,第三边是奇数，则该三角形的面积是.

(2)y/16x-2x

20.计算：区+二-厢^-8、叵

V3m6m\32

21.已知。=[；,求“2-2O+1一，/20+1的值.

V2+1a-1a2+a

22.先化简再求值：X―2而+"-----1_,其中尤=:B，

x-yx+2y]xy+y3+2,2

在模•拟检测

一、单选题

1.（2021•上海徐汇・统考二模）如果加是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是（）

A.y[mB.yjm+lC.—^―-D.J^z2+1

m+1

2.（2021.上海奉贤.统考三模）在下列二次根式中，与&是同类二次根式的是（）

A.缶B.历C.77D.77

3.（2022.上海.上海市娄山中学校考二模）下列各式中，最简二次根式是（）

A.B.C.D.《a2—4

4.（2022.上海青浦・统考二模）下列二次根式的被开方数中，各因式指数为1的有（）

A.出丁+9/B.^5x2y

C.J12（x+y）D.y/x2-2xy+y2

5.（2021.上海.统考二模）在下列各式中，二次根式而+四的有理化因式是（）

A.«^石B.y[a-y[bC.Ja+bD.yja-b

6.(2020.上海徐汇.统考二模)下列二次根式中，最简二次根式是()

A.yja1+b2B.C.14a+4bD.yJa2(Z?+4)

7.（2018・上海・校联考模拟预测）下列计算错误的是（）

A.后=±2B.亚=2C.(-V2)2=2D-7^7=2

8.（2018•上海杨浦・统考三模）下列式子中，与2百-也互为有理化因式的是（）

A.2--逝B.2A/3+A/2C,石+2近D.6-2近

二、填空题

9.（2018・上海•校联考模拟预测）比较大小：-30-2^/3

10.（2018・上海杨浦・统考一模）化简：①灰;②J(-5)2=;③非xM=

11.（2018・上海•校联考模拟预测）计算：如二折=

已知函数/（x）=?,那么/（及-1）=

12.（2017・上海长宁・统考二模）

13.（2019•上海宝山・统考二模）方程方1+3=4的解为

分母有理化：忌j

14.（2012.上海黄浦・统考二模）

?（620）的结果是.

15.（2019•上海金山・统考二模）化简:

16.（2017•上海宝山・统考二模）计算：自疗

三、解答题

1__1

17.（2021.上海浦东新•统考二模）计算：指+|点3

V2-1,

(A/3-72)(73+A/2)+-^-(V2)-2-|1-A/3|

18.（2021•上海金山•二模）计算:

1/

诉―1

19.（2014.上海浦东新.统考二模）计算：君-5）有

20.（2021・上海.上海市实验学校校考二模）先化简，再求值：无2+4X+4-^Z1_上，其中之二夜一

x+4x-2%+4

（2021.上海徐汇.统考二模）先化简再求值：（2…^^力*其中。=2+百，b=2-6

21.

a2-2ab+b-a2~b21-b

专题11二次根式

I

二次根式知识点是中考数学的主要考查内容之一，常常以客观题的形式进行考查，重点

要求熟练掌握二次根式的定义、性质、同类二次根式、最简二次根式和二次根式的运算，二

次根式的运算另一种考查形式是求二次根式的值，尤其是分母中含有根式或根式中含有字母

类型的题目是考查的热点。

先知巧导图

概念

二次根式的有关概念和性质性质

二次根式有意义的条件

二次根式乘法法则

二次根式除法法则

二次根式加减运算

y二次根式的运算j

二次根式混合运算

最简二次根式特点及注意事项

二次根式比较大小的方法

在重点考向

1.二次根式

形如&（a20）的式子叫做二次根式，如下,J],J0.02，血等式子,都叫做二次根式.

2.最简二次根式

①被开方数是整数或整式；

②被开方数中不含能开方的因数或因式.

满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如J5,我,36，正寿等都是最简

二次根式.

要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指

数都小于根指数2.

3.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.

要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，

再判断.如色■与血，由于返=2近，0与也显然是同类二次根式.

5.二次根式的性质

a(a>0)

=|a|=

-a(a<0)

（⑸2与、扇的瓯

(何2

从运算顺序看先开方，后平方先平方，后开方

从取值范围看47>0。取任何实数

从运算结果看a同

意义表示一个非负数。表示一个实数a

的算术平方根的平方的平方的算术平方根

㈤与商懒系

1.含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。

2.结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。

3.当a叁0时，

5.分母有理化：把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式

的代数式相乘，若他们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.

常用二次根式的有理化因式：

①而与而互为有理化因式；

②a+而与a-直互为有理化因式；

③JI+与互为有理化因式。

典例引伊

一、单选题

1.下列式子一定是二次根式的是（）

A.&B.7Z+1C.77TTD.狗

【答案】B

【分析】根据二次根式的定义，逐项判断即可求解.

【详解】解：A、x有可能小于0,故不一定是二次根式，不合题意；

B、｛x2+1，x2+1>01故+1一定是二次根式,符合题意;

22

C、y/x-1,若时，，x-1无意义,不合题意；

D、为是三次根式，故此选项不合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如后,20）的式子叫二次根式，熟练掌握二次根

式成立的条件是解答本题的关键.

2.代数式正1有意义，则x的取值范围是（）

x-6

A.x<5B.x25C.x>5且x/6D.X25且X/6

【答案】D

【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组解不等式组即可.

【详解】解：•••代数式正有意义,

x-o

Jx-5>0

一j尤-6/0，

解得x25且x片6,

故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式和分式

f%-5>0

有意义的条件列出不等式组a.

[x-6/n0

3.下列各式中，能与右合并的是（）

A.5/12^B.C.D.y/32

【答案】A

【分析】先将各个选项中的二次根式进行化简，然后再进行判断即可.

【详解】解：A.712=273,故该选项符合题意；

B.6=2母,故该选项不符合题意;

c.g=q,故该选项不符合题意；

D.叵=4应,故该选项不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握化成最简二次根式的方法，是解题的关键.

4.下列式子中二次根式有（）

①;②;③-\/x2+1；④我；⑤J(-§)2；©VM+1；⑦Jx：+2x+1；⑧J-x(x>D.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】D

【分析】根据形如&(a20)的式子叫做二次根式判断即可.

【详解】解：二次根式有：①.；③-+1；⑤j(-g)2；⑥J词+1；⑦Jx?+2x+l共

5个，

q无意义，不是二次根式；

强的根指数为3,不是二次根式；

"：x>l,

l-x<0,

•••4二五(龙>1)不是二次根式；

故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握形如“'(a20)的式子叫做二次根式是解题的关

键.

5.下列二次根式中，与g是同类二次根式的是()

A.-^6B.Jo.3C.D.J12

【答案】D

【分析】把四个选项中的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义进行判定即可.

【详解】解：A.而与6不是同类二次根式；

B.后=得与否不是同类二次根式；

c.5与G不是同类二次根式；

D.巫=2折与6是同类二次根式.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、同类二次根式等知识点，根据二次根式的定义化

简二次根式是解题的关键.

6.下列各式是最简二次根式的是()

A.B.5/12C.D.双

【答案】A

【分析】根据最简二次根式的意义，逐个进行判断即可.

【详解】A.而的被开方数是整数，且不含有能开得尽方的因数，因此旧是最简二次根

式，所以选项A符合题意；

B.712=273,因此厄不是最简二次根式，所以选项B不符合题意；

C.亚新=时同，因此亚商不是最简二次根式，所以选项C不符合题意；

D.我不是二次根式，所以选项D不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽

方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.

7.下面说法正确的是()

A.是最简二次根式B.后与同是同类二次根式

C.形如右的式子是二次根式D,证=a

【答案】A

【分析】根据最简二次根式的定义即可判断A；根据二次根式的性质即可判断B、D；根据

二次根式的定义即可判断C.

【详解】解：A、疝是最简二次根式，说法正确，符合题意；

B、行与而=2方不是同类二次根式，说法错误，不符合题意；

C、当°<0时，形如右的式子不是二次根式，说法错误，不符合题意；

D、必=问，说法错误，不符合题意；

故选A

【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，最简二次根式的定义，二次根式的性质，灵活运

用所学知识是解题的关键.

8.实数。在数轴上的位置如图所示，则化简-8a+16+-1用结果为().

05a10

A.7B.-7C.2a-15D.无法确定

【答案】A

【分析】先根据点。在数轴上的位置判断出。-4及的符号，再把原式进行化简即可.

【详解】解：•••由图可知:4<a<10,

・・a—4>0,a—11<0,

原式=J("4)2+=a-4+i-=7,

故选：A.

【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意得出〃的取值范围是解答此题的

关键.

二、填空题

9.当初时，二次根式J1-3m有意义.

【答案】<|

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0,即可求出机的范围.

【详解】解：根据题意，得：1-3瓶之0,

解得：，

故答案为：.

【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题

的关键.

10.若y=+J10-2x+4,贝（Jx+y=.

【答案】3

【分析】首先根据二次根式的性质，可求得x=5,y=4,再把x=5,y=4代入，即可求

得其值.

【详解】解：*/y=y/x-5+V10-2x+4,

.卜-520

,[10-2x>0

[x>5

解得不，

[x<5

/.x=5,

「.y=4,

Jx+y=j5+4=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值问题，求得x、y的值是解决本题

的关键.

11,函数>=也壬的定义域为.

x-1

【答案】转-2且XW1

【分析】根据二次根式的被开方数非负，分母不为零即可确定函数的定义域.

【详解】由题意得：2x+4之。且%—1w0,

x>-2S.x^l,

故答案为：x2-2且x/1.

【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，注意二次根式被开方数非负，分母不为零是

求函数自变量取值范围时常常要考虑的.

12.已知函数f（x）=j2x-3,若/（。）=2,贝.

【答案】3.5

【分析】根据已知函数的形式代入求解即可.

【详解】解：•••/（了）=后二？，/（4）=2,

yj2a-3=2，

2a—3=4f

角毕得：a=3.5.

故答案为：3.5

【点睛】本题主要考查求函数的自变量的值，理解新定义的函数形式是解题的关键.

13.=成立的条件是.

【答案】-l<x<3

【分析】根据二次根式的除法法则和二次根式的性质（J|=*的条件是。20且6>0）得

出3-％20且x+l>0,求出组成的不等式组的解集即可.

[3-x>0

【详解】解：根据二次根式的除法法则得出，C，

[x+l>0

解得：—lvx<3,

故答案为：-l<x<3.

【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的除法法则的应用，能熟记二次根式的除法

法则的内容是解此题的关键.

14.若切<0,化简2”/竺=_________.

Vn

【答案】-2y/mn

【分析】首先利用二次根式的性质得出“<0,进而化简求出即可.

【详解】解：•••机<o,、区有意义，

Vn

••〃<0,

2#=2而7曲,

VnVn

故答案为：-2y1mn.

【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键.

15.已知旧>0,化简二次根式的结果是.

【答案】-6

【分析】二次根式有意义，y<0,结合已知条件得y<o,化简即可得出最简形式.

【详解】解：根据题意，冲>。，

得x和y同号，

又,XJ—T中--°，

Nxx

—<0,

.,.光<0,yv。，

则原式=尤>^^=九二^^"一«7,

故答案为：一万.

【点睛】主要考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握开平方的结果为非负数.

16.计算：疝.后(y<0)=.

【答案】-2,

【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可.

【详解】解：伍店=H『府=|24,

•/y<o,

712^•=|2y|=-2y,

故答案为：-2y.

【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题

的关键.

中重原考向

6.二次根式的运女

①因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算

术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形

式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.

②二次根式的加减法：将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，

被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.

要点：

二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合

并同类二次根式.如行+3后—50=(1+3—5)&=—拒.

③乘除法：

乘除法法则：

类型法则逆用法则

积的算术平方根化简公式：

二次根式的乘法\/axyjb-4ab{a>0,b>0)

yfab=yfax4b(a>0,£»>0)

商的算术平方根化简公式：

[a_4a.

二次根式的除法(tz>0,>0)

b号92八。)

要点：

(1)当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘(或相除)的法则，如

ayfb-c4d-acy/bd.

(2)被开方数a、b一定是非负数(在分母上时只能为正数).如，(-4)x(-9)wCx".

④有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的

乘法公式，都适用于二次根式

一、单选题

1.下列各式的计算正确的是()

【答案】D

【分析】根据二次根式的计算法则进行计算即可.

【详解】解：A.==故原选项计算错误，不符合题意;

B.阿=将=半，故原选项计算错误，不符合题意；

故原选项计算错误，不符合题意;

Dvt=vHxn=n,故原选项计算正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键.

2.估算：AxJ的值应在（）

A.。和1之间B.1和2之间C.2和3之间D.3和4之间

【答案】C

【分析】先根据二次根式的乘法法则进行计算，再估算出右的范围，得出答案即可.

【详解】解：岳==6，

•/A/4<75<V9,

/.2<75<3,

:.估算汨XJ的值应在2到3之间，

故选：C.

【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算和估算无理数的大小，能估算出石的范围是解此

题的关键.

3.下列等式：①居=土（，②y（一2）3=一2,③加+收=9,④石+-2闽=3有，

@（V5+73）（75-72）=5-76.正确的个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】C

【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的运算可进行排除选项.

【详解】解：①疆=（，原计算错误，②而丁=-2,原计算正确；③应=3,原

计算错误；④有+卜2四=3亚原计算正确；⑤（百+⑹（君-⑹=5-加+/-亚

原计算错误；

.•.正确的有2个；

故选C.

【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的运算，熟练掌握算术平方根、立方

根、二次根式的运算是解题的关键.

4.二次根式比7的一个有理化因式是（）

A.Jx-yB.>/x+y[yC.\[x-y[yD.24+y

【答案】D

【分析】二次根式的有理化的目的就是去掉根号，所以而不的一个有理化因式是26亍.

［详解］解：Jx+yx2y1x+y=2（Jx+y）=2x+2y,

故一个有理化因式是，

故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式的有理化,根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化.本

题二次根式有理化主要利用平方公式.

5.下列各式中，是a+2扬的有理化因式的是（）

A.la+y/bB.?.a—y［bC.a+2y/bD.a-2-Jb

【答案】D

【分析】根据有理化因式的定义逐个判断即可。

【详解】a+2场的有理化因式是a-2扬，

故选：D.

【点睛】本题考查分母有理化，如果两个根式的积不含有根号，那么这两个根式叫互为有理

化因式，解题的关键是熟知其定义.

6.下列结论正确的是（）

A.1x-y的有理化因式可以是Jx+y

B.«_同=「夜

C.不等式（2-亚）x>1的解集是x>-（2+^/5）

D.JL+62是最简二次根式

【答案】D

【分析】根据分母有理化，最简二次根式的定义，不等式的解法以及二次根式的性质即可求

出答案.

【详解】解：A、历有理化因式可以是历，故A不符合题意.

B、原式=|1-&|=夜-1,故8不符合题意.

C•/（2-75）尤>1,

1

*,.x<-2-非,故C不符合题意.

D、证+廿是最简二次根式,故。符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了分母有理化，解一元一次不等式以及最简二次根式，本题属于基础题型.

1

7.已知ab=2+45,则a,6的关系是（）

V5-2'

A.相等B.互为相反数

C.互为倒数D.互为有理化因式

【答案】A

【分析】求出。与6的值即可求出答案.

1_V5+2「r-

【详解】解：：。=忑三一（r+2）（/-2）=干+2,b=2+也,

•,〃=/?,

故选：A.

【点睛】本题考查了分母有理化，解题的关键是求出。与b的值，本题属于基础题型.

n—b

8.甲、乙两位同学对代数式厂厅（a>0,6>。）,分别作了如下变形：甲：

7a+7b

—yja+yjb二（；&:+艺扬）产（&-房扬）产-瓜&+扬乙y/a+y叩/b呵e5关

于这两种变形过程的说法正确的是（）

A.甲、乙都正确B.甲、乙都不正确

C.只有甲正确D.只有乙正确

【答案】D

【分析】甲利用分母有理化的知识，可求得；乙先将分子因式分解，然后约分，即可求得.

【详解】解：甲：当〃b时，

当a=b时，无意义,

（&-四）（&+扬）

乙：a-b=4a~4b>

s[a+\[byfa+s/b

...甲错误，乙正确,

选项说法错误,不符合题意;

选项说法错误,不符合题意;

选项说法错误,不符合题意;

选项说法正确,符合题意;

故选D.

【点睛】本题考查了分母有理化,因式分解，解题的关键是要全面考虑。与。之间的数量关

系.

二、填空题

9.计算：卷;_________.

V35

【答案】叵#「而

55

【分析】根据二次根式除法法则计算即可.

【详解】解:需谣韭*

故答案为：叵.

5

【点睛】本题考查二次根式的除法，熟练掌握二次根式除法法则是解题的关键.

10.计算：(1)—+=；(2)(^/^―1)=.

(3)屈"=；(4)J1xV50=.

【答案】26-2^545

【分析】(1)根据平方差公式和二次根式的运算法则求解即可；

(2)根据完全平方公式和二次根式的运算法则求解即可；

(3)根据二次根式的性质和除法运算法则求解即可；

(4)根据二次根式的性质和乘法运算法则求解即可.

【详解】解：(1)(由-1)(省+1)=3-1=2

故答案为：2；

(2)(V5-1)2=5-2^/5+1=6-275,

故答案为：6-2A/5；

(3)V48-V3=716=4,

故答案为：4；

(4)［乂屈=后=5

故答案为：5.

【点睛】此题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法和除法运算法则，平方差公式和完全

平方公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上运算法则.

11.不等式瓜-3x<6的解集是.

【答案】x>-百-3##x>-3-世

【分析】根据一元一次不等式的解法进行计算即可求解.

【详解】解：百

即（6-3卜<6

•；6-3<0,

6

X>—7=----

V3-3

x>一百-3;

故答案为：x>—V3—3.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，正确的计算是解题的关键.

【答案］史"

2

【分析】根据二次根式的性质进行化简即可.

【详解】解：：。>0,b>0,

【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念与化简，掌握二次根式的性质是解题关键.

13.若最简二次根式77W与,工二［是同类二次根式，则x+y=.

【答案】2或0

【分析】根据二次根式和同类二次根式的定义列方程求出X、y的值，再计算x+y.

【详解】由题意得，y+l=2,X2+I=3x2-1,

解得y=1,尤=±1,

.,.当x=l,y=l时，x+y=\+\=2-

当x=_1,y=l时，x+y=-l+l=O;

故答案为2或0.

【点睛】本题考查二次根式和同类二次根式的定义，二次根式省略的根指数为2,化成最简

二次根式之后，若被开方数相同，称为同类二次根式，掌握基本概念是关键.

14.若血的整数部分为“，小数部分为b,则代数式（1+缶他的值为.

【答案】1

【分析】根据题意得出。=1,6=3-1,代入代数式即可求解.

【详解】解：的整数部分为。，小数部分为b,1<忘<2，

a=l,b=\/2—1,

(1+\/2a)b=^A/2+1^5/2-lj=l,

故答案为：L

【点睛】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，求得a=l,b=3-l是解题的关

键.

15.已知。+―/==3,贝.

【答案】7

【分析】对己知等式两边平方，展开计算即可求解.

【详解】解：由题意得a>0,

'/A/G+~f^=3,

••ClH----F2—9,

故答案为：7.

【点睛】本题考查了二次根式的运算，分式的运算，掌握完全平方公式的特征是解题的关键.

16.海伦一秦九韶公式；海伦公式又译作希伦公式，海龙公式、希罗公式、海伦一秦九韶公

式，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为：

S=Mp-a)(p-b)(p-c),它的特点是形式漂亮，便于记忆，而公式里的p为半周长(周

长的一半)即：p=T1£；已知三角形最短边是3,最长边是10,第三边是奇数，则该

三角形的面积是.

【答案】3后或4后

【分析】先根据三角形的三边关系即可求得第三边的范围，从而确定第三边的长度，再根据

海伦一秦九韶公式求得该三角形的面积.

【详解】解：设第三边长是c,则10-3<c<10+3,

即7<c<13,

又..•第三边的长是奇数，

，c=9或11,

当c=9时，p=3+l；+9=u.

S=^11(11-2)(11-10)(11-9)=3夜；

、［,13+10+11.

当c=ll时，p=-----------=12,

S=^12(12-2)(12-10)(12-11)=4岳；

故答案为：3后或4后.

【点睛】此题考查二次根式的应用，三角形的三边关系，关键是根据三角形的面积公式解答.

三、解答题

17.计算:

【答案】0

【分析】根据二次根式的加减法法则进行计算即可.

【详解】解:

=-A/3-2A/3--73+373

33

=0

【点睛】此题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

18.计算：V27x-3J|+2x.3

x

【答案】4A

【分析】把二次根式化简成最简二次根式后，再合并即可.

【详解】解：原式=3底-底+

=4A/3X

【点睛】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键.

19.计算:

(1)^48+712

⑵J16x-2xJ--A/27X2+y/3x

【答案】+4；

(2)—\/x

【分析】(1)根据二次根式的加减乘除运算求解即可;

(2)由题意可得：x>0,根据二次根式的性质以及运算，求解即可.

【详解】(1)回+屈义^一屉

=46+23

32

5734

=—^—+4

2

(2)由题意可得：x>0,

,16x一2可,27-4-

=4A/X-2%x-3y/x

x

=-y/x

【点睛】此题考查了二次根式的四则运算,涉及了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握

二次根式的有关运算.

20.计算：2m岛+亲心一8出

［答案］116m―1J2m

【分析】根据二次根式的性质和加减法运算法则分别计算、化简