浙江省七彩阳光新高考研究联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题 含解析

2024学年第一学期七彩阳光新高考研究联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据3，3，4，4，5，5，6，7的第75百分位数是（）A.6.5 B.6 C.5.5 D.5【答案】C【解析】【分析】由百分位数的定义求解即可.【详解】解析：因为，所以样本数据的第75百分位数是第6个数和第7个数的平均数即.故选:C．2.已知向量，，且，则（）A. B.4 C. D.8【答案】A【解析】【分析】先求出的坐标，利用模长公式求出参数，再求.【详解】，，，∵，∴，，所以，故选：A．3.将一枚质地均匀的骰子连续拋掷2次，则朝上面的两个点数之积为偶数的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】列出样本空间，根据古典概型的概率公式计算即可.【详解】将一枚质地均匀的骰子连续拋掷2次，样本空间，共有36个样本点，记“朝上面的两个点数之积为偶数”为事件，则事件，有27个样本点，所求概率为，故选：D．4.在三棱锥中，D，E分别为PA，BC的中点，，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.【详解】.故选：D．5.已知直线与，若，则，之间的距离是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用两直线平行可得，即可根据平行线间距离公式求解.【详解】由于，故，解得，故与，故两直线间距离为，故选：C6.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，则停止答题，晋级下一轮．假设甲选手正确回答出每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则甲选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为（）A.0.256 B.0.128 C.0.064 D.0.0256【答案】B【解析】【分析】由独立事件的乘法公式求解即可.【详解】解析：记为“第次正确回答出问题”，则，故选：B．7.人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点的椭圆．如果卫星当作质点，地球当作半径为R的球体，卫星轨道的近地点（距离地面最近的点）A距离地面为，远地点（距离地面最远的点）B距离地面为，且F，A，B在同一直线上，则卫星轨道的离心率为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得，解出即可得出离心率.【详解】设椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为，则由题意得，解得，所以该椭圆形轨道的离心率.故选：A.8.点P是所在平面外一点，，，，则点到平面距离的最大值是（）A. B.6 C. D.8【答案】B【解析】【分析】先作出点到平面距离，再利用等面积法求解即可.【详解】设AB的中点为，则，所以，因为，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，作，垂足为，因为平面，所以，因为，平面，所以平面，作，垂足为，则平面，所以，又，平面，所以平面，即为所求的距离，在中，，由等面积知，故当最大时，达到最大，即时，．故选：B【点睛】二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.有一组样本数据，，…，，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A选项，利用平均数的定义计算出答案；B选项，由中位数定义可得新样本数据的顺序与原样本数据相同，B正确；C选项，由方差性质得到；D选项，由极差的性质得到D正确.【详解】A．，A正确；B．新样本数据的顺序与原样本数据相同，即中位数满足，B正确；C．根据方差性质，有成立，C错误；D．若是，，…，中最大（或最小）值，则对应也是，，…，中最大（或最小）值，所以极差满足，D正确.故选：ABD．10.已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据椭圆的定义，，将MF1⋅MF2转化为二次函数，即可求解范围，判断A，利用坐标表示，转化为二次函数求解B，利用向量的运算可知，，根据的范围，即可求解，判断C【详解】，，，，，设，，则，，A．，范围是，故A正确；B．设，则，故B错误；C．设为原点，则；故C正确；D．和最大值为，最小值为，所以的最大值为，最小值为，，故D正确.故选：ACD11.如图，棱长为1的正方体中，则下列说法正确的是（）A.若点P满足，则点到平面的距离等于B.若点满足，则的最小值是C.若点满足，则的最小值是D.若点满足，则的最小值是【答案】BD【解析】【分析】对A，由平面平面，求点到平面的距离即求平面与平面的距离，根据正方体的对称性可求解判断；对B，将对角面绕翻折与平面重合，将空间问题平面化解决；对C，类比平面上阿波罗尼斯圆问题，点的轨迹则是球面，可得解；对D，类比平面上椭圆的定义，可得点的轨迹是椭球，得解.【详解】对于A，如图，根据题意可得，点在线段上，平面平面，所以点到平面的距离即是平面与平面的距离，由正方体的性质可知，垂直平面和平面，并被这两个平面三等分，所求距离为，故A错误；对于B，如图，将对角面绕翻折与平面重合，此时中，，，故B正确；对于C，由得，平面上点的轨迹是阿波罗尼斯圆，空间中点的轨迹则是球面，球心在直线上，，半径为，所以的最小值为，故C错误；对于D，因为，所在平面上点的轨迹是椭圆，在空间中点的轨迹则是椭球，椭圆中心为的中点，焦距为，长轴长为2，短轴长也为，所以的最小值为，故D正确.故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题B选项解答的关键是将平面绕翻折与平面重合，将空间问题转化为平面问题解决.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.直线经过的定点坐标是__________．【答案】【解析】【分析】化直线方程为，即可得出答案.【详解】化直线方程为：，即定点坐标为．故答案为：.13.已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则的值为__________．【答案】65【解析】【分析】由平均数和方差的定义求解即可.【详解】因为x，y，8，10，11．它的平均数为8，所以，由，得，则，可得：.故答案为：65.14.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，，分别为的两个焦点，动点P在上（异于的左、右顶点），的重心为G，若直线与的斜率之积为非零常数，则______．【答案】【解析】【分析】设点，，则，由P在上和直线与的斜率之积为常数，可得到，，再利用，求解即可.【详解】设椭圆的标准方程为，点，，则代入中，得①又因为，即，即②比较得，，即，，又，即，解得．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为45°，且经过点．（1）求与两坐标轴围成的三角形面积；（2）若直线，且到的距离为，求的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出直线的方程，即可得直线与坐标轴交点坐标，从而可求面积；（2）根据垂直关系可得直线的斜率，再由点到直线的距离公式求解直线方程.【小问1详解】直线的斜率是，．其方程为：，直线与坐标轴交点坐标为和，则所求三角形面积为：．【小问2详解】直线的斜率是，设其方程为，所以，得或，所以的方程为或．16.在四棱锥中，底面是正方形，侧棱平面，，为线段AD的中点，为PC上的一点，且．（1）求直线EF与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量和，再代入空间向量的线面角公式即可；（2）求出平面和平面的法向量，代入空间向量的二面角公式计算即可；【小问1详解】连接AC，因为底面是正方形，侧棱平面，以为原点，DA，DC，DP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，，，平面，平面，，，，取平面的法向量为，，，又，，而，，记直线EF与平面所成的角为，则，所以直线EF与平面所成角的正弦值为．【小问2详解】设平面的法向量为，，，，，即，令，则取，易知平面，取平面的法向量为，记平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为．17.已知椭圆的右顶点和下顶点，过其右焦点的直线交椭圆于B，D两点．（1）求的值；（2）若的角平分线交直线于点，证明：E，A，B三点共线．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意求出椭圆方程，与直线联立求出D点坐标即可；（2）设直线倾斜角为，则，从而求得直线斜率与方程，再与直线联立求出点，计算即可得证.【小问1详解】由得，，所以，，即，故椭圆方程为，将代入椭圆方程得，所以.【小问2详解】设直线倾斜角为，则，得，所以直线为，得，又，所以直线斜率为，直线斜率为，所以，故E，A，B三点共线．18.在平面直角坐标系中，已知圆和圆．（1）求圆O与圆C的外公切线的长；（2）过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设．①求的值；②求圆心C到直线AB的距离的取值范围．【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）求解两圆的半径和圆心，即可根据外公切线的性质，结合勾股定理求解，（2）①根据两点距离公式，即可代入化简求解，②根据相切求解经过切点的圆，即可两圆方程相减得相交弦方程，即可根据点到直线的距离公式，结合对勾函数的性质求解.【小问1详解】圆心，半径为,圆心O0,0，半径为，故，所以外公切线长为．【小问2详解】①设点，则满足，得，所以，而，得，所以．②设点，以为直径的圆方程为，即，所以两圆的公共弦所在的直线方程为．圆心到直线AB的距离为，又因为点在圆上，即，，所以，设，且，由对勾函数在单调递减，在单调递增，得的最小值为，，,最大值为，所以的取值范围为．19.在平面内，若点P，Q分别是直线l与圆C上的动点，则称的最小值为直线l与圆C的“线圆距离”，类比到空间中，若点P，Q分别是平面内与球M表面上的动点，则称的最小值为平面与球M的“面球距离”．如图，在直四棱柱中，，，，，点在线段AD上，且，点在线段上．（1）求直线CD与外接圆的“线圆距离”；（2）求平面与三棱锥外接球的“面球距离”；（3）当平面与三棱锥外接球的“面球距离”为零时，求的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出外接圆的圆心为的中点，即，求出外接圆方程和直线CD的方程，利用点到直线距离公式得到圆心2,1到直线CD的距离，得到答案；（2）三棱锥外接球的球心为，半径为，求出平面的一个法向量，求出球心到平面的距离，得到“面球距离”为；（3）设，则，求出平面的一个法向量，得到点到平面的距离为，根据“面球距离”为零，得到，得到不等式，计算出的最大值是.【小问1详解】以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，，在平面上，外接圆的圆心为的中点，即，且，故外接圆方程为：，直线CD的方程为，即，圆心2,1到直线CD的距离为，所以“线圆距离”是．【小问2详解】外接圆圆心为，又，故三棱锥外接球球心为，半径为，设平面的一个法向量为，则，解得，令，则，故，故到平面的距离为，故“面球距离”为；【小问3详解】，设，则，，，，记平面的一个法向量为，则，即，取，所以点到平面的