第七章-一维波动方程的解题方法及习题答案

第二篇数学物理方程——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程；2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件(自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题；3、方程齐次化；４、数理方程的线性导致解的叠加。一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律）1、来源I．质点力学：牛顿第二定律连续体力学II.麦克斯韦QUOTE弹性体力学弹性定律弦杆膜III.热力学统计物理特别:稳态（QUOTE∂ρ∂t=0）:QUOTE∇2ρ=0(Laplaceequation).IV.量子力学的薛定谔方程：QUOTEℏ∂∂tφ=-ℏ2.分类物理过程方程数学分类振动与波波动方程QUOTE1a2∂2u∂t双曲线输运方程抛物线稳态方程LaplaceequationQUOTE∇2u=0椭圆型二、数理方程的导出推导泛定方程的原则性步骤：（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”---“无理取闹”（物理趣乐）。（3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽略---线性化。（4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。（5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。Chapter7一维波动方程的傅里叶解第一节一维波动方程-弦振动方程的建立7.1.1弦横振动方程的建立（一根张紧的柔软弦的微小振动问题）（1）定变量：取弦的平衡位置为轴。表征振动的物理量为各点的横向位移，从而速度为，加速度为.（2）立假设：①弦振动是微小的，，因此，，，又，；②弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应力，则在拉紧的情况下弦上相互间的拉力即张力始终是沿弦的切向(等价于弦上相互间有小的弹簧相连)；③所有外力都垂直于轴，外力线密度为；④设弦的线密度（细长）为，重力不计。（3）取局部：在点处取弦段,是如此之小,以至可以把它看成质点(微元)。质量微元：；微弧长：（即这一小段的长度在振动过程中可以认为是不变的，因此它的密度不随时间变化，另外根据Hooke定律可知，张力也不随时间变化，我们把它们分别记为和.（4）找作用：找出弦段所受的力。外力：，垂直于轴方向；张力变化：,方向紧绷，,垂直于轴方向。（5）列方程：根据牛顿第二定律，因方向无位移，故.即，，其中是单位质量所受外力。如果弦是均匀的，即为常数，则可写为弦振动的传播速度，则.自由振动():(齐次方程)。小结1：对于弦的横振动、杆的纵振动方程（一根弹性均匀细杆的微小振动问题）、薄膜的横振动方程（张紧的柔软膜的微小振动问题），在不受外力情况下，其振动的微分方程为：（齐次方程）其中a为振动的传播的速度。当单位质量所受外力为时，其振动微分方程为：（非齐次方程）7.1.2定解问题第一节从物理问题和相应的物理定律导出了其所满足的偏微分方程，但总是选择物体内部，不含端点或边界，对一小部分来讨论其运动状况，仅反映了物体内部各部分之间的相互联系，且在区域内部相邻之间、相继时刻之间的这种联系（规律）通常与周围环境（边界上）和初始时刻对象（体系）所处的状态无关。仅有方程还不足以确定物体的运动，因为外界的作用通常是通过物体边界“传”到内部的；一个方程可能有多个解，通解中含若干任意常数（函数），初始条件和边界条件就是确定它们的条件。求一个微分方程的解满足一定初始条件和边界条件的问题称为定解问题：泛定方程&1.初始条件即已知初位移和初速度2.边界条件第一类边界条件-狄利克雷条件（Dirichlet边界条件）：直接给出了未知函数在边界上的值。第二类边界条件-诺依曼条件（Neumann边界条件）：给出未知函数在边界上法向导数的值。自由端点边界（端点不受外力，自由振动，意味着弦张力在振动方向无分量）属于此类，边界条件为第三类边界条件-罗宾条件：给出未知函数和其边界法向导数在边界上的线性关系。弹性支撑边界（端点受到弹簧的约束而无外力）属于此类，边界条件为：Note：初始条件和边界条件是场运动规律的极限。例1．对弦的横振动问题导出下列情况的定解条件：弦的两端点和固定，用手将弦上的点拉开使之与平衡位置的偏离为（），然后放手。解：两端固定，所以边界条件为：由点的初始位移求出其他点的初始位移，它们是两段直线方程，容易求得：显然，初速度为零：第二节齐次方程混合问题的傅里叶解——分离变量法本征值问题Abstract：求解数理方程定解问题的方法有分离变量法、行波法、积分变换法、变分法、复变函数论等，这些方法各有千秋。分离变量法普遍适用，在其使用条件下，自然导致了问题的核心—本征值问题。求解常微分方程：一般先求通解，再用初始/边界条件定其参数；求解偏微分方程，即使求得通解，亦难于由定解条件来定解（含任意函数）—本征值问题可解决此类问题。7.2.1利用分离变量法求解齐次弦振动方程的混合问题分离变量法：把二元函数表示为两个一元函数相乘；然后带入函数的二阶偏微分齐次方程，把偏微分方程化为两个常微分方程；把偏微分方程的边界条件转化为常微分方程的边界条件。题型I：方程和边界条件都是齐次的，而初始条件是非齐次的。例题1：下面以两端固定弦的自由振动为例(第一类齐次边界条件):注意这里的边界条件。第一步,分离变量，将二阶偏微分方程转化为两个常微分方程。设[取此特解形式，可得驻波解：是振荡函数，而与无关，是幅度函数，与无关],将此代入泛定方程，即得等式两端除以，就有.注意在这个等式中，左端只是的函数，与无关，而右端只是的函数，与无关。因此，左端和右端相等，就必须共同等于一个既与无关、又与无关的常数。令这个常数为(参数)，即，.由此得到两个常微分方程：（7.1）（7.2）第二步，将原来的边界条件转化为的边界条件。将此代入边界条件，得，，转化为的边界条件：，[因为不可能恒为0，否则恒为0]（7.3）这样就完成了分离变量法求解偏微分方程定解（亦定界）问题的前两步：分离变量。在这两步中，假设所要求的是变量分离形式的非零解，导出了函数应该满足的常微分方程和边界条件，以及所满足的常微分方程。分离变量之所以能够实现，是因为原来的偏微分方程和边界条件都是齐次的（可分离变量）。第三步,求解本征值问题上面得到的函数的常微分方程定解问题，称为本征值问题。其特点是：常微分方程中含有一个待定常数，而定解条件，是一对齐次边界条件。这样的定解问题不同于我们过去熟悉的常微分方程的初值问题。下面将看到，并非对于任何值，都有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解。只有当取某些特定值时，才有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解.的这些特定值称为本征值(eigenvalue)，相应的非零解称为本征函数(eigenfunction).通过讨论分析得出只有时，方程（7.2）的解才有意义。因此，时解（7.2）式得，.将这个通解代入边界条件（7.3），就有即和不能同时为0，否则恒为零，恒为0（平凡解，虽然零解无物理意义，但至少说明数学上可能行得通），因此只能是，，即.于是，只能取如下的一系列值：；相应的本征函数就是：这里取，因为我们所要求的必然只是线性无关解。不同的值给出的是线性相关的。由于同样的原因，我们也不必考虑为负整数的情形。这样求得的本征值有无穷多个，他们可以用正整数标记，因此，我们把本征值和本征函数分别记为和.第四步,求特解，并进一步叠加出一般解：对于每一个本征值，由（7.1）解出相应的:.因此，也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解:.这样的特解有无穷多个。每一个特解都同时满足齐次偏微分方程和齐次边界条件。它们是一系列的驻波。但是，一般来说，单独任何一个特解都不能满足定解问题中的初始条件。然而，由于偏微分方程和边界条件都是齐次的，把它们的特解线性叠加起来，即.这样得到的也仍然是齐次偏微分方程在齐次边界条件下的解（当然要求此级数收敛且可以逐项求二阶偏导，即求和和求导可以交换次序）。这种形式的解称为一般解。现在根据初始条件中的已知函数和定出叠加系数和.将上面的一般解代入初始条件，得注：是已知函数而非任意函数既要满足方程又要满足条件。由构成，亦由构成。初、边条件仅是其内部规律的极限。第五步,利用本征函数的正交性确定叠加系数：设和是分别对应本征值和的两个本征函数，（即）.显然，它们分别满足（7.6），（7.7）和（7.8），（7.9）用乘以(7.6)，用乘以(7.8)，相减并在区间上积分，即得其中利用了和所满足的边界条件（7.7）和（7.9）.考虑到，因此，就证得本征函数的正交性:.进一步计算还可以得到本征函数的模方:.因此，在(7.4)式两端同乘以，并逐项积分，就得到所以，.同样可以得到，.（实为傅里叶级数的奇延拓）这样，根据初始条件中的已知函数和，计算出积分，就可以得到叠加系数和，从而就求得了整个定解问题的解。Step6,解的物理解释先观察特解：其中，，，，.因此，代表一个驻波，表示线上各点的振幅分布，表示点谐振动。是驻波的圆频率，称为两端固定弦的固有频率或本征频率，与初始条件无关；称为波数，是单位长度上波的个数；称为位相，由初始条件决定。在，即的各点上，振动的幅度恒为0，称为波节。包括弦的两个端点在内，波节点共有个。在，即的各点上，振幅的绝对值恒为最大，称为波腹。波腹共有个。整个问题的解则是这些驻波的迭加。正是因为这个原因，这种解法也称为驻波法(agenerizedmethodoftheseparationvariables).就两端固定弦来说，固有频率中有一个最小值，即，称为基频。其它固有频率都是它的整数倍，称为倍频。弦的基频决定了所发声音的音调。在弦乐器中，当弦的质料一定（即一定）时，通过改变弦的绷紧程度（即改变张力T的大小），就可以调节基频的大小。基频和倍频的迭加系数和的相对大小决定了声音的频谱分布，即决定了声音的音色。小结2：对于弦振动的齐次方程和第一类齐次边界条件的混合问题，即：（注意：这里的x的范围和函数的边界条件的表示）它的解是：其中：习题七的1-6题属于例题1类型。例题2，弦振动的齐次边界条件中存在第二类边界条件，如：注意：边界条件与例题1不一样。第一步，分离变量，将偏微分方程转化为两个常微分方程。令，并代入泛定方程，即得等式两端同时除以，就有.由此得到两个常微分方程：第二步，将原函数的边界条件化为分离变量后函数的边界条件。将代入关于的一对齐次边界条件，得，得X的边界条件为：，第三步，解本征值问题。这样，我们得到本征值问题:,，.才有解.解得：.得到：代入边界条件，就有即和不能同时为0，否则恒为零，因而恒为0（平凡解）。因此只能是，即.于是，只能取如下的一系列值：;相应的本征函数就是：.第四步，解的微分方程，得到的特解，叠加得出一般解。对于每一个本征值，可以求出相应的:因此，也就得到了满足边界条件的特解:把这些特解叠加起来，就得到一般解:.第五步，由本征函数的正交归一性，得到系数，确定解。将上面的一般解代入初始条件，根据本征函数的正交性得系数为：例题3，弦振动的齐次方程和齐次第一类、第二类边界条件注意：边界条件与例题1、例题2都不一样。第一步，分离变量，将偏微分方程转化为两个常微分方程。令，并代入泛定方程，即得等式两端同时除以，就有.由此得到两个常微分方程：第二步，将原函数的边界条件化为分离变量后函数的边界条件。将代入关于的一对齐次边界条件，得，，这时也可以分离变量，得X的边界条件为：，.第三步，解本征值问题。这样，我们得到本征值问题:,，.才有解.解得：.得到：以上两式代入边界条件，就有即和不能同时为0，否则恒为零，因而恒为0（平凡解）。因此只能是，即.于是，只能取如下的一系列值：;相应的本征函数就是：.第四步，解的微分方程，得到的特解，叠加得出一般解。对于每一个本征值，可以求出相应的:因此，也就得到了满足边界条件的特解:把这些特解叠加起来，就得到一般解:第五步，由本征函数的正交归一性，得到系数，确定解。将上面的一般解代入初始条件，根据本征函数的正交性得系数为：小结3：对于弦的自由振动，针对齐次边界条件中存在第二类边界条件的两类例题：例题2的解为其中例题3的解为其中习题七的13题属于例题2类型。题型II：方程为齐次，边界条件为非齐次。以习题10为例：求解长为的弦的振动问题注意边界条件，边界条件为非齐次，直接用分离变量法无法求出解，所以需将非齐次边界条件处理成齐次边界条件，再用分离变量法。解题方法：用辅助函数法，把非齐次边界条件转化为齐次边界条件。令函数，其中为已知函数。已知函数的选取条件是：必须能够使得满足齐次边界条件的混合问题，即：解：第一步，找出已知函数令（4）第二步，把上式带入的混合问题，转化为的齐次边界条件的混合问题。把公式（4）带入公式（1）得：（5）将公式（2）带入公式（4）得：（6）将公式（3）带入公式（4）得：（7）（8）这样，函数满足的混合问题为：第三步，解关于的混合问题。的混合问题为例题1，所以解为其中：第四步，写出原方程的解。由得：习题七第12题：其中是一个充分小的正数，为充分光滑的已知函数。分析：泛定方程（1）式除了u，不存在第二个函数项，所示是齐次微分方程，（2）式为边界条件而且是齐次的，所以该题可以用分离变量法。解：第一步，分离变量，将偏微分方程转化为两个常微分方程。令（4）将（4）式代入方程（1），即得等式两端同时除以，把关于x和t的函数分移至等号两边，有.由此得到两个常微分方程：（5）（6）第二步，将原函数的边界条件化为分离变量后函数的边界条件。将代入关于的一对齐次边界条件（2）式，得，，这时也可以分离变量，得X函数的边界条件为：，（7）第三步，解本征值问题。这样，我们得到本征值问题:,，.解得：.代入边界条件，就有即和不能同时为0，否则恒为零，因而恒为0（平凡解）。因此只能是，即.于是，只能取如下的一系列值：;相应的本征函数就是：（8）第四步，解的微分方程，得到的特解，叠加得出一般解。解（6）式：（6）式的特征函数为，其特征根为：因此（6）式解为：对于每一个本征值，相应的:因此，也就得到了满足边界条件的特解:把这些特解叠加起来，就得到一般解:（9）第五步，由本征函数的正交性，得到系数，确定解。将初始条件代入上面的一般解，得：根据本征函数的正交性得系数为：（10）（9）式对t求导为：将初始条件带入上求导式，得根据本征函数的正交性，得：把（10）式带入，得到（11）该题的解为（9）式，（10）式和（11）式为（9）式中的系数。第四节非齐次振动方程求解前面所讨论的问题中的偏微分方程都是齐次的，现在来讨论非齐次偏微分方程的解法。为方便起见，以长为l两端固定的弦的强迫振动为例，所用方法对其它类型的方程也适合。即考虑定解问题由所给的定解问题可以看出：弦两端固定，所以做的是强迫振动。方法1：直接利用本征函数来求解，即把解展开成本征函数的形式，求出参数。（该方法的前提条件是要知道此定解问题对应的齐次方程的本征函数）由上节例题1可知：两端固定的弦的自由振动在弦上形成驻波形式，其本征值为，本征函数为。则该弦在强迫力作用下仍作类似该驻波形式的振动，因此，直接利用本征函数来求解。第一步，将上述定解问题中未知函数、已知函数、和都展开成本征函数的级数形式。令（4-1.4）（4-1.5）（4-1.6）（4-1.7）由本征函数的正交性可知：（4-1.8）（4-1.9）（4-1.10）第二步，通过比较系数，得出参数满足的常微分方程及满足的初始条件。将式（4-1.4）及（4-1.5）带入式（4.1）通过比较系数，得到常微分方程：（4-1.11）将式（4-1.6）、（4-1.7）带入式（4.3）导出应该满足的初始条件：（4-1.12）（4-1.13）通过比较式（4-1.12）与式（4-1.6），比较式（4-1.13）与式（4-1.7）得到：（4-1.14）（4-1.15）第三步，求解关于的常微分方程（4-1.11）式。（4-1.11）式为非齐次，用常数变易法（第一册中关于常微分方程初步）或积分变换法（第十二章或第十三章），或根据杜阿梅尔原则（第八章8.4.3的齐次化原理），结合初始条件（4-1.14）、（4-1.15），求出：（4-1.16）式（4-1.16）带入式（4-1.4）即为（4.1）——（4.3）混合问题的解。方法2：将原问题分成两部分来处理在上述定解问题中，弦的振动是由两部分干扰引起的：一是强迫力f（x，t）；一是初始函数。由问题的物理意义可知，此时的振动可以看作仅由强迫力引起的振动和仅由初始函数引起的振动的合成。由此得到启发，我们设定解问题（4.1）--（4.3