江苏省南通市海安市2024-2025学年高三年级上册开学数学试题（解析版）

2025届高三期初学业质量监测试卷

数学

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

L已知集合何尸则4m）

A.（T83）B」T3}C.（MD.（3）

【答案】B

【解析】

【分析】解一元二次不等式求出集合A,然后由交集运算可得.

【详解】解不等式1-入>0,得4=1-8.0）u（，+m）,

所以HCB=（T3}.

故选：B

2.已知命题尸々》>03>1,则Y：（）

M

A.小>03slB3,XS0.3*>1c.DV.V>0,3>1

【答案】c

【解析】

【分析】利用存在题词命题的否定是全称量词命题，直接写出结论.

【详解】命题p3t>os*>l是存在量词命题，其否定是全称量词命题，

所以rp：Vx>o,3xsl

故选：C

e'rSlur

3.函数.l^-e-在区间（6+8i上（）

A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增

【答案】D

【解析】

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.

Je~\e-,iln.T

【详解】111nx•e-Jhn,即”［「时”

设〃x)=e，-叫则门单调递减，

/(l'=e-1>0./(3)=e',-ln3<0,

FHL

故存在唯一个、0曰13使，।%)=0,

故在上」⑶…―，此时"卜'同3=不单调递减；

在%+叫上，/(Me-lnxvO,此时回』心丫单调递增；

fe**.「之Inr

故一［lux,e"<lnx在区间9+81上先减后增.

故选：D

4.已知函数•"*=(­,则()

A/(.T-ll=/ll-.TlB+

c/(1+.X)=/(1-.V|D/(1+XI=-/(!-.v|

【答案】c

【解析】

【分析】根据解析式代入验证即可.

【详解】因为〃xT)=(*7)Tx'-l,而〃x+】)=/(l+x)=x'-l,

所以f(l+x)=/(l-x).

故选：C

a

5.已知>=3"=5,则4"=()

A.WB.6C.8D,9

【答案】D

【解析】

—»log33

【分析】根据题意，利用对数的运算法则，求得力，结合指数幕与对数的运算法则，即可求解.

【详解】由"=3'=5,可得巾=kg/"logj5,则1og,3

则41=4-3==21ogj9=9

故选：D.

6.设b，cwR,函数,（x）=x+b4+c,贝『，关于X的不等式/+5'+。>0的解集为区，，是，，."*）>°

恒成立”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.不充分不必要

【答案】A

【解析】

【分析】由二次函数的性质确定不等式和函数成立的条件，再由充分必要条件得出结果即可；

【详解】因为关于X的不等式J+bi+c>0的解集为R,贝心=护-4。<°,

?l=x+b-jx-ly/x+by[x+c>0

可得.恒成立，故充分性成立；

取b=Ac=」满足"1I>°恒成立，

但x'+3x+2>0的解集为iHL,ul-L+B）,故必要性不成立；

所以“关于X的不等式/+从+。的解集为R"是“'1'°恒成立”的充分不必要条件.

故选：A.

1

7.已知直线-v=a'+6与曲线一-X相切，则」：7+b的最大值为（）

1_5

A.-B.2C.-D.5

【答案】C

【解析】

【分析】设切点切点横坐标为由题意列出,•上力的关系，进而得到Ja+b,再由二次函数求

最值即可.

1

y=x+-y

【详解】设切点横坐标为桁（切工01求导:X得.

am+b=m+-

由题意可得I用解得:

所以用=2时，2a+b的最大值为一’.

故选:c

8.若函数卜-°F1的3个零点由小到大排列成等差数列，则。=（）

4732厉

A.2B./c,3D.3

【答案】D

【解析】

y-k-J,V=-（T>0）

【分析】将问题转化为J-II和X的交点，结合函数图象以及一元二次方程的根可得

,即可利用等差中项求解.

要使一中-。|-1有3个零点，则4>0,

11

_=X-a-=-x+a

由图可知：.'有一个零点\有2个零点丁卜与，且、「与，

即/-皿-1=0有一个零点与，f-ax+l=0有2个零点八，・6,且x<与

Q+yja'+4a——4a+—4

।_Xi=*---------------

a-Ja"-4a++A-a+Ja"-4

由于玉+与=_与，故

____________a=上迈

化简可得“'+4=W-4,平方解得-3,

由于a>0,故3,

故选：D

【点睛】方法点睛：判断函数y=/（x）零点个数的常用方法：（1）直接法：令-"、'=。•则方程实根的个

数就是函数零点的个数；

（2）零点存在性定理法：判断函数在区间〔"©〕上是连续不断I，曲线，且'「；''"I。•再结合函数的图

象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）可确定函数的零点个数;

（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数

零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要

利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列曲线平移后可得到曲线、=>的是（）

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据图像的平移变换可判断ABD,根据图像的伸缩变换可判断C.

【详解】对于A,曲线'二丁"向右平移3个单位可得到曲线二’,故A正确；

对于B,曲线了二丁-3向上平移3个单位可得到曲线1=>,故B正确；

对于C,曲线横坐标伸长为原来的3倍可得到曲线故C错误；

I，=二=二，一ePx

对于D,曲线•3~,向左平移3个单位可得到曲线尸=：,故D正确；

故选：ABD

10.一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%,且这个比值

越大，通风效果越好.（）

A.若教室的窗户面积与地面面积之和为？°°m’，则窗户面积至少应该为30m‘

B.若窗户面积和地面面积都增加原来的10%,则教室通风效果不变

C.若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好

D.若窗户面积第一次增加了〃z%,第二次增加了/仅，地面面积两次都增加了-,则教室的通风效

果变差

【答案】BC

【解析】

【分析】设该公寓窗户面积为x,依题意列出不等式组求解可判断A；记窗户面积为A和地板面积为b,

同时根据B,C,D设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断B,C,D.

【详解】对于A,设该公寓窗户面积为1,则地板面积为二00一），

[—-->15%

\200-x600…

依题意有I,解得23,

600,

所以，这所公寓的窗户面积至少为23,故A错误；

对于B,记窗户面积为。和地板面积为6,同时窗户增加的面积为10%。，同时地板增加的面积为

10%b,

aa+10%aa|1+10%)a

由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为'"+1。"°6小1-1以山b

所以公寓采光效果不变，故B正确；

对于C,记窗户面积为a和地板面积为6,同时增加的面积为c.

aa+c

由题可知，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为M'b+c,

a+cab(a+c)-a(b+c)c(b-a)

因为b+cbb(b+c)b(b+c],且0<a<b,c>0.b-a>0,

a+ca-a+ca

--->0---->—

所以b+cb,即b+cb,

所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了，故c正确;

对于D,记窗户面积为a和地板面积为6,则窗户增加后的面积为(1+研/"+""°一；,地板增加后的面

.E+九

1+----%A”b

积为

a(l+n%Wl+m%Ia

b

1+W%b

由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为

(1+H%)(1+m%)1+(〃％+话i)+m%a%

(l+等%m+n.,1.......

―-—%I+(n%+n^4I

因为

—"1之历(等•％]加％”％

又因为2,所以I-J,

(】+〃％1+(n%+rrfii)+m%n%(1+〃％aa

;*1

-----------5~=------j-----------Sl------------5S—

11+--—%I1+1―-—%I+(+w%I11+---%I,b

因为\,所以I

Il-bw%|(14-m%)aa

,=—

[,w+w..A,b

1+^^%b

>,采光效果不变，

所以无法判断公寓的采光效果是否变差了，故D错误.

故选：BC.

11.设函数了‘‘」的定义域关于原点对称，且了(门不恒为0,下列结论正确的是()

11

A.若了(')具有奇偶性，则满足“1=p、+?1''的奇函数p1与偶函数q"中恰有一个为常函

数，其函数值为o

B.若了⑶不具有奇偶性，则满足"奇函数P，与偶函数qg不存在

c.若•'（”为奇函数，则满足、门''二px।的奇函数「'、'与偶函数q।’存在无数对

D,若‘'"为偶函数，则满足⑴=g⑶工”的奇函数p（'，与偶函数glvl存在无数对

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用奇偶性的定义即可判断A选项；通过举例‘''I,即可判断B选项；通过构造

P（T）=7.''IYI-1D（XI-T1**1Q（VI="l'*+'i

〃+1，力'HL即可判断c选项；通过构造尸3T,八.即可判断

D选项.

【详解】对于A,/（*）”（*）+“*）,则/（一*）,p（T）+・（-jr）,-p（x）+g（x）

当了'"为奇函数时，贝/（x）+〃r）=2g（x）=°,即g（x）=°；

当“*为偶函数时，贝/⑴-〃7'）=如工）=0,即P（x）=°,

即满足Ji'=门的奇函数”"与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0,故A正

确；

对于B,当〃x）=x+x,p（x）=x.g（x）=x时，，（»不具有奇偶性,

满足/（、）”（"）+小）的奇函数P（"）与偶函数g（X）存在,故B错误；

对于C,为奇函数时，令奇函数"偶函数/、’="+L”eN,则

“Ti=/（.T）

vneN,故存在无数对奇函数"”与偶函数g（x）,满足〃x）=P（x）g（x）.故c正确；

对于D,4负为偶函数，令奇函数P（x）=xf偶函数9⑶=“O”eN,则

（】、

31

q\p（x））=9XIK=/（x）

故存在无数对奇函数"W与偶函数g（X）,满足故D正确.

故选：ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设函数/''1的图象上任意两点处的切线都不相同，则满足题设的一个.

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】只需要函数在不同点处的切线斜率不同即可.

［详解］设--则J'm二:

在/(X)=’上任取一点(、。工।,

则函数在该点处的切线方程为：「一、；=即J=：V-To.

只要、。不同，切线方程就不同.

故答案为：、(答案不唯一)

13.已知矩形430口二西》・工1的周长为24,将-儿50沿4c向A4DC折叠，AB折过去后与DC交

于点P.设，45=、，则DP=(用尤表示)，当△血户的面积最大时，

Hx-72

【答案】①.X.②.6A

【解析】

结合图形，折叠后易得“。尸三”?3’尸，设0尸=夕尸=】'，利用RtJ'PC,即可求得DP的

【分析】

表示式；依题意，求出(「SP的面积表示式，利用基本不等式即可求得面积最大值，从而得到此时)的

值.

图2

如图2是图1沿着4。折叠后的图形，因,48=、，则HI=11-),

因矩形忠处西>皿的周长为24,则6Vx<12,对折后3=3'。=】？-1易得

^ADP^B'P,

设D尸=3'产=.\贝NP='-.\在RtW尸。中，由勾股定理，(x-.r)3=.v3+(12-x)\

12x-72212r-72

y工---------DP---------;

整理得一二,即1

=—02-x)=-6(x+—)+108

△MP的面积为2AX,

r=—x+—>2/72=12j2

因6v\<1］，则当且仅当1时，

此时时，^=-6x12^+108=108-7272

12x-72

故答案为：；6，？.

14.已知a为常数，且门>0.定义在R上的函数满足："i+ad"+且当

0£x£a时，/(x)=fl*-x,则。=

【答案】1

【解析】

【分析】根据题意，先求出再赋值得到J-aC/即，将“刈转化为

/(3a)4〃2fl)S/(a)=J-a,运用不等式传递性，得到J——a,式子恒成立.只能

/一。=°.解方程即可.

【详解】0WxSa时，〃•')="一、，贝=『-a

a>0,定义在-上的函数〃“满足：〃，+@)4〃力4〃丁十%).

令x=0,得到〃即J-a40s"3al

由于/(M)=/Q+af〃g=/(a+a)4/(a)=J-a则J・aSOsJ-a

则要使得式子恒成立，则/,；=°,解得°=°,或a=1,或者。一-1.

由于a>0.则a•1.

故答案为：1.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在三棱柱曲"44G中，_L平面A5C.乙@r=90°q=BC=84=1,EjFtG

分别是棱AB,BC,'4上的动点，且，超=5'产=&G.

⑴求证：4尸，。口；

(2)若平面EG。1与平面为为48的夹角的余弦值为3,求3尸.

【答案】(1)证明过程见解析

1

⑵-

【解析】

【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出4F=得到垂直关

系；

（2）在⑴的基础上，得到4尸23=。，故从而得到线面垂直，故4尸』一1力1

为平面屈支\的一个法向量，结合平面&&用8的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出力，从

而求出印.

【小问1详解】

因为旦3_1_平面48°,四,BCu平面4BC,

所以即_LM,电工BC,

又乙45c=90°,故与氏48.3。两两垂直，

以8为坐标原点，所在直线分别为工工二轴，建立空间直角坐标系，

因为检=3（7=3瓦=I,AE=BF=B^G设AE=BF=即｝=m,Q<m<l,

所以小110/|0，"|，491,「©0、1一凡山，

则49=（0.0、附1-（110|=（-1-1.州）,。。=（0.1-皿0）-（01」）=（0,一九一"

则4尸C\G=I（0.一肛-1）=E-m=0

故4…G；

115

►

X【小问2详解】

£(l-m,0.0)则5G=n),1—w,0|—(1—/w、0.0)=(a—LI—w,01

则4F=1用-1.1一用，0)=1-6+加-1=0

则4尸-LEG,

又GGc3G=GCjGJ?Gu平面38],

所以4"平面'GC\,

故不=(-L-Lmi为平山1、支；的一个法向量，

又平面4414s的法向量为n=<0,0,li

则平面屈支\与平面儿为48的夹角的余弦值为

即不斗四』弋""世I4

।।ARjVma+1+1>/mJ+2,

1_

又平面独笫1与平面48的夹角的余弦值为3,

所以At?解得用一,故"*一三.

16.某学习小组研究得到以下两个公式：①«n(a+A)sm(a-/?)=sin3a-s>n3^.

②力ng,+i~sinici-Q-cos',6-cos'a

(1)请你在①和②中任选一个进行证明；

4.

sinCsin(^4-5)=sin5sin(C-^4),cosX=—,BC>2

(2)在一，43c中，己知5,求一？LffC的面积.

【答案】(1)证明见解析

(2)4

【解析】

【分析】(1)若选①，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明；

若选②，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明；

(2)利用两角和差的正弦公式及正弦定理可得a・？"cosA,再利用面积公式求解.

【小问1详解】

若选①，证明如下：

sin(a4-/J)sm(a-fi)=Isinacos夕+cosasm^)(sinacos/J-cosasm

=sin3acos3/fl-cos3asm2^=sm3tffl-nn3尸)一|】一sm，a)sin3fl

=$】/尸

若选②，证明如下：

sin(a+^)sm(a-p)=Isinacos夕+co$asm^)($inacos夕一cosasm/?)

=sm3acos3尸一cos3aan3/fl=(I-cos3a)cos3yff-cos3arf1-cot3/fl|

二cosJ夕-coJa

【小问2详解】

由已知s】nCsm[4-B)二sinBsmi：(?-A

可得疝®C(anXcosB"cosAmB(mCCMCMCsinAI

sin-4lsinCcosB4-cosCsin£I=2sm5sinCeos-14

3

sinj4sm(C+5|=2sinsinCeosJ4nsmJ4=2sin£sinCeosA

由正弦定理可得7-cos月，

4.・).，

cosA=—.3C=a=2.Ae(0.^)be=-,sin^4=-

又5，所以25.

S=-bcsm4=­x-*—=一

所以一，M0的面积---54.

17.分别过椭圆A3的左、右焦点广，•尸2作两条平行直线，与C在x轴上方的曲线分别交于点

P.Q.

（1）当P为C的上顶点时，求直线P。的斜率；

（2）求四边形叩的面积的最大值.

_V3

【答案】（1）4

（2）3

【解析】

【分析】（1）结合图形，易得即拘，求得咫的斜率，由直线Q为与椭圆的方程联立，求得点

0（?鸿

55,即得直线尸。的斜率；

（2）结合图形，由对称性可知，四边形尸咫Q是平行四边形，四边形即.匚’的面积是°尸射？0面积的

一半，设直线尸&的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出।尸印和点用到直线『1-""+】=°

的距离d,得到四边形尸“的面积函数式，利用换元和对勾函数的单调性即可求得面积的最大值.

【小问1详解】

由彳+y-l可知“-L°）•尸式】•%椭圆上顶点为9®即尸（Q®

直线尸’片的斜率为则直线。'马E向方程为：r=O（x-D,

8

C.1：

将其代入43整理得，51-8x=0,解得，i=0或一一弓，

同拜L

上-J-

播当i%--R-T

因点Q在彳轴上方,故得点“丁5,于是直线尸。的斜率为：5；

【小问2详解】

如图，设过点尸，,尸，的两条平行线分别交椭圆于点只R和0S，

利用对称性可知，四边形尸.。是平行四边形，且四边形方户口二’面积是0产*?°面积的一半.

显然这两条平行线的斜率不可能是。（否则不能构成构成四边形），可设直线PR的方程为/\=可-1，

(7—1j.

代入,4,整理得：(3w+4)r-6“=9=0,显然A>o,

6m

>\+心=

1

■:3m+4

设尸,贝小"9

3m'+4

36m336

I尸夫|=y/1+m，-“力(W+4)3+W+4

JZE，

l44mJ+144_12(mJ+l)

=J】+a'

(3w'+4)2=3病+4

d=

点弓到直线？'-'.+】=°的距离为4'+】，

J

«11PPI,112(m+l)2124qi

S二一|PRId=-xx-.二

则四边形"废‘的面积为223加+4y/m2+\乐+4,

S_12r12t_12

___=Xr3-l)+4-3t3+r^7I

令，=Jm'+l,则rNl,且代入得，t,

~1».1、,1

)'7+-=北+，­,、，V=3t+-

因函数1，在上单调递增，故，当r=i时，,r取得最小值为4,此时

18.已知红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为3,红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率

分别为3工.现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行

空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目

标两次时，训练结束.假定红方、蓝方互不影响，各轮结果也互不影响.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目

标为事件A,蓝方击中红方目标为事件2.求：

⑴概率尸

(2)经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标次数之差x的概率分布及数学期望;

(3)在4轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率.

P(4)=彳尸(3)=1

【答案】(1)-,

(2)

项=:

分布列见解析，6

31

⑶162

【解析】

【分析】(1)根据概率的乘法公式即可求出闩月'‘口"；

(2)求出X的可能取值范围及对应的概率，求出用一门；

(3)分蓝方击中0、1和？次三种情况讨论.

【小问1详解】

【小问2详解】

X的可能取值为T0J,

111111>>1

P(jr=-D=-xl=-!-P(Jf=0)=-!-xl+lx-i=l

因为236,

/八】)中1尹♦！1

所以分布列为：

X-1?:

11

P653

£(JO=--+0+-=-

所以636；

【小问3详解】

(3yd)咱'=/

若蓝方击中o次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为32217,

C*手嗯吗哈

若蓝方击中1次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为

c：(i)，(二)"3,=——

若蓝方击中二次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为‘、丁3-54,

2--,8+-,-1+--=3-1--

所以红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为二7S154162.

19.(1)函数1与F=的图象有怎样的关系?请证明；

(2)是否存在正数c,对任意的X>C,总有>>log【T?若存在，求o的最小值；若不存在，请

说

明理由；

(3)已知常数a>1,证明：当x足够大时，总有"一>”gt.

【答案】(1)关于直线1=T对称，证明见解析；(2)存在，「皿二4；(3)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)利用互为反函数的性质判断并证明.

(2)由」二丁一-零点，可得Gun=",再构造函数，利用导数证明』时不等式恒成立.

(3)根据给定条件，等价变形不等式，构造函数，利用导数，结合零点存在性定理推理即得.

【详解】(1)函数】'=二'与J=l°g［r互为反函数，它们的图象关于直线对称，

令(%b)为函数p=1图象上任意一点，即6=¥，则a=l%：b,因此点(b.a)在函数］-log〉'的图

象上，

反之亦然，而点9力)与(瓦0)关于直线'=、对称，

所以函数•"二［与="g：、的图象关于直线'=T对称.

(2)存在正数c=4,对任意的4,丁>T>log：丁恒成立，

令”.、)=2*-i3显然〃2)=〃4)=0,

根据指数函数与累函数的增长特征，在上恒有了(丁'<°,

当》>