河北省保定市部分高中2024-2025学年高二年级上册开学考试数学试卷

高二数学考试

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册，选择性必修第一册第一章.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

z

1.若复数Z满足——=-l-i,则z=()

1+i

A.2+2iB.-2-2iC.-2iD，2i

2.已知AABC的三个顶点分别为A(l,2),5(3』)，C(5,m),且=则帆=()

A.2B.3C.4D.5

3.若｛。及可是空间的一个基底，则下列向量不共面的为()

A.a,b,a+2bB.a,a+b,a+c

C.a,a-c,cD.b+c,a+c,a+b+2c

4.已知平面a的一个法向量为方=(1,—2,2),点”在a外，点N在1内，且丽7=(—1,2,1),则点M

到平面a的距离d=()

A.lB.2C.3D.叵

2

5.续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时续航的重要路径之一.某大学科研团队

利用自主开发的新型静电电机，成功研制出仅重4.21克的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的

持续飞行.为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名参赛学生的成绩依

次为65,95,75,70,95,85,92,80,则这组数据的上四分位数(也叫第75百分位数)为()

A.93B.92C.91.5D.93.5

6.在AABC中，角的对边分别为a,b,c,若tanB=-石/=J嬴，则"上匚=()

ac

A.6B.4C.3D.2

7.某人忘记了一位同学号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则拨号不超过两

次就拨对号码的概率为（）

1239

A.-B.-C.一D.——

55520

8.已知圆锥4。在正方体A3CD—A4G。内，AB=2,且4。垂直于圆锥4。的底面，当该圆锥的底

面积最大时，圆锥的体积为（）

A.岛C*D.哼

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知阳河是两条不同的直线，。是一个平面，则下列命题为真命题的有（）

A.若加//a/〃a,则机〃〃

B.若则相_L〃

C.若加_L。,加_L〃，则或〃〃a

D.若加//©加，〃相交，则〃〃a

135

10.已知事件AB,c两两互斥，若尸（4）=工,尸（4°8）=§,。（4°。）=五，则（）

A.P（BnC）=-B.P（B）=-

28

71

C.P（BoC）=—D.P（C）=-

TTTT

IL已知厚度不计的容器是由半径为2m，圆心角为一的扇形以一条最外边的半径为轴旋转一得到的，下列

22

几何体中，可以放入该容器中的有（）

A.棱长为1.1m的正方体

B.底面半径和高均为1.9m的圆锥

C.棱长均为2m的四面体

D.半径为0.75m的球

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.

12.《九章算术》中将正四棱台称为方亭，现有一方亭ABC。—A耳CD，A3=344=3，体积为13,则

该方亭的高是.

13.在空间直角坐标系。孙z中，A（4,0,0）,5（0,2,0）,C（0,0,4），。为的中点，则异面直线3C与

OD所成角的余弦值为.

14.在AABC中，点。在3C边上，BC=2,^BAD=^CAD,ABAC=ADAB+ACAD,则

AABC的外接圆的半径为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，

并以此作为样本，按照[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]进行分组，得到如图所示的

频率分布直方图.已知样本中休育锻炼时间在[50,60）内的学生有10人.

（1）求频率分布直方图中。和b的值；

（2）估计样本数据的中位数和平均数（求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.

16.（15分）

在△ABC中，角的对边分别是a,0,c,已知sinCbosBug-DcosCsinB,。＞].

（1）证明：cosC=—.

b

（2）若a=2,AABC的面积为1,求c.

17.（15分）

如图，在四棱锥P-A5CD中，已知底面A38是边长为2用的菱形，

ZBAD=60°,PA=PB=PD=273,且PE,平面ABCZ）,垂足为E.

p

（1）证明：平面？BE.

（2）求直线AC与平面P3C所成角的正弦值.

18.（17分）

在正四棱柱ABC。—44GA中，已知AB=1，点瓦EG分别在棱上，且A,E,£G四

点共面，NBAE=a,NDAG=）3.

（1）若AE=AG,记平面AEEG与底面A3CD的交线为/,证明：BD//I.

7T

（2）若a+£=—,记四边形AEFG的面积为S,求S的最小值.

4

19.（17分）

给定平面上一个图形。，以及图形。上的点片,鸟,…，匕，如果对于。上任意的点P，之不为与尸

i=l

无关的定值，我们就称斗鸟，…,P为关于图形D的一组稳定向量基点.

（1）已知4（0,0）,6（2,0）,6（0,2）,△466为图形0,判断点儿，鸟是不是关于图形。的一组稳定

向量基点；

（2）若图形。是边长为2的正方形，几鸟,4,乙是它的4个顶点，尸为该正方形上的动点，求

|航+g耳+卫耳—R4的取值范围；

（3）若给定单位圆E及其内接正2024边形62…6024,尸为该单位圆上的任意一点，证明42,…,鸟024

2024_

是关于圆£的一组稳定向量基点，并求Z|尸尸，|2的值.

高二数学考试参考答案

z

1.C因为——=-l-i,所以z=—(l+i)2=—2i.

1+i

2.D因为丽=(—2,1),抚=(2,m—1),丽JL豆心，所以丽•蔗=-4+(7〃—1)=0,解得机=5.

3.B因为M=(万+25)—25,所以。出为+25共面；｛流瓦可是空间的一个基底，假设己4+反G+0共

面，则存在不全为零的实数SJ,使得M=S(6+B)+《万+可，即。=(5+。打+高+北，贝|

s+t=l,s=/=0,无解，故@,4+5,@+不共面；因为方=仅一司+乙，所以扇五一共面；因为

a+b+2c=[b+c^+[a+c),所以囚+不为+己方+5+2)r共面.

\MN-n\1-1-4+21

4.Ad=J----l=J-------1=1.

同3

5.D8名学生的成绩从低到高依次为65,70,75,80,85,92,95,95,且8x75%=6,故上四分位数为

92+95

=93.5.

6.B因为tanB=-J§'，所以6=3-,由余弦定理可得。？=片—2accosB=/+C?=3ac，

即(a+c)2=4ac,故丝土生=4.

ac

7.B设4=｛第，次拨号拨对号码｝「=1,2.拨号不超过两次就拨对号码可表示为A+*，所以拨号不

超过两次就拨对号码的概率为P(A+44)=P(A)+P(44)=：+：X；=|.

8.C如图所示，取43,4。,。。],。©64,3中的中点，分别记为"，N,E,F,P,G,连接

BR,BDVEF,FP,PG,GM,MN,NE.

根据正方体的性质易知六边形上WEFPG为正六边形，此时的中点。为该正六边形的中心，且

AC，平面上WEFPG,当圆锥底面内切于正六边形"NEFPG时，该圆锥的底面积最大.

设此时圆锥的底面圆半径为广，因为用〃=/底+2?=2叵,所以FP=gBiR=Ji,

所以r=@FP=远,圆锥的底面积5=兀，=电，圆锥的高AO=』x括、2=相，

2222

所以圆锥的体积V=LS-AO=」X^XG=®.

3322

9.BC对于A,若，〃〃。,八〃a,则直线机,"可能相交或平行或异面，故A错误.

对于B,若7〃_L6Z,〃ua,则m_!_〃，故B正确.

对于C,若机_!_%m_L〃，则〃〃a或〃ua,故C正确.

对于D,若掰〃。，〃〃相交，则"〃a或"与a相交，故D错误.

10.BCD因为事件A,8,C两两互斥，所以尸（BcC）=P（AcB）=P（AcC）=O,故A错误.由

131

P（AoB）=P（A）+P（B）=-+P（B）=-,得尸（8）=—,故B正确.

488

由P（ADC）=P（A）+P（C）=；+P（C）=K，得尸⑹弓,故D正确.

117

因为P（BuC）=P（B）+P（C）=—I—=—,所以C正确.

8624

11.AC设扇形所在圆的半径为R,对于A,设正方体的棱长为。，如图1,则可容纳的最长对角线

L2

OA=R=2=yl3amax,解得=为"L15〉1.1,故A正确.

对于C,如图2,取三段,圆弧的中点5C,。，则四面体O3CD的棱长均为2%，所以可以容纳，故C

4

正确.

对于B,如图2,同选项C的分析，△BCD的外接圆半径为2叵＜1,9,所以不可以容纳，故B错误.

3

对于D,如图3,4,设球的半径为乙其中图4是图3按正中间剖开所得的轴截面，可知圆0'与圆。内

切，2=（yM+OO=r+gM、OM2=r+q户+MH?=r+5，解得

=73-1^0,732<0.75.所以不可以容纳，故D错误.

12.3设正四棱台的高为力.因为A3=3A3I=3,所以方亭—的体积

丫=:九(5上+,5上.5下+5下)=；加(12+1><3+32)=13,解得/i=3.

13.1依题意可得。(2,1,0),丽=(2,1,0),沅=(0,—2,4),贝|

/7YF{\BC,OD—211

cos\BC,OD)=网西=国义下故异面直线BC与OD所成角的余弦值为-.

14.冥1设NR4C=2e,因为/B4D=44Z),所以NB4D=NC4Z)=/

3

由SA.A/iUBLC=StR^tAXBDLDf+S.AArlzDyCC.，得'—-ACsmlO=—2AD-ABsinO+—2AD-ACsmO,

即AB-ACsin2e=(AZ>AB+AZ>AC)sin£,又AC=AD-AB+AC-AD,所以sin2(9=sin(9,

TT]

即2sin6»cos6»=sin9,又0<28〈兀，所以0<。<一,所以sin6»>0,贝|cos9=—,

22

所以。=P，所以NB4C=28=女，则AABC外接圆的半径R=———===空

332sin/R4c下)3

15.解：(1)由题意可知，学生每天体育锻炼的时间在［50,60)内的频率为3=0.1,

100

则。二—=0.01,

10

由各组频率之和为1,可知(0.005+0.01+匕+0.025x2+0.005)x10=1,解得5=0.03.

(2)前3组的频率之和为(0.005+0.01+0.03)x10=0.45<0.5,

前4组的频率之和为0.45+0.025x10=0.7>0.5,所以样本数据的中位数在第4组，设为x,

所以0.45+(x—70)x0.025=0.5,解得x=72,估计样本数据的中位数是72分钟.

估计平均数是(45+95)x0.05+55x0.1+65x0.3+(75+85)x0.25=72分钟.・・・

16.(1)证明：因为sinCcos5=(a—l)cosCsiiiB,

所以sinCbosB+cosCsinB=tzcosCsiiiB,即acosCsinB=sin(C+B).

根据5+C=TI-A,得sin(C+5)=sinA,所以acosCsinB=sinA,

由正弦定理得abcosC=a,所以灰x)sC=l,从而cosC='.

b

(2)解：由(1)可得sinC=Jl_!=1.

Vb2b

因为AABC的面积为1,

所以工absinC=b'——-=y/b2-1=1，解得b=^2,cosC=.

2b2

又a=2,所以由余弦定理得c=2a1cosC=14+2—2x2xJ^x*=&.

17.(1)证明：连接。E,BD,因为尸4=「3=尸。=26,/＞石，平面45。0,

所以EA=EB=ED.

又四边形A3CD是菱形，BAD=60°.所以△A8D是正三角形，

所以/EBZ)=30°.

由AB=BD=BC=CD,得△BCD是正三角形，ZDBC=600.

所以NEBC=NEBD+NDBC=90°，即5CL5E.

由尸£J_平面ABCD，可得5CLPE.

因为PEcBE=E，所以平面？BE.

(2)解：以E为坐标原点，丽，丽的方向分别为yz轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.

因为A3=2A/3，所以BE=AE=2显%=2,PE=7（2A/3）2-22=242,

则

B（0,2,0）,A（A/3,-1,0）,C（-2V3,2,0）,P（0,0,2V2）,BC=（-2^,0,0）,BP=（0,-2,2^）,AC=（-3A/3,3,0）

/、m-BC=0,—2y/3x=0,

.设沆=（x,y,z）是平面P3C的一个法向量，由〈_,得〈仁取z=l，可得

fh-BP=Q,[-2y+2j2z=0,

沅=（0,0,1）.

设直线AC与平面PBC所成的角为8,

\m'AC\rz

则sin。=1=,即直线AC与平面PBC所成角的正弦值为但.

|m|AC6xV366

18.（1）证明：连接EG,因为AE=AG,AB=AD,NA3E=NADG=90°,

所以AABE三AADG,则5E=DG.

在正四棱柱A3CD—44C|D|中，易知BE〃DG,所以四边形3Z）GE是平行四边形，从而

GE.

又<z平面AEFG,所以平面AEFG.

又HDu平面ABCD,平面ABCDc平面AEFG=/,所以BZ）〃I-

（2）解：易证四边形AEFG为平行四边形.以A为坐标原点，AB>耘的方向分别为x，yz轴的正

方向，建立空间直角坐标系，如图所示.

£(1,0,tantz),G(0,1,tan^),

则AE=(1,0,tana),AG=(0,1,tan?),

AEAG_tancstan/?

cos/£AG=

|AE|IJ(l+tan2.)(l+tan2/7)

S=\AE\\AG\smZEAG=^(1+tan2cr)(l+tan2/?)xy/1-cos2^EAG,化简可得