初中数学专项训练：全等三角形（提升卷）

第十二章全等三角形（A卷•提升卷）

班级姓名学号分数

考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：100分

一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）

1.下列各组图形中，属于全等图形的是（）

【答案】C

【分析】根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项判断即可得.

【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意;

B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；

C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意；

D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了全等图形，熟记定义是解题关键.

2.如图，在△ABC中，AB=AC,4。_18。于点。，则下列结论，一定成立的是（）

A.BD=ADB.ZB=ZCC.AD=CDD.ZBAD=ZACD

【答案】B

【分析】根据直角三角形全等的特殊判定方法（直角边斜边）得出Rt~4Z）3MRtAADC,再由全等三角形的

性质依次判断各选项即可得.

【详解】-.ADJ.BC,

■.ZADB=ZADC=90°,

在RtAADB与RtAAOC中,

AD=AD

AB=AC

■■■RtAADB三RtAADC,

:.ZB=/C,ABAD=ACAD,BD=CD,

故选：B.

【点睛】题目主要考查直角三角形全等的判定定理和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.

3.与如图所示的三角形不一定全等的是（）

【答案】C

【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法.根据全等三角形的判

定方法逐一判断即可.

【详解】解：由题意可得：另一条直角边为4,

A、根据HL即可得到两个三角形全等，故该选项不符合题意；

B、根据SSS即可得到两个三角形全等，故该选项不符合题意；

C、不能得到两个三角形全等，故该选项符合题意；

D、根据SAS即可得到两个三角形全等，故该选项不符合题意；

故选：C.

4.如图，0P平分ZM0N,PALON,垂足为A,24=6,Q是射线上的一个动点，则线段尸2的最小

值是（）

M.

AN

A.10B.8C.6D.4

【答案】C

【分析】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，能得出要使尸。最小时。的位置是解此题的关键.

根据垂线段最短得出当河时，PQ的值最小，根据角平分线性质得出=求出即可.

【详解】解：当时，尸。的值最小，

*：OP平令ZMON,PA1ON,PA=6,

：.PQ=PA=6,

故选：C.

5.如图，用直尺和圆规作NAOB的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（）

A.OM=ONB.CM=CNC.OM^CMD.ZAOC=ZBOC

【答案】c

【分析】本题考查了作角平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键.

【详解】解：根据作图可得OM=ON,CM=CN,故A,B正确；

•••0c是角平分线，

AZAOC=ZBOC,故D选项正确，

而=不一定成立，故C选项错误，

故选：C.

6.如图，,NC与—O是对应角，AC与8。是对应边.若AZ)=10cm,OC=2cm,则。5

的长为（）

cD

C.8cmD.10cm

【答案】C

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质.根据全等三角形的性质，可得5C=4）=10cm,即可求解.

【详解】解：•：AAOC'BOD,AD=10cm,

・•・BC=AD=10cm,

*.*OC=2cm,

JOB=BC-OC=8cm.

故选：c

7.如图，AC=AD,BC=BD,这样可以证明ZWC丝△ABD.其依据是（）

D

C

A.SSSB.SASC.SSAD.ASA

【答案】A

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键.

【详解】解：VAC=AD,BC=BD,AB=AB,

：.AABC^AABr＞（SSS）,

故选：A.

8.在一次数学活动课中，王老师布置学生“用角尺平分一个任意角”的学习任务.某位同学的做法是：如图，

在—的边04、03上分别取OM=ON,移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得

到/AO3的平分线OP作法中用到三角形全等的判定方法是（）

N/B

p

'A

B.SASC.ASAD.HL

【答案】A

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、

HL,熟练掌握确定三角形全等的方法是解此题的关键，已知两三角形三边分别相等，可考虑SSS证明三角

形全等，从而证明角相等.

【详解】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是SSS,

0M=ON

证明如下：=

OP=OP

：.AONP、OMP（SSS）,

所以NNOP=NMOP,

故。尸为NAO8的平分线.

故选：A.

9.如图，工人师傅设计了一种测零件内径A3的卡钳，卡钳交叉点。为A4',83'的中点，只要量出AB的

长度，就可以道该零件内径A3的长度.依据的数学基本事实是（）

A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

C.三边分别相等的两个三角形全等

D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

【答案】A

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据中点得到。4=OA,OB=QB',再根据对顶角相等，得到

^AOB^AOB',即可.

【详解】解：由题意，得：OA=OA,ZAOB=ZA'OB',OB=OB',

：.VAO哙VAO?(SAS),

,,AB=AB\

理论依据是：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；

故选A.

10.如图，A、B、C、。在同一直线上，AE//DF,AE=。凡添加一个条件，不能判定△AECgADFB的是

()

A.EC//BFB.EC=BFC.AB=CDD./E=/F

【答案】B

【分析】根据题目条件可得ZA^ZD,再根据四个选项结合全等三角形的判定定理即可作出判

断.

【详解】解：

A.'：AE//DF,

ZA=ZD,

'：EC//BF,

：.ZACE=ZDBF,

"：AE=DF,

.MAEC咨LDFB(AAS),

故此选项不合题意；

B.添加条件EC=BR不能证明故此选项符合题意；

9

c.：AB=CD9

：.AC=BD,

\9AE//DF,

ZA=ZD,

•；AE=DF,

：.^AEC^ADFB(SAS),

故此选项不合题意；

D.'：AE//DF,

：.ZA^ZD,

"：AE=DF,NE=NF,

：.AAEC^/\DFB(ASA),

故此选项不合题意；

故选：B.

【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键.

11.如图，AC，3c于点C,3DLAD于点。，要根据“HL”直接证明Rt^ABC与RtVBAO全等,则还

需要添加一个条件是（）

B.AB=BDC.ZABC=ABADD.BCAD

【答案】D

【分析】本题主要考查了添加一个条件使得三角形全等，根据HL定理的条件进行判断即可;

【详解】解：：AB=AB,2C=ND=90。，

.•.当AD=BC时，RtAACE^RtABDF（HL）.

当BD=AC时，RMACE丝Rt^BDF（HL）.

故选D.

12.如图，作一个角等于已知角（尺规作图）的正确顺序是（）

A.①⑤②④③B.①②④⑤③C.①④③⑤②D.②①③④⑤

【答案】A

【分析】此题主要考查了基本作图，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的作法是解题的关键.

【详解】解：根据用尺规作一个角等于已知角的作图步骤可知正确的是：①⑤②④③.

故选：A.

13.如图，已知N1=N2,NC=NB,则的依据是（）

C

A.AASB.ASAC.SSSD.SAS

【答案】A

【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定，即可.

【详解】解：在AACD和中，

ZC=ZB

■Zl=Z2,

AD=AD

：.△ACD^AABD(AAS).

故选：A.

14.如图，已知AC平分NIMB,CE,AB^E,AB=AD+2BE,则下列结论①=+；②

ZZMB+ZDCS=180°；③CD=CB；@S^ACE-S^BCE=S^ACD.其中，正确结论的个数()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】①直线AB上取点/，使①直线AB上取点E使EF=BE,即可得到△BCE和△BCE全等,

再由AB=AD+2BE即可求解；

②由①可证明△48和44。/全等，再根据ZAFC+NCFB=180。即可求解；

③由②即可得解；

④由②即可得解.

【详解】解：①在AE取点死使EF=BE.

在RtXBCE与RtKFCE中,

.）CE=CE

"[EF=BE，

ABCE^AFCE,

.AB=AD+2BE=AF+EF+BE,EF=BE,

:.AB=AD+2BE=AF+2BE,

:.AD=AF,

.-.AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2（AF+EF）=2AE,

:.AE^1/2（AB+AD）,故①正确；

②AB上取点R使BE=EF,连接CE

在AACD与△AC5中，-.-AD=AF,ZDAC=ZFAC,AC=AC,

:.^ACD^AACF,

:.ZADC=ZAFC.

•.♦CE垂直平分BE

:.CF=CB,

:.ZCFB=ZB.

又；ZAFC+NCFB=180°,

:.ZADC+ZB=1SO°,

:.ZDAB+ZDCB=360-（ZADC+ZB）=180°,故②正确；

③由②知，AACD^AACF,:.CD=CF,

y.-.-CF=CB,

:.CD=CB,故③正确；

④易证△CEF%ACEB,

…0AACE°ABCE—°AACE°AFCE—°AACF，

又•••△ACD也△ACF,

…°xACF一°AADC，

S-ACE—SdBCE=5aA*,故④正确.

故答案为：D.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键.

15.综合实践活动小组为测量池塘两端A3的距离，活动小组的三位同学分别设计出如下三种方案:

①②③

小华:如图①，先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D,

使。C=C4,连接BC并延长到点E,使CE=CB,连接DE,量出DE的长即为A,B的距离.

小欣：如图②，先过点8作A3的垂线防，在所上取C,。两点，使3C=CD,再过点。作8。的垂线DE,

交AC的延长线于点E,则量出DE的长即为A,8的距离.

小彤：如图③，过点B作AB的垂线8E,在3E上取一点。，连接AD,然后在的延长线上取一点C,

连接CD,使/BDC=/BDA.这时只要量出8C的长即为A,B的距离.

以上三位同学设计的方案中可行的是（）

A.小华和小欣B.小欣和小彤C.小华和小彤D.三个人的方案都可以

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.在三个图中分别

根据全等三角形的判定方法证明三角形全等，再根据全等三角形的性质即可得证.

【详解】解：在VABC和△OEC中，

DC=AC

<NDCE=NACB,

EC=BC

.△ABC知DEC(SAS),

,\AB=DE,故小华的方案可行；

•/AB-LBF,

:.ZABC=90°f

•.DE1BF,

.\ZEDC=90°f

在VABC和中，

/ABC=NEDC

<BC=DC,

ZACB=ZECD

:.AABC^AEDCCASA),

:.AB=ED,故小欣的方案可行；

\BD.LAB,

:.ZABD=ZCBD,

在△AB。和△CBD中，

ZABD=ZCBD

<BD=BD,

NBDC=/BDA

△ABD、CBD(ASA),

：.AB=BC,故小彤的方案可行；

综上可知，三人方案都可行，

故选：D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题2分，共8分)

16.如图，AABC'DCE,若A3=6,DE=13,则AD=

【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键.

【详解】解：：AABCZADCE,

AAC=DE=13,CD=AB=6,

：.AD=AC-CD=\3-6=1,

故答案为：7.

17.如图所示，AE,B,。在同一直线上，AB=DE,AC^DF,要使△MC♦△OEb,需添加的一个

条件是,并说明理由.

【答案】ZA=ZD

【分析】本题考查全等三角形判定.根据题意要证明△ABC之△DEF,已知=AC=D尸两个条件,

抓住这两个已知条件结合全等三角形判定定理即可得到本题答案.

【详解】解：：AE,B,。在同一直线上，AB=DE,AC=DF,

可添加条件：ZA=ZD,理由如下：

在VA3C和4郎中，

AC=DF

<NA=，

AB=DE

：.Z\ABC^Z\DEF(SAS),

故答案为：ZA-ZD.

18.如图，0P平分NAOB,PCLOB,如果PC=6,那么点尸到。4的距离等于

A

OCB

【答案】6

【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出P"=PC.

过户作尸”，。4于由角平分线的性质推出耽=PC=6,即可得到点尸到。4的距离等于6.

【详解】解：过P作尸”于

尸平分203,PCLOB,

:.PH=PC=6,

点P到。4的距离等于6.

故答案为：6.

19.如图，在VABC中，ZC=90°,BC=BD,DE_LAB于点。，若AC=9cm,则钻+小=.

C

ADB

【答案】9劭/9厘米

【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，证得RtZkCB岸RtZWBE得到CE=DE是解题的关键.由

条件可证明RtZXCB岸RtZSDBE,则可求得。£=£C,可求得答案.

【详解】解：,-£>£_LAB,ZC=90°

ZC=ZBDE=9Q°,

在RtACBE和RUDBE中

BE=BE

BC=BD

/.RtACBE^RtAr)BE(HL),

/.CE=DE,

/.AE+DE=AE+CE=AC=9cm,

故答案为：9cm.

三、解答题（本大题共8小题，共62分）

20.（7分）如图：已知A8=AC,BO=CD.求证：ZB=NC.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用SSS证明四△〃：£>,即可证明N5=NC.

【详解】证明：在△M£>和AACD中，

AB=AC

<AD=AD

BD=CD

：.△ABD^AACD（SSS）,

...ZB=ZC.

21.（6分）如图，AABE^^DCE,点E在线段AD上，点尸在CD延长线上，ZF=ZA,求证：AD//BF.

【分析】由全等三角形的性质证明？A?CDE,结合〃=NA,证明？尸？C£>E,从而可得结论.

【详解】解：：AABEmADCE,

\1A?CDE,

•••ZF=ZA,

\?尸？CDE,

\AD//BF.

【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，平行线的判定，证明/b=是解本题的关键.

22.（7分）把下面的说理过程补充完整：

已知：如图，BC\\EF,BC=EF,AF=DC,线段4B和线段DE平行吗？请说明理由.

E

答：AB\\DE,理由：

VAF=DC（已知）

AF+FC=DC+（等式的性质）

AC=_____

VBC\\EF（已知）

.•./3C4=/_（两直线平行，内错角相等）

又•：BC=EF（已知）

:.AABC'DEF（）

：.ZA^Z_（全等三角形的对应角相等）

：.AB\\DE（内错角相等，两直线平行）

【答案】FC,DF,EFD,SAS,D

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握利用SAS证

明AABC%DEF.

根据线段和差证明AC=利用两直线平行内错角相等证明=利用SAS证明

△ABC'DEF,则根据全等三角形的性质可得NA=ND,最后依据内错角相等，两直线平行得出ABIIDE.

【详解】解:AB\\DE,理由：

VAF=DC（已知）

AF+FC=DC+FC（等式的性质）

AC=DF

VBC\\EF（已知）

:.NBCA=/EFD（两直线平行，内错角相等）

又；BC=EF（己知）

:.AABCMADEF（SAS）

：.ZA=ZD（全等三角形的对应角相等）

AAB\\DE（内错角相等，两直线平行）

故答案为：FC,DF,EFD,SAS,D.

23.(6分)如图，OU平分NPOQ,M4AOP,MB_LO。，A,B为垂足，AB交OM于点、N.求证：OA=OB.

【答案】证明过程见详解.

【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质

是解题的关键.

根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AM=氏0，然后利用“HL”证明RtAAOM和RtABOM全

等，根据全等三角形对应边相等可得=03即可得证.

【详解】证明：QOM平分NP。。，MALOP,MBVOQ,

在RtAAOM和RtABOM中，

jOM=OM

\AM=BM'

RIAAOM^RIABOM(HL),

OA=OB.

(1)求作N7LO3的平分线OC.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)说明ZAOC=/BOC的依据是.

【答案】(1)见解析

(2)0C平分ZAOB

【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定;

(1)根据角平分线的尺规作图方法作图即可；

(2)根据SSS证明△COE四△(%»/,则NCOE=NCO尸，由此可得答案.

【详解】(1)解：如图所示，即为所求；

以点。为圆心，以任意长为半径画弧，分别交04,OB于E、F,再分别以£、尸为圆心，以大于砂长的一

半为半径画弧，二者交于点C,则射线OC即为所求；

(2)解：由作图方法可知OE=OFCE=CF,

又,:OC=OC,

：.ACOE^ACOF(SSS),

NCOE=NCOF,

：.OC平分/AOB,

ZAOC=NBOC,

••・依据是0c平分NAOB；

25.(8分)如图，在VABC中，AD平分/BAC,。为BC的中点.求证：AB^AC.

小芳同学解题过程如下：

解：

•.•。为3C的中点，

:.DB=DC.第一步

•.・AD平分254C,

ABADACAD.第二步

:.AB=AC.第三步

A

(D小芳同学解题过程中，出现错误的是第步;

(2)写出正确的解题过程.

【答案】⑴三

(2)见解析

【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定：

(1)根据49=/皿＞不能推导出AB=AC,明显跳步，可得第三步错误；

(2)过点。作DEIAB于点E,Ob/AC于点R根据角平分线的性质可得小=。歹，再证RtAD£B

^RtAZ)FC(HL),可得/B=/C,进而可证AB=AC.

【详解】(1)解：根据=不能推导出AB=AC,

因此出现错误的是第三步，

故答案为：三；

(2)解：正确的解题过程如下：

•.•D为2C的中点，

/.DB=DC.

如图，过点。作于点E,1AC于点尸，

•.•TW平分