三角形中的垂线段最短模型（原卷版）-2023年中考数学几何模型重点突破训练

专题09三角形中的垂线段最短模型

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【模型1】垂线段最短

如图，已知点P是直线/外一点，过点P作尸8，/,则PB是直线外一点P与直线/上各点的连线中最短的

线段。

【模型2】两条线段的和最小值问题

如图，已知点尸是NZ08内任意一点，点、E、F是OB,Q4上的动点，求PE+EE的最小值，通常作产

点关于08的对称点P,过点P'作PRLCU于点/，交OB于点E。此时PE+EE的值最小。

【例1】如图，是等边△/3C的3c边上的中线，尸是/D边上的动点，E是/C边上动点，当EF+CF

取得最小值时，则/EC尸的度数为（）

A.15°B.22.5°45°

【例2】如图RtAABC,44cs=90。，/B=5,5C=3,若动点P在边上移动，则线段CP的最小值是.

【例3】如图，在中，ZACB=90°,ZBAC=30°,BC=8cm,点。为线段N8上的一个动点，从点

N出发沿线段N8向点8运动，速度为2cm/s.

(1)求/瓦/C的长度;

(2)如图，连接CD,线段CO是否有最小值；若有最小值，请求出这个最小值及此时时间f的值；若没有最

小值，请说明理由;

(3)若点E为线段NC的中点，连接DB,当△/£)£为等腰三角形时，求时间/的值.

一、单选题

1.如图，/尸平分/C48,于点D,若尸。=6,点E是边上一动点，关于线段尸£叙述正确的

是()

AEB

A.PE=6B.PE>6C.PE<6D.PE>6

2.如图，从位置。到直线公路/有四条小道，其中路程最短的是（）

0

ABCD

A.OAB.OBC.OCD.OD

3.如图，在中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AB=K,是ZB/C的平分线，若P,。分别

是/。何4。上的动点，则尸C+尸。的最小值是（）

■

A.2.4B.4C.4.8D.5

4.如图，/是一条水平线，把一头系着小球的线一端固定在点a小球从B到C从左向右摆动，在这一过

程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是（）

A.从大变小B.从小变大C.从小变大再变小D.从大变小再变大

5.如图，中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AB=W,BD平分NABC,如果点M,N分别

为BD,3C上的动点，那么CM+MV的最小值是（）

;

AB

A.4B.4.8C.5D.6

6.如图，BDLCD,垂足为。，ZABD=30°,ZA=90°,且/。=4,DC=6,点尸是边8C上的一动点,

则DP的最小值是（）

A.7.1B.6.5C.4.8D.3.2

二、填空题

7.如图，AADB=ZABC=90°,NDAB=NBAC,BD=4,P为/C上一动点，则BP的最小值为.

8.在△A8C中，44=50。，NB=40。,E是48边上的中点，且CE=,点。是上一个动点，当

CD取最小值时，ZDCE=.

9.如图，已知是A4BC的中线，点尸是ZC边上一动点，若A4BC的面积为10,4c=4,则〃尸的最

小值为_______

10.如图，菱形/BCD中，AB=2,40=120。，E是对角线/C上的任意一点，则BE+’CE的最小值为

2

11.如图，在菱形4BCZ)中，/4BC=60°,BD平分/ABC,BC=3,点M为8c上一定点且3M=1,在

BC上有一动点。，在BD上有一动点P,则PM+PQ的最小值为.

12.如图，N/OB=45。，点朋;N分别在射线。4、上，MN=6,的面积为12,尸是直线VN上

的动点，点P关于。/对称的点为点尸关于。8对称的点为鸟，当点P在直线上运动时，△磔£的

面积最小值为.

三、解答题

13.如图，点A在直线/外，点B在直线/上，连接AB.选择适当的工具作图.

(1)在直线/上作点C,使乙4c5=90。，连接/C；

(2)在8c的延长线上任取一点。，连接AD；

(3)在AC,4。中，最短的线段是,依据是

14.如图，已知点尸在//OC的边CM上，

(1)过点尸画ON的垂线交OC于点B；

(2)画点P到OB的垂线段PM-,

(3)测量尸点到边的距离：cm；

(4)线段。尸、9和P8中，长度最短的线段是；理由是.

15.如图，在△/2C中，/2=10,AC=8,BC=6,4D平分/R4C,点P、。分别是/C上的动点(点

尸不与/、。重合，点。不与4、C重合)，求尸C+P。的最小值

16.在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点/、2,其中4B=3C,由于某种原因，由C

到8的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点。(/、D、8在同一条直线上)，

并新修一条路CD，测得C4=750米，CD=600米，40=450米.

(1)问8是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；

(2)求原来的路线8C的长.

17.如图所示，ZAED=S0°,EF平分/AED交AD于点、F,Zl=40°

A

⑴写出判定即〃的推理过程.

(2)当//。£=50。时，线段"、EF、即中最短的是哪段？并说出理由.

CD

18.在比A/CB中，AC=BC=3,ZC=90°,。是/C边上一点，一=2,直线交8C于点E.

AD

(1)如图1,若ZCDE=45°,则CD=,EB=；

(2)如图2,在(1)的条件下，点M在直线DE上运动，且满足/MCN=90。，MC=NC,连接ND,请判

断ND与ME的数量关系和位置关系，并说明理由.

⑶如图3,若/CD£=30。，点M在直线DE上运动，且满足/MCN=90。，MC=NC,连接/N,请求出/N

的最小值.

19.(1)如图1,在A4BC中，AB=AC,。是BC边的中点，E、尸分别是/C边上的点.若夙£、F

在一条直线上，且//3E=NR4C=45。，探究AD与ZE的数量之间有何等量关系，并证明你的结论.

(2)为了丰富学生的业余生活，增强学生的身体素质，某体育课上老师组织学生进行传球训练.如图2