北京市顺义某中学2023-2024学年高二年级下册4月月考数学试卷

牛栏山一中20232024学年第二学期4月考试

局一数学

2024.04

第I卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，四个选项中只有一是符合题目）

1.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为MO=4"—2（s（“的单位：m,r的单位：

s）,则1=2时的瞬时速度为（）

A.16m/sB.14m/sC.13m/sD.12m/s

【答案】A

【解析】

【分析】利用导数求瞬时变化率.

【详解】s（/）=4»-2,则，⑺=8/,有s'（2）=16,

所以♦=2时的瞬时速度为16m/s.

故选：A

2.在（2x+l）6的二项展开式中，二项式系数最大的项是（）

A.第7项B.第3和第4项C.第4项D.第3项

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用二项式系数性质直接求出结论.

【详解】二项式（2x+Ip的展开式有7项，

所以二项式系数最大的项是第4项.

故选：C

3.已知函数/（x）=«,则在（2,/（2））点处的切线斜率是（）

A.72B.；C.2D.叵

24

【答案】D

【解析】

【分析】求出函数Ax）的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率.

【详解】函数y(x)=6,求导得了'(x)=5，

所以所求切线的斜率为广(2)='=9.

故选：D

4.下列函数的求导运算中，错误的是()

A.(x2+3e)=2x+3exB.(2sinx-3)f=2cosx

」nx、，1+lnx

C.(—)'=—―D.(xcosx)'=cosx-xsinx

%%■

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本函数的导数公式及导数的运算法则逐项求导判断即可.

【详解】对于A,(%2+3eiy=：(x2)'+(3ex)'=2x+3ex,A正确；

对于B,(2sinx-3)'=(2sinx)'-(3)'=2cosx,B正确；

对于C,Jnx、,_FxTnx_i—[nx,c错误；

()-2-2

XXX

对于D,(%cosx)f=cosx+x-(cosx)"=cosx-xsinx,D正确.

故选：C

5.下列函数中，在区间(0,+。)上单调递减的是()

A./(%)=-1"B,/(x)=lnx-x2C./(x)=-x2+xD,f(%)=x3-%2+3

23

【答案】D

【解析】

【分析】利用导数求出各函数的单调区间，即可判断.

【详解】对于A：/(%)=一1°81工定义域为(0,+°),且ra)=——-T>0,

2xlni

所以了(%)在区间(0,+。)上单调递增，故A错误；

对于B：/(x)=lnx—f定义域为(o,+8),/[(x)J2工=>2x2=+衣,

XXX

所以当o<%<曰时/^)>。，当x〉冬时r(x)<。.

即7(%)在0,^-上单调递增，在为-,+8上单调递减，故B错误;

、2JI2,

对于C：=+x=+；,

所以了(%)在1-00，：］上单调递增，在上单调递减，故C错误；

对于D：〃x)=—gr5一犬+3定义域为R,又/<％)=-兀2-2%=-%(%+2),

所以％<—2或x>0时当—2<x<0时/^*)>0，

所以〃%)在(—8,—2),(0,+")上单调递减，在(—2,0)上单调递增，故D正确.

故选：D

6.在0,1,2,3,4,5这6个数中任取4个，可组成无重复数字的四位数的个数()

A.240B.300C.320D.360

【答案】B

【解析】

【分析】由分步乘法原理计算可得.

【详解】分步完成，

第一步，首位数字不能为零，有5种取法；

第二步，其余三位数可以从剩下的五位数中任取三位，共有A；=60种取法;

所以一共有5x60=300种,

故选：B.

7.如图所示为函数八盼的导函数图象，则下列关于函数/(盼的说法正确的有()

①单调减区间是［-2,2］；②-4和4都是极小值点;

③没有最大值；④最多能有四个零点.

A.①②B.②③C.②④D.②③④

【答案】C

【解析】

【分析】利用给定的导函数图象，求出函数，(x)的单调区间，再逐一分析各个命题判断得解.

【详解】观察图象知，当x<—4或0<x<4时，f\x)<0,当T<x<0或x>4时，f\x)>0,

因此函数在(—",-4),(0,4)上单调递减，在(—4,0),(4,+”)上单调递增，

函数,⑺在［-2,2］上不单调，①错误；

T和4都是极小值点，②正确；

函数/⑴在％=0取得极大值，

当了⑼不小于函数/⑺在(—",-4),(4,+“)上的所有函数值时，函数AM有最大值，③错误；

当f(0)>0,/(T)<0,/(4)<0,且函数函数/(x)在—4),(4,+”)上的图象都与x轴相交时，

函数/3在(—8,7),(7,0),(0,4),(4,+”)上各有1个零点，共有4个零点，

因此/(x)最多能有四个零点，④正确，

所以关于函数Ax)的说法正确的有②④.

故选：C

8.若函数/(x)=2+adnx存在极大值，则实数。的取值范围是()

A.a<0B.a>QC.a<0D.a>Q

【答案】A

【解析】

【分析】求出函数的定义域与导函数，分。=0、。>0、“<0三种情况讨论，分别得到函数的单调性，从

而确定函数的极值点，即可判断.

【详解】函数/(x)=2+G：lnx的定义域为(0,+e),

又=a(lnx+l),

当。=0时/(%)=2为常数函数，不存在极值，故舍去，

当a>0时，令/''(x)=0,解得x=L则当0<x<1时尸(x)<0,当x〉工时用^)>0,

eee

所以在|o,j上单调递减，在上单调递增，

则了（%）在》=L处取得极小值，不存在极大值，不符合题意；

当时,令/'（x）=0,解得X=L则当0＜x＜:时制x）＞0,当龙〉工时r（x）＜0,

eee

所以/（%）在［o,［］上单调递增，在［g,+s］上单调递减，

则〃％）在x=（处取得极大值，符合题意；

综上可得avO.

故选：A

9.对于R上可导的任意函数/（x）,若当XW1时满足」020,则必有（）

X-1

A./（0）+/（2）＜2/⑴B./（0）+/（2）＜2/（1）

C./（0）+/（2）＞2/（1）D./（0）+〃2）＞2/⑴

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定不等式，得到函数/（X）在X＜1、X＞1时的函数值变化关系，结合不等式性质推理得解.

【详解】由1@20,得当即％＞1时，f\x）＞Q,函数/⑺不单调递减，则/（2）2/⑴；

x-1

当X—1＜0,即尤＜1时，/（x）＜0,函数/⑺不单调递增，则/WNAD；

由不等式的性质得：/（0）+/（2）＞2/（1）.

故选：C

10.己知函数/（x）=；o?—x?+4,若了⑴有且只有一个零点飞,且x°＞0,则实数。的取值范围是

A.

【答案】A

【解析】

【分析】求出函数/（尤）的导数，按a=0,a＞0,a＜0分类，结合函数单调性、极值讨论函数的零点是否符合

题设要求即可得解.

【详解】显然awO,否则函数AM有-2,2两个零点，不符合题意,

i2

函数/(x)=—ax3-%2+4,求导得f\x)=ax2-2x=ax(x——),

3a

2

当a＞0时，由/'(x)＞。，得xvO或％〉一，函数/(%)在(—8,0)上单调递增，

a

Q

/(-2)=--^＜0,/(0)=4＞0,则函数/(幻在(—8,0)上有一个零点，不符合题意；

22

当。＜0时，由/(无)＜。，得％＜一或%＞0,由广(%)＞。，得一＜%＜0,

aa

22

函数在(-8,—),(0,+8)上单调递减，在(一,0)上单调递增，

aa

224

当元=—时，"X)取得极小值/(一)=4——当x=0时，/⑺取得极大值/(0)=4,

aa3a

Q

而/(2)=-a＜0,则/(x)在(0,+oo)上有唯一零点，

因为,⑺有且只有一个零点吃,且无。＞0,则当且仅当/(2)=4一上＞0,于是

a3a3

所以实数。的取值范围是(-oo,-#).

故选：A

第II卷

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

11.口袋中有4个红球，5个白球，且都编有不同号码，现要从中取出1个白球和2个红球的不同取法有

种.(用数字作答)

【答案】30

【解析】

【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及组合应用问题列式计算即得.

【详解】求不同取法种数，需要两步，先取出一个白球，有C；种方法，

再取出两个红球，有cj种方法，

由分步计数乘法原理得不同取法有C；c；=5x6=30(种).

故答案为：30

12.(x—2)5的展开式中含d的系数为.(用数字作答)

【答案】40

【解析】

【分析】利用二项展开式的通项公式求指定项的系数.

【详解】（x—2）5的展开式中通项公式为（+1=C；y5f.（一2丫，

令5—厂=3,解得r=2,

展开式中含V项是第3项，它的系数是C〉（-2）2=40.

故答案为：40.

13.现有3名女生，3名男生要站成一排，则男生甲不能站在左端，并且3名女生必须相邻的不同排列方式

有种.（用数字作答）

【答案】108

【解析】

【分析】把3名女生视为一个整体，利用相邻问题及有位置限制的排列问题，列式计算即得.

【详解】把3名女生视为一个整体，与除甲外的另2名男生任选一个在左端，有A；种方法，

再把甲与余下两个作全排列，有A；种方法，最后排相邻的3名女生，有A；种方法，

所以不同排列方式有A；A：A；=3x6x6=108（种）.

故答案为：108

14.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员1人组成3人服务队，要求服务队中至

少有1名女生，共有种不同的选法.（用数字作答）

【答案】216

【解析】

【分析】根据题意，分为1女2男和2女1男，再利用排列、组合求解每类的种数，结合计数原理，即可求

解.

【详解】第一类，选1女2男，有C[C；=30种，

这3人选2人作为队长和副队有A；=6种，故有30x6=180种；

第二类，选2女1男，有C，C；=6种，这3人选2人作为队长和副队有A；=6种，

故有6义6=36种，根据分类计数原理共有180+36=216种，

故答案为：216

v2-r

15.已知函数~下列命题中：

er

①函数有且仅有两个零点；

②函数/（幻在区间（0,1）和（1,2）内各存在1个极值点；

③函数不存在最小值;

④V%e（l,+oo）,叫e（-oo,0）,使得/（石）＞/（42）；

⑤存在负数。，使得方程/（%）=。有三个不等的实数根.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①④

【解析】

【分析】求出/⑴的定义域及导数，结合函数零点、极值点及最小值的意义逐一判断各个命题得解.

【详解】函数/（x）=三二二的定义域为R,求导得r（x）=_k—3x+l,

e%e%

对于①，由/（%）=。，得x=0或x=1,函数有且仅有两个零点，①正确；

对于②，由/'（x）=0,即炉一3x+l=0,解得尤=三叵或x=

22

%〈匕叵或X〉三五时，/（龙）＜0,当士且＜x＜i±@时，八x）＞0,

2222

即3—J?3+J?目文物分、的用佰占而3+J?0口

即———,——匚是函数/（尤）的极值点，而^———＞2＞②错误；

222

对于③，显然函数AX）在（-00,15）,（主段,+00）上递减，在（三叵,当j）上递增，

而当尤＞1时，/（x）＞0恒成立，又/（X）的极小值/（与5）＜/（0）=0，

因此/（之F）是f（x）的最小值，③错误；

对于④，由于Vxe（l,+°o）,/（x）＞。恒成立，当x-＞+co时，“无）-0,

因为/（0）=0,所以*2€（—8,0）时，使得/（X]）＞/（%），④正确；

对于⑤，显然当XW0或X21时，/（%）＞0,而当0＜x＜iz好时，"X）递减，

2

当土避＜%＜1时，/（刈递增，且当0＜%＜1时，/（%）＜0,

2

因此直线y=a（a＜0）与函数y=/（尤）的图象最多有两个公共点,

即方程于3=a（a<0）最多有两个不等的实数根，⑤错误，

所以所有正确结论的序号是①④.

故答案为：①④

三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤.）

16.己知[％—2）的二项展开式中第二项的系数与第三项的系数的和是48.

（1）求〃的值以及展开式的通项；

（2）求展开式中的常数项；

（3）直接写出展开式系数最大的项.

【答案】⑴n=6,通项为&i=G（—2）'产2「，r=0」,2,…,6；

⑵-160；

（3）240x-2

【解析】

【分析】（1）写出通项公式<+i=C；（—2丫尤"-2，,得到第二项和第三项的系数，得到方程，求出〃=6,进

而得到通项；

（2）在（1）的基础上得到厂=3,求出常数项；

（3）当「为奇数时，项的系数为负数，当『为偶数时，项的系数为正数，列举出「为偶数时各项的系数，

比较后得到答案.

【小问1详解】

rnrrrn2r

21的通项公式为（+1=Cnx-（-2）x-'=C'n（-2）x-,

第二项的系数为C：（―2）=—2〃，第三项的系数为C；（—2）2=4X〃（；T）=In1-In,

故—2〃+2/—2n=48,解得〃=6,负值舍去，

r

故展开式的通项为Tr+X=C；（-2）产2,，r=o,1,2,…,6；

【小问2详解】

由（1）知（+]=晨（一2y■龙6-2,,r=0,1,2,…,6,

令6—2厂=0,解得r=3,故n=或（—2）3=—160,

故常数项为-160；

【小问3详解】

系数最大的项为240式2,理由如下：

由通项公式可得，厂=0,1,2,…,6,

当r为奇数时，项的系数为负数，当r为偶数时，项的系数为正数，

故当厂=0时，7j=C：(—2)°f=%6,当厂=2时，4=《(一2)2尤2=60f，

当厂=4时，(=C：(—2)4/=240铲，当厂=6时，7；=C：(―2『-=64一,

故展开式系数最大的项为240k2.

17.已知函数/(x)=x3-x2-ax+2iSix-l时取得极值.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)求函数Ax)在区间［-2,2］上的最小值.

【答案】(1)递增区间是(—0—；),(1,+8),递减区间是(—；」)；

(2)-8.

【解析】

【分析】(1)求出函数八无)的导数，由给定的极值点求出。值并验证，再解导数大于0、小于0的不等式即

得.

(2)利用(1)中单调区间求出极小值及端点处的函数值即得.

【小问1详解】

函数/(x)=x3-x2-ax+2,求导得/'(x)=3x2-2x-a,

由函数〃x)在x=l时取得极值，得/''(1)=1—。=0,解得。=1,

此时/'(x)=3/—2x—l=(3x+l)(x—1),显然x=l是/(x)的变号零点，即x=l是极值点，

因此a=l,_f(x)=3(x+g)(x—1),当x<—g或X>1时，r(x)>0,当—g<x<l时，r(x)<0,

所以函数/(X)的递增区间是(―8,—J,(1,+8),递减区间是,1).

【小问2详解】

由(1)知，函数/(x)=Y—X+2的在-2,—；),(1,2］上单调递增，在(一；,1)上单调递减，

/(-2)=(—2)3—(—2)2-(-2)+2=-8,/(I)=13-12-1+2=1,

所以函数/(x)在区间［-2,2］上的最小值是-8.

18.己知函数/(x)=xlnx+l,g^x)=x-a\wx,其中aeR.

⑴求证：对任意xe(0,+oo),总有/(%)之光恒成立；

(2)求函数g(x)在区间［l,e］上的最小值；

(3)当a<0时，求证：函数//(%)=/(%)—8(同在区间(1,+8)上存在极值.

【答案】(1)证明见解析

1,<7<1

(2)g(x).=\e-a,a>e

a-alna,l<a<e

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)依题意可得xlnx+1—为之。对任意的xe(0,+co)恒成立，4m(x)=xlnx-x+1,利用导数

说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得证；

(2)求出函数的导函数，分aWO、。>0两种情况讨论得到g(x)在(0,+。)上的单调性，再结合所给区

间，分3种情况讨论函数的最小值；

(3)利用导数说明导函数单调性，以及隐零点的思想证明即可.

【小问1详解】

依题意/(九)之九对任意的xe(0,"o)恒成立，

即xlnx+1—无之。对任意的xe(O,4w)恒成立，

令加(x)=xlnx-x+1,xe(0,+co),

则/”(％)=lnx,所以当0cx<1时加(x)<0,当x〉l时机'(x)>0,

所以m(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以7«(x)niin=m(l)=0,则以(x)20恒成立，

即/(龙)2%对任意的xe(0,+oo)恒成立；

小问2详解】

因为g(x)=x-alnx,则==

JCX

①当aW0时g'(x)>0,所以g(x)在(0,+“)上单调递增,

当》«l，e］时g(xL=g6=L

②当a>0则0<x<a时g'(%)<0,x>a时g'(x)>0,

即g(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增；

又xe［l,e］,

所以当0<a<l时g(x)在［l,e］上单调递增,所以g(x)1nhi=g(l)=l；

当a^e时g(x)在［l,e］上单调递减，所以g(x)1nhi=g(e)=e-a；

当l<a<e,则glxj疝n=g(a)=a—aMa；

l,a<l

综上可得g(x)mm=<e-a,aNe

a—a］na,l<a<^

【小问3详解】

因为/z(x)=/(x)-g(x)=(x+a)lnx+l-x,xe(l,+oo),

则/z"(x)=lnx+%+6Z-l=lnx+—,

xx

令方(%)=/1'(%)=111%+3,贝!J=---^-=X,

JCXJCX

因为。<0,所以尸(x)>0恒成立，

所以歹(x)即h'(x)在(l,+oo)上单调递增，

又“⑴=a<0,当xf+8时Inxf+oo,@f0(a<0),所以"(x)f,

所以W(1,+8)使得〃'(九O)=O,

则当xe(1,%)时h'(x)<0,h［x)单调递减，

当x«M，+ao)时〃(x)>0,〃⑴单调递增，

所以/?(%)在x=%处取得极小值，

即函数//(%)="%)-8(%)在区间(1,+°0)上存在极值.

19.已知函数/(九)=e"sin元.

(1)求曲线>=/(%)在点(0"(。))处的切线方程；

7T

(2)判断函数/⑺在区间(0,-)上的单调性；

(3)是否存在xe(0,7T1),使得了(无)之公成立，若存在，求出。的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=%；

71

(2)递增；(3)存在，〃(2e?.

兀

【解析】

【分析】(1)求出函数/(X)的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.

(2)由导数值恒正判断函数AM单调递增.

(3)假定存在，分离参数构造函数g(x)=2吧,xe(0,四)，利用导数探讨最大值即可得解.

x2

【小问1详解】

函数/(x)=e*sinx,求导得fr(x)=e*(sinx+cosx)=sin(x+—)，

4

则/'(0)=1,而/(0)=。，所以曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程为丁=匕

【小问2详解】

当xe(0,7)时，x-\—e(―,—),<sin(x+—)<1>因此/'(尤)>。，

244424

7T

所以函数/S)在区间(0,万)上的单调递增.

【小问3详解】

假定存在Xe(0止)，使得了(%)2依成立，即存在龙©(0百，不等式a<0B人成立，

22x

令g(%)=立g,xe(0,-),求导得g'(%)=父(sinx+cosx-亚)，

x2xx

■jrjr

令/z(x)=x—sinx,xe(0,5),求导得旗光)=1-cosx>0,即函数〃(x)在(0,鼻)上递增，

则〃(x)>丸(0)=。，即X>sinx>0,于是以m<1,而sinx+cosx=0sin[x+；)〉l,

It71

因此g'(x)>0,函数g(x)在(O,])上单调递增，Vxe(O,]),g(x)<g(S=2£l，则q(”,

2兀兀

7T

所以。的取值范围是〃<2e?.

兀

20.设函数/(x)=(x+2)ln(x+l)—ax,曲线y=/(x)在点(0"(0))处的切线斜率为1.

(1)求。的值；

(2)设函数g(x)=/'(%),判断函数g(x)的零点的个数；

(3)求证:#(x)>0.

【答案】(1)。=1

(2)。个

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；

(2)求出g(x)的导数，判断导数的正负，即可求得单调区间，再求出极小值，即可判断；

(3)结合(2),可得了(%)在(-1,+8)为增函数，结合函数值的正负，即可证明结论.

【小问1详解】

由题意得/(x)=(x+2)ln(x+l)—㈤:的定义域为(—1,+8),

又/''(%)=ln(x+l)+------a,

X+1

因为/'(0)=1，所以lnl+2-a=l,解得a=l.

【小问2详解】

由⑴可得〃x)=(x+2)ln(x+l)-x,

x+2

则g(x)=/,(x)=ln(x+l)+------1,8(％)的定义域为(-1,+8),

JC+1

1/\11X

令g'(x)=0,得x=0,

g(x)与g'(x)在区间(0,+。)上的情况如下:

(TO)0(0,+oo)

g'(x)—0+

g(x)单调递减极小值单调递增

所以g(x)的单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,+"),

又g(O)=lnl+2-1=1>0,所以g(x)>0恒成立，

所以函数g(x)的零点的个数为0；

【小问3详解】

由⑵得，在％=0时，g(x)取得最小值1,所以制x)>0恒成立，

所以“可在(T+8)为增函数，又因为“0)=。，

当一1<九<0时，/(%)<0,所以4(尤)>0；

当尤>0时，/(%)>0,所