《直线与圆的位置关系》教案(新人教B必修)

【学情分析及教学建议】学情分析（1）学生已有知识分析：通过初中平面几何的学习，学生已明确了直线和圆及圆与圆的位置关系及其几何特征。又通过前面章节的学习能够利用直线方程或圆的方程解决有关问题，具备了一定的应用代数方法解决几何问题的能力。（2）学生日常经验分析学生对直线和圆以及圆与圆的位置关系的认识在初中主要是通过一定的几何量来直观判断的，缺乏抽象的逻辑思维的培养，即用坐标法通过方程的解的个数来研究它们交点的个数进而得到它们的位置关系，故应培养他们应用代数方法解决几何问题的意识。（3）学生思维能力小平分析学生通过半年多的学习和知识积累，学生的学习和思维能力得到了较大的提高，理性思维能力得到了进一步的发展。因此本节课的教学在既要传授新知识的同时，更要以知识为载体将能力的培养渗透到教与学的各个环节中去，使学生的各项素质得到进一步的升华。（4）学法点津在求解直线和圆的问题时，要注意运用数形结合的思想，尽可能的运用圆的几何性质，使解法简捷，在判断直线与圆的位置关系时，为避免计算量过大，一般不用判别式，与圆与圆的位置关系的判断一样通常采用几何法，直线与圆的交点问题则常用根与系数的关系简化运算过程。教学建议（1）重难点分析：本节教材的教学重点是能根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系，能根据给定两圆的方程，判断两圆的位置关系.以及求圆的切线方程和求直线被圆截得的弦长。难点是对坐标法的思想即通过方程组解的研究来研究曲线间的位置关系的理解，以及利用直线与圆的关系求直线方程或圆的方程。（2）教法建议：关于圆的教学,在进行一般教学的基础上，应注意下列几个问题．通过直线和圆、圆与圆的位置关系的探究，向学生渗透分类、数形结合的思想，培养学生观察、分析、概括、知识迁移的能力；注意加强运动与变化思想的教学。客观事物是不断运动、变化的，只有从运动和变化的观点去观察、研究它们，才能更准确更深刻地反映客观事物的本质．教学中。应加强运动和变化的思想．例如在讲点和圆、直线和圆、角和圆、圆和圆的位置关系时，都可以通过点与圆、直线与圆、角与圆、圆与圆的相对运动，使学生看到它们的各种不同的位置关系．在教学中应始终贯穿这样一种思想：就是将几何问题代数化，用代数的语言去描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题、处理代数问题，分析代数结果的几何含义最终解决几何问题。教学准备:多媒体、投影仪【情景导入】一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？【引导】师：为解决这个问题，我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，其中取10km为单们长度，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程是什么？这艘轮船航行的路线所在直线的方程是什么？生：据题意知圆的圆心为坐标原点，半径为3，故其方程为，这艘轮船航行的路线所在直线经过（7,0）、（0,4），故直线的方程4x+7y-28=0.师：回答的很好，那么问题轮船是否会受到台风的影响这个实际问题可以转化为什么样的数学问题呢？生：问题可归结为直线4x+7y-28=0和圆有无公共点的几何问题。师：转化的很好，这就是这一节我们将要学习的如何根据直线和圆的方程来判断直线和圆的交点个数即直线和圆的位置关系，书写课题：直线和圆的位置关系。新知探究（一）【引导】师：通过初中学习，直线和圆有哪几种位置关系？我们是如何判断直线与圆的这几种位置关系的？生：思考并与同桌讨论、交流。师:巡视指导纠正学生语言叙述的不规范性，同时注意学生对知识的掌握情况。并用多媒体投影：：若已知圆的半径为r，圆心到已知直线的距离为d.则：直线与圆的位置关系――相交、相切、相离。若d<r相交――直线与圆有两个公共点。若d=r相切――直线与圆只有一个公共点。若d>r相离――直线与圆没有公共点。【师生互动】师：根据我们刚才讨论的结果，我们能否根据直线和圆的方程利用直线和圆相交、相切、相离的条件来判断呢？生：讨论师：巡视指导，为使学生明确判断的方法，可回归到导入所要解决的问题上去，通过具体问题引导学生对知识的理解和运用。生答：能。因为若直线和圆的方程确定，那么圆的半径和圆心到直线的距离都是可求得，从而直线和圆的位置关系可求。【点拔】师：回答的非常正确，显然应用这种方法可以很简捷的得出直线和圆的位置关系。（多媒体投影）判断圆心到直线的距离与半径的关系，即d＜r直线与圆C相交；d＝r直线与圆C相切；d＞r直线与圆C相离。我们把这种方法叫做几何法。【引导】师：通过对直线交点的学习，我们可以将求两直线交点的理论和方法迁移到确定任意两曲线的交点上去：（多媒体投影）两条曲线交点的坐标，是这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解。【师生互动】师：根据两曲线交点坐标的这种求法，我们如何从方程组的解的情况来描述直线和圆的位置关系？生：回想直线和圆的三种位置关系所对应的交点个数及交点坐标的求法，分小组展开讨论。师：巡视指导，并适时引导，如：“我们在前面研究两直线的位置关系时，我们是如何通过两直线方程对应的方程组的解来判断两直线的位置关系的？”“若两直线方程对应的方程组有两解，说明两直线的位置关系如何？”生：若直线和圆联立的方程组有且仅有一解，说明直线和圆有一个公共点，即直线和圆相切。若有两解，说明直线和圆有两个公共点，即直线和圆相交。若方程组无解，说明直线和圆无公共点，即直线和圆相离。【点拔】师：刚才同学回答的很好，对知识领会的很到位，一般地（多媒体投影）判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解。如果有解，直线与圆C有公共点。有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离.我们把这种通过判断方程组解的个数来判断直线与圆的位置关系的方法叫做代数法。（多媒体投影）例1．已知直线:与圆:.试判断直线与圆的位置关系。师：请同学们根据几何法完成此题。生：独立解答，其中有两同学板书：（几何法）圆心(7,1)到直线的距离为,因，故直线与圆相交.【师生互动】师：如何采用代数方法解答呢？生：就是判断方程组解的个数。师：对！初中我们是如何解答此方程组的解的？生：代入消元，变成关于x或y的一元二次方程，然后通过解一元二次方程从而解出x和y的值。【师生互动】师：很好，初中我们的目的是解出方程组的具体的解，而我们现在判断直线与圆的位置关系只需关心方程组解的个数即可，在解x和y的过程中，有很关键的一步就是得到了关于x或y的一元二次方程，那么这个关于x或y的一元二次方程的解与方程组的解有何关系？根据这种关系我们能否直接判断方程组解的个数？生：结合上面具体的题目与同桌交流、探讨。师：巡视指导，教师也可加入到学生的讨论中去，以便发现问题，同时在讨论中及时引导如：“如何判断一元二次方程根的个数”。生：回答教师提出的问题。【点拔】（多媒体投影）师：应用代数方法判断直线与圆的位置关系的一般步骤是：联立直线和圆的方程组，消元（消去x或y）得到关于x或y的一元二次方程，当方程的判别式＞0时，方程组有两解，即直线和圆有两个交点，即直线和圆相交;＝0时，方程组有一解，即直线和圆有一个交点，即直线和圆相切;当＜0时，方程组无解，即直线和圆无公共点，即直线和圆相距离。师：请同学们根据我们的总结，用代数法将该题写出完整的解题步骤。生:解答（多媒体投影）由方程组(Ⅰ)消去后整理，得，∵,∴方程组(Ⅰ)有两组不同的实数解,即直线与圆相交.迁移应用（一）（多媒体投影）已知直线L:y=x+b,圆的方程：，当b为何值时，直线和圆相交、相离、相切？【引导】师：这是一道直线与圆的位置关系的变式题，即已知直线和圆的位置关系确定参数b的取值范围的题目，需要我们具有一定的逆向思维的能力和等价转化的能力？第一板块问题提出解读一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？这里设置的一个渔船能否避开台风的实际问题，其目的有二：一是强调了数学与学生的生活、生产实际有着密切的联系，二是为了说明利用解析法研究直线与圆的位置关系的必要性。第二板块探索求解解读在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系？提出这两个问题的目的在于说明，判断直线与圆的位置关系有两种方法：一是几何角度依据圆心到直线的距离与半径的关系；二是从代数角度看由它们的方程组成的方程组有无实数解。第三板块归纳总结解读1、判断直线与圆的位置关系的方法1、代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解。如果有解，直线与圆C有公共点。有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离，即△＞0直线与圆C相交；△＝0直线与圆C相切；△＜0直线与圆C相离。2、几何法：判断圆心到直线的距离与半径的关系，即d＜r直线与圆C相交；d＝r直线与圆C相切；d＞r直线与圆C相离。2、求两曲线交点的方法曲线的交点也就是两条曲线的公共点，求曲线的交点就是求两条曲线的公共点的坐标。由曲线上点的坐标和它的方程的解之间的对应关系可知，两条曲线交点的坐标，应该是这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解，方程组有几组实数解，这两条曲线应有几个交点；方程组无实数解，那么这两条曲线就没有交点。也就是说，两条曲线有交点的条件是这两条曲线的方程所组成的方程组有实数解。拓展阅读已知是圆上一点，是过点M的圆切线，如何求方程？方法很多，这里介绍一种：设是上的任意一点，则，所以，即，整理得，因为，所以的方程为。由此我们可得到一个结论：过圆上一点的切线的方程为--------------------------①这个结论可推广到更一般的情形，即“过圆上一点的切线的方程为”------------②和“过圆上一点的切线方程为”----------------------③以上结论中，点均在圆上，若点在圆外，情况如何呢？我们知道，自圆外一点可作圆的两条切线，其中两切点的连线叫做点关于此圆的切点弦，于是我们又可得到以下一个结论：“自圆外一点作圆的两条切线，则点关于该圆的切点弦所在的直线方程是”-----------------------④事实上，设过与圆相切的两条切线的切点分别是、。∵、在圆上，∴由结论①可知切线MA、MB的方程分别为、，∵在这两条切线上，∴且，即点、在直线上，∵过两点只能确定一条直线，因此点关于圆的切点弦所在的直线方程是。运用以上四个结论，可很方便地求解一些选择题和填空题中有关求圆的切线和切点弦的问题。网站点击典型例题解析例1：已知直线:与圆:.(1)判断直线圆的位置关系;(2)求直线被圆所截得的弦长.点拨运用代数法或几何法求解。解答(1)解法一(代数法):由方程组(Ⅰ)消去后整理，得,∵,∴方程组(Ⅰ)有两组不同的实数解,即直线与圆相交.解法二(几何法):圆心(7,1)到直线的距离为,因，故直线与圆相交.(2)解法一:由方程组，得，设直线与圆C的两交点为、，则∴|AB|==8∴直线被圆所截得的弦长为32。解法二:∵圆心(7,1)到直线的距离为,又圆的半径=6，∴直线被圆所截得的弦长为2=8总结1、在求解(1)、(2)时，方法一都是运用代数的方法来求解的，运算虽然烦琐了一些，但此方法是一种通法,更具有一般性，它对讨论直线与二次曲线的相关问题都适用；而方法二都是运用几何的方法来求解的，此方法只对圆适用,也是一种较为简便的方法.2、两个小题的方法二突出了“适当地利用图形的几何性质，有助于简化计算”，强调图形在解题中的辅助作用，加强了数与形的结合。变式题演练已知圆C：，直线：(2m+1)x+(m+1)y－7m－4＝0(mR).(1)证明：对mR，直线与圆C恒相交于两点；（2）求直线被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值。答案：（1）由(2m+1)x+(m+1)y－7m－4＝0得，(2x+y-7)m+x+y-4=0.令2x+y-7＝0且x+y-4=0，得x=3,y=1,∴直线过定点P(3,1).∵,∴直线所过的定点P(3,1)在已知圆内。∴对mR，直线与圆C恒相交于两点。（2）要使直线被圆C截得的线段最短，只要圆心到此弦的弦心距最长，而要使弦心距最长，只要CP。当CP时，∵，∴的斜率为2，即，解得m=，此时直线被圆C截得的线段的最短长度为.例2：从点P（4,5）向圆（x－2）2＋y2＝4引切线，求切线方程。点拨求已知圆的切线问题，基本思路一般有两个方面：(1)从代数特征分析；(2)从几何特征分析．一般来说，从几何特征分析计算量要小些．解答设切线斜率为k，则切线方程为y－5＝k(x－4)即kx－y＋5－4k＝0又圆心坐标为（2,0），r＝2因为圆心到切线的距离等于半径，即所以切线方程为21x－20y＋16＝0还有一条切线是x=4总结过圆外已知点的圆的切线必有两条，一般可设切线斜率为k，写出点斜式方程，再利用圆心到切线的距离等于半径，写出有关k的方程，求出k。因为有两条，所以应有两个不同的k值，当求得的k值只有一个时，说明有一条切线斜率不存在，即为垂直于x轴的直线，所以补上一条切线x=x1。变式题演练自点A（-3，3）发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆C：相切，求光线所在直线方程。（1989年全国高考题）答案：圆C的方程为：，它关于x轴对称圆的方程为：，设光线所在的直线方程为：y-3=k(x+3)，则光线所在的直线必与圆相切，故，即，解得，∴光线所在直线方程为或。55ADBXOCY例3：求与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线55ADBXOCY点拨求圆的方程关键是求圆心与半径，因为圆心在直线x－3y＝0上，故可设圆心为C（3b,b）又圆与y轴相切，所以r＝｜3b｜，故求解本题的关键是求出b的值。解答因为圆心在直线x－3y＝0上，故可设圆心为（3b,b），∵所求圆与y轴相切，∴半径r＝｜3b｜设直线y＝x被圆截得的弦为AB，过圆心C作CD⊥AB，垂足为D，则｜CA｜＝r＝｜3b｜，｜AD｜＝又｜CD｜＝＝｜b｜，｜CD｜2＋｜AD｜2＝｜AC｜2即2b2

＋7＝9b2，解得b＝±1∴所求圆的方程为（x－3）2＋(y－1)2＝9或（x＋3）2＋(y＋1)2＝9总结1、因圆心在已知直线上，故在设圆心的坐标时，只需引进一个未知量，从而达到减少未知量的个数，简化计算的目的，这是解决解析几何问题时的常用技巧，应引起重视。2、涉及到圆的弦长问题时，为了简化运算，常利用垂径定理或半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形进行运算。变式题演练已知圆C的圆心在直线：x－y－1＝0上，且与直线：4x+3y+14=0相切，又圆C截直线：3x＋4y＋10＝0所得的弦长为6，求圆C的方程。答案：∵圆C的圆心在直线：x－y－1＝0上，∴可设所求圆的方程为∵圆C与直线：4x+3y+14=0相切，∴①∵圆C截直线：3x＋4y＋10＝0所得的弦长为6，∴②由①、②解得，∴圆C的方程为例4：求经过原点，且过圆和直线x-y+5=0的两个交点的圆的方程．点拨先求出直线和圆的交点，根据圆的一般方程，由三点可求得圆的方程；或利用经过直线与圆的交点的圆系方程，由所求圆过原点这一条件确定参数λ，从而求得圆的方程．解答解法一：由，求得交点(-2,3)或(-4,1)设所求圆的方程为+Dx+Ey+F=0．∵(0，0)，(-2，3)，(-4，1)三点在圆上，∴，解得解法二：设所求圆的方程为+8x-6y+21+λ(x-y+5)=0．总结显然解法二要比解法一简捷得多，原因在于解法二不需求出直线与圆的交点坐标，且所解的方程也仅仅是一元一次方程。对于求过已知直线与圆的交点的圆方程，常用过直线与已知圆的交点的圆系方程求解。一般地，过直线Ax+By+C=0与圆+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程为+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(※)，其中为任意实数。当直线与圆相交时，方程(※)表示过其交点的一切圆；当直线与圆相切时，方程(※)表示与其相切于直线Ax+By+C=0和圆+Dx+Ey+F=0的切点的一切圆。变式题演练求经过直线：及圆C：的交点，且面积最小的圆的方程。答案：设所求圆的方程为，即，则所求圆的圆心为。要使所求圆的面积最小，只要所求圆的直径最短，即已知直线与被已知圆截得的弦即为所求圆的直径，也即所求圆的圆心在已知直线上。∴，解得，∴所求圆的方程为。例5、已知直线x+2y-3=0与圆+x－2cy+c＝0的两个交点为A、B，O为坐标原点，且OAOB，求实数c的值。点拨利用条件OAOB寻找c的方程。解答设点A、B的坐标分别为A(、B(。由OAOB，知，即，∴=0(1)由，得则，(2)又，代入(1)，得(3)由(2)、(3)得，c=3总结在解析几何中，遇到两直线垂直这一条件，一般利用此两直线的斜率乘积为－1来求解。在本题的解题过程中，我们可发现如下的一个结论：“若点A、B的坐标分别为A(、B(，则OAOB=0。”，这个结论在求解有关解析几何问题时很有用，要引起重视。变式题演练已知圆C：是否存在斜率为1的直线，使被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理