2025年湖南省高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年湖南省高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（5分）已知集合N={x|0WxW2},S={x|x2-x>0},则图中的阴影部分表示的集合为（）

C.14<2D.1<XW2

2.（5分）函数5久）=4c。：%的部分图象大致为（）

\x\+^xz

XV

3.（5分）椭圆/+》=1（a>b>0）的两焦点分别为乃、F2,以F出2为边作正三角形，若椭圆恰好平

分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（）

1gLr-

A.-B.—C.V3-1D.4-2V3

22

4.（5分）已知/（x）=/sin（3x+（p）（A>0,o）>0,|（p|<ir）的一段图象如图所示，贝!I（）

A.f（x）=sin（2x+苧）

7T

B./（x）的图象的一个对称中心为.，0）

C.f（x）的单调递增区间是C+E,.+而］,kCL

88

第1页（共19页）

D.函数/G）的图象向左平移3个单位后得到的是一个奇函数的图象

5.（5分）用一个边长为4的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几

何体体积的最大值为（）

A.---兀B.2V3TTC.4TTD.4百兀

3

11

6.（5分）若a=20255出2025'=cos2025,c=tan2025°,则a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

7.（5分）元旦联欢会会场中挂着如图所示的两串灯笼，每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯

笺，直至某一串灯笼被摘完为止，则右侧灯笼先被摘完的概率为（）

8.（5分）如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或

向上或右下移动，而一■条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1—2—3f5-7—8f9-10―

11就是一条移动路线.从1移动到数字〃（”=2,3,-11）的不同路线条数记为2,从1移动到11的

事件中，跳过数字〃（〃=2,3,-10）的概率记为p〃，则下列结论正确的是（）

①r9=34,（2）rn+i>rn,③。5=舒，@p9>pio-

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

第2页（共19页）

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

（多选）9.（6分）已知函数/■（£）=2024s讥（2光+］），贝！］（）

A./（x）的图象关于直线x=苓对称

B./（x）的图象关于点（［瑞77"，0）对称

C./（x）在区间（―0看）上单调递减

D./（%）在区间［一卷，用的值域为［-2024,2024］

（多选）10.（6分）已知点M（0,〃?）尸为抛物线C：j?=4x的焦点，N,。为C上不重合的两

个动点，。为坐标原点，若直线（直线斜率存在且不为0）与C仅有唯一交点N,则（）

A.C的准线方程为x=-1

B.若线段板与C的交点恰好为MR中点，则爪=±2鱼

C.直线MV与直线VF垂直

D.若回=3,则|OQ|=2鱼

（多选）11.（6分）如图所示的曲线「被称为双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其代数形式可表

2

示为坐标中（O为坐标原点）动点尸到点为（-b0）,F2（1,0）的距离满足：\PF1\\PF2\^^\F1F2\,

贝IJ（）

A.|。尸|的最大值是四

B.若（xo，yo）是曲线上一点，且在第一象限，则＞0＞近勾

c.r与〉=12m有1个交点

D.AOP为面积的最大值是：

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.（5分）过抛物线/=2px（p＞0）的焦点厂的直线交抛物线于4,B两点,己知|/尸|=3,伊尸|=2,则

P等于.

13.（5分）已知曲线＞=》+历x在点（1,1）处的切线与曲线y=a/+（a+2）x+1（a=0）相切，则a的值

为.

第3页（共19页）

14.（5分）某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决.每轮射击中，甲命中目标的概率为g,乙

命中目标的概率为;.若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击

结果相互独立.则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为.

四、解答题：本题共5小题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（15分）在中，a,b,c分别为角N,B,C的对边，已知a=2百，且bsinC—"喀=2.

LCLTLD

（1）求角N的大小；

（2）求△/8C面积的最大值.

16.（15分）已知数列｛即｝的前〃项和为S”ai=2,an+i=2Sn+2.

（I）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）若2历=3〃即，求数列出"｝的前"项和北.

4s

17.（15分）在△48C中，角/,3,C的对边分别为a,6,c,A43C的面积为S,已知---=c^cosB+abcosA.

tanB

（1）求角3

S

（2）若6=3,△NBC的周长为/,求7的最大值.

18.（15分）正四棱柱CU8C-OiN/iCi中。B=鱼，点尸，Q,R分别在44i，BB\,CCi±,且。，P,

Q,R四点共面.

（1）若OP=OR,记平面OPQ?与底面的交线为/,证明：AC//1；

（2）已知N/OP=a,NCOR=B，若a+£=多求四边形。尸。7?面积的最大值.

19.（17分）在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂

都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种

群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率

1

为）,则从一个细胞开始，它有万的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是小

第4页（共19页）

两个细胞最终都走向灭绝的概率就是于是我们得到P=^+^p2,计算可得p=l；我们也可以设一

个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为D那么从一个细胞开始，它有;的概率分裂成两个细

胞，在这两个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是D两个细胞最终都走向灭绝的概率就是(1-p)

2,于是我们得到p=4[1-(1-p)2],计算可得p=0.根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平

面直角坐标系的点尸(77,0)(«£N*)处，他每步走动都会有/的概率向左移动1个单位，有1-/的

概率向右移动一个单位，原点(0,0)处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以为代表当这个人

由P0)开始，最终掉入陷阱的概率.

(1)若这个人开始时位于点尸(1,0)处，且P*=*

(I)求他在5步内(包括5步)掉入陷阱的概率；

(II)求他最终掉入陷阱的概率？(0</?1<1)；

12

(IID已知Pn=gPn-i+gPn+iOleN*),若20=1,求加

(2)已知pi是关于p*的连续函数.

(I)分别写出当/=0和/=1时，”的值(直接写出即可，不必说明理由)；

(II)求01关于P*的表达式.

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2025年湖南省高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（5分）已知集合么={邓）・苫<2},S={x|x2-x>0},则图中的阴影部分表示的集合为（）

A.xWl或x>2B.x<0或l<x<2

C.lWx<2D.1«2

【解答】解：集合/={x|0WxW2},3={品/-;<:>0}=&归<0或》>1},

由韦恩图可知，图中的阴影部分表示的集合为CuCAHB）n（NUB）,

,.^nJ8={x|l<x^2},AUB=R,

.,.Cu(AHB)A(AUB)={x|xWl或x>2}AR={x|xWl或x>2}.

故选：A.

2.（5分）函数f（x）=J；：；；的部分图象大致为（

X

D.

【解答】解：函数的定义域为{x|xW0},排除选项/,

4cos(r)_4cosx_"、

f(_x)=|-x|+|(-x)2|x|+|x2X

则函数/（x）为偶函数，排除选项D,

又x6(当,弓b时，cosx<0,\x\+>0,则f(x)<0,排除选项B.

故选：C.

/V2

3.（5分）椭圆葭+会=1（。>6>0）的两焦点分别为乃、Fi,以尸1尸2为边作正三角形，若椭圆恰好平

分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（）

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1V3l

A.-B.—C.V3-1D.4-2V3

22

【解答】解：依题意，以为尸2为底的正三角形的两腰中点在椭圆上，

V|FIF2|=2C,以为尸2为底的正三角形的两腰上的高为Kc,

，椭圆离心率e=先=~i=——=V3—1.

乙aV3c+c

故选：C.

4.(5分)已知/(%)=4sin(o)x+cp)(4>0,a)>0,|(p|<n)的一段图象如图所示，贝!J(

A.f(x)=sin(2x+苧)

7T

B.f(x)的图象的一个对称中心为(子0)

,7T57r

C.f(x)的单调递增区间是[7；+E,—+An],kEZ

88

57T

D.函数/(%)的图象向左平移6个单位后得到的是一个奇函数的图象

【解答】解：如图，根据/(x)=Zsin(a)x+(p)(4>0,co>0,|(p|<n)的一段图象,

/口12717r37r

可侍/=i,=i+T.*.0)=2.

再结合五点法作图可得2、a+叩=—会求得”二—第

f(x)=sin(2x—故/错误.

令求得/(%)=-1,为最小值，故/(X)的图象的一个对称轴为％=去故5错误;

令2x—孚日―?+2An,-+2^ii],任Z,求得xE[—+而，—+An],

4，288

.*./(x)增区间是仁+Mr,—+kx(\,在Z,故C正确；

88

把函数/(X)的图象向左平移半个单位后，得到y=sin(2x+苧—等)=cos2x的图象,

显然，所得函数是一个偶函数，故。错误,

故选：C.

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5.（5分）用一个边长为4的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几

何体体积的最大值为（）

A.-----reB.2疗兀C.4TTD.4V3TT

3

【解答】解：根据题意有两种方式可以得到这样的几何体，

方式一：如图①，可以得到圆锥的侧面展开图最大为半径为2的半圆，

因此一个圆锥的底面半径为1,母线长为2,高为百，

所以两个圆锥体积的最大值为匕=2x*兀x1x百=竽兀;

方式二：如图②，可以得到圆锥的侧面展开图最大为半径为2夜的四分之一圆,

V2LV30

因此一个圆锥的底面半径为三，母线长为2冠，高为三一,

所以两个圆锥体积的最大值为匕=2x彳兀x（#）2x孚=噌兀，

因为匕=3-72=.6m

所以该几何体体积的最大值为手兀.

6.，则a,b,c的大小关系为（

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

【解答】解：根据三角函数的定义，可知当xE（0,］）时，sinxVxVtanx.

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17111111~1

结合---(0,―),可得sin-----------V------<tan-----且sin----------->------>tan-----都是正数，

20252202520252025202520252025

111

1sin2025s讥tan-

因为a=2025sin--=—管<1a,---------产红=—含空>1,所以l>a>b.

2025—bcos————

202520252025

又因为c=tan2025°=tan(11X180°+45°)=tan45°=1,所以C>Q>6,。项的结论正确.

故选：D.

7.（5分）元旦联欢会会场中挂着如图所示的两串灯笼，每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯

笺，直至某一串灯笼被摘完为止，则右侧灯笼先被摘完的概率为（）

711

C.—D.

1616

【解答】解：根据题意，直至某一串灯笼被摘完为止，可得摘取的次数为2,3,4次,

结合独立重复实验的概率计算公式，可得:

当两次摘完时，可得概率为4）2=

当三次摘完时，可得概率为G©）3=%

当四次摘完时，可得概率为乙弓）4=/，则P="+"+磊

故选：D.

8.（5分）如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或

向上或右下移动，而一■条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：l-2f3-5—7—8—9-10f

11就是一条移动路线.从1移动到数字〃（”=2,3,-11）的不同路线条数记为%,从1移动到11的

事件中，跳过数字〃品=2,3,-10）的概率记为外，则下列结论正确的是（）

①r9=34,（2）r„+i>rn,③。5=舒，@P9>pio-

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【解答】解：由题意可知r2=1，r3=2,%+1=为+（〃23）,

第9页（共19页）

则「4=3,方=5,，6=8,ri—13,厂8=21,%=34,no=55,ni=89,故①正确;

由题意得2+1>冏，故②正确;

11

1-5的所有路线5-11的所彳j路线

,•>11=89,经过数字5的路线共有5X13=65条.

理由：如树状图，分别计算1-5的路线共有5条，5-11的路线共有13条,

利用分步乘法计数原理得过数字5的路线共有5X13=65条,

二尸5=与?'=翁故③正确；

日工田4日n89-34x221

问理得P9=-gg—=gg-

尸10=89谓XI=翁：.P9<PI0,故④错误.

故选：A.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

（多选）9.（6分）已知函数/■（£）=2024s讥（2光+］），贝！］（）

A./（x）的图象关于直线x=例称

［77"

B./（x）的图象关于点（瑞，0）对称

C.f（x）在区间（―0看）上单调递减

D./（%）在区间［一条用的值域为［-2024,2024］

【解答】解：对于/,由题意/6=2024sin（2义3+看）=2024=/（x）max>可得/（x）的图象关于

直线寸称，故/正确；

x=O

对于3,由题意/（1|）=2024sin（2、驾+看）=0,可得/（x）的图象关于点（招，0）对称，故2正

确;

第10页（共19页）

对于C,令2Anr—1V2x+石V2Am+彳，左EZ,解得kxi一可VvV衍i+不，左WZ,

*77"7（

令k=0,可得函数/（x）的单调递增区间为（一!

J6

由于（一。着）u（T，*，可得/（X）在区间（―『看）上单调递增，故C错误；

77r

对于D,由xC[—可，R，可得2x+石6[—2，下■],可得sin（2x+-g-）e[-1,1],

故人%）=2024s讥（2久+第€[-2024,2024],故。正确.

故选：ABD.

（多选）10.（6分）已知点M（0,m）（加片0）,尸为抛物线C：，=4x的焦点，N,0为C上不重合的两

个动点，。为坐标原点，若直线九W（直线九W斜率存在且不为0）与C仅有唯一交点N,则（）

A.C的准线方程为x=-1

B.若线段九田与C的交点恰好为MF中点，则爪=±2奁

C.直线与直线板垂直

D.若|。口|=3,贝U|OQ|=2/

【解答】解：对于/,由抛物线抛物线C：f=4x,得C的准线方程为x=-1,故N正确；

-17722

对于5,F（1,0）,则线段板的中点坐标为（分y7n）,则7=2,解得TH=±2也故8正确；

对于C,设直线A/7V的方程为^="+加（加W0）,

联立[A—+租，消去X得5y之一y+m=°,

贝!]A=1-痴=0,所以加=1,则左MF•标W=-加•左=-1,

所以直线与直线板垂直，故C正确；

对于。，设。（X0,泗），则10月=刈+1=3,

所以％o=2,所以就=8,

所以|OQI=J』+羽=2百,故。错误•

故选：ABC.

（多选）11.（6分）如图所示的曲线「被称为双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其代数形式可表

示为坐标中（。为坐标原点）动点尸到点尸1（-1,0）,F2（1,0）的距离满足：|P%||PF21="但1%|2,

贝IJ（）

第11页（共19页）

X

A.Q尸|的最大值是鱼

B.若(xo,yo)是曲线上一点，且在第一象限，则>0>近勾

C.「与y=tanx有1个交点

1

D.AOPFi面积的最大值是：

4

【解答】解：由双纽线的对称性可知：当尸运动到X轴上时，此时QP|最大，

不妨设此时尸在x轴的正半轴上，设此时|OP|=f,

由=:尸/2|2=1,得(1+力(?-1)=1,解得t=&,故10Pl的最大值是&，/正确；

设尸(X,7),则J(%—1)2+y2J(%+1)2+y2=1,

令x=l,则|y|,4+y2=1,解得、2=遮一2,而此时2，=2,不满足y〉V^%,故5错误，

联立J(%―1)2+y2d(%+1)2+y2=1与y=x,则J(%—1尸+人(%+1尸+#=1,解得X=0,

故直线y=x与曲线「只有一个交点，而第6(0,tanx>x,

由4易知双纽线中iE[―&，V2],

根据对称性，只需研究%€[0,四]上与〉=taiu的交点情况，显然只有原点这1个交点，C正确；

对于。，由—1尸+y2+1)2+丫2=1,可得1/+(2廿_2)/+2炉+、4=0,

令/=、则『+(2y2-2)什2f+y4=o,该方程有实数根，

故△=(2炉-2)2-4(2/+/)三0,解得步<1,故|y|W

11111

=,

s40PF]=5乙1。尸乙11似尸I二5x乙i|y?l1'n\yp\—z所以△OPF[面积的q最大值是了，故D正确•

故选：ACD.

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.(5分)过抛物线，=2px(p>0)的焦点厂的直线交抛物线于4,B两点,己知|/尸|=3,医F|=2,则

12

P等于一《一.

【解答】解：设/(xi,yi),B(孙y2),贝!!

*：\AF\=3,\BF\=2

・•・根据抛物线的定义可得知=3-多m=2-多

第12页(共T9页)

..yi2_£

2

•y2X24'

4（3一刍）=9（2—专）

.12

••PF

故答案为：y.

13.（5分）已知曲线＞=》+历x在点（1,1）处的切线与曲线y=a/+（a+2）x+1（a#0）相切，则a的值

为8.

1

【解答】解：因夕=工+历X,所以＞'=1+?故左=1+1=2,

所以切线方程为y-l=2（x-1）,即y=2x-l①，

因为切线与曲线y二办〃（a+2）x+1（aWO）相切，

将①式代入上式得ax2+ax+2=0,

则/-8a=O,所以a=O（舍），或8,

故答案为：8.

2

14.（5分）某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决.每轮射击中，甲命中目标的概率为3乙

命中目标的概率为点若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击

64

结果相互独立.则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为―不」.

81

2

【解答】解：甲、乙两名选手进行多轮射击对决，每轮射击中，甲命中目标的概率为3乙命中目标的

概率为9

每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击结果相互独立，

则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为：

P=ClX（|）3（12+C贯|）40）+琮（|）5=磊.

_,64

故答案为：—.

81

四、解答题：本题共5小题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（15分）在中，a,b,c分别为角N,B,C的对边，已知a=2百，且bsinC—”呼=2.

ICLTLD

（1）求角N的大小；

（2）求△/8C面积的最大值.

第13页（共19页）

【解答】解：（1）Va=2V3,且bs讥C-监喀=2,

LCulD

bcosBcosC

:.WfJysinCsinB)=2V3=a,

Z.y/S(sinBsinC—cosBcosC)=sinA,

—gcos(B+C)=WcosA=sinA,

tanA=W,

VO<^<K,

・•・A---3-，

(2)•.•由余弦定理可得：6Z2=/?2+C2-IbccosA,

即b2+c2-6。=12,

b2+c2=12+bcN2bc,

・,.bcW12,当且仅当b=c时，等号成立.

；.S=^bcsinA<|x12x^=3百，

AABC面积的最大值为3®

16.(15分)已知数列｛斯｝的前〃项和为8，m=2,an+i=2Sn+2.

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)若2瓦=3〃即，求数列｛为｝的前〃项和

【解答】解：(1)因为S什1-S〃=2S〃+2,所以&+1+1=3(S„+l),即，=3,

3九+1

所以｛S/1｝为首项是3,公比为3的等比数列，所以％=3几-1,

n

当时，％=Sn—S「i=3—1—(351-1)=2•351,

当〃=1时，ai—Si—2,符合上式，

所以数列｛即｝的通项公式为册=2-351(71eN+)；

n

(2)m^2bn=3nan=2n-3,所以bn=n-3%

则7n=必+无+仇+…+%=1•3+2•32+3・33+…+ri•3%①

?l+1

3Tn=1•32+2•33+3・34+…+n-3,@

nn+1n+1

①-②得：—2Tn=3+32+33+…+3-n-3=-n-3,

所以

4s

17.(15分)在△48C中，角/,3,C的对边分别为a,6,c,ZU8C的面积为S,已知----=a2cosB+abcosA.

tanB

第14页（共T9页）

(1)求角8;

s

(2)若6=3,△45C的周长为/,求7的最大值.

4sf

【解答】解：(1)因为----=a2cosB+abcosA,

tanB

1

4x-acsinBcosB

所以-------------=a2cosB+abcosA,

sinB

即2ccos5=acos5+6cos4,

由正弦定理，得2sinCcos5=siiL4cos5+sin5cosZ=sin(4+5),

因为4+5=TI-C,

所以2sinCcos5=sinC,

因为CE(0,n),所以sinCWO,所以cosB=4,

又BE(0,n),所以B=不

(2)由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB,即9=a2+c2-ac,

所以9=(Q+C)2-3QC,即QC=@[(0+c)2—9],

1-/3

因为S=77acsinB=-rac,

L4/=Q+C+3,

5_Wac_a(a+c)2-9]

I4Q+c+3)12(a+c+3)

“，sV3

所以7=—(a+c-3),

又加工件工(当且仅当a=c时取等号)，

所以9=(a+c)2—3ac2坦/(当且仅当a=c=3时取等号)，

所以Q+CW6(当且仅当Q=C=3时取等号)，

SV3V3V3

所以；=—(a+c-3)<—x(6-3)=—(当且仅当a=c=3时取等号)，

I12124

即;的最大值为

I4

18.(15分)正四棱柱CM5C-O1/151C1中。8=VL点尸，。，R分别在44，BBi，CCi±,且0,P,

Q,R四点共面.

(1)若OP=OR,记平面。尸。尺与底面的交线为/,证明：AC//1；

(2)已知NZOP=a,NCOR=0,若a+/?=$求四边形。尸QR面积的最大值.

第15页（共T9页）

【解答】解：连接/c,PR,由正四棱柱O/BC-。1/13cI，可得441〃。。1〃。。1，AO=OC,ZPAO

=/RCO=90°,

又因为。尸=。尺，所以由勾股定理可得/尸=CR,

又44i〃CCi,

所以RC〃/P,所以四边形/PAC是平行四边形，

所以网〃/C,又/Cu平面。48C,PRC平面。42C,

所以尸底〃平面OABC,又平面OPOA〃平面OABC,

平面OPORC平面048。=/,

所以PR//1,

所以NC〃/;

(2)以。为坐标原点，04,OC,OOi为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

因为0B=a,又底面CM2C是正方形，

所以CU=OC=1,又N4OP=ci,ZCOR=^,

所以/P=tana,C7?=tanB，

所以尸(Is0,tana),R(0,1,tan|3),O(0,0,0),

—>—>

所以。P=(L0/tana),,OR=(0/1,tanp),

—>—>

所以。P,OR=(1,0,tana)(0,1,tan0)=1X0+0X1+tanatanP=tanatanP,

第16页(共T9页)

\0P\—Vl2+02+tan2a=V1+tan2a,|OR|=^/O2+l2+tan2/3=+tan2/3,

由正四棱柱。42C-01/181Ci，可得平在面0CCi0i〃4BBiAi,

又。，P,Q,R四点共面，。，P,Q,R有唯一平面。尸0?,

又平面OPQRA平面OCCiOi^OR,平面OPQRn平面ABBiAi=PQ,

所以O尺〃P。，同理可得。尸〃0尺，所以四边形OPQ?是平行四边形，

又a+0=今,

所以tcma=tan(J-0)=；；；需,

所以tana+tanp=1-tanatanp,又tana20,tan0三0,

所以2个tanatanB<1—tanatanp,

解得OWtanatan/?<V2—1,

—>—>—>—>

所以SOPRQ=\OP\\OR\sinZPOR=\OP\\OR\V1-cos2^POR

I—>—>—>—>

=J(|0P||0R|)2-(\OP\\OR\)2cos2^POR

I—>—>—>—>

=J(|0P||0R|)2-(OP-ORcos^POR)2

—式1+tan2a)(1+tan2/3)—tori*1atari*=Jl+tan2a+tan2p

=71+(.tana+tanP)2—2tanatanp=^2+(tanatanp}2—4tanatan^=^tanatanp—2)2—2<

V2,

所以四边形OPQR面积的最大值为加.

19.(17分)在高中数学教材苏教版选择性必修2