2025年高考数学一轮复习：含新信息问题的求解

第98炼含新信息问题的求解

一、基础知识：

所谓“新信息背景问题”，是指题目中会介绍一个“课本外的知识”，并说明它的规则，

然后按照这个规则去解决问题。它主要考察学生接受并运用新信息解决问题的能力。这类问

题有时提供的信息比较抽象，并且能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。在本

文中主要介绍处理此类问题的方法与技巧

1、读取“新信息”的步骤

（1）若题目中含有变量，则要先确定变量的取值范围

（2）确定新信息所涉及的知识背景，寻找与所学知识的联系

（3）注意信息中的细节描述，如果是新的运算要注意确定该运算是否满足交换律

（4）把对“新信息”的理解应用到具体问题中，进行套用与分析。

2、理解“新信息”的技巧与方法

（1）可通过“举例子”的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对新信

息的理解

（2）可用自己的语言转述“新信息”所表达的内容，如果能够清晰描述，那么说明对此信

息理解的较为透彻。

（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律

（4）如果“新信息”是书本知识上某个概念的推广，则要关注此信息与原概念的不同之处,

以及在什么情况下可以使用原概念。

二、典型例题

例1：设P,Q是两个集合，定义集合P—Q={x|xeP且xeQ},如果尸={x|log2%<l},

Q={九||x—2|<1},则P—Q等于（）

A.1%|O<X<1}B.{xI0<X<1}C.{x|1<X<2）D.{x|2<x<3}

思路：依尸一Q={x|xwP且xeQ}可知该集合为在P中且不属于。中的元素组成，或者

可以理解为P集合去掉的元素后剩下的集合。先解出中的不等式。P:

log,%<1=>0<%<2,2：|%-2|<1^>1<%<3,所以尸=从而可得：

P-Q=（o』

答案：B

例2：y=/（x）在（-OO,+CQ）内有定义。对于给定的正数K,定义函数

f(x\f(x)<K

力(x)=<

K,〃x)〉K

取函数/（X）=2+x-e*。若对任意的xe（-oo,+oo）,恒有力（％）=/（x），则（）

A.K的最大值为2B.K的最小值为2C.K的最大值为1D.K的最小值为1

思路：由所给分式函数力（%）可知，若〃尤）WK,则取"了）,如果/（九）〉K,就取K,

由这个规则可知，若或（X）=/（%）恒成立，意味着X/xW（-8,+8）,均有恒成

立，从而将问题转化为恒成立问题，即1mx，下面求了（%）的最大值：

f（x）=1-ex,可知在（一8,0）单调递增，在（0,+8）单调递减，所以

/（x）^=/（0）=1,从而KN1,即K的最小值为1

答案：D

例3：设集合S={4，A，4，A}，在s上定义运算㊉为：a㊉&=4,其中左为，+/被

4除的余数，，，/=0,1,2,3,则满足关系式（x㊉力㊉4=4的九eS）的个数为（）

A.4B.3C.2D,1

思路：本题的关键在于读懂规则，“㊉”运算的结果其实与角标和除以4的余数相关，如果

理解文字叙述较为抽象不如举几个例子，例如：4㊉A，按照要求，（1+3）除以4的余数

为o,所以a㊉A=4。掌握规律后再看所求关系式：要求得x,则需要先解出（x㊉尤），

将其视为一个整体4,,可知a“+4=4，即（加+2）除以4的余数为o,可推断加=2,

即x㊉x=4，不妨设x=4，即（"+〃）除以4的余数为2,则〃的值为1,3,所以x=A

或者x=A，共有两个解

答案：C

例4：定义两个平面向量斯的一种运算£合叼丽卜in。，其中夕为海的夹角，对于这

种运算，给出以下结论：①a®b=b®a；②A\a®b\-\Za\®b；③

+石）③c=（a（8）c）+e（8）c）；④若〃=（项,%）石=（如为），则a区，=上%-％2yli

你认为恒成立的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

思路：本题的新运算a=忖忸卜吊6,即行的模长乘以夹角。所以对于结论①，

S®«=|S||«|sin^=|«||S|smO=a®b；对于②，〃区B）二丸,八小由^，而

=|1^||^|sm0=冈•忖|万卜1116,显然当2<0时等式不成立；对于③，

（〃+石）名）（:二卜+q-|c|与口卜十瓦,（其中sin（a+B,c）表示a+b.c的夹角），而

（〃（8）C）+（B（8）C）=’,sink,c）+WWsin（£c）,显然等式不会恒成立（也可举特殊情

况如。=-石，左边为0,而右边大于等于0）；对于④，可代入坐标进行运算，为了计算简

便考虑将左边平方，从而sin26^^l-cos2^,可与找至U联系：

2222

（a®可=|a||S|sinO=\a\^\（1-cos6）=.（用_口.邛=卜；+娟代+£）

_（玉龙2+X%）?=（玉%，即=一%2%|。综上所述，①④正确

答案：B

例5：如果函数/（%）对任意两个不等实数./式。，》），均有

Xif（X1）+X2/（X2）>Xl/（X2）+Xlf（X1）,在称函数/（%）为区间（a,。）上的"G"函数,

给出下列命题：

①函数/（x）=2x—sinx是R上的“G”函数

x~+4xx>0

②函数〃x）=，一是R上的“G”函数

~2工r>1

③函数y（x）=（，—是（—3,6）上的“G”函数

\2x+l,x<1

④若函数/（x）=e*—⑪―2是R上的“G”函数，则a<0

其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D,4

思路：本题看似所给不等式复杂，但稍作变形可得：

%1[/(%1)-/(%2)]+^[/(^)-/(^1)]>0,所以(七一工2)[/(七)一/(%2)]>。即

(%1一々)与"(％1)一/(%2)]同号，反映出/(%)是(。力)上的增函数，从而从单调性的角

度判断四个命题：①：/'(%)=2—cosx>0恒成立，所以/(%)是R上的增函数

②③：可通过作出函数的图像来判断分段函数是否在给定区间上单调递增，通过作图可知②

正确，③不正确

④：若了(%)是“G函数”，则/(%)是R上的增函数，所以/'(x)="—a20即aKe*恒

成立，因为/e(O,a),所以可得：a<0,④正确

综上所述：①②④正确，共有三个命题

答案：C

例6：对于各数互不相等的正数数组(/；*，•••，)，其中〃22,“eN*,如果在p<q时，

有。则称"i.与展'是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为

此数组的“顺序数”，例如：数组(2,4,3,1)中有顺序“2,4”，“2,3”，其“顺序数”等于2,

若各数互不相等的正数数组(/,%,%,%，%)的“顺序数”是4,则(生,。4，。3，％，《1)的“顺

序数”是()

A.7B.6C,5D,4

思路：本题中对于“顺序”的定义为p<q=>ip<iq,即序数小的项也小。要得到“顺序数”

则需要对数组中的数两两进行比较，再进行统计。在所求数组中可发现(。5，。4，。3，。2，/)刚

好是(GM2M3，。4，。5)进行倒序的排列，所以原先数组的"顺序”在新数组中不成立，而原

先数组不成"顺序"的(即p<qnap>aq)反而成为所求数组的"顺序”。在五元数组

中任意两个数比较大小，共有C；=10组，在(GM2M3M4M5)中"顺序”有4个，贝I非“顺

序”有6个,所以到了(生,。4，。3，%，。1)中，顺序数即为6

答案：B

小炼有话说：本题也可以通过特殊的例子得到答案：例如由(4,4，。3，。4，。5)的“顺序数”

是4,假设。]<生,。1<的，。1<。4，。1<%，其余各项。2>。3〉。4>%，则在

(a5M4，。3，%，,)中即可数出顺序数为6

a(a<b)

例7：对任意实数定义运算*如下：〃*/?=《，则函数

b(a>b)

/(%)=log2(3x-2)*logix的值域为()

2

A.[0,+co)B.(-co,0]C.|^log21,0jD.|^log21,+oo

[a(a<b)(、

思路：本题可将〃描述成取〃,6中较小的数，即,所以对于

b(a>b)

/(%)=log2(3x-2)*logxx,即/(x0)为log2。/—2)/ogix0中较小的数。解不等式

22

3x—2>0

/、2

log2(3x-2)>logAXn<x>0=>%>1,贝Ilog2(3%—2)<log11n—<%<1,

3

215

3x-2>-

log2(3x-2),x>1

所以/(%)=]2,从而可解得值域为(fo,0]

log!x,—<X<1

、23

答案：B

小炼有话说：本题也可以利用数形结合的方式，/(x)=log2(3x—2)*logix的图像为将

2

y=log2(3x-2),y=log1％的图像画在同一坐标系下，取位于下方的部分，从而作出

2

/(%)的图像，其中y=log2(3x—2),y=logi%的交点通过计算可得x=l,所以结合图

2

像即可得到/(X)的值域为(TOJ(1)],即(—8,0]

例8：已知平面上的线段/及点尸，任取/上一点。，线段PQ长度的最小值称为尸至I"的

距离，记作

(1)求点尸(1,1)到线段/：x-j-3=0(3<%<5)的距离d(P,l)

(2)设/是长为2的线段，求点的集合。={?|1(尸,/)<1}所表示的图形面积

思路：首先要明确新定义的“距离”，即线段上的点到该点的最小值。此时可做几个具体的

图形来理解定义。可发现过尸作线段/的垂线，若垂足在线段上，则垂线段最短，与传统的

定义相同；若垂足在线段的延长线上，则需找线段上距离P点最近的，即线段的某个端点。

在第(1)问中，作出图像可得P在线段/上的垂足位于线段延长线上，所以只需比较尸到

两个端点的距离即可；在第(2)问中，先作出d(P,/)=l的图形，表示的图形是长为2,

宽为2的正方形和两个半径是1的半圆的组合图形，则。为该图形的内部，再求出面积即

可

解：(1)设线段/的端点4(3,%),3(5,%)，代入直线方程可得：

%=0,%=2.^(3,0),5(5,2)

■■\AP\=7(3-1)2+(0-1)2=45,\BP\=7(5-1)2+(2-1)2=屈

:.d(P,l)=\P^=45

(2)若d(P,/)=l,则P点的轨迹为长。=2,宽〃=2的正方形和两个半径厂=1的半

圆的组合图形

1,

/.S-2'—7ir+a・b=»+4

2

例9：设[司表示不超过x的最大整数(如[2]=2,[]]=1),对于给定的“eN*,定义

C,f=4———一H一1,+00),则当xe—,3时，函数/■(x)=q的值域为

—1J•,—+1)_4)

()

.3232C.4,|32luff,28

A.B.D.

47片5U*5

n(n-\\---(n-\x\+\\

思路：由定义的式子C；=———㈠~H~(可知分子分母含多少项与[x]的取值有

x(x-l)---(x-[x]+l)

川分为

关，即分子分母分别为[刃个项的乘积，所以根据[x]的定义将xe、卜

所以了(%)在:2卜勺值

[2,3)两段进行考虑。当xe:时，[x]=l,所以Cj=_

4)x

域为(4,%];当xw[2,3)时，[x]=2,所以第={7T_=——56_,

V5Xyx—1)x—x(1)1

[X~2J-4

(28~

从而了(%)在[2,3)单调递减，.-./(x)ely,28,综上所述可得：

“同啕唁回

答案：B

例10：在实数集R中，我们定义的大小关系“〉”为全体实数排了一个“序”，类似的，我

们这平面向量集合。={£|£=(%y)心氏”在}上也可以定义一个称为“序”的关系，

记为"〉”。定义如下：对于任意两个向量7=(%1，%),之=(无2，%)，当且仅当

“演〉々”或“/%且％〉%”，按上述定义的关系"〉”，给出下列四个命题：

①若.=（1,。）怎=（。,1）,6=（0,0）,则6>02>6

②若>%，%>。3，则a\>。3

1>2，ae£),

③若。。则对于任意的ai+a>a2+a

④对于任意的向量〃>0,其中0=(0,o),若。1>%,则。•〃]>〃・%

其中命题正确的序号为

思路：从题意中可发现比较向量的“序”主要比较的是坐标，其中优先比较横坐标，若横坐

标相等则再比较纵坐标，结合这个规律便可分析各个命题：(为方便说明，任一向量£的横

坐标记为九(〃),纵坐标记为

①：显然%(ej〉%,)，所以,>62，%年)二%⑼，y(4)>y(可，所以外〉。，综上

可得：4>">6

(2)：由〉生可知：%(。])〉X(。2)或“％(%)=1(〃2)且,(％)>