2025年高考数学总复习：函数性质的综合应用

第2课时函数性质的综合应用

核心考点提升“四能”

考点一单调性与奇偶性结合

【例1】(1)若定义在R上的奇函数/⑴在(一8,0)上单调递减，且"2)=0,则满足犷(x—

1)\0的x的取值范围是()

A.[-1,1]U[3,+8)B.[-3,-l]U[0,1]

C.[-1,0]U[l,+°o)D.[-1,0]U[l,3]

D解析：由题意知/(x)在(一8,0),(0,+8)上单调递减，且/(-2)=-/(2)=0,/(0)

=0.当x>0时，令/(无一1)。0,得OWx—1W2,所以1WXW3;当尤<0时，令/(无一1)WO,

得—2Wx—1W0,所以一iWxWl,又无<0,所以一lWx<0;当x=0时，显然符合题意.综

上，满足4(尤—1)20的龙的取值范围是[—1，O]U[1,3].故选D.

(2)已知函数/(x)的定义域为R,且/(2x+l)既是奇函数又是增函数，/(3)=2,则

-2的解集为()

A.{x|x<—2}B.[x\x<—3]

C.{x|x<—1}D.[x\x<0]

D解析：因为/(2x+l)是奇函数，所以/(—2x+l)=—/(2x+l).令尤=1,则/(—1)=—/(3).

又/(3)=2,所以/(—1)=—2.由/(2x—1)<—2,可得/(2x—1)勺'(—1).令f=2x+l,则函

数,=2x+l是R上的增函数，所以由复合函数的单调性，可知函数/⑺是R上的增函数，

即函数/(无)是R上的增函数，所以2x—1<—1,解得尤<0,所以/(2x—1)<—2的解集为

{A|X<0}.故选D.

[变式]若本例⑴条件中“奇函数”变为“偶函数”，则不等式对•(龙一1)20的解集为

[-1,0]U[3,+°°)解析：由题意知了(—2)=/(2)=0.当尤>0时，由好■(龙一1)\0,得f(x

—1)可(2).又偶函数/'(x)在(0,+8)上单调递增，所以|x—1|22,解得x》3或xW—1,所

以x23.当x<0时，由好'(x—1)20,得/(x—l)W/(—2),所以尤一12一2,解得无N—1,所

以一lWx<0.当x=0时显然成立.综上，满足对'(x—1)20的x的取值范围是[―1,0]U[3,

+8).

A反思感悟

1.比较大小问题

一般解法是利用函数的奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化为

在同一单调区间上的有关自变量的函数值，然后利用函数的单调性比较大小.

2.解抽象不等式

(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；

⑵利用函数的单调性脱去符号“/"，转化为解不等式(组)的问题.

多维训练_

1.(2024.潍坊模拟)已知函数/a)=(9'—33则/(劝()

A.是奇函数，且在R上是增函数

B.是偶函数，且在R上是增函数

C.是奇函数，且在R上是减函数

D.是偶函数，且在R上是减函数

C解析：因为函数/(x)的定义域为R,/(—x)=3*—Q)=~f(x),所以函数/(x)为奇函数.因

为函数y=(J,y=-3*在R上都是减函数，所以函数/(x)=(；)—3"在R上是减函数.故

选C.

2.已知定义在R上的偶函数/(尤)在［0,+8)上单调递增.若/(Inx)勺'(2),则x的取值范围

是()

A.(0,e2)B.(e?,+°o)

C.(e2,+8)D.(eVe2)

D解析：根据题意知，/(x)为偶函数且在［0,+8)上单调递增，由/'(Inx)勺1(2),得|lnx|<2,

即一2<lnx<2,解得占2<%<©2,即尤的取值范围是(e7,e2).

考点二奇偶性与周期性结合

【例2】(2024•荷泽模拟)已知函数〃尤)是R上的偶函数，且“X)的图象关于点(1,0)对称，

当尤可0,1］时，/(x)=2—2工，则/(0)+/(1)+/⑵+…+/(2024)的值为()

A.12B.—1

C.0D.1

D解析：因为函数/(元)是R上的偶函数，所以/(—无)=/(尤).因为/(x)的图象关于点(1,0)

对称，所以/(一尤)+/(2+x)=0,即/(x)+/(2+x)=0,所以/(2+x)=—/(尤)，所以/(4+x)

=-/(2+x)=/(x),所以函数/(x)的周期为4.当xG［0,1］时，/(无)=2—2工，所以/(0)=1,7

(1)=0.又/(2)=-/(0)=-1,/(3)=一7(1)=0,所以/(0)+/(1)+/(2)+/(3)=0,所以/(0)

+/(1)+/(2)+-4-/(2024)=/(2024)=/(0)=1.故选D.

A反思感悟

已知函数的周期性、奇偶性求函数值，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所有函数值的自

变量转化到已知解析式的区间内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求

解.

多维训练

•••・

1.设/(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，己知当xG［2,3］时，/(x)=尤，则当xG［—2,

0]时，/(无)=()

A.x+4B.2—x

C.3-|x+l|D.2一|X+1|

C解析：因为/(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当xG[2,3]时,/(为)=无，所以当xG[—

2,—1]时，2+xd[0,1],4+xG[2,3],此时/(x)=/(4+x)=4+x;当xd[—1,0]时，一

%e[0,1],2—xd[2,3],此时/(x)=/(—x)=/(2—x)=2—x.综上可得，当无e[—2,0]时，

/(x)=3一|尤+1|.

2.设函数/(尤)的定义域为R,且/(尤+2)是奇函数，/(2x+l)是偶函数，则一定有()

A./(4)=0B./(-1)=0

C./(3)=0D./(5)=0

A解析：因为函数/(2尤+1)为偶函数，所以/(1-2尤)=/(l+2x).令f=2尤，则/(1一。=/(1

+力，即/(I—x)=/(l+x),则/(x)=/(2—尤).因为函数f(x+2)为奇函数，所以/(2—x)=一

/(x+2),所以函数/(尤)的图象关于直线x=l对称，也关于点(2,0)对称，则"2)=—/(2),

可得/(2)=0,所以/(x)=—/(x+2)=/(x+4),故函数/(x)为周期函数，且周期为4.对于A

选项，/(4)=/(0)=〃2)=0,A正确；对于B,C,D选项，/(—1)=/(3)=-/(1),/(5)=/(1),

但/(I)的值无法确定.故选A.

考点三奇偶性、周期性与对称性的结合

【例3】已知定义在R上的奇函数/(x)满足/(无一4)=—/(尤)，且在区间[0,2]上单调递增，

则()

A./(-15)</(21)</(90)B./(90)</(21)<f(-15)

C./(-15)<f(90)<f(21)D./(21)</-(-15)</(90)

D解析：因为/(x-4)=-/1(尤)=/(x+4—4)=一/(了+4)可(乃=一丁(尤+4)=/(尤+4)=—/。:

+8),所以/(x)=/(x+8),因此函数/(x)的周期是8,/(-15)=/(-15+16)=/(1),/(21)

=/(24-3)=/(-3)=-/(I),/(90)=/(88+2)=/'(2).因为函数/(尤)是定义在R上的奇函数，

所以y(o)=o.又因为了(尤)在区间[0,2]上单调递增，所以y(2)y(i)牙'(0)=0,所以y(2i)=一

/(1)<0,所以7(21)勺■(—15)勺'(90).故选D.

►•反思感悟

对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体

现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在

解题时，往往需要借助某个区间上函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实

现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.

多维训练.

1.(多选题X2024•广东一模)已知偶函数/(尤)的定义域为R,/Qx+1)为奇函数，且丁。)在[0,

1]上单调递增，则下列结论正确的是(BD)

A./(—9<。B./g)>0

C./(3)<0D.f(空)>0

2.定义在R上的奇函数/⑴满足/(x+2)=/(—x),且当xG[0,1]时，/(x)=2"—cosx,则

下列结论正确的是()

A.f(空讨(等)寸(2022)B./(2022)式(亨)寸(等)

C./(2022)寸管)勺(掌)D.f(等)4管)<f(2022)

A解析：因为/(%)是奇函数，所以/a+2)=/(—%)=—/(x),所以/a+4)=—/a+2)=/(x),

所以/(X)的周期为4,所以/(2022)=/(2+4X505)=/(2)=/(0),

/(等)="Y+4X253)可(-；)=，(；)=/(等)

=f(4xl68+2+g)=/(2+；)=—/Q.

因为当xe[0,1]时，/。)=2」cosx单调递增，所以/(0)</0),

所以/@<—f©V~/(0)=/(0)，所以/(一)(等)</(2022).故选A.

课时质量评价(八)

。考点巩固

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0

1.(2024•广东模拟)已知函数/(x+1)的图象关于点(1,1)对称，则下列函数是奇函数的是()

A.y=/(x)+lB.y=f(x+2)+\

C.J=/(x)-lD.y=/(x+2)-l

D解析：由题意知，将函数/(x+1)的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位

长度，所得函数关于点(0,0)对称，则所得函数为奇函数，所以y=/(x+2)—1为奇函数.故

选D.

2.已知偶函数/(x)的定义域为R,当xd[0,+8)时,/(x)=*,则/(x—1)〈的解集为(C)

A.(。，2)B.aJ

C.(—8,0)U(2,+8)D.(-00,1)u,+8)

3.(2024・南通模拟)双曲函数起初用来描述一些物理运动过程，后来又大量应用于计算机科

学、经济和金融领域.若双曲正切函数为tanl^=±J,则tan〃M)

e'+ex

A.是偶函数，且在R上单调递减

B.是偶函数，且在R上单调递增

C.是奇函数，且在R上单调递减

D.是奇函数，且在R上单调递增

D解析：令/(无)=七二，定义域为R,因为/(—x)==^=—/(x),所以/(x)为奇函数.又

e^+e*e*+e*

简+e-x)—|—evI

因为了'(%)=-----——TV——~=7―所以/(X)在R上单调递增.故选D.

(er+e-(g+e-*)

4.若/(x)=er—讹，为奇函数，则—e的解集为()

A.(一8,2]B.(一8,1]

C.[2,+8)D.[1,+°0)

D解析：由/(x)=er—ae，为奇函数，得了(一X)+/(%)=(3+^^一.(/*+3)=0,解得a

=1,所以/(x)=er—e*,易知函数/(x)是R上的减函数.不等式e等价于/(x)W/

(1),因此x'l,所以不等式/(x)W：—e的解集为[1,+8).故选D.

5.(2024・潍坊模拟)已知函数/(x)的定义域为R"(x+1)为偶函数,7(x+4)=/(—x),则()

A.函数/(x)为偶函数

B."3)=0

D./(2023)=0

A解析：因为/a+i)为偶函数，所以/a+i)=/(—x+i),所以/(%)的图象关于直线％=

1对称，所以/(x+2)=f(—%),又因为/。+4)=/(—1),所以/(%)的图象关于x=2对称，

所以由'(”+4)—?，得/(%+4)=/。+2),即，a+2)=/a),所以/&)是周期为2的函

/(x+2)=/(-%),

数.由^f(-x)=f(x),所以/⑴为偶函数，故选A.

6.(多选题)已知函数/。)=2而。下列结论正确的有()

A.”元)是周期函数

B.7(x)的图象关于原点对称

C./⑴的值域为[一三

D.7④在区间卜(月上单调递增

AD解析：对于A,因为1x+2E)=2sina+2硝=2sim=y(x)(kez),所以/(X)是周期函数，所以

A正确；

对于B,因为人一苫)=2.(-幻=2-血=/W-/(x),所以八无)不是奇函数，所以/(X)的图象不关

于原点对称，所以B错误；

对于C,因为一IWsinxWl,所以2-W2siy2i,即;W«x)W2,所以函数小)的值域为[；,2]，

所以C错误;

对于D,令r=sinx,则y=21因为r=sinx在［一］，目上单调递增，＞=2,在R上单调递增，

所以y(x)在区间［―，上单调递增，所以D正确.

7.(多选题)已知函数/(尤)为R上的奇函数，/(1+尤)为偶函数，贝！1()

A./(-2-.r)+/(x)=0

B./(l-x)=/(l+x)

C./(x+2)=/(x-2)

D./(2023)=0

BC解析：因为/(无)为R上的奇函数，所以〃—x)=一/(x).因为/(1+x)为偶函数，所以

/(-x+i)=/(x+i),故B正确.由丁(一犬+1)=/1(无+1),可得/(一劝=/1(尤+2),所以y(x+

2)=—/(无).因为/(—2—x)+/(x)=/(x)—/(x+2),其结果不一定为零，故A不正确.由/(X

+2)=-/(%),得/任)=一/。-2),所以/。+2)=/(尤一2),故C正确.由/(x+2)=-f(x),

得了(x+4)=/(x),所以/⑴的周期为4,所以/(2023)=/(3)=/(—1)=一/(1),因为/(I)从

题意无法得出，故。不正确.故选BC.

8.偶函数/(x)的图象关于直线x=3对称，若/(4)=2,则/(—2)=.

2解析：(方法一)由函数/(x)为偶函数，得了(—2)=/(2).由函数/(x)的图象关于直线x=3

对称,得f⑵=f(4)=2,所以/(—2)=2.

(方法二)由函数/(x)为偶函数及函数/(x)的图象关于直线x=3对称，得/(x)的周期T=2X|3

-0|=6,则由周期性，得了(-2)=/(4)=2.

9.若了⑴是R上的偶函数，且在(0,上单调递减，则函数/(x)的解析式可以为/(x)=

.(写出符合条件的一个即可)

一/(答案不唯一)解析：若/(%)=一/，则/(-%)=-(-X)2=-X2=/(%),故/(X)为偶函数，

且易知/(无)在(0,+8)上单调递减，故/(无)在(0,上单调递减，符合条件.

10.周期为4的函数/(尤)满足/(尤)=/(4一x),且当尤6［0,2］时/(x)=/—1,则不等式/(x)W0

在［-2,2］上的解集为.

1-1,1J解析：因为/(x)的周期是4,则/(x)=/(4—尤)=/(一尤)，所以/(尤)是偶函数.当xd［0,

2］时J(x)=x3—1是增函数，且7(1)=0,所以不等式/(无)W0可化为/(⑼可⑴，所以|x|Wl,

即一IWxWL

。高考培优

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------C

11.定义在R上的偶函数“X)在(一8,0］上单调递增，且/(logz^nO,则满足对•(%—4)20

的工的取值范围是()

A.(—8,0)U［2,6］

B.(—8,0］U［2,6］

C.(—8,0)U[4,6]

D.(—8,0]U[4,6]

B解析：定义在R上的偶函数/(x)在(一8,0]上单调递增，可得/(x)在[0,+8)上单调递

减，又(1理2{)=/(_2)=/(2)=0,

则当一2W%W2时，/(x)20;当xW—2或x22时，/(x)W0.

、…人、*(xWO,

又对•(%—4)20等价为,、或，、

(/(x-4)20(/(x-4)W0,

即产。，或卜wo，

l-2Wx-4W21x-4W—2或x-422,

解得2WxW6或尤W0.故选B.

12.(多选题)函数/(x)的定义域为R,且/(尤一1)与/(尤+1)都为奇函数，则下列说法正确的

是()

A./(x)是周期为2的周期函数

B.7(x)是周期为4的周期函数

C./(尤+2)为奇函数

D./(x+3)为奇函数

BD解析：因为函数/(x)的定义域为R,且/(x—1)与/(x+1)都为奇函数，所以/(一无一1)

=-/U-1),/(-x+l)=-/(x+l),所以y(x)=—/(一尤一2),/(尤)=—/(一尤+2),所以/(一

x—2)=/(一尤+2),即/(x+4)=/a),故B正确，A错误；因为/(x+3)=/'(x+3-4)=/a

-1),且/(x—1)为奇函数，所以/(尤+3)为奇函数，故D正确；因为/(x+1)为奇