陕西省教育联盟2025届高三年级上册第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

陕西省教育联盟2025届高三上学期第一次模拟考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4=卜©可丁<4},3={-1,0,1,2,3},则4口3=()

A.{1,2}B.{0,1,2}

C.{-2,-1,0,1,2,3}{-1,0,1,2}

2.已知复数z满足(4—3i)z=l+2i,则|z|=()

A.立B.-C.-D.正

5555

3.已知双曲线C的渐近线方程为2x±3y=0,且C经过点卜6,20),则C的标准方程为()

AYy2TB炉VX2y2_Vy2

1889481849

4.“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》

《礼记》《春秋》的合称.为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”

知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数

为()

A.A；A；B.A；A；C.A；A；A；D.A；A；

5.已知tana=3,tan(a+0=-5,则tan(2a+Q)=()

A.8B.—8C.D.—

6.为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经

过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从N(70,64),据此估计测试成绩不小于94的

学生所占的百分比为()

参考数据.P—。<X<〃+。)穴0.6827,—2b<X<〃+2b)p0.9545,—3。vX<

〃+3cr)e0.9973

A.0.135%B.0.27%C.2.275%D.3.173%

7.已知定义在R上的函数满足/(X+3)=—/(x),且/(一1)=2,则/(2024)=()

A.-4B.-2C.4D.2

8.如图，在直三棱柱ABC用G中，AB=AC=AAl=2,NBAC=£，点、P,E分别为

棱AG，AA上的动点（不包括端点），若AE=a尸，则三棱锥瓦-A/E的体积的最大值为

()

二、多选题

9.已知事件满足尸（A）=0.6,P伊）=0.3,则下列说法正确的是（）

A.若3=A,则P（Au3）=0.9

B.若A与8互斥，则尸（4叫=0.9

C.若P（AB）=0.18,则A与8相互独立

D.若A与8相互独立，贝|P（Au3）=0.9

10.已知函数/■（尤）=|1华2|1-尤||,若函数g（x）=/2（x）+/（x）+处有6个不同的零点，且最

小的零点为-1,则下列说法正确的是（）

A.g（x）的所有零点之和是6B.a+b=-l

C.a=0D.b=—l

11.已知曲线乙的方程为V=y,匕是以点4（0,。）为圆心、1为半径的圆位于'轴右侧的部分,

则下列说法正确的是（）

A.曲线乙的焦点坐标为4,0）

B.曲线小过点（La）

C.若直线y=x+2被乙所截得的线段的中点在心上，则。的值为三正

试卷第2页，共4页

D.若曲线「2在乙的上方,则

三、填空题

12.一组数据24,78,47,39,60,18,28,15,53,23,42,36的第75百分位数是.

13.在VABC中，已知反=3而，P为线段AD的中点，若丽=彳丽+〃血，则<+'=.

14.已知函数y=2sin(ox+9)[0>O,OV"W|J的图象经过点倒,行)，且在V轴右侧的第一

个零点%，当xe[0,2句时，曲线y=siii¥与y=2sin(0x+9)的交点有个，

四、解答题

15.已知VABC的内角A,B,C的对边分别为

a,b,c,asin(B+C)=/?sin(A+C)+csin(A+B)—bsinC.

(1)求角A;

⑵若6=1,AABC的面积为求。的长.

2

16.已知函数=在点(1,/⑴)处的切线与直线x+4y+2024=0垂直.

⑴求。的值；

(2)求的单调区间和极值.

17.如图，已知平行六面体ABC。-A瓦G2的所有棱长均相等，平面AB瓦A,P为DG

的中点，且PD=PC.

⑴求证：CQ±BD；

(2)求平面CTO与平面DPB的夹角的正弦值.

22

18.己知椭圆C:三+斗=1(。>6>0)的左、右焦点分别为F2,右顶点为A,且

cib

|明|+|A用=4,离心率为;.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知Af,N是C上两点（点M,N不同于点A）,直线AAf,AN分别交直线x=-l于P,

______9

。两点，^FlP-FlQ=--,证明：直线肱V过定点.

19.随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加

密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长,

用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA

加密算法中的应用.设P，4是两个正整数，若p,q的最大公约数是1,则称p,q互素.对于

任意正整数”欧拉函数是不超过〃且与〃互素的正整数的个数，记为。（九）.

⑴试求°（1）+°（9）,。（7）+0（21）的值；

（2）设p,q是两个不同的素数，试用p,4表示9（p［（keN*）,并探究9（的）与9（P）和夕⑷

的关系；

⑶设数列｛%｝的通项公式为勺=加底夕（3"'）（meN*）,求该数列的前m项的和空.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BAADDABDBCAB

题号11

答案BCD

1.B

【分析】解不等式可得集合A,进而可得AcB.

【详解】A={xeN|X2<4}={0,1,2},B={-1,0,1,2,3},

所以A「3={0,l,2},

故选：B.

2.A

【分析】根据复数的除法运算求z,再根据复数的模长公式运算求解.

【详解】因为/、则=l口+2i=(l+2小i)(4+3i)211.

(-)zdW,zK----------1------1,

2525

所以目=

5

故选：A.

3.A

【分析】根据双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程，将点的坐标代入，求得参数，即可得

答案.

【详解】因为双曲线C的渐近线方程为2x±3y=0,

22

故可设双曲线方程为方-'=%,(Aw0),

又C经过点卜6,2立)，故7一号匚=匕.4=2,

22

故双曲线方程为土-匕=1，

188

故选：A

4.D

【分析】采用插空法排列，先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次讲

座，再将《大学》《论语》《周易》这3次讲座插空，根据分步乘法计数原理，可得答案.

【详解】先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次经典名著的讲座，

答案第1页，共13页

共有A：种排法;

再从7个空位中选3个，排《大学》《论语》《周易》这3次讲座，有A；种排法,

故总共有A；A；种排法；

故选：D.

5.D

【分析】由tan(2a+0=tan[(a+6)+a]利用两角和的正切公式计算可得

【详解】因为tantz=3,tan(a+Q)=-5,

/、1tan(a+£)+tana_5+3]_

所以tan(2a+/)=tan「(a+/)+a]=-、/)小-------=-7—=

、7H〜-I]—tan(a+,)tanal-(7-5)x38

故选：D

6.A

【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案.

【详解】依题意〃=70,b=8,94=〃+3。，

1-09973

所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为：x100%=0.135%.

2

故选：A.

7.B

【分析】根据题意，求得〃2)=-2且〃x+6)=/(x),结合函数的周期性，即可求解.

【详解】因为/(x+3)=-/⑺且/(—1)=2,可得〃2)=-〃-1)=一2,

由〃x+3)=—〃x),可得/(x+6)=―/(x+3)=/(x),

所以函数〃x)的一个周期为6,则〃2024)=〃6X337+2)=H2)=—2.

故选：B.

8.D

【分析】由题意可得4E为三棱锥£-4男尸的高，设==re(0,2),由

%-APE.AE表示出锥体的体积，再结合二次函数的性质求解即可.

【详解】在直三棱柱ABC-A4G中，A4，平面A耳C，

答案第2页，共13页

故\E为三棱锥E-A用尸的高，

设AE=4P=r,Ze（0,2）,贝l]AE=2-f,

TT

由/BAC=5，得ABIAC,故A81，AC，

则S"81P=；4尸、44=3

故为1-APE=%-A8iP=§S4AB[P.AE=$（2-0=_；«T）2+g,

故当r=i时，三棱锥瓦-APE的体积有最大值;.

故选：D.

9.BC

【分析】由互斥事件、对立事件以及相互独立事件的概率公式逐项判断即可.

【详解】因为3aA.所以P（AU3）=尸（A）=。.6.故A错误；

若A与8互斥.则P（Au3）=P（A）+P（B）=0.9,故B正确；

因为尸（钙）=尸（A）尸（8）.所以A与8相互独立.故C正确：

因为A与8相互独立.所以P（AB）=P（A）P（B）=0.18.

所以P（Au3）=尸⑷+尸（B）-尸（幽=0.72,故D错误.

故选：BC.

10.AB

【分析】根据题意，利用函数的图象变换，得到函数y=/（*）的图象关于直线x=l对称，令

t=f（x）,得到关于/的方程产+〃+2）=0,结合二次函数的图象与性质，即可求解.

【详解】由函数y=bg2x的图象，经过＞轴翻折变换，可得函数y=iog2|x|的图象，

再向右平移1个单位，可得y=log?|尤-1|=1十2|1-工的图象，

最终经过X轴翻折变换，可得了（xHlogzIlrl|的图象，如图所示，

则函数y=/（久）的图象关于直线x=1对称，令t=/（X）,

因为函数g（x）=/2（x）+/（x）+»最小的零点为-1,且=

故当〃力=1时，方程gO）=0有4个零点，

答案第3页，共13页

所以要使函数g(x)=/2(x)+/(x)+仍有6个不同的零点，且最小的零点为x=-L,则

〃x)=。或〃x)=l,

由/(x)=。,可得*=0或3=2,

设/(%)=1的四个根从小到大依次为无3，X4，无5，%，

由函数y=/(x)的图象关于直线X=1对称，可得％+无6=匕+无5=2,

所以g(x)的所有零点之和是6,故A正确；

关于t的方程r+at+2b=Q的两个实数根为。和1,

由韦达定理，得a=T,6=0,。+匕=一1,所以B正确，C、D错误.

故选：AB.

【分析】根据抛物线的几何性质，可得判定A错误；把点(La)代入圆G的方程，可判定B

正确；12+(«-«)2=1,所以圆心过点(l,a),所以B正确；设y=x+2被乙所截得的线段

为OE,中点为G,联立方程组，求得G的坐标，代入心，可判定C正确；根据圆与抛物

线的位置关系，联立方程组，结合A<0,可判定D正确.

【详解】对于A中，由曲线和：，=y,抛物线L的焦点坐标为所以A错误；

对于B中，圆A的标准方程为：x2+(y-a)2=l(x>0),

点(l,a)代入圆乙的方程得F+(。-。)2=1，所以圆4过点(La),所以B正确；

对于C中，设>=》+2被乙所截得的线段为DE,中点为G,

fy=x+2[x+x=1

联立方程组，，整理得f一彳一2=0,可得n"£P、,

[厂=V"D无E=-2

答案第4页，共13页

故为=%+2=|"，所以Gj_5

则%

2?2

代入：r"+（i）2=i,可得;+（|_/=],解得.=言叵，所以c正确;

对于D中如图所示，曲线八在二的上方时，抛物线和圆无交点,

联立方程组卜；+5-"）=L整理得^+（1-24）丫+〃_1=0,

x=y

由△=（1—2。）2-4（/-1）＜0,解得所以D正确.

''4

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略：

1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物

线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化.如果问题中涉及抛物

线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题.因此，涉及抛物

线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就

可以使问题简单化.

2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根

与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中

的应用.

12.50

【分析】由百分位数的概念求解即可.

【详解】先按照从小到大排序：15,18,23,24,28,36,39,42,47,53,60,78.

共12个数据，12x75%=9,第9,10个数据分别为47,53,则第75百分位数为%尹=50.

故答案为：50

13.10

答案第5页，共13页

【分析】根据题意，由向量的线性运算公式可得加=:丽+9而，由平面向量基本定理可得

2、〃的值，进而计算可得答案.

【详解】根据题意，在VA3C中，己知觉=3丽，则丽=：而，

由于尸为线段AO的中点，

贝诲=丽+丽=丽+工屈=丽+!(丽-丽)=|丽+!防」丽+，血,

_1］

y.BP=ABA+juBC,丽、交不共线，故几=彳，"=一，

28

所以：+l=2+8=10.

ZJU

故答案为：10.

【分析】根据题意，求得函数的解析式为y=2sin0x+：J,画出y=sinx与y=2sin［3尤+：］

在区间［0,2可上的图象，结合图象，即可求解.

【详解】因为函数y=2sin(@x+°)的图象经过点心,后)，可得2sin夕=0,即.夕=孝，

又因为04夕4］,所以夕=:,

因为y=2sin(0尤+；］(°>0)在y轴右侧的第一个零点为所以：“+；=兀，

I4J444

解得0=3,所以y=2sin(3x+：J,

画出y=sinx与y=2sin，x+：］在区间［0,2兀］上的图象，如图所示，

由图可知曲线y=sinx与y=2sin(3x+；］的交点有6个.

答案第6页，共13页

71

5(若

⑵百

【分析】(1)根据三角形的内角和的性质，以及正弦定理，得到〃一片+°2=/，结合余弦

定理，即可求解；

(2)根据题意，利用面积公式，求得c=2,结合余弦定理，即可求解.

【详解】(1)解：由A+B+C=7T,KTWsin(B+C)=sinA,sin(A+C)=sinB,sin(A+B)=sinC,

因为asin(5+C)=Z?sin(A+C)+csin(A+23)-bsinC

所以tzsinA=bsinB+csinC—bsinC,

又由正弦定理得〃—/+,2=次，根据余弦定理得cosA="+七〃=

2bc2

jr

又因为。＜4＜兀，所以A=§.

(2)解：因为6=1,AA3C的面积为必，

2

KTW'SABC=-&csinA=—csin—=^-,所以c=2,

"瓯2232

由余弦定理可知。2=62+c2-26ccosA=E+22-2xlx2xg=3,所以°=

16.⑴。=一3

⑵单调递减区间为(-8,-1)和(3,+8)，单调递增区间为(T3),“X)的极大值为/(3)=4;

极小值为了(T)=-2e2.

【分析】(1)由导数的几何意义求出斜率，利用直线垂直列式求解即可；

(2)求出导数方程的根，根据导数与极值的关系列表即可得解.

/、2xex~l~(x2+a\ex~12x-x2-a

【详解】(1)因为〃x)=—,所以尸(x)=-----/1V—=—q—,

e"T卜)e

则/")=1-。，因为函数〃耳=口中在点处的切线与直线x+4y+2024=0垂直,

故=-1,解得a=-3；

(2)因为〃同=三，所以尸(x)=+3_一(x；),+l),

答案第7页，共13页

令r(%)=。,解得%=3或%=一1,令/'(%)＜。得%＞3或％＜—1,令/'(%)＞。得一lv光＜3,

列表如下：

(-00,-1)-1(-13)3(3,+8)

尸3—0+0—

极小值/极大值

故“X)的单调递减区间为(-8,-1)和(3,+8),单调递增区间为(-1,3),

“X)的极大值为〃3)=5，极小值为/(-1)=-2e2.

17.(1)证明见解析

⑵与

【分析】(1)设。是C。的中点，先根据题目条件得出CG〃尸Q,PQLCD,进而得出

CQ1CD；根据线面垂直的性质和平行六面体的性质得出CQ1AD.再根据线面垂直的判

定定理得出CQ±平面ABCD；最后根据线面垂直的性质可得出CQ±BD.

(2)先建立空间直角坐标系，写出平面CP3与平面DP3的法向量；再根据空间面面所成角

的向量计算方法求出平面CPB与平面DPB的夹角的余弦值，进而可得夹角的正弦值.

【详解】(1)设。是C。的中点，连接PQ,

因为尸是G2的中点，则C£〃尸Q.

因为尸D=PC,所以PQLCD,所以CG，C。

因为AD平面ABB】A,AAtu平面ABBlAx,

所以ADLAA，

答案第8页，共13页

由平行六面体的性质可得：CG〃9,

所以CG，AD.

又因为CDnAD=D,CD,ADU平面ABC。,

所以CC]_L平面A3CD

又BDu平面ABC。，所以CC|_LB。.

(2)因为">"L平面,ABu平面AB814，

所以

则四边形ABCD是正方形，

结合(1)的结论可知D4,DC,两两垂直，

以。为原点，DA,DC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角

坐标系：

不妨设AD=2,

则0（0,0,0）,尸（0,1,2）,5（2,2,0）,C（0,2,0）,

所以加=（0,1,2）,丽=（2,2,0）,CB=（2,0,0）,CP=（0,-1,2）.

设平面DP3的一个法向量为沅=(x,y,z),

m-DP=y+2z=0,

则

fh•DB=2x+2y=0,

令y=-2,可得用=(2,-2,1).

设平面CP3的一个法向量为元=(a,4c),

答案第9页，共13页

n-CB=2。=0

，令c=l,可得为=（0,2,1）.

n-CP=-b+2c=Q

设平面a归与平面DPB的夹角为。，

\m-fi\3

则cos0=

|m|-|n|3x755

所以sin0=A/1-COS2d=~~~

即平面CPB与平面DPB的夹角的正弦值为工.

5

r22

18.⑴工+上v=1

43

（2）证明过程见解析

【分析】（1）由题意列出关于c的方程组，解之即可得解；

（2）显然斜率不为0且不过点A,从而可设MN的方程为*=到+（/力2,5工0）,

Ma，yJ,N（%,%），将其与椭圆方程联立，结合韦达定理可用SJ表示出

xlx2,xl+x1,yiy1,yi+y1,由尸三点共线、4MQ三点共线可用不,%,尤表示出P,。的

坐标，从而由4尸-耳。=-：可得一个关于S,/的条件等式，化简即可得解.

a=2

【详解】（1）设椭圆C的半焦距为C,由题意得,解得6=后,

22

故椭圆C的标准方程为上+工=1.

■>

X

由（1）知F1（-1,0）,由题意可知直线的斜率不为0,否则尸,。位于X轴同侧，铲电＞0,

答案第10页，共13页

不符合题意；

22

设"N的方程为》=S、+《7彳2）,代入?+1_=1,得

（352+4）/+65（y+3r-12=0,

由A=36s2/一4(3/+4)(3/一12)>0n3S2+4-产>0,

设V(为,X),N(%,为),贝IJ%+%=,

8.

所以3+无2=S(%+%)+2/=3$2+4,

22

xlx2=(syI+t)(sy2+t)=sy1y2+st(yl+y2)+t=]1:'

直线4〃的方程为>=V(x-2),令x=—l,得丫=-鼻

玉一2再一2

9