北京市顺义某中学2023-2024学年高一年级下册4月月考数学试卷

数学试卷

（120分钟）2024.04

第一部分（选择题共24分）

一、选择题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题列出的四个选项中.选出符合题目要

求的一项.

1.sin585°值为（）

A立BcV3V3

A.--D.----C.---U.----

2222

【答案】B

【解析】

【分析】根据诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解.

【详解】sin585°=sin（360°+225°）=sin（l80。+45。）=—sin45。=一冬

故选：B.

【点睛】本题考查诱导公式求值，熟记公式是解题关键，属于基础题.

2.在平面直角坐标系中，若角。的终边经过点（T,3）,贝hina,cosa分别为（）

4334

A.—4，3B.3,-4C.D.

5555

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数的定义计算可得.

【详解】因为角a的终边经过点（T3）,

33-44

E二sinOL――/——cosa-—,——

所以「产5,E至5

故选：D

3.设。，A,B,C为平面四个不同点，它们满足3砺+加=4函，贝U（）

A.A,B,。三点共线

B.0,B,C三点共线

C.A,0,。三点共线

D.A,B,。三点共线

【答案】A

【解析】

【分析】根据平面向量线性运算法则得到3AB=CA>即可判断.

【详解】因3OB+OC=4OA>

所以3无-3砺=方-无，即3（无-函）=况-无，

所以3通=瓦，所以通〃5，所以A，B,C三点共线.

故选：A

4.下列条件满足VA3C为直角三角形的个数为（）

①sin（A—5）=sin（A+3）；②sinCsing=cosCcos5；③sin2C+sin?8=1

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【解析】

【分析】利用和差角公式判断①②，利用特殊值判断③.

【详解】对于①：sin（A-JB）=sin（A+JB）,

所以sinAcos5-cosAsin3=sinAcos3+cosAsin3,

所以cosAsinB=0,又3e（0,7i）,sinB>0,

所以cosA=0,又Ae（O,兀），所以A=1,则VA3C为直角三角形，故①正确；

对于②：sinCsinB=cosCeosB,贝!JcosCcoSjB-sinCsin5=0,

即cos（6+C）=0,又3+。€（0,兀），所以B+C=],则A=],即VA3C为直角三角形，故②正

确；

对于③：当B=g,C=—,贝iJsinB=L,sinC=@，满足sin?C+sii?3=1，

6322

但是VA3C为钝角三角形，故③错误.

故选：C

5.已知tanotan",那么下列命题成立的是（

A.若a,夕是第一象限角，贝！|cos。>cos,

B.若a,夕是第二象限角，则sina>sin"

C.若a,夕是第三象限角，则costzccos,

D.若a,夕是第四象限角，则sina>sin是

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，结合三角函数线，以及三角函数的定义，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，若a,夕是第一象限角，且tana>tan/7,作出三角函数线，如图1所示,

|OA||OA|,,,.

则cos"枕，cos/?=刃，因为所以costzccos，，所以A错误;

图1

对于B中，若a,夕是第二象限角，且tanotan/7,作出三角函数线得到有向线段,

如图2所示，贝！|sintz=N]N,sin尸=,所以sin(z<sin,,所以B错误;

图2

对于C中，若a,夕是第三象限角，且tanc>tan〃，作出三角函数线得到有向线段OM”ON1,

如图3所示，贝ijcosa=。朋\,cos尸=。乂，所以cos。>cos分，所以C错误;

图3

对于D中，若e,夕是第四象限角，且tana>tan/?,作出三角函数线得到有向线段,

如图4所示，贝Using=Af]A/,cos，=NiN,所以sin。>sin,,所以D正确.

6.函数/（x）=sin（2x+0）（0>O）图像上存在两点尸（s/）,。（r>0）满足r-s=刍，则下列结论

6

成立的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】先求出周期，其次根据尸（S/）,。（厂/）（/>0）在函数〃外图象上，根据正弦函数的对称性可得

7T

2r+j+2s+j=兀+2加次？Z,再联立r-s=—得到2st/值，根据，>0缩小2s七的取值范围，最

6

71

后代入了乐+—N求值即可.

楸6

【详解】周期T=—=兀，

2

因为函数/(x)=sin(2x+0)(0>0)图像上存在两点尸(s/),>0),

所以sin(2st/)=sin(2r+/)=%>0,

兀兀TT

因为r-s=—<一=一，所以0<2―一2s<一,

6442

故由正弦函数图像的性质可得27取+25+/=兀+2加,左？Z,

2r+2s=兀+2kn-2(p

兀71

联立《7i，解得2s=左兀+―-J,则2s4y.=kn+—,

r-s=-33

6

TT

又sin(2s~^)=sin(2厂4^=t>0,所以2s+/=24兀+3,匕？Z,

兀兀

+—+—故B正确；A错误;

33

—+J

6

=sin覆匕兀+巴--^.=sin0=0,故C、D错误.

辍33-

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够根据正弦函数的对称性得到2厂零+25+/=兀+2也,左？Z.

第二部分（非选择题共126分）

二、填空题共9道小题，其中710题，每小题4分，共16分，1115题，每小题5分，共25

分.把答案填写在答题卡上.

7.两个非零向量Z=—B=（2x—1,0）共线，则％=.

【答案】1

【解析】

【分析】根据共线向量的坐标表示可求x的值.

【详解】因为万=（l,x—1）,B=（2x—l,0）共线，故lx0=（x—l）（2x—1）,

故％=1或%=j，而当％=工时，b=6＞与题意不合，舍,

22

故X=1,

故答案为：1.

8.设4，元2为方程入2—2%—根=0的两个根，且2%+%2=。，则加的值为.

【答案】8

【解析】

【分析】利用韦达定理计算可得.

【详解】因为X],%为方程2x—加=0的两个根，

MS=2

所以A=4+4加之0即加）一1，且〈，

[x[x2=-m

--2

又2%+九2=。，所以（x1,，所以一加二-2x4,解得机=8.

_区=4

故答案为：8

9.函数〃X）=COSX在—l,71上的值域为.

【答案】[-1,1]

【解析】

【分析】根据题意，结合余弦函数图象与性质，即可求解.

【详解】由余弦函数的性质，可得/（x）=cos为在一§,0上单调递增，在[0,可上单调递减,

所以，当％=0时，/（x）a=/（O）=l，

1

又因为/（—]7r）=e，z'（兀）=—i,所以函数八工）的值域为[-M].

故答案为：[-ML

10.己知彳=（、疗,1）,&=（-2A/3,2）,则日与彼的夹角为.

【答案】—

3

【解析】

【分析】根据题意结合向量的坐标运算求解.

r「r

【详解】由题意可知：a-b=-6+2=-4,a=2,^|=4,

/ra-b

可得cos",b)=百百=2>且（£,石）e［0,兀|,

\a\-\b\

2兀

所以五与5的夹角为J.

3

2兀

故答案为：—.

3

11.函数V=sin2%+1图像上的点尸向右平移s(s>0)个单位后得到p,若p落在函数

y=sin2x上，则s的最小值为.

兀1

【答案】一##—71

66

【解析】

【分析】先把点代入y=sin"x+。求出f=g,再把P噜+取代入y=sin2x,求出s值,

结合s>0求出其最小值即可.

【详解】因为点在函数>=5由［2%+三］图像上，

所以1m|?：I

2

由题意可知P我菁+sj

又P'落在函数y=sin2x上,

所以sin|?j

…当+25=COS25=-

2

TT'll'll'll

解得2s=24兀+—或2E——,k?Z,即5=阮+—或左兀——，左？Z,

3366

TTIT

又s>0,所以s=：,即s的最小值为二.

66

IT

故答案为：—.

6

12.若。+/?=；,则tana+tan£+Gtanatan0的值_____.

【答案】73

【解析】

【分析】利用两角和的正切公式计算可得.

【详解】因为a+〃=g,则tan(e+/)=tanm=JL

即tan(a+mJane+ta”=技

1一tanatan/?

所以tana+tan/?=6(1—tanatan/?)

所以tana+tan0+指tanatan/?二百.

故答案为：百

13.如图，函数/(%)=ACOS(0X+0)(A>O,G>O,O<0<2TI),则①=；(P=.

7

【分析】由周期的定义结合图象可得@=w7r，代入点（3,o）后再结合余弦函数值可得兀.

【详解】由图象可知，函数的周期为7=7—（—1）=8,

二匚I、।2兀兀

所以0=k=/;

jrjr

根据五点法，当x=3时，-x3+0=2E+—/wZ,

42

71

所以夕=2hi--,kGZ,

7

因为040<2兀，所以。=^兀；

。）是奇函数，则有序实数对（。1）可以是..（写出

【答案】（1,1）（答案不唯一）

【解析】

【分析】首先根据正弦函数和差角公式将原式化简整理，然后根据奇函数的定义得到参数。，b应该满足的

条件，按等式关系选取答案即可.

、

71一A、/2一(72垃

【详解】已知龙?00,/(x)=«sinIx+^-1+Z?sinIx二a—sinxH-----cosx+b—sinx-------cosx

22)I22)

COSX9

2

若/(%)是奇函数,则a—人=。即可,

可以取a=l,b=l.

故答案为：(1,1)(答案不唯一)

15.在平面直角坐标系中，4(1,0),8(0,2).集合

M={P|OP=AOA+//OB,0<2<2,0<//<1},下列结论正确的是.

①点C(3,1)GM；

②若NAOP=45。，则4=2；

③若M|=l,则砺.曲的最小值为—20.

【答案】②③

【解析】

【分析】首先求出点尸所在的平面区域，再数形结合即可判断.

【详解】对于①，因为A(l,o),5(0,2),

所以厉=(1,0),砺=(0,2),

又诙=4画+〃砺=彳(1,0)+〃(0,2)=(/1,2川，

因为0WXW2,0<//<1,

所以点尸在边长为2的正方形OB防区域内(包括边界上的点)，如下图所示:

显然C(3』)eM,故①错误；

对于②，若NAOP=45°,即尸在0E上，则加=/亦(O</Wl),又无=2厉+砺,

所以丽=2f砺+/砺，

又丽=彳函+〃砺，0A，砺不共线

\2t—X2

所以《,所以一二2,故②正确；

J=〃"

对于③，因为|皿|=1,则N在以圆点为圆心，半径为1的圆上，

由图可知当P在E点且N在E0的延长线与圆的交点时OP-ON取得最小值，

且(OPQV).=1x2^2x(-1)=-2A/2,故③正确.

三、解答题共6道题，共85分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

16.函数/(x)=cos2<»x-sin2a>x(a>>0)的最小正周期为兀.

(1)求①；

(2)求/(%)单调递增区间，

【答案】(1)0)=1

g

(2)jS/i--,k?Z

【解析】

【分析】⑴由三角恒等变换化简/任)=cos2m,再由周期的定义求出口=1；

(2)由余弦函数的单调递增区间解出即可.

【小问1详解】

因为/(x)=cos2vur-sin2vur=cos2vur,

所以空=兀？w1,

2w

【小问2详解】

由(1)可知，/(x)=cos2x,

-I-*71

所以24兀-7i#2x2kn.kku——#xkn.klZ,

2

较71

所以/(%)的单调递增区间为簪3配,k?z.

17.在VA5C中，角A,B,。对应边长分别为〃，b,C,其中a=4,b=2,A=60°.

(1)求c；

(2)求sinB.

【答案】(1)1+而

⑵如

4

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理求解即可

(2)利用正弦定理求解即可

【小问1详解】

由余弦定理得/=c2+b2-2Z?ccosA-

即16=4+C2—2C，解得c=l+而(负值舍去).

故c值为1+JTL

【小问2详解】

由正弦定理得sin5=2g=*咧：=虫.

a44

故sinB值为也.

4

18.在VABC中，角A,B,C对应边长分别为a,b,c.

(1)设AD,BE,CF是VA3C的三条中线，用通，恁表示而，BE，CF-,

(2)设NA=90°,ADJ.BC,求证：二台。。。.(用向量方法证明)

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解；

(2)根据题意，得到丽=前-而，反=衣-砺，结合向量的数量积的运算公式和数量积的几何意

义，即可得证.

【小问1详解】

解：由A。，BE,CE是VA3C的三条中线，

ai^AD=AB+Bl5=AB+^BC=AB+^（AC-AB）=^AB+^AC,

_»__,_,\__,_._k1__,umuumuuniuunumn

BE=AE-AB=-AC-AB=-AB+-AC,CF=AF-AC=-AB-AC.

222

【小问2详解】

证明：在VABC中，因为NA=90°,AD1BC,所以通•%=()，

可得加=而一须，友=才至一而,

则-5*D----D--►C/=----（--A►D--—----A»\B/）---（--A-»C-_----A-►\D）-=----A-»D--.----A*C-_----A-»£2）-----A-►B------A►C--+----A►D-----A►B

=AD-AC+ADAB-AD'

因为而•/=|AD||AC|COSACAD=|AD|2,AD-AB=IAD|IAB|COSNBAD=|AD|2,

所以丽•配=|而『+|而|而2=|而2,即池2ugn.Dc.

x=xz,

19.设4n是方程Lx+y=1的一组解,计算:

〔V=%4

九为

(1)

XQ+2XQ—2

⑵求2+』41+04的值.

%_1xo-2|

【答案】(1)--

4

(2)4

【解析】

2

【分析】(1)依题意可得辛+＞；=1,即/+4尤=4,再将所求式子化简，最后整体代入即可;

(2)由同网=|明将所求式子展开，再代入■+4尤=4计算可得.

【小问1详解】

X=XV2c

因为°n是方程上+/=1的一组解，

[y=y04

丫2

所以多+4=1,即其+4*=4,即片-4=-4y，

则」_____业=券=券=_J_

5+2x0-2%Q—4—4%4

【小问2详解】

因为2+』41+^^

%)—2

2%-2+/2%+X。-2

%—1x0—2

(2%―2+X())2

(%T)(%-2)

_4y；+x；+4+4%%-8%-4%

2+x0y0-2y0-x0

又x；+4y；=4,

所以原式=8+4%%—4%=4,

2+x0y0-2y0-x0

即2+」^1+?2L=4.

%-1xo-2|

20.已知函数/(x)=kinM+|cosx|,xeR.

(1)

(2)求/(尤)的最大值并写出取得最大值时x的集合；

(3)定义g(a)=n^/(x)-,aeR,求函数g(a)的最小值.

【答案】(1),[£]=F[事]=3工，最小正周期为

(2)/(%)max=72,此时对应的工的取值集合为1x|x=：+g,左eZ

V2-1

⑶g(amin2

【解析】

【分析】(1)根据特殊角三角函数值可求(1]的值，而/(x)=Jl+Mn2x],故可求

/(x)=Jl+Mn2x|的最小正周期.

(2)先求出OgsinZRwl,结合(1)的化简结果可得/(%)何时取何最值.

(3)利用(2)的结合可求g(。)的解析式，故可求其最小值.

【小问1详解】

73+173+1

22

又f(x)=^l+|sin2x|,而y=卜垣2%|的最小正周期为1-,

故/（%）=产国）的最小正周期为”

【小问2详解】

因为04同112兀归1,故

故/（%）=血，止匕时sin2x=±l即2工=巴+左兀即x=四+如，左eZ.

"\/max242

兀左兀

对应的X的集合为jx|x=z+E，4eZ）；

【小问3详解】

由⑵可知，〃矶「1，〃到皿=夜，

当aWl时，，("―a|=/(x)—a,所以g(a)=Ji—ci;

当时，|/(x)-a|=a-/(x)，所以g(a)=a—l；

/T1/<1+应

A/2-6Z,1<a<-------

当l<a<应时，g(a)=max{0-a,a-l}=<一

a—l,3<a<®

[2

0«l+6

yJ2-a,a<---

故g(a).=交工

综上，g(a)=<

1+A/20\/mino

a-1.a>-------

2

21.已知集合S.={x|x=(/,％2,…,土),为e{0,l},z=l,2,---,nJ(n>2),对于A

，（G,。2’,,a”），

B={bl,b1,---,bn）&Sn,定义A与8的差为4一8=（同一4],卜2-4卜一,|。"一包|），A与8之间的距离为

d（A3）=fk—用.

i=l

（1）直接写出s“中元素的个数，并证明：任意A3eS“，有A-3eS“；

⑵证明：任意A坎CeS“，有d（A3）+d（AC）+d（5,C）是偶数；

（3）证明：VA,B,CGS„,^-d（B,C）＜d（A,B）-d（A,C）＜d（B,C）.

【答案】（1）S“中元素的个数为才；证明见详解

（2）证明见详解（3）证明见详解

【解析】

【分析】（1）根据题意分析可知s“中元素的个数为2"，结合定义可得|q-4但{0,1}，即可证明结论;

（2）分类讨论可知%-4+旧-q|+也-可为偶数，结合定义分析证明即可;

⑶根据题意分析可得一四―q闫可―4―忖―c,|,进而可得结果.

【小问1详解】

因为乙e（0,l},z=l,2,---,n,77>2,可知王均为2个值可取，

所以S“中元素的个数为2'，

对于任意A=（%,a2，…,4），3=（4也,…也）e5”,

可知知4e{0,1},/=1,2,•••,«,71>2,

则何一修的结果如下表所示：

ai

01

001

110

可得旧-'e{0,l},所以A-BeS".

【小问2详解】

设4=（。1，4,…,。0）,3=（4也,…，2），C=（Ci，C2，,'g）eS0,ai,bi,cie{0,l}（z=1,2,•••,«）,

对任意Ie{1,2,…㈤,均有的一切=也一4|，则d（A5）=。（民A），

若生,4,q.均为0或%%,q•均为1,则|a;.-Z?,.|=|a,.-c,.|=|Z