北京市某中学2024-2025学年上学期九年级10月月考数学试卷（含答案解析）

北京市东直门中学2024~2025学年上学期九年级10月月考数学

试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（）

2.已知。。的直径为6cm,点尸在O。内，则线段O尸的长度可以是（）

A.6cmB.5cmC.3cmD.2cm

3.在平面直角坐标系中，将抛物线＞=/向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度,

得到抛物线（）

A.y=（x-2）2+lB.y=（x-2）2-lC.y=（x+2）2-lD.y=（x+2）2+l

4.关于x的一元二次方程（4-2）/+、+/-4=0的一个根是0,则。的值为（）

A.2B.-2C.2或-2D.0

5.如图，在。。中，是直径，CD工AB,/A4c=30。，那么ND08的度数等于（）

A.15°B.30°C.60°D.90°

6.下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表.其中，2月份和5月份被墨水污染,

若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为x,根据表中的信息可列方程为（）

试卷第1页，共8页

月份12345

收入/万元10★1214

A.10(1+X)2=12-1B.10(1+x)2=12

C.10(l+x)(l+2x)=12D.10(1+X)3=14

7.如图，在正方形网格中，△”?，可绕某一点旋转某一角度得到AMPN',则旋转中心可能

A.点NB.点BC.点CD.点。

8.如图，二次函数y="2+bx+c(a/0)的图象经过点/,B,C.现有四个推断:

II1-

।I।I।____।।।A

-5-4^3-2-1,。123x

-1

①抛物线开口向下；

②当x=-2时，y取最大值；

③当<4时.关于x的一■兀二次方程a无2+为+c=，〃必有两个不相等的实数根；

④直线7=丘+。(斤n0)经过点/,C,当履+(?>办2+6x+c时，x的取值范围是-4<x<0；

其中推断正确的是()

A.①②B.①③C.①③④D.②③④

二、填空题

9.在平面直角坐标系中，点(3,-4)关于原点对称的点的坐标是.

10.一元二次方程一一以-1=0的二次项系数是，一次项系数是.

试卷第2页，共8页

11.OO的直径为15cm,若圆心。与直线/的距离为7.5cm,贝!I/与OO的位置关系是

(填“相交”、“相切”或“相离”).

12.如图，抛物线yuaY+bx+c的对称轴为x=l，点尸，点。是抛物线与x轴的两个交点，

若点P的坐标为(-1,0),则点。的坐标为.

13.如图，等腰直角三角形NBC绕点/逆时针旋转60。，得到连接AD,则

/CBD=.

14.如图，A8是。。的直径，点C、。在圆上，/D=67°,则等于度.

15.已知二次函数了=Y-尤+：机-1的图象与x轴无公共点，则优的取值范围是.

16.如图，在V/BC中，AB=AC=6,乙4=120。，过点A作NOIBC,延长至点N,

使得AD=DN,在平面上有一动点使/4W=90°,连接BM,则的最小值

为.

试卷第3页，共8页

三、解答题

17.解一元二次方程：x2-x-l=0.

18.陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个

“老碗”（图①）的形状示意图.我是。。的一部分，点C是弦的中点，连接OC并延长,

交于点。，连接04OB.若/3=24cm,碗深CD=8cm,求。。的半径。4.

图①图②

19.已知关于尤的一元二次方程f+O+2）x+2m=0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根大于3,求加的取值范围.

20.已知：A,3是直线/上的两点.

求作：NABC,使得点C在直线/上方，且4CB=150。.

--------------------I

AB

作法：

①分别以4,B为圆心，长为半径画弧，在直线/下方交于点。

②以点。为圆心，0/长为半径画圆；

③在劣弧蕊上任取一点C（不与，，8重合），连接/C,BC.VN8C就是所求作的三角

形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：在优弧荔上任取一点M（不与N,8重合），连接NM,BM,OA,OB.

'：OA=OB=AB,

/\OAB是等边三角形.

ZAOB=60°.

,：A,B,A/在。。上，

：.ZAMB=-ZAOB（）（填推理的依据）.

2

/AMB=3Q°.

试卷第4页，共8页

,/四边形ACBM内接于OO,

/.ZAMB+ZACB=]&0°()(填推理的依据).

,4c3=150°.

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，己知点8(3,4),氏轴于4.

⑴画出将△0/3绕原点。逆时针旋转90。后所得的的A。/画，并写出点3的对应点用的坐

标为;

(2)在(1)的条件下，连接AB一则线段5月的长度为.

22.列方程或方程组解应用题：

如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长16米、宽9米的矩形.为便于管理，要在

中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为112平方米，求小道的宽为多少米？

23.在平面直角坐标系xQy中，抛物线%=/+乐+,经过点力(0,3),8(3,0)两点.直线

%=履+6经过/、2两点.

试卷第5页，共8页

⑴求二次函数的解析式；

(2)求该抛物线的对称轴和顶点坐标;

⑶若为>必，直接写出x的取值范围.

24.如图，48为OO的直径，C是O。上一点，。在的延长线上，NBCD=ZA.

(1)求证：CD是O。切线；

(2)若B£>=2,CD=2.45,求。。的半径长.

25.如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪

喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远,

于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离

组对应值如下表:

£35

X(单位：m)01234

222

9511137

y(单位：m)234

42~4~42

(1)该喷枪的出水口到地面的距离为m；

(2)在平面直角坐标系无切中，描出表中各组数值所对应的点，并画出F与x的函数图象;

试卷第6页，共8页

.V/mA

5

4-

3'

2-

O'12~3~4567~89l?1c/m

（3）结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为8m时，水流的最高点到

地面的距离为m（精确到1m）.根据估算结果，计算此时水流的射程约为m

（精确至Ll1m,参考数据2.4）.

26.在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线y=办2片0）

（1）求该抛物线的对称轴（用含。的式子表示）；

⑵若。=1,当-2<x<2时，求y的取值范围；

⑶已知4（2”1,必），B（a,yj,C（4+2,%）为该抛物线上的点，若（乂-%）（%-%）>0,求

a的取值范围.

27.如图，V/BC中，ZACB=90°,NC=3C,点。在8/的延长线上，连接CD,以C为

中心，将线段CD逆时针旋转90。，得到线段CE,连接BE.

（1）依题意补全图形，并用等式表示线段力。与BE的数量关系；

（2）用等式表示线段43、AD./E的数量关系，并证明；

（3）取BD的中点N,连接CN,用等式表示线段/E与CN的数量关系，并证明.

28.在平面直角坐标系中，对于点尸，O,0给出如下定义：若。。（尸。〈尸。且尸042,

我们称点尸是线段。。的“潜力点”.已知点。（0,0）,0。,0）.

试卷第7页，共8页

⑴在4(0,-1),6(0,2),。(-1,1)中是线段。。的“潜力点”是；

⑵若点尸在直线y=x上，且为线段。。的“潜力点”，求点尸横坐标的取值范围；

⑶直线＞=-x+b与x轴交于点跖与y轴交于点N,当线段ACV上存在线段的嘴力点”

时，直接写出6的取值范围.

试卷第8页，共8页

参考答案:

题号12345678

答案BDABCBBB

1.B

【详解】分析：根据中心对称图形的定义判断即可.

详解：A.不是中心对称图形，故此选项错误；

B.是中心对称图形，故此选项正确；

C.不中心对称图形，故此选项错误；

D.不是中心对称图形，故此选项错误.

故选B.

点睛：考查中心对称图形的定义，熟记它们的概念是解题的关键.

2.D

【分析】本题考查了点与圆的位置关系，（r为圆半径，1为点到圆心距离）当点在

圆内；当厂＜d,点在圆外；当r=d,点在圆上；据此作答即可.

【详解】解：；0。的直径为6cm,即。。的半径为3cm，点尸在。。内，

，线段。尸的长度＜3cm.

故选：D.

3.A

【分析】根据二次函数图象平移的规律：“左加右减，上加下减”，即可得到答案.

【详解】•••抛物线了=x?的顶点坐标为：（0,0）

•••把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到（2,1）,

即：平移后的抛物线的解析式为：y=（x-2）2+l,

故选A.

【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移规律，掌握二次函数图象平移规律，是解题的关

键.

4.B

【分析】由一元二次方程的定义，可知2w0；一根是0,代入（。-2）/+升02_4=0可得

a2-4=0.a的值可求.

【详解】解：.••（。-2卜2+苫+/-4=0是关于x的一元二次方程，.•.a-2/O,即"2①

答案第1页，共22页

由一个根是0,代入（。-2）/+》+02-4=0,可得02-4=0,解之得。=±2；②

由①②得。=-2.

故选B.

【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0.解题时须

注意，此为易错点.否则选C就错了.

5.C

【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，根据圆周角定理可得/BOC=60。，根据垂径

定理可得前=而，进而根据病=而，即可求解.

【详解】解：如图所示，连接OC,

VZBAC^30°,BC=BC，

：.NBOC=60°,

是直径，CDLAB,

'-BC=BD，

/.ZDOB=ZBOC=60°,

故选：C.

6.B

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及统计表，找准等量关系，正确列出

一元二次方程是解题的关键.

【详解】解：设增长率为x,列方程为10（1+4=12,

故选B.

7.B

【分析】如图：连接尸P、NN',作PP的垂直平分线，作MV'的垂直平分线，两垂直平分

线的交点即为旋转中心；掌握旋转中心的确定方法是解题的关键.

答案第2页，共22页

【详解】解：如图,

1/AMPN绕某点旋转一定的角度，得到AM'P'N',

二连接尸P、NN,作PP的垂直平分线，作MV'的垂直平分线，

三条线段的垂直平分线正好都过B,即旋转中心是B.

故选：B.

8.B

【分析】用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象和性质，逐项进行判

断即可.

【详解】解：由图象可知点/（T,2）,8（—2,4）,C（0,3）,代入了=/+6x+c（aw0）得到,

16〃一4b+c=2

<4a-2b+c=4,

c=3

a=—3

8

解得"二一二，

4

c=3

35

，二次函数的解析式为y=--x2--x+3,

84

3

*.*a=—<0,

8

工抛物线开口向下，故①正确；

；"_3X2__3

3=_x+|

848

.•.当X=时，y取最大值，故②错误;

答案第3页，共22页

•••^=-3--**+3=-3]》+3[+红的顶点坐标是（-：,翳），

848（3）24I324J

97

当皿<4〈一时，直线V=机与抛物线有两个交点，

24

关于x的一■兀二次方程a无2+bx+c=加必有两个不相等的实数根；故③正确;

:直线y=丘+。（斤40）经过点4,C,

，当日+c<ax?+bx+c时，x的取值范围是-4<x<0，故④错误，

综上可知，正确的是①③，

故选：B

【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，利用图象法判断方

程的根和求不等式的解集等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

9.（-3,4）

【分析】本题考查求关于原点对称的点的坐标，根据点卜,力关于原点对称的点的坐标为

（f,-y）求解即可.

【详解】解：在平面直角坐标系中，点（3,口）关于原点对称的点的坐标是（-3,4）,

故答案为：（-3,4）.

10.1-4

【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式

y=ax2+bx+c（a^0）,其中。是二次项系数，6是一次项系数，。是常数项.根据一元二次

方程一般形式的定义，即可求解.

【详解】解：一元二次方程x2-4x-l=0的二次项系数是1,一次项系数是-4,

故答案为：1,-4.

11.相切

答案第4页，共22页

【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，由。。的直径为15cm,求得OO的半径为7.5cm,

而圆心。与直线/的距离为7.5cm,则圆心。与直线/的距离等于。。的半径，所以/与O。相

切，于是得到问题的答案.

【详解】解：的直径为15cm,；xl5=7.5(cm),

QO的半径为7.5cm,

・•・圆心。与直线/的距离为7.5cm,

圆心O与直线/的距离等于的半径，

.•./与。。相切,

故答案为：相切.

12.(3,0)

【分析】点P的坐标为(-1.0),对称轴为x=l,贝U：PQ之间的距离为2x(1+1)=4,即

可求解.

【详解】点P的坐标为(-110),对称轴为x=l,

则：PQ之间的距离为2x(1+1)=4,

则：点Q的横坐标为-1+4=3,

故答案为(3,0).

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，掌握抛物线的对称性是解题

的关键.

13.150/15度

【分析】根据旋转的性质可得，ZBAD=6Q°,BAAD,得到为等边三角形，即可

求解.

【详解】解：由旋转的性质可得，NBAD=60。,BA=AD,

:.ABAD为等边三角形

又•••VABC为等腰直角三角形

NABC=45°

ZCBD=ZABD-NABC=15°

故答案为15。

【点睛】此题考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握并利用相关

性质进行求解.

答案第5页，共22页

14.23

【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得//=/。=67。，然后根据直径所对的圆周角是直

角可得N/C2=90。，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结论.

【详解】解：由圆周角定理得，/A=ND=67。,

是0。的直径，

ZACB=90°,

：.ZABC=90°-67°=23°,

故答案为：23.

【点睛】此题考查的是圆周角定理的推论和直角三角形的性质，掌握同弧所对的圆周角相等、

直径所对的圆周角是直角和直角三角形的两个锐角互余是解决此题的关键.

15.m>5

【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，抛物线与X轴的交点个数由A决定，

当△=-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点，当A=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一

个交点，当△=〃一4碇<0时，抛物线与x轴没有交点.据此解答即可.

【详解】解：••・二次函数>-1的图象与x轴没有公共点，

4

2

.•.A=(-l)-4xlxQm-l^<0,即1-加+4<0,

解得：m>5,

故答案为：机>5.

16.373-3

【分析】连接A/D,由/O/BC,AB=AC=6,得/BAD=NCAD=60。,BD=CD,

ZADB=9Q°,从而得AD=DN=g4B=3,由勾股定理得2。=3百，根据直角三角形斜边

上的中线等于斜边的一半可知始终不变，则要使3/有最小值，通过根据三角形的三边

关系可知，当点”在线段BD上时8M最小，最小值为36-3,从而求解.

【详解】如图，连接"D,

答案第6页，共22页

•:AD_LBC,AB=AC=6,

：.BD=CD,ZADB=90°,

ZBAC=120°,

ZABC=ZACB=30°,

/.AD=DN=-AB=3,

2

在Rt^4BD中，由勾股定理得：BD7AB2-AD?=依-乎=3#，

,：ZAMN=骄,AD=DN,

:.MD=AD=DN=3,

MD始终不变，

要使5/有最小值，根据三角形的三边关系可知，当点M在线段BD上时3M最小，最小

值为3G-3,

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，30。所对直角边是

斜边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握知识点的应用是解题的关键.

【分析】利用公式法求解即可.

【详解】解：b=-l,c=-l,

.,.△=(-l)2-4xlx(-l)=5>0,

(1+y]-51—>J-5

•»X1=----------,X2=----------.

22

【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：

直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解

题的关键.

18.13cm

【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设。。的半径。4为Hem,列出关于R的

方程是解题的关键.首先利用垂径定理的推论得出OD_L48,AC=BC=：AB=12cm,再

设。。的半径04为Rem,则。C=(R-8)cm.在RIACMC中根据勾股定理列出方程

答案第7页，共22页

7?2=122+(7?-8)2,求出1即可.

【详解】解：・.・荔是。。的一部分，点C是弦力B的中点，AB=24cm,

OD_LAB,AC=BC=—AB=12cm.

2

设。。的半径04为7?cm,则OC=OD-CD=(R-8)cm.

在RLCMC中，

•/ZOCA=90°,

:.OA2=AC2+OC2,

:.R2=122+(7?-8)2,

.-.7?=13,

即OO的半径0A为13cm.

19.(1)见解析；(2)m<-3

【分析】(1)根据判别式与一元二次方程根个数的关系，判断判别式的大小即可得到答案；

(2)通过因式分解得到两根，再根据有一个根大于3求解即可得到答案；

【详解】(1)证明：VV=Z72-4ac

=(7M+2)2—4x2加

=(加-2)2,

:无论加取何值时，(加-2)220,

原方程总有两个实数根；

(2):原方程可化为(x+2)(x+M=0,

・・——2,%2=一,

..•该方程有一个根大于3,

-m>3.

m<—3.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的个数与判别式的关系、因式分解法求解二元一次

方程，掌握判别式W0,方程有两个实数根是解题的关键.

20.⑴见解析；

(2)同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补.

答案第8页，共22页

【分析】（1）按照题目所给作法作出相应图形即可；

（2）根据等边三角形的判定与性质可得乙4。=60。，再根据圆周角定理可得0=30。,

最后再根据圆的内接四边形的性质即可证得N/C3=150。.

【详解】（1）解：如下图即为所求.

（2）证明：如图，在优弧力上任取一点M（不与A,5重合），连接4W,BM,OA,OB.

'：OA=OB=AB,

•**/\OAB是等边三角形.

・・・ZAOB=60°.

,:A,B,M在。。上，

:,UMB=；//O3（同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半）.

NAMB=30°.

,/四边形ACBM内接于0O,

N4MB+44cB=180。（圆的内接四边形对角互补）.

ZACB=150°.

答案第9页，共22页

故答案为：同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，圆的内接四边形的性质以及等边三角形的

判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

21.(1)图形见解析，Bx(-4,3)

(2)5A/2

【分析】(1)根据旋转中心为原点。，旋转方向逆时针，旋转角度90。得到点/、3的对应

点4,4,连接得到即可；根据点Bx所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标.

(2)根据勾股定理计算得到答案.

【详解】(1)解：如图，A。/声即为所求；点4的坐标为(T，3)；

(2)线段3月的长度为71rB7=5直，

故答案为：572

【点睛】本题考查了作图-旋转变换及求旋转后的点的坐标，勾股定理，正确画出图形是关

键.

22.小道的宽为1米

【分析】本题考查了一元二次方程的应用.利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题

的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的易错点.把阴影部分分别移到矩形的上边和

左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为112列出方程即可.

【详解】解：设小道的宽为x米，根据题意，得

(16-2x)(9-x)=112,

x2-17x+16=0,

答案第10页，共22页

xx=1,x2=16(不合题意，舍去).

答：小道的宽为1米.

23.⑴%=%2_41+3

(2)对称轴为x=2,顶点坐标为(2,-1)

(3)0<x<3

【分析】本题考查了待定系数法求函数表达式，二次函数图象的性质，二次函数与不等式等

知识，熟练运用数形结合的思想是解题的关键.

(1)利用待定系数法求解即可；

(2)将(1)中抛物线解析式化为顶点式即可解答；

(3)根据直线为=Ax+6的图象在抛物线必=/+6x+c的图象上方部分对应自变量x的取

值范围即为为>必时，x的取值范围，再根据抛物线必=/+6x+c与直线％=丘+6都经过

/、B两点,即可解答.

【详解】(1)解：；抛物线弘=/+乐+。经过点4(0,3),3(3,0)两点，

J3=c

"[Q=9+3b+c，

\b=-4

解得：。,

[c=3

•••二次函数的解析式为：必=/-4x+3；

(2)解：由(1)知抛物线解析式为：乂=--4》+3,

*'•弘=X--4x+3=(x_2)~_],

抛物线的对称轴为x=2,顶点坐标为(2,-1)；

(3)解：根据题意：直线为=h+6的图象在抛物线必=/+6x+c的图象上方部分对应自

变量x的取值范围即为％>必时，x的取值范围，

••,抛物线必=/++c与直线%=爪+6都经过4(0,3),B(3,0)两点，

答案第11页，共22页

如图,

(2)4

【分析】

(1)连接。C,根据圆周角定理求出N/C2=90。，求出乙4cB=4CO+/3CO

=NDCB+NBCO=NOCD=90。,根据切线判定推出即可；

(2)在比AOCD中，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可.

【详解】(1)

ZACB=90°,

ZACO+ZBCO=90°,

OA=OC,

ZA=NACO,

ZDCB=N4,

ZDCB=NACO,

:.ZDCB+ZBCO=90°,

ZOCD=90°,

即OC_LDC,

答案第12页，共22页

•••。。为半径，

，CD是O。的切线；

(2)

解：•:BD=2,CD=275,OB=OC,

设0C=尤，

VZOCD=90°,

在放AOCD中，由勾股定理得：/+(2行『=(x+2)2,

解得：x=4,

OO的半径是4.

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定定理，勾股定理的应用，掌握相关定理是解题

的关键.

25.(1)2

⑵见解析

(3)6,18

【分析】(1)令x=o时，求得y值即可；

(2)按照描点，连线的基本步骤画函数图象即可；

(3)设直线为＞=6+6,把尤=0,了=2和x=2,y=3代入解析式，联立方程组，解出即

可得出直线的解析式为〉=^X+2,然后再把x=8代入y=；x+2,求得y=6,进而得出抛

物线的顶点坐标，然后设出抛物线解析式为＞=。(》-8丫+3,把(0,2)代入解析式，确定

a=~,得到抛物线解析式，再令y=0,求得X的值即可.

16

【详解】(1)解：令x=0时，得了=2,

故答案为：2

(2)解：根据题意，画图如下：

答案第13页，共22页

把x=0,歹=2和工=2,歹=3代入，可得：，

[2左+6=3

\k=-

解得12,

b=2

...直线的解析式为y=gx+2,

当x=8时，可得：j=1x8+2=6（m）,

，水流的最高点到地面的距离为6m,

•••抛物线的顶点坐标为（&6）,

设抛物线解析式为y=“x-8y+6,

把（0,2）代入解析式,可得:64.+6=2,

解得：a=--7»

16

1?

:・y=一布（％-8）+6,

19

令”0,可得：——（X-8）+6=0,

16

解得：t=8+4C或％=8-4直（舍去），

Mx=8+476»17.79®18（in）,

此时水流的射程约为18m.

故答案为：6,18

【点睛】本题考查了一次函数图象的画法、待定系数法求一次函数的解析式、求二次函数解

析式、一元二次方程的解法、二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式

答案第14页，共22页

是解本题的关键.

26.⑴直线x=a

(2)-1<y<8

(3)a>3或a<-1.

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质并分类讨论是解题的

关键.

(1)根据对称轴公式即可求解；

(2)根据抛物线解析式为y=x2-2x,对称轴为直线x=l,开口向上，则x=l时，得到N的

最小值，当-2<x<2时，直线x=-2比尤=2距离对称轴远，据此求出最大值即可；

(3)根据题意得出B(a,%)为抛物线的顶点，。<0,C(a+2,%)在对称轴的右侧，分当

%)在对称轴的左侧时，当在对称轴的右侧时，列出不等式，解不等式

即可求解.

【详解】(1)解：抛物线V="2_2/x("0)的对称轴为直线尤=-1=。；

2a

即该抛物线的对称轴为直线x=a

(2)解：,

•••抛物线解析式为>=/-入，对称轴为直线x=l,开口向上，

.,.x=l时，>的最小值为y=1-2=T,

,/-2<x<2,直线x=-2比x=2是巨离对称轴远，

.♦.x=-2时，y的最大值为y=x2_2x=(-2)2_2x(-2)=8,

当一2Vx<2时，求y的取值范围为-lVy<8；

(3)解：：对称轴为直线直线x=a,

当。>0时，抛物线开口向上，函数有最小值为，

y3-y2>°>

>o，

・,•%-%>°，即%>%，

答案第15页，共22页

|2<7—1—6z|>|<2+2—,即卜-〉2,

当a21时，<2-1>2,即〃>3,

・・cz〉3,

当0<。<1时，1一。〉2,即〃<一1,不合题意，舍去,

••。〉3,

...当。<0时，抛物线开口向下，函数有最大值%,

(%-%)(%-%)>0，

•,•乂-%<0，即“<力，

120-1—a]>卜+2-,即—1]>2,

**•1—Q>2

解得a<—1.

综上可知，a的取值范围是a>3或。<-1.

27.(1)补全图形见解析，AD=BE

⑵AB2+AD2=AE2，证明见解析

(3)AE=2CN,证明见解析

【分析】(1)根据要求作出图形，由旋转性质可知：CD=CE,NDCE=90。,然后证明

△DCAaECB即可；

(2)由ADC4GAECB可得D4=EB,NCAD=NCBE,通过角度和差可证N/BE=90。，根

据勾股定理即可求解；

(3)延长CN到T,使得NT=CN,连接87,证明ACND^ATWS,从而可得CO=BT,

ZNCD=ZT,通过角度和差可以得出44CE=/CBT,最后证明A/CE0ACBT即可.

【详解】(1)解：依题意补全图形，如图

答案第16页，共22页

由旋转性质可知：CD=CE,ZDCE=9Q°,

,：ZACB=90°,

ZDCE=ZACB,IPZDCA+ZACE^ZACE+ZECB,

：.ZDCA=ZECB,

在和AECB中，

CD=CE

<ZDCA=ZECB,

CA=CB

：.ADCA%ECB(SAS),

，AD=BE,

(2)解:AB2+AD2=AE2,证明如下:

由(1)得：ADC4%ECB

：.DA=EB,NCAD=NCBE,

VCA=CB,ZACB=90°,

：.ZCAB=ZCBA=45°,

：.ZCAD=ZCBE=135°,

：.ZABE=90°,

，AE2=AB2+BE1,

AB2+AD2=AE2;

(3)解：AE=2CN,证明如下：

延长CN到T,使得NT=CN,连接37,

,/N是8。的中点，

DN=NB,

在和△力V3中,

答案第17页，共22页

NC=NT

</CND=/BNT,

ND=NB

.,・△C7VD2△TWS(SAS)

：.CD=BT,ZNCD=/T,

：.CD//BT,

・•・ZDCB+ZCBT=ISO°,

CE=CD,

：.BT=CE,

ZACB+ZDCE=\^°,

：.ZACE+ZDCB=\SO0,

：.ZACE=/CBT,

在/UCE和△CBT中，

CA=BC

</ACE=/CBT,

CE=BT

：.△ACE知CBT(SAS),

・•・AE=CT,

：.AE=2CN.

【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识,

解题的关键是添加辅助线，正确构造全等三角形.

28.(1)£，P3

(2)—V2<x<-----

p2

(3)—20£b〈1+而

2

【分析】(1)分别计算出。。、尸。和尸。的长度，比较即可得出答案；

(2)先判断点尸在以。为圆心，1为半径的圆外且点P在线段。。垂直平分线的左侧，结

合尸。42,点尸在以。为圆心，2为半径的圆上或圆内，可得点尸在如图所示的线段上

(不包含点5),过3作轴，过A作轴，垂足分别为再根据图形的性质

答案第18页，共22页

求解3C,4D,从而可得答案；

（3）由（2）得：点尸在以O为圆心，1为半径的圆外且点尸在以。为圆心，2为半径的

圆上或圆内，而P。〈尸。，点尸在线段垂直平分线的左侧，分别画出临界直线P=r+b

再根据临界直线经过的特殊点求解6