高考数学一轮复习：解三角形图形类问题（十大题型）（原卷版+解析）

重难点突破02解三角形图形类问题

目录

方法技巧总结

解决三角形图形类问题的方法：

方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题;

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题,

相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选

择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可

以将其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更

加直观化.

必考题型旧纳

题型一：妙用两次正弦定理

例1.(2023・全国•高三专题练习)如图，四边形A3CD中/BAC=9(r,ZABC=300,ADLCD,设NACD=。.

(1)若AABC面积是AACD面积的4倍，求sin26；

jr

(2)若ZAD2=一,求tan。.

例2.(2023・湖北黄冈•高一统考期末)如图，四边形ABCD中/3AC=90。，ZABC=60°,AD1CD,设

ZACD=3.

(1)若AABC面积是AACD面积的4倍，求sin20;

(2)若tanZADB=-,求tan。.

2

例3.（2023•全国•高三专题练习）在①AB=2AD,②sinZACB=2sinZACD,③邑.=2S通⑺这三个条件

中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知在四边形A8CZ）中，ZABC+ZADC=n,BC=CD=2,且______.

（1）证明：tanNABC=3tanNBAC；

（2）若AC=3,求四边形ABC。的面积.

变式1.（2023.甘肃金昌.高一永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平面四边形A8C。中,

JT37r

ZBCD=-,AB=1,ZABC=—.

Q）当BC=也,CD=a时,求△ACD的面积.

JT

⑵当ZAOC=—,AO=2时，求tanZACB.

TT27r

变式2.（2023•广东广州•高一统考期末）如图，在平面四边形ABCD中，ZBCD=~,AB^1,ZABC=-.

A

(1)若8C=2,C£>=J7,求AACO的面积;

JT

⑵若Z.ADC=—,AD—2,求cosZACD.

变式3.(2023・广东・统考模拟预测)在平面四边形ABCD中，ZABD=ZBCD=90°,/DAB=45。.

(1)若AB=2,ZDBC=30°,求AC的长;

3

(2)若tan/BAC=-,求tan/£>3c的值.

4

变式4.(2023•江苏徐州•高一统考期末)在①———=22“_2，@sinB-cosB=^b~a,③AABC的

cosBcosCa+c-bc

面积

S=^^b(6sinC+ctanCcosB)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.

在AABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,己知.

⑴求角C；

(2)若点。在边AB上，且B£»=2AD,cos2=《，求tan/BCD

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

变式5.(2023・广东深圳・深圳市高级中学校考模拟预测)记AABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,

已知bcosA—acosB=b—c.

⑴求A；

(2)若点。在8C边上，且CD=28。，cosB=—,tanABAD.

3

变式6.(2023•广东揭阳•高三校考阶段练习)在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且

2cosA(ccosB+bcosC)=a.

⑴求角A;

(2)若。是AABC内一点，ZAOB=no°,ZA<9C=150°,b=l,c=3,求tan/ABO.

题型二：两角使用余弦定理

例4.（2023・全国•高一专题练习）如图，四边形A3CD中，cos/R4O=g,AC=AB=3AD.

⑴求sinNAB。；

⑵若/BCD=90。,求tan/CBD.

例5.（2023•全国•高一专题练习）如图，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=&C=6.

⑴求证：sinC=百sinA；

(2)若C=2A,AB=2CD,求梯形A8C£>的面积.

例6.（2023•河北•校联考一模）在AABC中，AB=4,AC=26,点。为3c的中点，连接AD并延长到点

E,使AE=3DE.

（1）若DE=1,求的余弦值；

JT

⑵若ZA2C=“求线段班的长.

变式7.（2023•全国•模拟预测）在锐角AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

2cos22c=3-5cos21等-c]

⑴求角C；

AC

⑵若点。在AB上，BD=2AD,BD=CD,求大的值.

变式8.（2023•浙江舟山•高一舟山中学校考阶段练习）如图，在梯形ABCD中，AB//CD,

ADsinD=2CDsinB.

⑴求证：BC=2CD；

(2)若AD=BC=2,ZA£>C=120',求A3的长度.

题型三：张角定理与等面积法

例7.（2023・全国•高三专题练习）已知△ABC中，。，仇c分别为内角A,B,C的对边，且

2«sinA=（2Z>+c）sinB+（2c+/?）sinC.

（1）求角A的大小；

（2）设点。为8C上一点，AD是“LBC的角平分线，且AD=2,b=3,求“IBC的面积.

例8.（2023•贵州黔东南•凯里一中校考三模）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

2osinA=(2/?+c)sinB+(2c+^)sinC.

(1)求A的大小；

(2)设点。为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且AD=4,AC=6,求△ABC的面积.

例9.(2023•山东潍坊・统考模拟预测)在"LBC中，设角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且

(c-6)sinC=(a—6)(sinA+sinB).

(1)求A；

(2)若。为BC上点，AD平分角A,且人=3,AD=6,求器.

变式9.(2023•安徽淮南・统考二模)如图，在AABC中，AB=2,3sin2B-2cosB-2=0.且点。在线段BC

上.

⑵若BD=2DC,SmZBAD=4y/2,求△ABD的面积.

sinZCAD

变式10.(2023•江西抚州•江西省临川第二中学校考二模)如图，在44BC中，AB=4,cos2=；,点。在

线段BC上.

A

(1)若ZADC=—，求AD的长；

4

(2)若&)=2DC,AACD的面积为”也，求垩碧2的值.

3smZCAD

变式11.(2023・全国•高一专题练习)已知函数/(%)=asins:coss:-cos2GX+((G＞。)，其图像上相邻的

最高点和最低点间的距离为,4+1.

⑴求函数"X)的解析式；

(2)记AABC的内角ABC的对边分别为a,》,c,a=4,bc=12,/(A)=l.若角A的平分线AD交BC于。,

求AD的长.

变式12.(2023・吉林通化・梅河口市第五中学校考模拟预测)已知锐角"RC的内角4民C的对边分别为

sinB-sinC

a,b,c,且一=

b+csinA-sinC

⑴求B；

(2)若。=6，角5的平分线交AC于点D,BD=1,求AABC的面积.

题型四：角平分线问题

例10.(2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨市第一二二中学校校考模拟预测)在AABC中，已知AB=5,NBAC的

平分线与边BC交于点。，/D4C的平分线与边3C交于点E,cos/EAC=±何.

10

(1)若5C=[AC,求AABC的面积;

(2)若cos/AO3=也，求3C.

10

例11.(2023•河北衡水•河北衡水中学校考模拟预测)锐角AABC的内角A,B,C的对边分别为mb,c,

已知有(Z?sinC+csinB^-4asinBsinC,b2+c2-a2=S>

(1)求<:。54的值及”15(3的面积；

(2),A的平分线与BC交于。，DC=2BD,求。的值.

例12.(2023・山东泰安・统考模拟预测)在“1BC中，角A、B、C的对边分别是b、c,且

2cosC-sin[g++cosA=0.

(1)求角C的大小；

(2)若NACB的平分线交AB于点。，且CD=2,BD=2AD,求AABC的面积.

变式13.(2023・河北唐山・唐山市第十中学校考模拟预测)如图，在44BC中，角A,B,C所对的边分别为

a,b,c,a+2b=2ccos]B-：J,角C的平分线交AB于点。，且BD=2币,AD=A/7.

⑴求，ACB的大小；

⑵求CD

变式14.(2023・广东深圳•校考二模)记AASC的内角A、民C的对边分别为a、6、c,已知

..2A2

sinBsinCcos—=2sinA.

2

⑴证明：〃+c=3a；

(2)若角B的平分线交AC于点。，且=土也，黑=:，求AABC的面积.

52

变式15.(2023•海南•校联考模拟预测)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,点〃在边8C上,

AM是角A的平分线，asinB=—J§Z?cosA,CM=2.MB.

⑴求A;

⑵若AM=26,求BC的长.

变式16.(2023•四川•校联考模拟预测)在①a=6cosC+且csinB；②c=3这两个条件中任选一个作为已

3

知条件，补充在下面的横线上，并给出解答.

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

已知44BC中，角4B,C的对边分别为a,6,c,点。为3C边的中点，b=AD=币,且________.

(1)求。的值；

(2)若—ABC的平分线交AC于点E,求ABCE的周长.

题型五：中线问题

例13.(2023•浙江杭州•统考一模)已知AABC中角A、B、C所对的边分别为。、b、c,且满足

2csinAcosB+2£>sinAcosC=币a,c>a.

(1)求角A；

(2)若匕=2,BC边上中线AO=J7,求AABC的面积.

例14.(2023・四川内江•校考模拟预测)在△ABC中，。是边BC上的点，NBAC=12(T,=1,平分

ABAC,△A3。的面积是△AC。的面积的两倍.

(1)求△AC。的面积；

(2)求△A8C的边BC上的中线AE的长.

例15.(2023•四川绵阳•统考二模)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,6,c,a2sinC+3acosC=3&)

A=600.

⑴求。的值；

—,—.1

(2)若=求BC边上中线AT的长.

变式17.(2023・广东广州•统考一模)在AABC中，内角ABC的对边分别为a,4c,c=2^2sinA=3sin2C.

(1)求sin。；

⑵若闻O勺面积为呼’求,边上的中线。的长.

n8)+COS(£+8

变式18.(2023・安徽宣城•安徽省宣城中学校考模拟预测)AABC中，己知百cos=0.AC

边上的中线为瓦)

⑴求N3；

(2)从以下三个条件中选择两个，使44BC存在且唯一确定，并求AC和3D的长度.

22

条件①：cT-b+c-3c=0:条件②a=6；条件③S4ABe=15g.

变式19.（2023・辽宁沈阳•东北育才双语学校校考一模）如图，设AMC中角A,B,C所对的边分别为a,b,

c,为BC边上的中线，已知c=l且2csinAcos8=asinA-Z?sin8+』/?sinC,cosABAD=

47

⑴求b边的长度；

（2）求AABC的面积；

⑶设点E,尸分别为边48,AC上的动点（含端点），线段所交AD于G,且△AEF的面积为面积的

求而.而的取值范围.

0

变式20.（2023・广东广州•统考三模）在①戾也气一=asinB；②出4sinB=A（2-cosA）这两个条件中任选一

个，补充在下面的问题中，并作答.

问题：己知AABC中，。也。分别为角A,8,C所对的边，.

（1）求角A的大小；

（2）已知AB=2,AC=8,若BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,求/A/PN的余弦值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

题型六：高问题

例16.（2023•海南海口・海南华侨中学校考模拟预测）已知AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,

a-6,bsin2A=4若sinB.

冗

（1）若6=1,证明：C=A+-；

（2）若8C边上的高为半，求AABC的周长.

例17.（2023・重庆•统考模拟预测）在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,6,c,m=（sinB,sinC+cosC）,

一-1

n=(cosC-sinC,cosB),m-n=—

2

⑴求sin2A；

(2)若a=3,5c边上的高线长近—1,求sin^sinC.

例18.（2023・四川自贡•统考三模）△ABC的内角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,b2+c2=a2+bc.

⑴求A；

（2）若BC上的高AD=—a，求cosBcosC.

变式2L（2023•黑龙江齐齐哈尔•统考一模）已知△ABC的内角A,B,。的对边分别为eb,c,且

c-y/3bsinA=a+c——2——b.

2c

⑴求A;

（2）若b=：c,且BC边上的高为2班，求a.

变式22.（2023・辽宁抚顺•统考模拟预测）已知41BC中，点。在边A3上，满足前=彳

且cosg=1，，ACA£）的面积与△CBD面积的比为2«:3.

⑴求sinA的值；

⑵若AB=5,求边A3上的高CE的值.

题型七：重心性质及其应用

例19.（2023・全国•高三专题练习）已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3c2=6+8〃.

⑴求cosB的最小值；

⑵若M为“BC的重心，ZAMC=90°,求理二等.

smZCMB

例20.（2023・河南开封•开封高中校考模拟预测）记AABC的内角A民。的对边分别为。涉,。，已知

小asinB-acosC=ccosA,b=底,G为△ABC的重心.

（1）若4=2,求。的长；

（2）若AG=占，求"RC的面积.

3

例21.（2023•广西钦州•高三校考阶段练习）在AABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且

acosB+布asinB=c+b.

⑴求角A的大小；

（2）若〃=3,点G是的重心，且AG=®，求AABC内切圆的半径.

变式23.（2023•全国•高三专题练习）设〃，b,c分别为AABC的内角A,B,。的对边，AO为5C边上的中

线，c=l,ABAC=—,2csinAcosB=asinA—bsinB+—bsinC.

2

⑴求AZ）的长度;

(2)若E为AB上靠近2的四等分点，G为AABC的重心，连接EG并延长与AC交于点凡求AF的长度.

变式24.(2023•四川内江•高三威远中学校校考期中)&4BC的内角A,B,C所对的边分别为

7乙1.B+C

a,b,c,a=o,bsm-----=asmB.

2

(1)求A的大小；

⑵M为AABC内一点，AM的延长线交3C于点Q,,求44BC的面积.

请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使AABC存在，并解决问题.

①M为AABC的重心，AM=2^3；

②M为44BC的内心，AD=3y/3；

③M为AABC的外心，AM=4.

变式25.(2023・全国•高三专题练习)在①2acosA=6cosC+ccosB；②tan8+tanC+石=V§\anBtanC这

两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.

在AABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知.

(1)求角A的大小；

(2)若AABC为锐角三角形，且其面积为占，点G为"LBC重心，点M为线段AC的中点，点N在线段A3

2

上，旦AN=2NB,线段与线段CN相交于点P,求|不|的取值范围.

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.

题型八：外心及外接圆问题

例22.(2023•湖南长沙•长沙市实验中学校考二模)在AABC中，内角A,8,C的对边分别为a,b,c,且a,

b,c是公差为2的等差数列.

(1)若2sinC=3sinA,求的面积.

(2)是否存在正整数6,使得AABC的外心在AABC的外部?若存在，求6的取值集合；若不存在，请说明理

由.

例23.(2023•全国•高三专题练习)在△ABC中，三内角A,B,C对应的边分别为“，b,c,a=6.

(1)求bcosC+ccosB的值；

(2)若。是△ABC的外心，且退.%+办+&.女=6，求AABC外接圆的半径.

4

例24.(2023•全国伺三专题练习)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c；36=4c,cosC=-.

(1)求cosA的值；

(2)若AABC的外心在其外部，a=7,求44BC外接圆的面积.

变式26.(2023・高三统考阶段练习)在AABC中，角A,B,C对应的三边分别为。，b,c,

(tanA+l)(tanB+l)=2,°=2夜，a=2,。为AABC的外心，连接(M,OB,OC.

(1)求钻的面积；

(2)过B作AC边的垂线交于。点，连接0。，试求cos/OBD的值.

题型九：两边夹问题

例25.(2023•全国•高三专题练习)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,6,c,若

cosA+sinA----------——=0,则小的值是()

sinB+cosBc

A.2B.V3C.72D.1

例26.(2023・河北唐山•高三校考阶段练习)在AABC中，a、b、c分别是/A、/B、NC所对边的边长.

若cosA+sinA---------——=0,则土吆的值是（）.

cosB+smBc

A.1B.72C.V3D.2

例27.（2023•全国•高三专题练习）在AA5c中，已知边所对的角分别为4民。，若

2sin2B+3sin2C=2sinAsinBsinC+sin2A>贝!JtanA=

变式27.（2023•江苏苏州・吴江中学模拟预测）在AABC中，已知边a,b,c所对的角分别为A,2,C,若

5-2COS25-3COS2C=2sinAsinBsinC+sin?A,贝!JtanA=.

变式28.（2023・湖南长沙•高二长沙一中校考开学考试）在A45c中，已知边。、b、c所对的角分别为A、

B>C,若a=#,2sin2B+3sin2C=2sinAsinBsinC+sin2A,则AABC的面积S=.

变式29.（2023•全国•高三专题练习）在AABC中，若（《«4+5皿4）（««3+3118）=2,则角C=_.

变式30.（2023•全国•高三专题练习）在aABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,设S是AABC的

面积，若。2+C?-42=短5,则角A的值为.

33

题型十：内心及内切圆问题

例28.（2023•福建泉州•高三福建省泉州第一中学校考期中）在△ABC中，角C的对边分别为a,b,c,

/为△ABC的内心，延长线段4交8C于点。，此时屈=3而

(2)^ZADB=—,求".

3a

例29.（2023•山西高三校联考阶段练习）已知AABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,a=7,

2ccosB=（3a-2Z?）cosC.

⑴求cosC；

（2）若5=2C,M为御。的内心，求△AMC的面积.

例30.(2023・广东佛山・华南师大附中南海实验高中校考模拟预测)在中，角A,B,C所对的边分

别为b,c.已知2sinB=sinA+cosAtanC.

⑴求C的值；

(2)若AABC的内切圆半径为旨，6=4,求a-c.

2

变式31.(2023•辽宁鞍山•统考模拟预测)在々ABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,已知

6b=a(V§cosC-sinCj.

(1)求A；

(2)若a=8,AABC的内切圆半径为百，求AABC的周长.

变式32.(2023・全国•高三专题练习)已知在AABC中，其角A、B、C所对边分别为。、b、c,且满足

/7cosC+V3Z?sinC=a+c■

(1)若6=石，求AABC的外接圆半径；

⑵若a+c=4g,且丽•而=6，求AA5c的内切圆半径

变式33.(2023・全国•高三专题练习)已知44BC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,a=7,b+c=13,

内切圆半径厂=君，则tanA=.

重难点突破02解三角形图形类问题

目录

■方法技巧总结____________________

解决三角形图形类问题的方法：

方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，

相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选

择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可

以将其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更

加直观化.

题型一：妙用两次正弦定理

例1.(2023•全国•高三专题练习)如图，四边形ABCD中4BAC=90。，ZABC=30%ADLCD,设NACD=O.

(1)若AABC面积是AACD面积的4倍，求sin2。；

TT

(2)若NA05=—,求tan。.

6

【解析】(1)设=则人5=百4,AD=asin3fCD=acosO,由题意8AA5c=45AA⑺，

则L.Ga=4,acose.asine

所以sin20=.

222

BDy/3a

BDA3

(2)由正弦定理，AABD中,即sin(»-6)§1口工①

sinZBAD~sinZADB

~6

BD2a

BDBC7

ABCD中,--------=---------，即.(乃八京②

sinZBCDsinZCDBsiny+

3

①:②得：2sinl|+^j=3sin^,化简得

百cos6=2sin6,所以tan0=

2

例2.(2023•湖北黄冈•高一统考期末)如图，四边形ABCD中/BAC=90。，ZABC=60°,ADLCD,设

ZACD=0.

(1)若AABC面积是AACD面积的4倍，求sin2^;

(2)若tanZAr>2=,，求tan8

2

【解析】⑴设AB=a,

贝ijAC=耳，AD=j3asm0,CD=Acos。,

=

由题意SjBC4SAAC£),

则—。•百〃=4-cos。•gasin6,

22

所以sin20=

6

BDAB

(2)由正弦定理,在△ABD中,

sinZBAD~sinZADB'

BDa

即sin(»sin/Q5①

BDBC

在△5CD中,

sin/BCDsinZCDB

BD2a

即疝s71sin(1-ZADB)®

6

sin0八，f八y

-7-------三=2tanZADB=1

②：①得:sin仁+8

sin6=sin优+"化简得cos夕=(2—石)sin8,

所以tan0=24-^/3.

例3.(2023•全国•高三专题练习)在①AB=2AD,②sinNACB=2sinNACD,@SMC这三个条件

中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知在四边形A8CZ)中，ZABC+ZADC=n,BC=CD=2,且______.

(1)证明：tanNABC=3tan/BAC；

(2)若AC=3,求四边形ABC。的面积.

【解析】(1)方案一：选条件①.

ACBCAB

在AABC中，由正弦定理得,

sinZABCsinABAC~sinZACB

ACCDAD

在AACD中，由正弦定理得,

sinNAT>CsinADAC~sinZACD

因为NAFC+NADC=7I,所以sinNABC=sinNADC,

因为BC=CZ),所以sin/A4C=sin/ZMC,

因为NfiAC+NZMC〈兀，所以/8AC=NZMC,

因为AB=2A£>,所以sinNACB=2sinNACO.

因为sinZACB=sin(ZABC+ZfiAC),

sinZACD=sin(ZC4D+ZADC)=sin(ZBAC+TT-ZABC)=sin(ZABC-ABAC},

所以sin(ZABC+ZBAC)=2sin(ZAfiC-ABAC),

即sinZABCcosABAC+cosZABCsinZBAC=2(sinZABC-cosABAC—cosZABCsinZBAC),

所以sinNABCcosNfiAC=3cos/ABCsinNBAC,

所以tanZABC=3tanABAC.

方案二：选条件②.

AC_BC

在AABC中，由正弦定理得,

sinZABCsinABAC'

ACCD

在AACD中，由正弦定理得,

sinZADC~sinZDAC

因为/ABC+/ADC=7T,所以sin/ABC=sinNADC,

因为BC=CD,所以sin/A4C=sin/ZMC.

因为N54C+ND4c<兀，所以/BAC=/ZMC.

因为sinZACB=sin(ZABC+ZBAC),

sinZACD=sin(ZG4D+ZADC)=sin(ZBAC+n-ZABC)=sin(ZABC-ZBAC),

sinZACB=2sinZACZ),

所以sin(ZABC+ABAC)=2sin(ZABC-ABAC),

即sinZABCcosABAC+cosZABCsinABAC=2(sinZABC-cosABAC-cosZABCsinABAC),

所以sin/ABCcosNBAC=3cos/ABCsinNBAC,

所以tanZABC=3tanABAC.

方案三：选条件③.

因为ZABC=g8。AC-sin/AC8,S^CD=JCD•AC•sin/AC£>,且BC=CD,SLABC=2S^CD,

所以sinNACB=2sinNACD

ACBC

在AABC中，由正弦定理得,

sinZABCsinZBAC

ACCD

在△AC。中，由正弦定理得,

sinZADCsinZ.DAC

因为/ABC+/ADC=7t,所以sinNABC=sinNADC,

因为BC=C£>,所以sin/B4C=sin/ZMC,

因为NfiAC+NZMCvTi,所以/B4C=/ZMC.

因为sinZACB=sin(ZABC+ZBAC),

sinZACD=sin(ZCAD+ZADC)=sin(ZBAC+TT-ZABC)=sin(ZABC-ABAC),

所以sin(ZABC+ABAC}=2sin(ZABC-ABAC),

即sinZABCcosABAC+cosZABCsinABAC=2(sinZABC-cosABAC—cosZABCsinABAC),

所以sinZABCcosZBAC=3cosZABCsinZBAC,

所以tanZABC=3tanABAC.

(2)选择①②③，答案均相同，

由(1)可设AD=无，则AB=2x,

在AABC中，由余弦定理得，

信+叱-叱4尤2-5

cosZABC=

2ABBC8x

在AACD中，由余弦定理得,

AD2+CD2-AC1

cosZADC=

2ADCD4x

因为cosZABC=cos(7t—ZADC)=—cosZADC,

所以：一］解得A半或一芈（舍去）,

所以cosZABC=

8

376

所以sinZABC=sinZADC=

~8~

所以四边形ABC。的面积S=35AAe=-ADCZ）sinZADC=^^-.

ZA/1CZ728

变式1.（2023•甘肃金昌•高一永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平面四边形A8CO中,

7T3冗

ZBCD=-,AB=1,ZABC=——.

24

A

B

Cl--------------------、D

(1)当BC=6,CD=彼时,求AACD的面积.

TT

(2)当NAOC=—,AD=2时，求tanZACB.

6

37r

【解析】⑴当5cM时，在△的中，AB^ABC^-

由余弦定理得AC?=AB2+BC2—2ABcos/ABC,

即AC2=3_2^COS¥=5,解得AC=6,

所以cosZACB=AU+'C=6=——3M,

2ACBC2M10

因为/BCD=：，贝i|sinZACD=cosZACB=

210

又CO="

所以AACD的面积是S.rD=-AC-CDsinZACD=-xA/5x5/7x^^=-Vi4.

s22104

ABAC

(2)在“IBC中，由正弦定理得

sinZACBsinZ.ABC

….3兀

ABsin——

即AC=4

sinZACB2cosZACD

ADACADsin—

在AACD中，由正弦定理得，即AC=61

sinZACDsinZADC

sinZACDsinZACD

31

则,整理得sinZACD=A/2COSZACD，

2cosZACDsinZACD

TV

因为NACD<5,

所以tanNACD=应,

sin仁-NACO

71cosZACD1

因为N3CD二所以tan/AC2=tan15-/ACD

2cos(1-ZACDsinZACDtanZACD2

TT27r

变式2.(2023・广东广州•高一统考期末)如图，在平面四边形A3CD中，ZBCD=~^B=1,ZABC=—

A

D

(1)若BC=2,C£>=«,求AACD的面积;

JT

⑵若Z.ADC=—,AD—2,求cosZACD.

6

【解析】(1)因为AB=1,NABC=T，3C=2,

由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB.AC-cos—=7,即AC=近，

由余弦定理得cosZACB=32=近,

2xACxBC14

所以sinZACD=sin(2—ZAc/=cosZACB=迫，

(2)14

所以△ACD的面积S=、ACxCOxsinNACZ)=X2

24

2AC

AC

(2)在△ADC中，由正弦定理得BPsinZACD~~①,

sinZACDsinZA£)C

2

_______1_1_AC

ABAC

在AABC中，由正弦定理得即sin]?-/AC。]cosZACDf②,

sinZACBsinZABC

①②联立可得=半

因为所以COSNACD=F

变式3.(2023・广东.统考模拟预测)在平面四边形ABCD中，ZABD=NBCD=90°,ZDAB=45°.

(1)若AB=2,ZDBC=30°,求AC的长；

3

(2)若tanABAC=—,求tanZDBC的值.

4

【解析】(1)在中，因为ND4JB=45。，所以AB=2,

在RUBCZ)中，BC=2cos30。=百，

在AABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=4+3-2x2xV3cosl200=7+2石，

所以AC=，7+26•

(2)设ZDBC=a,在RtzkBCD中，BC-BDcosa=2cosa,

因为tanABAC=$血＞胡.=」，所以cosABAC=-sinABAC,

cosZBAC43

于是cos?ZBAC+sin2ZBAC--sin2ZBAC=1,

9

因为0。＜/BAC＜90。，

34

所以sinABAC=—,cosABAC=—,

ABCB

在AABC中，由正弦定理得

sinZACBsinZBAC

22cosa

所以sin(9(T—o—NCAB)-3,

5

3

于是cosacos(a+ZCAB)=—,

即4cos2a-3sinacosa=3,

匚匚24cos2a—3sinacosa4-3tancr0

所以-----Z----------9-------=--------9-=3，

cosa+sina1+tana

因为0。＜a＜90°,所以tanZDBC=tanor=---------.

6

变式4.(2023•江苏徐州•高一统考期末)在①———=22一,,②sing-cos8=®一"，③AABC的

cosBcosCa+c-bc

面积

S=——b(6sinC+ctanCcosB)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.

在AABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,己知,

⑴求角C；

(2)若点。在边A3上，且瓦)=2AD,cosB=^,求tan/BCD.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

2

【解析】(1)若选择①：因为二J。：『结合余弦定理COSB="+C'"

cosBcosCa+c-blac

sinA2a2sinAa

---------=---------,即nn------

cosBcosClac-cosBcosCc

由正弦定理可得色=当sinAsinA

所以

csinCcosCsinC

又4«0,兀），所以siiM>0,所以=—,即tanC=l,

cosCsinC

又Ce（O,兀），所以C=:；

若选择②：因为sinB-COSB=Y^W,

c

结合正弦定理可得sinB-cosB=®inB-sinA,

sinC

即sinBsinC—cosBsinC=y/2sinB—sinA=yflsinB—sin［兀一（5+C）］,

=V2sinB-sin（B+C）=V2sinB-（sinBcosC+cosBsinC）,

即sinBsinC=V2sinB-sinBcosC，

又3W（0,TI）,sinB>0,故sinC=0-cos。，即sinC+cosC=0，

所以0sin（c+£|=0,即sin［c+：j=l,

因为C«0,兀），C+：eg,引，所以C+；=5,得C=［；

若选择③：条件艮sinCsinA=—［sin5