空间向量与立体几何-2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】（含解析）

（7）空间向量与立体几何

2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】

易混重难知识

1.柱体、锥体、台体的体积

几何体体积公式

腺体=S/z（S为底面面积，〃为高），崛柱=兀/入（r为底面半径，h

柱体

为高）

腺体=，S/z（S为底面面积，h为高）,%锥=1兀/丸（「为底面半径，

tp：KR3四3

锥体

〃为高）

口=」丸（s'+J^M+s）（s，，s分别为上、下底面面积，〃为高），

台体

“台=+叫/2+//+/）（/,厂分别为上、下底面半径，力为高）

2.球的表面积和体积

（1）球的表面积：设球的半径为R,则球的表面积为5=4兀玄，即球的表面积等于它的大圆

面积的4倍.

（2）球的体积：设球的半径为R,则球的体积为丫=±兀7?3.

3

3.异面直线所成的角：

（1）定义：已知两条异面直线”工，经过空间任一点。分别作直线/〃b,我们把优

与〃所成的角叫做异面直线。与6所成的角（或夹角）.

（2）异面直线所成的角。的取值范围：0°<0„90°.

（3）两条异面直线互相垂直：两条异面直线所成的角是直角，即。=90°时，。与6互相垂

直，记作a

4.直线和平面所成的角

有关概念对应图形

一条直线/与一个平面a相交，但不与这个平面a

斜线

垂直，图中直线E4.

斜足斜线和平面的交点，图中点A.

//

过斜线上斜足以外的一点P向平面a引垂线P0,

射影过垂足。和斜足A的直线A0叫做斜线在这个平面歹

内的射影.

直线与定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角；

平面所规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；

成的角一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角.

取值范

[0°,90°]

围

5.二面角的概念

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫

概念

做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.

一丁

图示

棱为/,面分别为a,"的二面角记为。-

记法也可在内（棱以外的半平面部分）分别取点P,Q,记作二面角

P-1-Q.

在二面角。-，的棱/上任取一点。，以点。为垂足，在

文字半平面a和夕内分别作垂直于棱/的射线。［和05,则这两

条射线构成的角NAOB叫做这个二面角的平面角.

平面角

图示

OAua,OBu0,2。/?=/,0el,OAJLI,OB_LI,

符号

nNAOB是二面角。-/-/7的平面角.

范围0°麴kAOB180°

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角

规定是多少度，就说这个二面角是多少度.

平面角是直角的二面角叫做直二面角.

6.空间中直线、平面的平行

①直线与直线平行：设对,%分别是直线4，，2的方向向量，由方向向量的定义可知，如果

两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那

么这两条直线也平行，所以4〃，2=〃〃2=,使得〃]=2W2.

②直线与平面平行：设〃是直线/的方向向量，〃是平面。的法向量，lua,则

I“aou工nou，n=b.

③平面与平面平行：设外,%分别是平面a,/7的法向量，则a〃/?o/〃%o三丸£R，

使得/=几鹿2.

7.空间中直线、平面的垂直

①直线与直线垂直：设直线乙，4的方向向量分别为%，%，则乙_1_，2=O=。,

②直线与平面垂直：直线/的方向向量为〃，平面a的法向量为小则

使得u=An.

③平面与平面垂直：设平面a,/7的法向量分别为多,n2,则。_!_/?=%_L〃20/=0.

8.点到直线的距离

如图，向量衣在直线/上的投影向量为而，设Q=a,则向量/在直线/上的投影向量

AQ=(au)u.在RtZ\APQ中，由勾股定理，得尸0=-1版『二亚一⑹疗.

9.点到平面的距离

如图，已知平面a的法向量为“，A是平面a内的定点，P是平面a外一点.过点尸作平面a

的垂线/,交平面a于点°,则“是直线/的方向向量，且点P到平面a的距离就是衣在直

线/上的投影向量诙的长度.因止匕尸。=福•二=华;

\AP-n\

InI

10.异面直线所成的角

若异面直线4所成的角为。，其方向向量分别是〃，V，则

cos0=|cos（w,v）|=UV="".

I«llv||«||v|

n.直线与平面所成的角

直线A3与平面e相交于点3,设直线A3与平面e所成的角为。，直线A3的方向向量为

u,平面a的法向量为〃，则sine=|cos〈〃,〃〉|=""=I".

I«II«I1«11«1

12.二面角

若平面e,4的法向量分别是乙和〃2，则平面a与平面夕的夹角即为向量％和〃2的夹角或其

补角.设平面a与平面B的夹角为。，贝Ucos9=|cos<〃],〃,〉|="%.

I«iII«21

易错试题提升

1.已知圆锥的母线为6,底面半径为1,把该圆锥截成圆台，使圆台的下底面与该圆锥的底面

重合，圆台的上底面半径为工，则圆台的侧面积为（）

3

A.—B底11C.—D.8兀

323

2.设机，〃是不同的直线，a,夕是不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若向Ia，nil/3,allP,则帆//〃

B.若。尸'm,La»n_L,则加〃几

C.若。_L尸'mHa>nil/3,则根_L〃

D.若加〃九，n工。,mA.a»贝

3.如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓可看作正四棱台，已知该四棱台的上底面

边长为40cm,下底面边长为10cm,侧棱长为30cm,则该款粉碎机进物仓的容积为（）

A.8600A/2cm3B.8600Am3C.1050072cm3D.10500A/3cm3

4.如图，将正四棱柱ABCD-斜立在平面a上,顶点G在平面。内，AQ1平面

a,2A3=6.点尸在平面。内，且PG=g.若将该正四棱柱绕AC1旋转，则PC的最

大值为（）

C-3V6D-V51

5.如图,在直三棱柱ABC-4耳£中，所有棱长都相等，D,E,R分别是棱A3,BC，B©

的中点，则异面直线DR与GE所成角的余弦值是（）

1379

A.—B.—C.—D.—

10101010

6.在三棱锥尸-ABC中，AB+2PC=9,E为线段AP上更靠近P的三等分点，过点E作平行

于A3,PC的平面，则该平面截三棱锥尸-ABC所得截面的周长为（）

A.5B.6C.8D.9

7.在四边型ABCD中（如图1所示），AB=AD^ZABD=45。，BC=BD=CD=2,将四边

形A3CD沿对角线3。折成四面体A5CO（如图2所示），使得NA;BC=90。，则四面体

ABCD外接球的表面积为（）

8.已知四面体ABCD的每个顶点都在球。（。为球心）的球面上，△ABC为等边三角形,

AB=BD=2,AD=42,且4。，班»,则二面角A—CD—O的正切值为（）

9.（多选）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A4C1A中，Q为线段BjC］的中点，P为线段

CG上的动点（含端点），则下列结论正确的有（）

A.P为中点时，过。，P,Q三点的平面截正方体ABCD-所得的截面的面积为:

B.存在点P,使得平面DPQH平面ABtC

C.DP+PQ的最小值为75+72

D.三棱锥P-CRQ外接球表面积最大值为9TI

10.（多选）如图1,在菱形ABCD中，AB=^,ZBAD=60°,沿对角线3。将△板）折

起，使点A,C之间的距离为2形，如图2,若P,Q分别为直线3D,CA上的动点，则下列

说法正确的是（）

A.平面平面BCD

J14

B.当AQ=QC,4Po=DB时，点。到直线PQ的距离为昔

C.线段PQ的最小值为夜

D.当P,。分别为线段3D,CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为手

11.已知向量a=（—l,l,0）,8=（1,0,〃。，且依+。与a—2〃平行，则上=.

12.已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，平

面A3C,则止.

13.在四棱锥p—ABCD中，底面A3CD是边长为2应的正方形，P在底面的射影为正方形的

中心。，尸0=4,。点为A。中点.点T为该四棱锥表面上一个动点，满足以、3。都平行于

过QT的四棱锥的截面，则动点T的轨迹围成的多边形的面积为.

14.如图，圆柱上，下底面圆的圆心分别为。，。厂该圆柱的轴截面为正方形，三棱柱

ABC-A3]G的三条侧棱均为圆柱的母线，且A5=AC=，£oq，点P在轴上运动.

6

(1)证明：不论P在何处，总有6C_LPA；

(2)当P为。a的中点时，求平面与平面男尸8夹角的余弦值.

15.如图，等腰梯形ABCD中，AD//BCAB=BC=CD=2,A£>=4，现以AC为折痕把

△ABC折起，使点3到达点尸的位置，且B4_LCO.

(1)证明：平面Q4C_L平面ACD；

(2)M为尸。上的一点，若平面ACM与平面ACD的夹角的余弦值为撞，求点尸到平面

ACM的距离.

答案以及解析

1.答案：C

解析：假设圆锥半径凡母线为/,则尺=1.设圆台上底面为「，母线为4,则由已知可

3

得，工=逆=2，所以/=6.

311

如图，作出圆锥，圆台的轴截面则有3=二=工，所以4=4.

IR3

所以圆台的侧面积为兀(R+r)4=4x11+；卜=?兀，

故选：C.

2.答案：D

解析：对于A,若加〃£，〃邛,al1(3>则直线机与〃可能相交，也可能平行，还可能是异

面直线，A错误；

对于B,若a_1_回根_1_则相_L〃，B错误；

对于C,若a_L6,zn//a,〃///，直线机与〃可能平行，

如直线机，〃都平行于a,夕的交线，且maa，〃.尸，满足条件，而加〃〃，C错误；

对于D,若mlIn，n10，则/w_L/?,又加_Lcz，因此al10,D正确.

故选：D

3.答案：C

解析：画出满足题意的正四棱台ABCD-4耳££>],如图所示，

则与〃=400cm,8。=100cm.过点。作。EL用2于点E,则AE=150cm,

DE=由。2—(15小)2=15&cm,所以该正四棱台的容积为

V=1x(402+102+10x40)x1572=10500&(cm3).故选C.

4.答案：D

解析：过点C作CELAC],垂足为E,连接AC,可知CE〃平面a,

所以点C到平面«的距离为GE,

由题意AC=372,AG=Jg+y=3底,

CE==2G,QE=JcCf-CE2=2A/6-

ACqN

过点c作CG，平面。，垂足为G，

因为点P在平面。内，且pci=6,即点P在以G为圆心，百为半径的圆上，

当。2，。1，P三点共线时，且C2P时，尸。取最大值，

最大值为JCE+CG+C/J={CE+(CE+GP)2=A/51•

故选：D.

5.答案：D

解析：连接因为在直三棱柱ABC-A5cl中，E,R分别是棱3C,3c的中点,

WC[FIIBE,QF=BE,即四边形5EC/为平行四边形，

所以BF//C*,则ZDFB即为异面直线DF与QE所成角或其补角；

直三棱柱ABC-A5cl中，所有棱长都相等，设其棱长为2,

连接EF,DE,则跖=2，EF//BB,,而平面ABC,故跖,平面ABC,

OEu平面ABC,故EhDE，

。是棱AB的中点，故DE=；AC=1,则DF=[EF?+DE?=小，

而BF=dEF2+BE?=6，又DB=1，

故在Z\DBF中，cosZDFB=0‘+一5+5-1_9

2DFBF2-V5-V5-10

由于异面直线所成角的范围为大于0。，小于等于90。，

故异面直线DF与QE所成角的余弦值是2,

10

故选：D

6.答案：B

解析：如图所示，在三棱锥尸-ABC中，过点E分别作跖〃/R,EHHPC,再分别过点R

H悍HGIIAB,FG//PC,可得E,F,G,H四点共面，所以EF//HG,EH//FG.因为ABU

平面EFGW,EFu平面EFGH,所以〃平面EFGW.同理可证PC〃平面EFGH,所以截

面即为平行四边形EEGH.又因为E为线段AP上更靠近P的三等分点，且AB+2PC=9,所

17

以所=-AB,EH=-PC,所以平行四边形EFGH的周长为

33

2

2.(E/+E“)=g.(AB+2PC)=6.故选B.

7.答案：D

解析：,AB=AD^ZAB£>=45°>A'B=AD,ZBA。=90°，

又,；BC=BD=CD=2,则AB2+A7)2=4，A'B=A'。=/，

可知△A'BC且△ADC，则ZABC=ZADC=90°，

取Ac的中点。，连接BO,DO,则5。=。。=LAC,

2

所以点。为四面体45co外接球的球心，

则外接球的半径为：R=gAc=gNAB?+=g“q+22=乎,

所以四面体45co外接球的表面积5=4兀4=4兀xj乎)=6TI-

故选：D.

8.答案：A

解析：取AC的中点E,连接BE,DE,♦.•△ABC为等边三角形，.〔BE，AC,

AC±BD,BEC\BD=B,..AC_L平面

又DEu平面B£)E,：.AC±DE,

由题意得，BE=M,AE=DE=CE=1,又BD=2,

.-.DE2+BE2=BD2,:.BE上DE,

y.AC^\BE=E,AC,5Eu平面ABC,

.•.DE，平面ABC,又DEu平面AC。，

二平面ACD,平面ABC,

易知。C=&,则。。2+4£)2=4?2,故△的)€：为等腰直角三角形，

综上，四面体ABCD的球心。为△ABC的中心，即点。是3E上靠近E的三等分点.

以E为原点，ED,EC,EB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标

系，

则E(0,0,0),D(1,O,O),C(O,1,O),O

———

.-.CD=(1,-1,O),OD=1,0,-—,

I3J

设平面0co的一个法向量为m=(x,y,z),

x-y=0,

in-CD=0,

则即《A/3

m-OD=0,x------z—0,

3

令1二1,贝！Jy=l,z=6，m=(1,1,A/3),

又平面ACD的一个法向量〃=(0,0,1)，二二面角A-CD-O的余弦值为

ic=也人岑=巫,

\m\\n\y/55

半，故二面角A-CD-O的正切值为

二面角A-CD-O的正弦值为

710V15_V6

-1-丁飞"一§

9.答案：AD

解析：A选项：连接A。，4Q,5c由三角形中位线性质和正方体性质可知，PQHA.D,且

=所以过。，P,。三点的截面为梯形AQPD，

易知AQ=£＞尸=6，PQ=后，AD=2也

作则

所以梯形AQPD的面积S=g(0+20)x之，=g，A正确;

B选项：若存在点P,使得平面DPQ〃平面AB。，则由平面A4GDA平面A3iC=A51,

平面ABiCQn平面。可知DQ//A51，显然。。，AB1不平行，故B错误;

C选项：将侧面展开如图，显然当Q、P、。三点共线时，。尸+PQ取得最小值，最小值为

JQD；+DD；=打+2?=而,C错误；

D选项：由题知，a。，G2，£尸两两垂直，所以三棱锥p-GAQ外接球，

即为以G。，GA，CP为共顶点的三条棱的长方体的外接球，记其半径为凡

贝12R=JGO+CQI+CIP?="+。尸，

显然，当点尸与C重合时，R取得最大值3,此时外接球表面积取得最大值4兀尺2=9兀，D正

2

确.

故选：AD.

10.答案：ACD

解析：取3。的中点。，连接。4,OC,由题意可知Q4=OC=2,AC=2亚,因为

OA'+OC^AC-,所以Q4LOC,又OALBD,OC^BD=O,所以。4,平面BCD,因为

Q4u平面A3。，所以平面平面BCD,故A正确；

以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则3—,0,0,C(0,2,0),A(0,0,2),

、34

D一半，。，0，当AQ=QC,4。。=〃时，Q(0」,l),P一与0,0,区=

丽=j#,o,oj,所以点。到直线尸。的距离为d=J|丽|2-二邕二=+《=呼

故B错误；

设尸(a,0,0),由诙=几瓦，得0(0,2-22,22),则瓶=(—。,2—242几)，

故同1=亚+Q—22)2+(22)2=J/+&卜_J+2,

当。=0,几=；时，|超露n=拒，故C正确；

当P,。分别为线段3D,C4的中点时，P(0,0,0),2(0,1,1),PQ=(0,1,1),

</T、_A/6

AD=-^9-,0,-2,设PQ与AD所成的角为夕，则cos9=\PQAD\^2

I3)।哂画一成

即加与AD所成角的余弦值为手‘故D正确.故选ACD.

n.答案：」

2

解析：ka+b=(l-k,k,rri),。-2〃=(一3』,一2根).因为kz+〃与〃一2办平行，所以当加=0时,

匕七=K,解得左=—4；当加wo时，匕&=V=/L,左=一匕综上，k=-L

-312-31-2m22

12.答案：2

解析：如图，将三棱锥S-ABC转化为正三棱柱SAW-ABC，

设△ABC的外接圆圆心为。i，半径为「，

_AB_3c

则9sin/aaT走”,可得一百，

~2

设三棱锥S-ABC的外接球球心为。，连接。4，。。]，则。4=2，OO]=gsA，

因为OR?=00；+01人2,即4=3+；SR2,解得5A=2.

故答案为：2.

13.答案：延

2

解析：取AD的中点E,PD的中点R,P。的中点R,P3的中点N,

连接QR延长交PC与点M,依次连接E,F,M,N,G,

可知£F〃PA，RQHPA,NG//PA^^EFHRQHNG,而EG/IFN，

所以E,F,G,Q,N,R共面，所以E,F,M,N,G共面，

因为底面ABCD是边长为2夜的正方形，

所以对角线4。=5£)=4，49=2，

因为P在底面的射影为正方形的中心，可得20,面43。。,

因为AOu面A3CD,所以P0,49，

因为PO=4，40=2，所以PA=122+42=26

因为E、R分别为A。、PD的中点，

所以所二工丛二石，旦EFHPA，

2

因为PA.平面ERMG,所匚平面后五）3不

所以K4//平面EFMG,同理BD//平面EFMG,

所以平面EFMG即为所求截面.

又因为平面APCD平面耳MG=QM,上4u平面APC,所以QM//AP,

因为Q为A。的中点，可得QC=：AC，

所以QM=（AP，QR=^AP，RM=QM—QR=：AP=与,

因为N、R分别为尸3、PD的中点，所以FN//BD，FN,BD，

2

所以FN//EG，FN=EG，所以四边形EKVG是平行四边形，

因为EG_LPO，EG±ACPOC\AC=O,所以EG,平面APC,

因为QMu平面APC,可得EG_LQ0,所以EGJ_GN，

所以四边形E五NG是矩形，

所以动点T的轨迹围成的多边形的面积为&X2+LX2X@=延.

222

故答案为：也

2

14.答案：（1）见解析

（2）包

11

解析：（1）证明：连接A。并延长，交BC于M,交圆柱侧面于N.

因为AB=AC，OB=OC，AO=AO>所以△AOBg^AOC，所以Na4M=NC4M，

因为AB=AC，AM=AM^所以△ABMgZiACM，所以=即〃为3C中点,

所以。4J.3C

又在圆柱。。1中，相，平面ABC,BCu平面A3C,所以

因为AOppM,=A，AO,AO,A4]u平面AOOiA，所以BCL平面AOQA.

因为不论P在何处，总有P^u平面AOO]A，所以3CJ.P4

（2）设OO]="=AN=a（a〉0）,则A5=AC------U.

6

5

在中，AM=ACcosZCAM=ACx—=-CL，

AN6

则（W=ga所以CM=3Af=J[粤a-

-----Q.

6

如图，以。।为原点，建立空间直角坐标系a-书，z,其中4G〃x轴，y轴是用G的垂直平分

线，

则A,—ga,o],与1骼a,ga,0,L]'-a,—a,a,P]O,O,—a],

所以察=,a[a,a,乖=[o,g11—>(e11)

7,大〃，B,B=(0,0,^)>B]P=—a.——a.—a

2J1632J

2),

设平面AlPB的一个法向量为m=(x,y,

贝(=。

J{6ax+—ay+az5+5az—0取％=1，得m=Q,小，-布).

设平面PB的一个法向量为淀=仅,c,d