黑龙江省双鸭山市某中学2025届高三第一次模拟考试（8月）数学试题（含答案解析）

黑龙江省双鸭山市建新中学2025届高三第一次模拟考试（8月）

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合S={x[x>-2},T={x|x2+3x-4<0},则（CRS）UT=（）

A.（-2,1]B.（-oo,-4]C.（-oo,1]D.[1,+oo）

2.已知复数z满足|z|=|z-4i|（i为虚数单位），则z的虚部是（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

—■1--

3.设尸是VABC内一点，且AP+丽+存=0，BD=-BC,则AD+N?=（）

—•2——►1—►2—►4—►2—►2——►——►

A.AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB+-ACD.-AB+AC

333333

4.我们学校附近的胜利电影院的放映大厅有20排共680个座位，从第二排开始，每一排都

比前一排多两个座位，则该电影院大厅最后一排的座位数为（）

A.53B.51C.15D.16

5.若々=1115,6二）万，。满足6-，=1口0,则瓦c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c

6.在100,101,102,999这些数中,各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如

“321”）顺序排列的数的个数是（）

A.120B.204

C.168D.216

7.若2sin(a+弓)=cos[a一5],贝tan(a一宗)=()

A.-4-73B.-4+73C.4-5/3D.4+73

8.已知函数人》=尤2,g(x)=-lnx,g'(x)为g(x)的导函数.若存在直线/同为函数/（尤）与

g'(x)的切线，则直线/的斜率为()

A.275-4B.2C.4

二、多选题

9.若直线/不平行于平面a,且则下列说法正确的是（）

A.a内存在一条直线与/平行B.a内不存在与/平行的直线

C.a内所有直线与/异面D.。内有无数条直线与/相交

10.设xeR,用国表示不超过x的最大整数，则函数y=因被称为高斯函数；例如[-2』=-3,

[2.1]=2,已知〃x）=sinW+binx|,g（尤）=[〃尤）],则下列说法正确的是（）

A.函数g（x）是偶函数

B.函数g（尤）是周期函数

C.函数g（M的图像关于直线x对称

D.方程]g（x）=尤只有1个实数根

22

11.已知双曲线E：=1（a>0,b>0）的左右焦点分别为小F,。是圆尸2：

ab2

（尤-4）2+9=16上一动点，线段耳。的垂直平分线交直线于E上的点尸，则（）

A.E的离心率为2

B.E的渐近线方程为y=±gx

C.F?到E的渐近线的距离为百

D.”^工内切圆圆心的横坐标为±2

三、填空题

12.下列说法正确的有（填正确命题的序号）

①若函数/（x）在x=a处导数不存在，则/（X）的函数图像在x=a处无切线.

②若4为离散型随机变量，则4所有的取值构成的集合可能是无限数集.

③在对数据的相关性分析（回归分析）中，相关系数厂越大，两个变量的相关性越强.

④正态分布的密度曲线与x轴所围成的区域的面积为1.

13.圆心为“（1,1）且与直线x-y=4相切的圆M的方程是.

14-对于实数〃和"定义运算设小）=（21）*（1）,且

试卷第2页，共4页

关于X的方程为“力=机(〃2€r)恰有三个互不相等的实数根不，马，三，则加的取值范围

是；%%彳3的取值范围是•

四、解答题

15.已知数列也｝的前〃项和为%q=1,(n-l)S„=2nSn_1(n>2).

⑴求｛qj的通项公式；

(2)若-----,求也｝的前〃项和小

a“a,M

16.如图，三棱柱ABC-a与G中，AB=BC=BIA=B£=BIB3,。是AC的中点,

A耳1BD.

B

⑴证明：耳。，平面ABC；

(2)求点用到平面ACCM的距离；

(3)求平面A4C与平面AB,C的夹角的余弦值.

17.已知函数/(x)=-彳3+3x?+9x-2,求：

⑴函数y=/(%)的图象在点(0,”0))处的切线方程;

⑵/⑺的单调递减区间；

(3)求/(x)的极大值和极小值.

18.如图，有一个半圆形场馆，政府计划改建为一个方舱医院，改建后的场馆由病床区(矩

形ABC。)及左右两侧两个大小相同的休闲区(矩形〃和BEFG)组成，其中半圆的圆

心为。，半径为50米，矩形麻尸G的一边BG在上，矩形的一边A"在AO上，点

jr

C,D,F,/在圆周上，E,J在直径上，且NEO尸=二，设NBQC=e.若每平方米病

6

床区的造价和休闲区造价分别为W万元和力万元，记病床区及休闲区的总造价为/（e）（单

（1）求/（。）的表达式；

（2）为进行改建预算，当，为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值.

19.已知产为平面上的动点，记其轨迹为

（1）请从以下两个条件中选择一个，求对应的：T的方程.①已知点T（-L0）,直线/:x=Y,动

点尸到点T的距离与到直线/的距离之比为g；②设E是圆O：/+/=4上的动点，过E作

直线EG垂直于x轴，垂足为G,且不=@砺.

2

（2）在（1）的条件下，设曲线「的左、右两个顶点分别为AB,若过点K（l,0）的直线加的斜

率存在且不为0,设直线机交曲线「于点M，N,直线〃过点T（T,0）且与x轴垂直，直线.

|7?|

交直线〃于点尸，直线BN交直线〃于点。，则线段的比值恸是否为定值？若是，求出该

定值；若不是，请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CDAACBCCBDAD

题号11

答案ABD

1.C

【详解】：集合S={x|x>-2},

.••CRS={X|X<-2)

由x2+3x-4<0得：T={x|-4<x<l},

故(CRS)UT={X|X<1}

故选C.

2.D

【分析】根据题意Iz|=|z-4i|可列式=，已+仅-4)2,即可解出复数虚部.

2222

【详解】设2=々+历，|z|=|z-4i|y/a+b=^a+(b-4),解得匕=2

故选：D

3.A

【分析】根据给定条件，求出=+再利用向量的线性运算求解作答.

【详解】因P是VABC内一点，AP+BP+CP=O,则而+(而-丽)+(而-正)=0,即有

—.1—.1—.—.1—.

AP=~AB+~AC,1^BD=-BC,

333

所以而+9=荏+而+荏=荏+；碇+/=通+；(正一函+g通/

=AB+-AC.

3

故选：A

4.A

【分析】设电影院放映大厅第"排座位有％个(1<«<20),由题意数列｛〃“｝是公差d=2的

等差数列，且$2。=680,根据数列的前"项和公式和通项公式求解即可.

【详解】由题意，设电影院放映大厅第〃排座位有。"个(1<«<20),

答案第1页，共14页

由题意，«„-«„-1=2(n>2),故数列｛4｝是公差d=2的等差数列,

且数列的前20项和邑。=680,不妨设第一排座位为%,

20x19

故S20=20alH---------x2=680,解得：％=15,

2

故该电影院大厅最后一排的座位数a20=a1+19d=15+38=53.

故选：A

5.C

【分析】根据题意，构造函数y=与y=In尤的图象交点问题，c为交点纵坐标，可得c>1,

再将a,b与0,1比较，即可求解.

【详解】由题意，构造函数>="，与y=lnx交点，

由图象知c>l

fl=In—<In1=0,贝I]a<0,

2

0<b=e~^<e°=1,则。<6<1，

贝!Jc>6>a

故选：C

【点睛】本题考查指数式，对数式比较大小，考查数形结合，属于中等题.

6.B

【分析】根据三个数字中是否有“0”分两类，利用分类加法计数原理求解.

【详解】分两类，第一类不含数字“0”，从1到9的自然数中任意取出3个，都可以得到严

格递增或严格递减顺序排列的三位数，共有2C；=168个；

第二类含有数字“0”，从1到9的自然数中任意取出2个，三个数只能排出严格递减顺序的

三位数，共有C；=36个，

根据分类加法计数原理，所以共有168+36=204个.

故选：B

7.C

答案第2页，共14页

【分析】设尸="£，则原等式可化为2sin[〃+]卜cosC，化简后求出tanp即可.

【详解】令尸=。-3IT则a=/?+7Tg

66

所以由2sin（a+g]=cos（a_m],

得2sin（尸+鼻=cos,一力，

即2cos尸=^^cos夕+；sin尸,

即sin用=（4—百卜05分，得tan分=4一石，

所以tan-=tan尸=4—6,

故选：C.

8.C

【分析】设出两个曲线上的切点坐标：（埠尤；），[々「J]

用（工,无;）由点斜式写出切线/的方程，根据直线/同为函数“X）与/（无）的切线知无2,一一

1”2.

也适合切线方程，列出方程组求解.

【详解】；g（x）=-lnx,/（x）=x2,A/（x）=2x,g〈x）=-J,g"（无）=5，

设函数〃x）上的切点坐标为函数g'（x）上的切点为则切线斜率4=2%,

IX2）

故切线方程可表示为y-才=2%（x-西），由于直线/同为函数“X）与g'（x）的切线,

]一户1=2

故，----占2=2玉（％-%）=><1,则直线/的斜率为4.

X2/二5

玉>0

故应选：C.

9.BD

【分析】利用直线与直线，直线与平面的位置关系判断.

【详解】A.若。内存在一条直线与/平行，则由线面平行的判定定理知///£,故错误；

B.因为直线/不平行于平面a,且/aa,所以直线与平面相交，故a内不存在与/平行的直

答案第3页，共14页

线，故正确；

C.因为直线/不平行于平面a,且/aa,所以直线与平面相交，在。内过交点的直线与/共

面，故错误；

D.因为直线/不平行于平面且所以直线与平面相交，在a内过交点的直线有无

数条与/相交，故正确；

故选：BD

10.AD

【分析】确定x＞0时“X)的图象，根据“彳)的奇偶性确定尤＜0部分的函数图象，根据“X)

的图象确定g(x)的图象即可求解.

【详解】选项A,函数的定义域为R,

因为/'(-尤)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinr|=/(x),所以y(x)为偶函数，

当0＜兄＜兀时，/(x)=sinx+sinx=2sinx,

当TI＜XK2兀时，/(x)=sinx-sinx=0,

当271Vx43兀时，/(x)=sinx+sinx=2sinx,

因为〃%)为偶函数，所以函数〃%)的图象如下图所示

当兀=2E+^,keZ时，g(x)=2,

兀5兀7L

当2E+—WxW2E+—,且犬w2%兀+—,左wZ时，g(元)=1,

662

当2E«尤＜2痴+4或2E+2Vx«2阮+2兀,左GZ时，g(x)=0,

66

因为g(f)=[〃f)]=[〃x)]=g(x)，所以g(x)为偶函数，则函数g(x)的图象如下图所

示

答案第4页，共14页

2兀x

显然g(x)不是周期函数，故选项A正确，B错误,C错误；

对于方程、g(x)=尤，当g(x)=O时，x=0方程有一个实数根，

当g(x)=l时，x=^,此时g0=2",方程没有实数根，

当g(x)=2时，X=7T,此时g㈤=0片2,方程没有实数根，

所以方程、g(x)=x只有1个实数根，故D正确；

故选：AD.

11.ABD

【分析】由题意可求得a,6,C,再根据双曲线的几何性质可判断A,B,C选项，根据双曲线

的定义可判断D选项.

【详解】由题意，可知解(4,0),所以c=4.又由题意，知|尸团=|闻,所以

2a=|附尸闻=||图-忸闻=|Q6|=4<8=2c,

22C

所以一/=12,故E的方程为Lr一v工=1,所以E的离心率为£=4==2,渐近线方程

412a2

y=±~x=^3x,故A,B正确；

a

焦点F?到渐近线的距离为d=J；3)?=26,所以C错误；

设APK骂的内切圆与x轴相切于点A(5,0),则由双曲线定义得

2(7=归周一|尸引=||4用-[4引=|(尤0+°)-(°-尤0)|=2闯,所以题=±。=±2,即A尸耳区内切

圆圆心的横坐标为±2,所以D正确，

故选:ABD.

答案第5页，共14页

【点睛】关键点点睛：本题以双曲线为背景，关键在于运用双曲线的定义、标准方程和几何

性质，使问题得以解决.

12.②④

【分析】对①，利用函数的导数与切线的斜率之间的关系即可判断；对②，根据离散型随机

变量的定义即可判断；对③，根据回归直线方程的应用即可判断；对④，根据正态分布的定

义即可判断.

【详解】解：对①，若函数f(x)在了=。处导数不存在，说明在该点处的斜率不存在,

不是说函数图象在x=。处无切线，故①错误；

对②，若4为离散型随机变量，则4所有的取值构成的集合可能是无限数集，故②正确;

对③，在对数据的相关性分析(回归分析)中，相关系数力越大，两个变量的相关性越强,

故③错误；

对④，正态分布的密度曲线与无轴所围成的区域的面积为1,故④正确.

故答案为：②④.

13.(1)2+"1)2=8

【分析】由点直线的距离公式求得圆心到直线的距离，得到圆的半径，结合圆的标准方程,

即可求解.2

|1-1-4|

【详解】由题意，圆心M。』)到直线x-y=4的距离为d=20,

因为圆M且与直线x->=4相切，所以圆的半径厂=2忘,

所以圆的方程为(x-l)2+(y-l)2=8.

故答案为：(x-l)2+(y-l)2=8.

答案第6页，共14页

【分析】先求得/（无）的解析式，画出了（元）的图像，将方程为〃尤）=刈机€尺）恰有三个互不

相等的实数根国,尤2，三，等价为y=/（x）的图象与y=m的图象有三个交点不，%，三，则可得

机的范围，当尤＞0时，由-d+x=〃?，根据韦达定理，可求得马三的范围，当xWO时，根

据2炉-工=加，可求得4的最小值，即可得答案.

【详解】当2x—IVx-l时，x＜0,当2x-l＞x—l时，尤＞0,

(2尤一Ip—(2%—1)(无一1),尤402x2-x,x<0

所以/（尤）=

(%-1)2-(2X-1)(X-1),%>0-x2+无，尤>0

（

f（x）图象如图所示：仆f

方程为/⑺=G尺）恰有三个互不相等的实数根和无2，不，等价于'=/（x）的图象与

丫="的图象有三个交点%,%，退，

2

当x＞。时，/（x）=-x+x,/Wmax=/（1）=1,

由图象可得机e（oj）,

-^-x2+x=m,解得%退=根，所以。〈尤2忍＜；，

令2x-=办解得根为N由图象可得，当”根最高时，解得"小，止匕时机

三/I或.叱/i（舍）,

所以2x2—x=—,解得x=

4

所以上Wl<x<0,

41

答案第7页，共14页

【点睛】解题的关键是先求得了（元）解析式，画出图像，将方程求根问题，转化为图象求交

点问题，找到临界位置，数形结合，分析计算，即可得结果，属中档题.

15.(I)。,=(〃+1>2"一2

Q

⑵…心

【分析】（I）先利用递推关系得出S“，再利用递推关系得出｛%｝的通项公式;

4〃

（2）根据a=——，利用列项相消法得出｛2｝的前〃项和

4A+1

qq

【详解】（1）当“22时，由（7L1）S,,=27电T得2=

nn-1

又因为:=4=1,所以是以1为首项，2为公比的等比数列,

n1

故2=2"7,Sn=n-2-,

n

当心2时，

所以=S“—Si=n-2"T——1>2皿=(«+1).丁(n>2),4=1也符合上式,

所以a“=(〃+l)-2"-2.

答案第8页，共14页

4n_________£_________=_8_=8pM

(2)b=

+2.(〃+2).2"i(几+l).(〃+2)(〃+ln+2)

所以北=81；一11111118

—।----------F…H------------A=4--------

334n+1n+22n+2n+2

16.(1)证明见解析

Q)与

⑶走

3

【分析】(1)先证明平面MC,得到耳。，再证明4。，平面A8C.

(2)方法一几何法，取AG的中点2,过点B,作BXH，。口于点H,可证B'H±平面ACGA,

点用到平面ACGA的距离即为耳求解得解；方法二向量法，建立空间直角坐标系利用

向量法求点面距；

(3)建立空间直角坐标系利用向量法求解.

【详解】(1)因为AB=3C,。是AC的中点，所以3DLAC,

因为A2]_LB£),AB；HAC=A,4月,ACu平面ABQ,

所以BD1平面阴C,

又BQu平面期C,所以

因为4A=BC，。是AC的中点，

所以用0AAC,BDcAC=D,BD,ACu平面ABC,

所以用。，平面ABC.

(2)法一：取AG的中点Q,连接r»A，42可得四边形84QD是平行四边形，

因为BO_LAC,B[D八AC,BD[}B{D=D,2。,瓦。u平面BBQ。，

所以AC_L平面8BQO,又ACu平面ACC14，

所以平面平面ACCM,

过点B{作B}H±DR于点、H,B、HU平面BBRD,

答案第9页，共14页

平面BBRDn平面ACC,A=DR,则，平面ACC^,

所以点用到平面ACGA的距离即为8户，

JT

因为AB=BC=B]A=BXC,所以BD=B1D=BR,又AD{BXD=NBQB=—,

所以B1H=LL)R=LBBI=走,故点耳到平面ACG4的距离为41.

法二：由（1）知用平面ABC,BD1AC,所以。B,DC,。耳两两垂直，以。为原

点，

以DB,DC,。片所在直线分别为龙，y,Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为A5=BC=5]A=4C,所以30=5]。，又BD工B】D,B[B=Q,

所以用。=5。=1,

AB=BCm，BD.LAC,所以ZM=OC=1,

所以。（0,0,0）,A（0,-l,0）,5（1,0,0）,C（0,l,0）,4（0,0,1）,

AC=（O,2,O）,丽=瓯=（一1,0,1）,设平面ACGA的一个法向量为阳=（〃也。），

m-AC=0fb=0

则＜—»，即＜c，令4=1,

m•A\=0[~a+c=0

则m=（1,0,1）为平面ACQA的一个法向量，

11

又=（0,0,1）,所以点用到平面ACQ4的距离d=,,=3=%，

\m\2

故点片到平面ACGA的距离为变.

2

（3）由⑵法二得CB,=（0-1,1）,咽=丽=（1,1,0）,设平面48c的一个法向量为n=（x,y,z）,

答案第10页，共14页

n-CR=O-y+z=O

则_得尤+y=。'令龙=1则y=-1,z=—1,

为•A耳=0

所以为=(1,—1,—1)为平面4月。的一个法向量，

又友平面AB.C,所以丽=(1,0,0)是平面AB.C的一个法向量,

/-7^\_万•丽_1_V3

\/|M|.|DB|73X13，

故平面44c与平面AB,C的夹角的余弦值为B.

3

17.⑴9x-y-2=0

⑵(-8,-4),(3,+oo)

(3)极大值为25,极小值为-7

【分析】(1)利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程；

(2)根据导函数的正负即可确定所求的单调区间；

(3)根据(2)可求极值.

【详解】(1)由题意得：/'(x)=-3x2+6x+9=-3(d-2x-3)=-3(x-3)(x+l),

•.J'(O)=9,又/(0)=-2,

y=的图象在(0J(0))处的切线方程为y+2=9(x-0),即9》一y-2=0.

(2)由(1)知：/<x)=-3(x-3)(x+l),

.•.当xe(—x,-l)u(3,+功时，尸(久)<0；当xe(-l,3)时，尸⑴>0；:/(久)的单调递减区

间为(-00,-1),(3,+00),

(3)根据(2)可知，当x=-l为函数的极小值点，且-7,

当x=3为函数“X)的极大值点,且/(3)=25,

所以/(元)的极大值为25,极小值为-7.

18.(1)/(0)=125(gsin26-2cos0+")(万元)，。［。马；(2)当6=£时，总造价

答案第11页，共14页

的最大值为号（1+26）万元.

【解析】（1）根据直角三角形的边角关系以及倍角公式用。表示三个矩形的长和宽，用矩形

面积乘以相应造价得出了（。）的表达式；

（2）利用导数得出函数的单调性，进而得出最值.

【详解】解：（1）设R=50,由图可知在矩形ABCD中,

BC=Rsin®,OB=Reos0

12

所以5ABeD=2OBxBC=2Rsin3cos3=Rsin20

在矩形BEFG中,

^--cosOR

EF=Rsin-=—,BE=Rcos--Rcos0=

62612J

-cos0R2

所以2SBEFG=2EFXBE=12J

因为病床区每平方米的造价为*万元，休闲区每平方米造价为2万元,

；•/⑹=SABCDx*+2SBEFGx'=，x502（右sin20_2cos0+回

n7i

，/（e）=125（百sin26-2cose+百）（万元），de

'6,1

(2)由(1)得，-⑹=125(26cos29+2sin6)=250(6-26sin2e+sind)

=-250(2sin9-")(若sin6»+1)

因为Oef，所以豆皿4；,1]

令/3）=0,解得sin0=g,因为de仔,彳1所以6=g

2162）3

当6变化时，/2）,（（。）的变化情况如下表:

en

T

f\o)+0—

答案第12页，共14页

于0极大值

所以当时，总造价/(⑶取得极大值与(i+2g)