高考数学一轮复习讲义：三角函数

高考一轮复习专题一一三角函数

第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数

基础梳理

1.任意角

⑴角的概念的推广

①按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

②按终边位置不同分为象限角和轴线角.

⑵终边相同的角

终边与角a相同的角可写成a+k・360°(keZ).

⑶弧度制

①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，

a1=,1是以角a作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径.

③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关,

仅与角的大小有关.

④弧度与角度的换算：360°=2n弧度；180。=口弧度.

⑤弧长公式：1=|a|r,

扇形面积公式：S扇形=lr=|ar2.

2.任意角的三角函数定义

设a是一个任意角，角a的终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为r(r>

0),那么角a的正弦、余弦、正切分别是：sina=,cosa=,tana=,

它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.

3.三角函数线

设角a的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点

P,过P作PM垂直于x轴于M,则点M是点P在x轴上的正射影.由三角函数的

定义知，点P的坐标为(cos_a,sin_a),即P(cos_a,sin_a),其中cosa

=0M,sina=MP,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与a

的终边或其反向延长线相交于点T,则tana=AT.我们把有向线段0MMP、AT

叫做a的余弦线、正弦线、正切线.

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一条规律

⑵三角函数值在各象限的符号规律概括为'二全正「二歪弦「三正切「四余弦.—

终边落在三轴上的角的集食｛且］且二且ZL望边落在工轴上的角的集合」

终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为一一，

两个技巧

(1)一在利用三角函数定义时，…点上.可取终边上任二点，一…如有亘能则取终边与单位

圆的交点,…』。E』三匚二定是正值「

(2)在解简单的三角丕等式时」利用单位圆及三角函数线是二个小技巧「

三个注意

⑴注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类

角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角.

(2)角度制与弧度制可利用」8Q：…三』_二a_d_进行互化」在同二个式子里」采用的

度量制度必须二致,…丕亘混用:…

(3)注意熟记&，片36。二间特殊角的弧度表示,…以方便解题一.…

双基自测

1.(人教A版教材习题改编)下列与的终边相同的角的表达式是().

A.2kn+45°(kGZ)B.k•360°+n(k©Z)

C.k•360°-315°(kez)D.kJI+(kez)

2.若a=k・180°+45°(kez),则。在().

A.第一或第三象限B.第一或第二象限

C.第二或第四象限D.第三或第四象限

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3.若sina<0且tana>0,则&是（）.

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

4.已知角a的终边过点（一1,2）,则cosa的值为（）.

A.—B.C.—D.一

5.（2011•江西）已知角0的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P（4,y）

是角9终边上一点，且sin0=—,则y=.

考向一角的集合表示及象限角的判定

【例1】Ml）写出终边在直线_/=/、上的角的集合；

⑵若角。的终边与角的终边相同，求在［0,2n）内终边与角的终边相同的角;

⑶已知角a是第二象限角，试确定2a、所在的象限.

【训练1】角a与角B的终边互为反向延长线，则（）.

A.a=­B

B.a=180°+B

C.a=k•360°+B（k£Z）

D.a=k•360°±180°+B（k©Z）

考向二三角函数的定义

【例2】*■已知角。的终边经过点P（一,m）（mW0）且sin0=m,试判断角。

所在的象限，并求cos0和tan0的值.

【训练2】（2011•课标全国）已知角0的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半

轴重合，.终边在直线y=2x上，则cos2。=（）.

A.—B.—C.D.

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考向三弧度制的应用

【例3】＞已知半径为10的圆0中，弦AB的长为10.

⑴求弦N8所对的圆心角a的大小；

⑵求。所在的扇形的弧长/及弧所在的弓形的面积£

【训练3】已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积

最大？

考向四三角函数线及其应用

【例4]»在单位圆中画出适合下列条件的角a的终边的范围.并由此写出角a

的集合:

(2)cos。忘一；.

(1)sina

【训练4】求下列函数的定义域：

(l)y=;(2)y=lg(3—4sin2x).

解(1)*.*2cosx—lNO,cosxN.

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重点突破一一如何利用三角函数的定义求三角函数值

【问题研究】三角函数的定义:设a是任意角，其终边上任一点P(不与原点重

合)的坐标为(x,y),它到原点的距离是r(r=>0),则sina=、cosa=

、tana=分别是a的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值

为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x,y的符号由a终边所在象

限确定，r的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误.

三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程.

【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求

得x,y,r的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论.

【示例】>(本题满分12分)(2011•龙岩月考)已知角a终边经过点P(x,-)(x

W0),且cosa=x,求sina、tana的值.

【试一试】已知角a的终边在直线3x+4y=0上，求sina+cosa+tana.

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第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

基础梳理

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系:sin2a+cos2a=1；

(2)商数关系：=tana.

2.诱导公式

公式一：sin(a+2kJi)=sina,cos(a+2kn)=cosa,其中kGZ.

公式二：sin("+a)=-sina,cos(Ji+a)=—cosa,

tan(JI+tz)=tana.

公式三：sin(-a)=~sina,cos(-a)=cosa.

公式四：sin(JI—a)=sina,cos(Ji—a)=­cosa.

公式五：sin=cosa,cos=sina.

公式六：sin=cosa,cos=_sina.

诱导公式可概括为k・土a的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶

不变，符号看象限.其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数

名称的变化.若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函

数名称不变，符号看象限是指把a看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号.

一个口诀

诱导公式的记忆口诀为一:…奇变偶丕变，…符号看象限一

三种方法

在求值与化简时，…赏用方法有一：…

(1)弦切互化法一:-主要利用公式上an__g_三—化成正「余弦」

(2)和积转换法：利用(sin9±cos9)2=l±2sin9cos。的关系进行变形、

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转化:…

(3)巧用"1"的变换：l=sin2。+cos2。=cos2。(l+tan2。)=tan=….

三个防范

⑴利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角

函数，其步骤：去负一脱周一化锐.

特别注意函数名称和符号的确定:…

(2)在利用同角三角函数的生方关系时「若开方」要特别注意判断符号

(3)注意求值与化值后的结果二般要尽亘能有理化,整式化「

双基自测

1.(人教A版教材习题改编)已知sin(n+a)=,则cosa的值为().

A.±B.C.D.±

2.(2012•杭州调研)点A(sin2011°cos2011°)在直角坐标平面上位于().

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.已知cosa=,ae(0,n),则tana的值等于().

A.B.C.±D.±

4.cos—sin的值是().

A.B.—C.0D.

5.已知a是第二象限角，tana=—,则cosa=.

考向一利用诱导公式化简、求值

［例1］七知，求

cos(^+«)sin(-^--cr)

【训练1】已知角a终边上一点P(—4,3),则的值

1\jr

cos^——cr)sin(^-+cif)

为.

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考向二同角三角函数关系的应用

【例2]＞（2011•长沙调研）已知tana=2.

求：⑴;

⑵4sin'a—3sinacosa—5cos2a.

,sina+3cosa

【训练2】已知3cosa_sin0=5.则sirTa—sinacosa=

考向三三角形中的诱导公式

【例3]►1在aABC中，sinA+cosA=,cosA=—cos(n—B),求AABC的

三个内角.

【训练3】若将例3的已知条件“sinA+cosA="改为'sin(2n—A)=-sin(n

—B)”其余条件不变，求4ABC的三个内角.

重点突破一一忽视题设的隐含条件致误

【问题诊断】涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含

条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误.，

【防范措施】一要考虑题设中的角的范围；二要考虑题设中的隐含条件

【示例】＞若$行。，coso是关于X的方程5x2—x+a=0(a是常数)的两根，

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Be(0,n),求cos2。的值.

【试一试】已知sin9+cos0=,。e(0,兀)，求tan0.

第3讲三角函数的图象与性质

基础梳理

1.“五点法”描图

(l)y=sinx的图象在［0,2n］上的五个关键点的坐标为

(0,0),,(L0),,(2口，0).

(2)y=cosx的图象在［0,2n］上的五个关键点的坐标为

(0,1),,(〜一1),,(2JI,1).

2.三角函数的图

象和性质

y=sinxy=cosxy=tanx

函数

性质

{xxWk兀+,kEZ}

定义域RR

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图象♦I\TT-T2兀

产VX-l；zpK\lx

值域[—1,1]R

对称轴：X=kJT+(k无对称轴

对称轴：x=kn(k

CZ)对称中心：(kez)

ez)

对称性对称中心：

对称中心：对称中心：(―,0)(k

(kn,0)(kez)2

错误！

(Nn,0)(NGZ)eZ)

周期2兀2兀JI

单调增区间

单调增区间［2kn

2k/r--,2k/v+—1k

L22_一几，2k几］(k£单调增区间

eZ)；Z)；单调减区间［2k

单调性(kn--,k7v+—)(NG

单调减区间n,2kn+JI］(k22

冗3eZ)Z)

2k?i—,2ATTH—TC(

_22_

NeZ)

奇偶性偶W

两条性质

(D周期性

函数y=Asin(3x+4)和丫=4(205(3*+力)的最小正周期为,y=tan(ax+。)

的最小正周期为」

(2)奇偶性

三角函数中奇函数一般可化为y=Asin3*或丫=人士211ax,而偶函数一般可化

为y=Acossx+b的形式.

三种方法

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求三角函数值域(最值)的方法.:…

(1)利用sinx、cosx的有界性；

一⑵一形式复杂的一函数应化为…工三AcLn(9工一±-Q)-士k一的形式逐步分析3工士速一的一蔻

围」根据正弦函数单调性写一出函数的值域;…

(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最

值)问题一.-

双基自测

1.(人教A版教材习题改编)函数y=cosxGR().

A,是奇函数

B.是偶函数

C.既不是奇函数也不是偶函数

D.既是奇函数又是偶函数

2.函数y=tan的定义域为().

71

A.<jax^k7i-—,keZ>B.<xx^2k7i--,keZ

II4J4

C.卜H+(,左eZ>JI

D.《xxH2k兀d——,keZ

4

3.(2011•全国新课标)设函数f(x)=sin(3x+巾)+cos(3x+巾)()的最

小正周期为n,且f(—x)=f(x),则().

A.f(x)在单调递减

B.f(x)在单调递减

C.f(x)在单调递增

D.f(x)在单调递增

4.y=sin的图象的一个对称中心是().

A.(一兀,0)B.

C.(y,o)D.(-,0)

5.(2011•合肥三模)函数f(x)=cos的最小正周期为.

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考向一三角函数的定义域与值域

(2)【例1】》(1)求函数y=lgsin2x+的定义域.

求函数y=cos2x+sinx()的最大值与最小值.

【训练1】⑴求函数丫=的定义域.

⑵已知函数f(x)=cos+2sin,sin,求函数f(x)在区间上的最大值与

最小值.

考向二三角函数的奇偶性与周期性

A.【例2]>(2011•大同模拟)函数y=2cos2—1是().

最小正周期为"的奇函数B.最小正周期为n的偶函数

C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数

【训练2】已知函数f(x)=(sinx—cosx)sinx,x《R,则f(x)的最小正周期

是.

考向三三角函数的单调性

【例3】>■已知f(x)=sinx+sin,x£[0,n],求f(x)的单调递增区间.

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【训练3】函数f(x)=sin的单调减区间为.

考向四三角函数的对称性

【例4]>(1)函数y=cos图象的对称轴方程可能是().

A.x=—B.x=—C.x=D.x=

【训练4]⑴函数y=2sin(3x+<t>)()的一条对称轴为x=,则6=

(2)函数y=cos(3x+巾)的图象关于原点成中心对称图形.则6=.

重点突破一一利用三角函数的性质求解参数问题

含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些.正

确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前

提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合.下面就利用三角函数性

质求解参数问题进行策略性的分类解析.

一、根据三角函数的单调性求解参数

【示例】-(2011•镇江三校模拟)已知函数f(x)=sin(3>0)的单调递增区间

为(kGZ),单调递减区间为(kGZ),则3的值为.

二、根据三角函数的奇偶性求解参数

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【示例】*■（2011•泉州模拟）已知f（x）=cos（x+6）—sin（x+6）为偶函数,

则。可以取的一个值为（）.

A.B.C.—D.一

▲根据三角函数的周期性求解参数

【示例】>（2011•合肥模拟）若函数y=sin3x•sin（3>0）的最小正周期为

,则3=.

▲根据三角函数的最值求参数

【示例】》（2011•洛阳模拟）若函数f（x）=asinx—bcosx在x=处有最小值一

2,则常数a、b的值是（）.

A.a=-1,b=B.a=l,b=—

C.a=,b=-1D.a=­,b=l

第4讲正弦型函数y=/sin（3万+0）的图象及应用

基础梳理

1.用五点法画y=Asin（3x+4））一个周期内的简图时，要找五个特征点

如下表所示

JI3兀

o-0----0JI—0———02兀一0

X22

G)G)G)

33

JI3兀

(ox+00JI2n

y=Asin(GX+

0A0~A0

0)

2.函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（3x+4））的图象的步骤

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步

骤

1

步

骤

2

步

骤

3

步

骤

4

称性

象的对

3.图

具

形，

称图

心对

是中

称也

轴对

象是

）的图

3>0

>0,

“）（A

ax+

sin（

y=A

函数

下：

体如

,k

JI+

<t>=k

xk+

中w

k（其

x=x

直线

象关于

）的图

x+0

n（3

Asi

数y=

（1）函

形.

称图

轴对

GZ）成

GZ）成

,k

=kn

k+巾

中3x

0）（其

（xk,

于点

象关

）的图

x+巾

n（a

Asi

数y=

⑵函

.

图形

对称

中心

法

一种方

,3

k=

人=,

叫则

值为

最小

为M,

大值

若最

式时，

数解析

三角函

图象求

在由

.

确定