高考数学专项复习：立体几何（解析版）

专题11立体几何专题（数学文化）

一、单选题

1.（2022•全国•高三专题练习）笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几

何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？

突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间

直角坐标系中，单位正方体顶点A关于x轴对称的点的坐标是（）

A.B.(1,1,1)

C.(1,—1,1)D.(―1,—1,—1)

【答案】B

【分析】由图写出点A的坐标，然后再利用关于x轴对称的点的性质写出对称点的坐标.

【详解】由图可知，点41,-1,-1）,所以点A关于x轴对称的点的坐标为（1,U）.

故选：B.

2.（2022春・辽宁大连•高一统考期末）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏

县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径=16cm,圆柱体的

高3c=8cm,圆锥体的高CD=6cm,则这个陀螺的表面积是（）

A.192兀cm?B.208TIcm2C.272Kcm2D.336TIcm2

【答案】C

【分析】结合组合体表面积的计算方法计算出正确答案.

【详解】圆柱、圆锥的底面半径为8cm,

圆锥的母线长为，6?+8?=10cm，

所以陀螺的表面积是兀x8?+27tx8x8+7rx8xlO=2727rcm2.

故选：C

3.（2022秋•安徽•高二合肥市第八中学校联考期中）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，

其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”.如图，在“阳

马”A-OBCD中，E为AACD的重心，若丽=£,AC=b，AD=c，则丽=（）

【分析】连接AE并延长交C。于点R则尸为的中点，利用向量的加减运算得答案

【详解】连接AE并延长交C。于点忆

—.2—.

因为E为AACD的重心，则/为CO的中点，且=

0O1,11

:.BE=AE-AB=-AF-AB=-x-（AC+AD]-AB=-AC+-AD-AB

332、133

=-a+—b+—c.

33

故选：B.

A

4.（2022秋•河南商丘•高三校联考阶段练习）桦卯是一种中国传统建筑、家具及其他器械的主要结构方式,

是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.凸出的部分叫做桦（或叫桦头），凹进部分叫卯（或

叫桦眼、桦槽）.现要在一个木头部件制作一个梯眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么制作成的棒

眼的俯视图可以是（）

制作卯眼的部件结果图

【答案】B

【分析】利用排除法结合俯视图的定义和已知条件分析判断.

【详解】法一：樟眼的形状和樟头一致，故樟眼的俯视图的轮廓线为虚线且从结果图可知桦眼应为通透的,

排除AD；

又C选项的结构左下方部分缺了一块，这与桦眼的结构不符，符合条件的只有B.

法二：因禅眼的制作部件为长方体，所以，C,D不正确；又棒眼应为通透的，

所以A不正确，所以符合条件的只有B.

故选B.

5.（2021秋・江西宜春•高二上高二中校考阶段练习）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经

得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥A-3co的每个顶点都在球。的球面上，底面

BCD,BCLCD,且AB=CD=2,BC=1,利用张衡的结论可得球。的表面积为（）

A.30B.——C.5y/lQD.9^/10

2

【答案】D

【分析】由BCLCD,AB上底面BCD,将三棱锥A-BCD放在长方体中，求出外接球的半径以及圆周率

的值，再由球的表面积公式即可求解.

【详解】如图所示：

因为3C_LCD,AB_/,底面367）,BC=\,AB=CD=2,

所以将三棱锥A-BCD放在长、宽、高分别为2,1,2的长方体中,

三棱锥A-3CD的外接球即为该长方体的外接球，

外接球的直径4）=^BC2+CD2+AB2=A/12+22+22=3，

利用张衡的结论可得厂=*,则兀=M,

168

所以球。的表面积为4兀97i=9\/10.

故选：D.

6.（2021春.陕西榆林.高三校考阶段练习）“天圆地方”观反映了中国古代科学对宇宙的认识，后来发展成为

中国传统文化的重要思想.中国古人将琮、璧、圭、璋、璜、琥六种玉制礼器谓之"六瑞”，玉琮内圆外方，

表示天和地，中间的穿孔表示天地之间的沟通，可以说是中国古代世界观很好的象征物.下面是一玉琮图及

其三视图，设规格如图所示（单位：cm）,则三视图中A,B两点在实物中对应的两点在实物玉璧上的最小

距离约为（）（万〜3,夜。1.4）

【答案】A

【分析】玉琮的中空部分看成一圆柱,A,B两点可看成是圆柱轴截面所对应矩形的对角线的端点，将圆柱

侧面展开，线段A3的长就是沿该圆柱表面由A到8的最短距离.

【详解】本题考查传统文化与圆柱的侧面展开图.由题意，将玉琮的中空部分看成一圆柱，A,3两点可看

成是圆柱轴截面所对应矩形的对角线的端点，现沿该圆柱表面由A到B,如图，将圆柱侧面展开，可知

阴）皿=,36+4万2»8.4.

故选：A.

7.（2022.全国•高一专题练习）《九章算术》中有这样的图形：今有圆锥，下周三丈五尺，高五丈一尺（1丈

=10尺）；若该圆锥的母线长x尺，贝ijx=（）

A-B.FC»F

【答案】C

【分析】根据圆锥的底面周长求出底面半径，从而利用勾股定理即可求出该圆锥的母线长.

【详解】易知三丈五尺=35尺，五丈一尺=51尺，

,35

设圆锥的底面半径为,，则2"=35,所以r=3，

2万

故选：C.

8.（2021秋・吉林四平•高三四平市第一高级中学校考阶段练习）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，半正

多面体是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体.如图，某广场的一张石凳就是

一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的.若被截正方体的棱长为40cm,则该阿

基米德多面体的表面积为（）

C.3600+3600V31cm2D.3600+1200V3)cm2

【答案】A

【分析】通过图形可知阿基米德多面体是由六个全等的正方形和八个全等的等边三角形构成，分别求解正

方形和等边三角形面积，加和即可.

【详解】由题意知：阿基米德多面体是由六个全等的正方形和八个全等的等边三角形构成，

其中正方形边长和等边三角形的边长均为12（）2+2。2=200；

二阿基米德多面体的表面积5=6x（20后y+8xgx200x200x5=4800+1600G（cm?）.

故选：A.

9.（2022秋.宁夏吴忠.高二青铜峡市高级中学校考开学考试）牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并

采用的一种用于计算球体体积的方法，该方法不直接给出球体的体积，而是先计算牟合方盖的体积.刘徽通

过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积关系为一,并且推理出了“牟合方盖”的八分之一的体积计算公

式，即乌=*_力盖差，从而计算出％=：万，.如果记所有棱长都为「的正四棱锥的体积为v,则5差蓬：V=

83

C.V2D.26

【答案】C

【分析】计算出小"，V，即可得出结论.

11441

【详解】由题意，/盖差=/一弓嗔=7-6、一'£'犷/=?3,

oo7T5J

所有棱长都为厂的正四棱锥的体积为^=Lrxrx=/

故选：C.

10.(2022秋•湖北襄阳•高二襄阳市第一中学校考阶段练习)《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几

何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵ABC-A4c中,

M，N分别是叫的中点，G是跖V的中点，若/=彳丽+、福+zZ?,则x+y+z=()

【答案】A

【分析】利用空间向量运算求得正确答案.

【详解】AG=7+-AC+AB+-

所以％+y+z=7+：+：=7

2442

故选：A

11.（2022秋.江西抚州•高二临川一中校考期中）如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工

艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物,

证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约为40cm,上

口直径约为28cm,经测量可知圆台的高约为16cm,圆柱的底面直径约为18cm,则该组合体的体积约为（）

（其中兀的值取3）

A.11280cm3B.12380cm3C.12680cm3D.12280cm3

【答案】D

【分析】根据圆柱和圆台的体积公式即可求解.

【详解】由题意得圆柱的高约为40-16=24（cm）,

贝何尊的体积V=/台+嗫柱=]x（142+92+14x9）xl6+7i：x92x24212280（cm3）

故选：D.

12.（2022秋.安徽.高三校联考开学考试）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第11

卷中将轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为“直角圆锥”.若一个直角圆锥的侧面积为30万，则该圆锥的体积

为（）

A.不兀B.3万C.4A/2JTD.6拒兀

【答案】A

【分析】根据直角圆锥性质求出圆锥高、母线与底面半径关系，根据圆锥体体积与侧面积公式求解.

【详解】设圆锥底面半径为「，根据直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形可得，

圆锥高〃=厂，母线长；五厂，

圆锥的侧面积为==3"'兀，解得厂=有，

所以圆锥的体积为=；nx旧x有=6兀.

故选：A.

13.（2022秋・青海西宁・高三统考期中）我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四

阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底、长方形足、器内底

中部及盖内均铸一“爰”字.通高24cm,口长13.5cm,口宽12cm,底长12.5cm,底宽10.5cm.现估算其体积，

上部分可以看作四棱锥，高约8cm,下部分看作台体，则其体积约为（）（参考数据：713125«11.5,

V162®12.7）

A.7460.8cm3B.87L3cm3C.1735.3cm3D.2774.9cm3

【答案】D

【分析】根据棱台与棱锥的体积公式计算可得.

【详解】解：因为彩=g（s上+S下+JS上告）h

=1（162+131.25+7162x131.25）xl6=2342.9cm3,

%=|s//=|xl62x8=432cm3,所以V=嗅+%=2774.9cn?.

故选：D

14.（2022秋.湖北.高二校联考期中）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，

该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，

它的高为4,AA,,BB-CC,,。，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4,对

应的圆心角为90。，则图中异面直线A片与所成角的余弦值为（）

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线入月与CA所成角的余弦值.

设上底面圆心为。一下底面圆心为0,连接。OC,0B,

以。为原点，分别以oc,。3,0a所在直线为x轴、＞轴、z轴，建立空间直角坐标系,

则C（2,0,0）,4（0,4,0）,4（0,2,4）,4（4,0,4）,

则西=（2,0,4）,祠=（0,-2,4）,

cos（国,闻=生产=「心=-

又异面直线所成角的范围为，

4

故异面直线AB,与CD,所成角的余弦值为j.

故选：A.

15.（2023•江西抚州•高三金溪一中校考开学考试）中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌

子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、

十全十美.下图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为

()(参考数据：V91.75«9.6,1L=1000cm3,参考公式：匕j.=g(s上+S下+上下)•/?)

A.1.5LB.2.4LC.5.0LD.7.1L

【答案】B

【分析】由勾股定理算出高九即可由公式求体积.

继底-22

011721V2=变=91.75,

【详解】由题意，正四棱台中，设棱台的高为0，则〃2=11.5?-

2翔24

故/台=gx202+112+A/202-112|x791.7522371.2cm3«2.4L.

故选：B

16.（2022春•湖南长沙•高二湖南师大附中校考阶段练习）波利亚在其论著中多次提到“你能用不同的方法推

导出结果吗？"，“试着换一个角度探索下去……”.这都属于“算两次”的原理.另外，更广义上讲，“算两次”也

是对同一个问题，用两种及其以上的方法解答出来，即对同一个问题解两次，得到相同的结果，体现殊途

同归，一题多解.试解决下面的问题：四面体ABC。中，AB=CD=6,其余的棱长均为5,则与该四面体各个

表面都相切的内切球的表面积为（）

797r73463乃

A.-----B.C.-----D.47r

25"20"16

【答案】C

【分析】取8的中点E,连接A瓦AE,取A5的中点尸，连接斯，即可得到CO,平面ABE,求出邑ME，

即可求出三棱锥的体积，设内切球。的半径为R,利用等体积法求出内切球的半径，即可求出内切球的表面

积;

【详解】解：取C。的中点E,连接AE,BE,取A8的中点R连接所,

由题意AE_LCD,BELCD,

又AEcBE=瓦AE,BEu平面ABE,CDJ_平面ABE,

又AB=CD=6,其余棱长均为5,；.AD=5,OE=3,在中，可得A£=4,同理可得3E=4,

所以等腰三角形ABE底边上的高斯=？=疗，SAABE=1x6xV7=3币,

•••三棱锥至。的体积=

又SMCD=；XCZ）XAE=12,设内切球。的半径为R,

三棱锥的体积V==4x]x5AA②xR,可得R=±2,

38

所以球的表面积为=4%=孚万.

6416

故选：C.

17.（2022秋.黑龙江齐齐哈尔•高二齐齐哈尔市第八中学校校考开学考试）灯笼起源于中国的西汉时期，两

千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼

的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）.如图

2,球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径

为R,球冠的高为〃，则球冠的面积5=2万R/z.已知该灯笼的高为46cm,圆柱的高为3cm,圆柱的底面圆

直径为30cm,则围成该灯笼所需布料的面积为（）

图1

A.2090^cm2B.2180^cmC.2340^-cm2D.24307rcm2

【答案】B

【分析】由勾股定理求出R,则/z=R-20=5cm,分别求出两个球冠的表面积、灯笼中间球面的表面积、

上下两个圆柱的侧面积即可求出围成该灯笼所需布料的面积.

2

46-6

【详解】由题意得玄-I=15，得7?=25cm,/?=25-20=5cm,

2

所以两个球冠的表面积之和为2s=4兀Rh=500^-cm2,

灯笼中间球面的表面积为4兀R2-500万=2000%cm?.

因为上下两个圆柱的侧面积之和为2x30%x3=180万cm?,

所以围成该灯笼所需布料的面积为2000万+180]=2180万cm?.

故选：B.

18.（2022秋•湖北武汉•高二武汉市第十一中学校考阶段练习）端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗，

粽子主要分为南北两大派系，地方细分特色鲜明，且形状各异，裹蒸粽是广东肇庆地区最为出名的粽子，

是用当地特有的冬叶、水草包裹糯米、绿豆、猪肉、咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形的粽子，现将裹蒸粽看作一

个正四面体，其内部的咸蛋黄看作一个球体,那么，当咸蛋黄的体积为三时,该裹蒸粽的高的最小值为（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】A

【分析】要使正四面体的高最小，当且仅当球与正四面体相内切，内切球的半径为人根据球的体积求出乙

再根据等体积法求出h；

【详解】解：要使正四面体的高最小，当且仅当球与正四面体相内切，

设正四面体的棱长为。，高为M内切球的半径为,，则?/=?，解得厂=1,

如图正四面体S-ABC中，令。为3C的中点，。1为底面三角形的中心，贝!底面ABC

•r,即人=4厂=4.

故选：A

19.(2023・全国•高三专题练习)鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于古代中国建筑的樟卯结

构.如图1,这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2,则该鲁班锁

A.8(6+6夜+君)B.6(8+8直+⑹

C.8(6+6用©D.6(8+8g+匈

【答案】A

【分析】补形出正方体,结合图形求出正方体棱长，然后直接求解可得.

【详解】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，

如图，因为AO=BD,AB=2,/ADB=%,所以AO=2sin工=0

24

故该正方体的棱长为2+2收，且被截去的正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为0,则该几何体的表面积为

2

S=6[(2+2A/2)-4X1X^XV2]+8X1X2XA/3=8(6+6A/2+V3).

22

故选：A

20.（2022秋•江苏连云港•高三校考阶段练习）刍（c/0薨（/胡g）是中国古代算数中的一种几何体，其结构特

征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体.

上极长

已知一个刍篇底边长为6,底边宽为4,上棱长为2,高为2,则它的表面积是（）

A.24后B.24+24立

C.24+24如D.24+1672+875

【答案】B

【分析】计算出几何体每个面的面积，相加即可得解.

【详解】设几何体为历-ABCD,如下图所示：

矩形ABC。的面积为6x4=24,

侧面为两个全等的等腰三角形AABE、KDF,两个全等的等腰梯形ALEE、BCFE,

设点E、尸在底面ABCD内的射影点分别为G、H,

过点G在平面A5CD内作GML3C,连接EAf,

过点H在平面A3CD内作HNLCD,连接FN,

平面A3CD,HN、CDu平面ABC。，:.FH±CD,FHLHN,

-.HN±CD,FHC\HN=H,\CE）A平面尸HN,

•:FNu平面FHN,;.FNLCD,易知EF/=2,HN=2,

则在&CDF中，斜高为FN=slFH2+HN2=6+22=2A/2，

所以，SAABE=SACDF=^CD-FN=442,

同理可知，梯形BCFE的高为EM=yjEG2+GM~=722+22=272，

所以，S梯形ADFE=S梯形BCFE=5（EP+3C）.EM=80，

因此，该几何体的表面积为24+2x（4A/2+8A/2）=24+240.

故选：B.

二、多选题

21.（2021秋.重庆沙坪坝.高二重庆市天星桥中学校考阶段练习）三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约

三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，

是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm,外径长3cm,

筒高4cm,中部为棱长是3cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则（）

2---：

A.该玉琮的体积为18+—（cm3）B.该玉琮的体积为27-不（cn?）

44

C.该玉琮的表面积为54+7r（cn?）D.该玉琮的表面积为54+9兀（cm?）

【答案】BD

【分析】体积为圆筒体积（外圆柱减去内圆柱体积）加上正方体体积减去内切圆柱体积.

组合体的表面包含下面几个部分：外圆柱侧面在正方体外面的部分，正方体上下两个底面去掉其内切圆的

部分，圆筒的上下两个底面（两个圆环），正方体的4个侧面，内圆柱的侧面，面积相加可得.

【详解】由图可知，组合体的体积V=/4xf|j-I2+3x3x3-兀x3x1||=27-彳（cn?）.

2

3

S=3KX1+2X3x3一兀x+3x3x4+2TIX+27ix4=54+97i(cm2).

2

故选：BD.

22.（2022.全国•高三专题练习）“端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录,

吃粽子便是端午节食俗之一.全国各地的粽子包法各有不同.如图，粽子可包成棱长为6cm的正四面体状

3

的三角粽，也可做成底面半径为^cm,高为6cm（不含外壳）的圆柱状竹筒粽.现有两碗馅料，若一个碗

2

的容积等于半径为6cm的半球的体积，贝U（）（参考数据：信名4.44）

A.这两碗馅料最多可包三角粽35个

B.这两碗馅料最多可包三角粽36个

C.这两碗馅料最多可包竹筒粽21个

D.这两碗馅料最多可包竹筒粽20个

【答案】AC

【分析】分别求出一个正四面体状的三角粽的体积，一个圆柱状竹筒粽得体积及两碗馅料得体积，即可得

出答案.

14

【详解】解：两碗馅料得体积为：2x-x-^-x63=288^cm3,

23

如图，在正四面体。-ABC中，CM为A8边上得中线，。为三角形A8C的中心，则即为正四面体的高,

CM=6x^=3^cm,OC^CM=2^cm,OD=J36-12=2派m,

所以正四面体的体积为』x」x6x3若x2"=18":m3,

32

即一个正四面体状的三角粽的体积为1805?,

因为288万+180。35.52,

所以这两碗馅料最多可包三角粽35个，故A正确，B错误;

D

一个圆柱状竹筒粽得体积为兀x6=?兀c底,

因为288万——77=21.33,

2

所以这两碗馅料最多可包竹筒粽21个，故C正确，D错误.

故选：AC.

23.（2022•全国•高三专题练习）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、

四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可

近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30。，侧棱长为0T米，则该正四棱

锥的（）

C.侧面积为246平方米D.体积为12班立方米

【答案】ACD

【分析】画出几何体的直观图，结合已知条件求得棱锥的底面边长，逐项求解，即可得到答案.

【详解】如图所示，在正四棱锥P-ABC。中，。为正方形ABC。的中心，且

设底面边长为2a,正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30。,

所以/尸//。=301则0"=4,。尸=/。,尸"=汉1<2，

33

在直角VPHC中，可得"C2+pH2=pc2,即/+（差4=21,解得“=3,

所以正四棱锥尸-ABCD的底面边长为6,所以A正确；

因为尸O/平面ABCD,所以NPBO为侧棱网与底面所成的角，

在直角APOB中，可得cosNPBO=吆=喳=叵,所以B错误；

尸3&T7

正四棱锥P-ABCD的侧面积为S=gx4x6x2Q=24用平方米，所以C正确;

正四棱锥尸-ABCD的侧体积为丫=$6x6x6=12百立方米，所以D正确.

故选：ACD.

24.（2022秋・湖北襄阳•高二校考阶段练习）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为“鳖

席在鳖席尸―ABC中，上4,底面ABC,则（）

A.•元=0可能成立B.前.就=0可能成立

C.可•肥=0一定成立D.阮•福=0可能成立

【答案】BCD

【分析】利用线面垂直的判定与性质判断出线线是否垂直，即可判断对应的向量的数量积是否为0.

【详解】因为PA_L底面ABC,所以R4_L3C,所以可.沅=0一定成立；故C正确.

若/BAC=90。，如图所示:

p

则△ABC为直角三角形，所以BC2=AB2+AC2.

因为PA，底面ABC,所以PA，AC丛，AB,所以△RIB,AR4c均为直角三角形.

所以尸皆2=AB2+PA2,PC2=E42+AC2.

在△PBC中，由8c2=人笈+人。?，PB2=AB2+P^，PC?=夫发十人。?可知，三边不满足勾股定理，所以

△P3C不是直角三角形，三棱锥不是“鳖般”.故A错误.

由三棱锥是“鳖席”可知：△ABC为直角三角形.

由上面的推理可知：/BAC=90。不成立，贝IJ/4CB=9O°,或NABC=90。.

当NACB=90。时，AC1CB.

又出，3。，PAryAC=A,且以u面PAC,ACu面PAC,

所以BC人面PAC,所以3C，PC,则NPCB=90。，三棱锥是“鳖席”；故B正确.

同理可证：若NABC=90。，则/P3c=90。，三棱锥是“鳖膈”；故D正确.

故选：BCD

25.（2022春・广东广州.高一广州科学城中学校考期中）唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的

盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2）,当这种酒杯内壁的表面积（假设内壁表面光滑，表

面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取

值可能为（）

D-后

【答案】AC

4

【分析】首先设圆柱的高与半球的半径分别为"R,酒杯的容积为V,则S=2乃再根据

和%>0得至%陛犀，即可得到答案.

V10万V2万

【详解】设圆柱的高与半球的半径分别为心R,酒杯的容积为V,贝”=2万r2+2万的,

q

所以兀Rh=----TTR2,

2

2a12A(S°、兀&3S4q3

所以Vn—TTRS+TRZ〃n—TRa+l__^2\R=——R+-R<-^R

3312J323

解得R克

s、s

又h>0,所以二■—TTR>0,角军得R<

22万

S

所以

2万

故选：AC.

26.（2022・海南・统考模拟预测）素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画

者的空间造型能力.“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”

的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一

条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相

对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2,高为6的

正四棱柱构成，则（）

A.一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直

B.该“十字贯穿体”的表面积是112-160

C.该“十字贯穿体”的体积是48-3叵

3

D.一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为：+40

【答案】BCD

【分析】根据图形分别求出CD=20,CE=DE=巫,结合勾股定理判断垂直；表面积是由4个正方形和

16个与梯形尸全等的梯形组成，分别计算；体积用两个柱体体积减去重叠部分体积；分别计算按

AfCfPfMfDfB路线和在表面内移动最短的路径长.

【详解】如图一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线CE、DE

则在梯形8DEE中，可知3£>=3-0，BF=2,EF=3,DE=®BE=A

根据立体图可得CD=2&,CE=DE=4b,显然CE2+_DE2ACO?

即CE、不垂直，A不正确;

该“十字贯穿体”的表面积是由4个正方形和16个与梯形尸全等的梯形组成

则表面积5=4x4+16x3+3-3x2=112-16a,B正确；

2

如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体CDGEST,取CS的中点I

则多面体CDGKST可以分成8个全等三棱锥C-GE/,则/侬=｝应*2=半

该“十字贯穿体”的体积即为丫=2x24-8/_GE,=48-竽，C正确；

若按AfCf尸.AffO38路线，则路线长为4（3-收）+2收=12-2后

若在表面内移动，则有:

借助部分展开图，如图所示:

cosZFEN=cos2a=2cos2a-1=-1<0,即NFEN为钝角，过8作NE的垂线8H,垂足为“，则8H在

展开图内

sinZBEN=sin（2a-^）=sin2acosp-cos2asinp=+千5

BH=BEsinZBEN=-+20

3

根据对称可知此时最短路径为2BH=|+4>/2<12-20

则从顶点A出发，沿表面到达顶点8的最短路径为：+40,D正确;

故选：BCD.

27.（2022・全国•高三专题练习）祖晅（公元5—6世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出

了一条原理：“塞势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的

面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图将底面直径皆为勖，高皆为。的椭半球体和已被挖去了圆锥体

的圆柱体放置于同一平面夕上，用平行于平面夕且与夕距离为d的平面截两个几何体得到S回及S环两截面,

可以证明端=S环总成立，若椭半球的短轴AB=6,长半轴CD=5,则下列结论正确的是（）

B.椭半球体的体积为157r

C.如果M=4"，以尸为球心的球在该椭半球内，那么当球尸体积最大时，该椭半球体挖去球产后，体

积为三-万

D.如果声=4方，以P为球心的球在该半球内，那么当球尸体积最大时，该椭半球体挖去球尸后，体积

为291

【答案】AC

【分析】由题可得胃=；唳球=%柱-愉锥，可判断AB,利用椭圆的性质可得球尸的最大半径为1,进而可

判断CD.

【详解】由题意知，短轴AB=6,长半轴CD=5的椭半球体的体积为

丫=/椭球=唳柱一/1锥=万.[1）.5-g・乃仁）,5=30万'，A正确'B错误；

椭球的轴截面是椭圆，它的短半轴长为3,长半轴长为5,所以半焦距为4,

由于m=4诟，所以B椭圆的焦点，因此ED是椭圆的最小焦半径，即球F的最大半径为1,

该椭半球体挖去球尸后，体积为30〃-方万=与"，故C正确，D错误.

故选：AC.

三、填空题

28.（2022秋•上海浦东新•高二上海市建平中学校考阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中，定义了

三个特别重要而基本的多面体，它们是：（1）“堑堵”：两个底面为直角三角形的直棱柱；（2）“阳马”：底面

为长方形，且有一棱与底面垂直的棱锥；（3）“鳖席（bienAo）”：每个面都为直角三角形的四面体.魏晋时期

的大数学家刘徽进一步研究发现：任何一个“堑堵”都可以分割成一个“阳马”和一个“鳖席”且“阳马”和“鳖膈”

的体积比为定值.则此定值为.

【答案】2:1

【分析】画出图形，在图形中分别表示出“阳马”和“鳖席”的体积即可求解.

【详解】如图所示，图为底面为直角三角形的直三棱柱“崭堵”，ZABC=9ff,

若以△人1片G作为“鳖席”的底面，则可选点A或点C作为顶点，

我们选取点c为例，连接4C4C,则四面体C-A与G满足条件，

且棱锥也满足“阳马”的条件，

3C1面A4出出且四边形AA43为长方形，

设AB=c,BC=a,AC=b,BB、=h,

则“堑堵”的体积为，

22

“鳖膈”的体积为，ac-/ix』=Lc/z,

236

所以"阳马"的体积为』aM-工ac/z=■ac/z,

263

所以“阳马”和“鳖席”的体积比为2：1.

故答案为21.

29.（2022秋.上海浦东新•高三上海市建平中学校考阶段练习）我国古代将四个面都是直角三角形的四面体

称作鳖腌，如图，在鳖SIS-ASC中，SCL平面ABC,AABC是等腰直角三角形，且AB=SC,则异面直

线8C与9所成角的正切值为.（写出一个值即可，否则有两个答案）

【答案】五或6（写出一个值即可）

【分析】分类讨论AABC是等腰直角三角形中,A为直角，8为直角，C为直角，三种情况即可.

【详解】解：因为AABC是等腰直角三角形，当B为直角时，

作正方形48CD,连接SD,

则异面直线3C与&4所成角的平面角为/&W（或其补角）,

又由已知有3C_LCD,BCLSC,

所以面SCD,即40，面50即AD_LSD,

设AB=SC=1,则AD=1,SD=72，

所以tan/SAD=%^=&,

AD

即异面直线3C与所成角的正切值为&；

因为AABC是等腰直角三角形，当A为直角时，

建立如图所示空间直角坐标系，

设AB=SC=1,则AC=1,

A(0,0,0),3(1,0,0),C(0,l,0)5(0,1,1),

所以阮=(-1,1,0),豆=(0,-l,-D，

cos(BC,SA)==-^-j==1,所以(而，裒)=(,则tan(前，克”上,

所以异面直线BC与S4所成角的正切值为力;

因为44SC是等腰直角三角形，当C为直角时,

因为SC_L平面ABC,AABC是等腰直角三角形,

所以SC_LC4,SC_LC3,C4_L,

设AB=SC=1,

所以CA=CB=g

2

所以SA=S3=逅，

2

止匕时NASCWNACB,

所以△S4B不可能为直角三角形，不满足题意.

综上可得异面直线3C与&4所成角的正切值为丘或6

故答案为：拒,或6

30.（2022春・浙江宁波•高二校考学业考试）宁波老外滩天主教堂位于宁波市新江桥北观，建于清同治十一

年（公元1872年）.光绪二十五（1899年）增建钟楼，整座建筑由教堂、钟楼、偏屋组成，造型具

有典型罗马哥特式风格.其顶端部分可以近似看成由一个正四棱锥和一个正方体组成的几何体，且正四棱

锥的侧棱长为10m,其底面边长与正方体的棱长均为6m,则顶端部分的体积为.

【答案】216+12短m3

【分析】根据棱柱和棱锥的体积公式计算可得；

【详解】解：依题意可得如下直观图，AB=6m,1s4=10m,设AC与2。的交点为0,则SO为正四棱锥

的高，

所以40=*=兴屿+叱=30,SO7s尺-A"庖,

33

所以匕一曲》=$6x6x短=12廊m,VABCD_AiB[C}Di=6x6x6=216（m）,

所以V=216+12庖（m3）

31.（2022•全国•高三专题练习）蹴鞠，2006年5月20日，已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批

国家非物质文化遗产名录.蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球，因而蹴鞠就

是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.已知某鞠（球）的表面上有四个点（不共面）

A、B、C、D,AB=CD=2,AC=BD=y/3,BC=AD=y/5,则该鞠（球）的体积为.

【答案】忌

【分析】根据题意可知，三棱锥A-3CD的外接球的体积即为所求鞠（球）的体积，且三棱锥A-BCD的三

组对棱均相等，可将三棱锥A-3CD嵌入到长方体中求解，即可得出三棱锥A-BCD外接球的半径，利用球

的体积公式即可求解.

【详解】解：由题可知，三棱锥A-BCD的外接球的体积即为所求鞠（球）的体积，

又AB=CD=2,AC=BD=®BC=AD=5故三棱锥A-BCD的三组对棱均相等，

如图，将三棱锥A-BCD嵌入到在长方体ACBD'-ACB'D中，

则三棱锥A-BCD的外接球即为在长方体AC'BD'-ACBZ）的外接球，

设AA'=x,AC'=y,AD'=z,

贝UAC=BD=旧+上,AB=CD=^y2+z2,BC=AD=V%2+z2，

x2+j2=3

故r2+Z?=4,解得x2+y2+z2=6,

x2+z2=5

又长方体AC5D'-AC?。外接球的直径即为长方体ACBD'-ACB'D的体对角线，

故三棱锥A-BCD的外接球的半径为R==男,

22

4r-

则三棱锥A-BCD的外接球的体积为：V=-R^=y[67r.

故答案为：瓜兀.

32.（2022春・福建泉州.高一泉州五中校考期中）“牟合方盖”（图①）是由我国古代数学家刘徽创造的，其

构成是由一个正方体从纵横两侧面作内切圆柱（圆柱的上下底面为正方体的上下底面，圆柱的侧面与正方

体侧面相切）的公共部分组成的（图②），假设正方体的棱长为2,则其中一个内切圆柱的表面积为

;该正方体的内切球也是“牟合方盖”的内切球，所以用任一平行于正方体底面的平面去截“牟合

方盖”，截面均为正方形，根据祖晒原理（夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的

任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等）可得“牟合方盖”的体积为

口斗

,16

【答案】6兀—

【分析】根据正方形边长得出内切圆柱底面半径和高可求出表面积，求出截面正方形与其内切圆面积比即

可得出体积之比，进而求出“牟合方盖”的体积.

【详解】因为正方形边长为2,则内切圆柱底面半径为1,高为2,所以其中一个内切圆柱的表面积为

1

S=2兀r+=6兀;

4

因为正方形边长为2,则内切球半径为1,所以内切球体积匕=］万，

设截面正方形的边长为2r,则其内切圆半径为小

所以截面正方形与其内切圆面积比为厘=±,设方盖体积为V2,

nrn

则根据祖晒原理可得¥=一,所以匕=%=々.

匕"n3

故答案为：6万；费.

33.（2023•全国•高三专题练习）佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填充一些中草