图形与图形的变换-2024年中考数学考试易错题

专题05图形与图形的变换

易错点1:点、线、面、体

易错点2:两个基本事实

点、线、面、角专题

易错点1:点、线、面、体

例：将如图所示的几何图形，绕直线/旋转一周得到的立体图形（）

【答案】c

【分析】根据面动成体以及圆台的特点，即可解答；此题考查了平面图形和立体图形之

间的关系，熟练掌握圆台是由直角梯形绕着垂直于底的一腰旋转而成是解题的关键.

【详解】绕直线/旋转一周，可以得到的立体图形是圆台，

故选：C.

变式1：已知在中，/B=6,/C=8,乙4=90。，把绕直线/C旋转一周

得到一个圆锥，其表面积为H，把绕直线旋转一周得到另一个圆锥，其表

面积为邑，则鸟：邑等于.

【分析】本题主要考查了圆锥的表面积.分别求出当以NC为轴旋转时，当以为轴

旋转时，圆锥的表面积，即可求解.

【详解】解：如图所示，当以ZC为轴旋转时，岳="〃+5恻，为底面圆半径，BC

为母线长10,

S1=36%+60%=96%.

B

当以48为轴旋转时，/C为底面圆半径，3C为母线长为10,S恻="/=80万,

邑=S底+S1s=64%+80%=144万,

H:$2=96%:144%=2:3.

故答案为：2:3

变式2：如图，在平面直角坐标系中，己知“3C的三个顶点的坐标分别为

^(3,6),5(l,4),C(l,0).

(1)^ABC外接圆的圆心尸的坐标是；

⑵求该圆圆心P到弦AC的距离；

(3)以BC所在直线为旋转轴，将旋转一周，求所得几何体的表面积.

【答案】(1)(5,2)

⑵W

⑶4«%+4岳

【分析】(1)分别作/8,/C的垂直平分线，即可解答；

(2)用中点公式求得/C的中点，再利用勾股定理即可解答；

(3)旋转后的几何体为半径为2,高为6的圆锥，减去半径为2,高为2的圆锥，据此

求出表面积即可.

【详解】(1)解：如图，“BC外接圆的圆心户的坐标是(5,2),

故答案为：（5,2）；

（2）解：根据中点公式，可得/C的中点。（2,3）,

DP=^（5-2）2+（2-3）2=V10

（3）解：旋转后的几何体为半径为2,高为6的圆锥，减去半径为2,高为2的圆锥，

则他们的母线长为AC=^/（3-1）2+62=2,AB=^（3-1）2+（6-4）2=272，

二所得表面积为2Mx2"+2逝x2%=4师r+4缶.

【点睛】本题考查了外接圆、两点之间的距离公式、圆锥表面积公式，勾股定理，正确

得到旋转后的图形是解题的关键.

易错点2：两个基本事实

例：下列命题：

①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线；

④从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与

直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

⑤垂直于同一条直线的两条直线垂直，其中的假命题有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】此题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命

题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.

【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；

②在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；

③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，原命

题是真命题；

④从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与

直线上各点的所有线段中，垂线段最短是真命题；

⑤垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是假命题，

故选：B.

变式1：如图，在平面内，43为线段，射线上有一点C到A的距离为7,N是平

面内一点，且始终保持MV=3BN,则+的最小值为.

【分析】本题考查了两点之间线段最短，解题的关键是把3N+；CN=4N+CN.

【详解】解：如图，连接CN,则NN+CN2/C,

当N在N,C之间时，/N+CN的最小值=7=32"+。村=3(8"+；。可

17

8N+]GV的最小值是履

7

故答案为：

变式2：如图，已知/、B、C、。是正方形网格纸上的四个格点，根据要求仅用无刻度

的直尺在网格中画图，并标注相关字母.

(1)画线段

⑵画直线DE〃/8(点£为格点)；

(3)画出点。，使DO+CO+NO+B。最小;

⑷在线段上画出点R使CF最短.

【答案】⑴见详解

(2)见解析

⑶见解析

(4)见解析

【分析】(1)连接问题得解；

(2)根据点/向右平移1个单位，向上平移1个单位得到点。，所以点2按同样平移

方式得到对应点E,作直线DE,可以得到符合条件点E有两个；

(3)连接/B、相交于点O,即可求解；

(4)作出与45垂直的直线，交于点R问题得解.

【详解】(1)解：如图，线段即为所求作的线段；

(2)解：如图，直线。E即为所求作的线段；

(3)解：如图，点。即为所求做的点；

证明：：点。为线段/8、的交点，

/。+8。最小，DO+C。最小，

，此时。0+CO+40+8。的值最小；

(4)解：如图，点厂即为所求做的点；

BH=GB=3

<ZBHP=ZGBC=9(T,

HP=BC

:”BHP@GBC,

：./HBP=NBGC,

・・・/BCG+/BGC=90P,

・•・/BCG+/HBP=9(T

：.ZBFC=90°f

：.CF1AB,

【点睛】本题为几何作图题，考查了线段的画法，平行线的画法，两点之间，线段最短,

垂线段最短等、全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，综合性较强,

熟知相关知识，并根据网格特点灵活应用是解题关键.

易错点3：线段和与差

例：已知线段%5=12cm,点。为直线48上一点，且4C=4cm,点。为线段5C的中

点，则线段的长为（）

A.8cmB.6cmC.4cm或8cmD.6cm或8cm

【答案】C

【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，分当点C在线段上时,

当点C在线段A4延长线上时，两种情况画出对应的图形，求出BC的长，进而求出CD

的长，再由线段之间的关系求解即可.

【详解】解：如图，当点C在线段N8上时，

AB-12cm,AC-4cm,

BC=4B-AC=8cm,

:点。为线段3C的中点，

CD=-BC=4cm,

2

AD=AC+CD=8cm；

I____________I______________I____________I

ACDB

如图，当点C在线段A4延长线上时，

AB=12cm,AC=4cm,

.・.BC=AB+AC=16cmf

:点。为线段3C的中点，

CD=—BC=8cm,

2

AD=CD-AC=4cm；

综上所述，线段4。的长为4cm或8cm

故选：C.

I______________i__________i______________________i

CADB

变式1：如图，线段45被点C,。依次分成2:4:7三部分，M,N分别是4C,的

中点，若MD-DN=3cm,则48=cm.

।।।।।।

AMCDNB

【答案】26

【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段之间的数量关系，解题的关键是根据

〃D-_DN=3cm列出关于x的方程，求出x的值.设NC=2x,CD=4x,DB=1x,根

据中点定义及线段之间的关系，列出关于x的方程，求出x的值，即可求出的长度.

【详解】解：•••线段被点C,。分成2:4:7三部分，

AC=2x,CD=4x,DB=7x,

,:M,N分别是4C,QB的中点，

117

：.MC=-AC=x,DN=-DB=-x,

222

73

•*.MD—DN=x+4x----x=~x,

22

■:MD—DN=3cm,

••x-3,

2

解得：x=2,

AB=2x+4x+7x=13x=26(cm).

故答案为：26.

变式2：如图所示，线段4B=6cm,C点从。点出发以lcm/s的速度沿45向左运动，D

点从5点出发以2cm/s的速度沿向左运动(。在线段/尸上，。在线段B尸上)

ill।।ill।।

ACPDBACPDB

图①图②

⑴若C,D运动到任意时刻都有勿=2/C,求出产在上的位置；

⑵在(1)的条件下，。是直线上一点，若AQ-BQ=PQ,求尸。的值；

(3)在(1)的条件下，若C,。运动了一段时间后恰有=28,这时点C停止运动，

点。继续在线段P8上运动，N分别是CD,尸。的中点，求出的值.

【答案】(1)点尸在线段上的离/较近的;处

(2)4cm或12cm

(3)；cm

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、

分转化线段之间的数量关系是解题的关键.

(1)根据C、。的运动速度知AD=2PC,再由已知条件PO=2/C求得PB=24P,所

以点尸在线段上离/点较近的g处；

(2)由题设画出图示，根据=求得/。=尸0+30；然后求得NP=8。，

从而求得尸0与的关系；

(3)当C点停止运动时，有CD=AB,故AC+BD=4B,再设=PD=4-a,

CD=5-a,即可列式得出答案.

【详解】(1)根据C、。的运动速度知：BD=2PC,

'：PD=2AC,

BD+PD=2(PC+AC),即尸B=24P,

•••点P在线段AB上的离A点较近的1处；

(2)如图1：

IIII

APQB

图1

•：AQ-BQ=PQ,

：.AQ=PQ+BQ.

X-：AQ=AP+PQ,

/.AP=BQ,

PQ=；AB=2cm；

当点0在的延长线上时，如图，

11II

APBQ

•：AQ-AP=PQ,S.AQ-BQ=PQ,AP=BQ,

AQ-BQ=PQ=AB=6cm.

综上所述，PQ长为2cm或6cm；

(3)MN的值不变，理由：

如图2,

ACPMNDB

图2

当C点停止运动时，有CO=1/8=3cm,

2

AC+BD-AB=3cm,

。点继续运动，设BD=a,PD=4—a,CD=5-a,

15—a4—a1

：.MN=MD-ND=-CD——PD=---------------=—cm.

22222

易错点4：角的和与差

例：如图，在正方形/BCD中，边4B、上分别有£、尸两点，AE=DF,BP平分

NCBF交CD于点、P.若NCEB=a,则NCP8的度数为()

A.90°-aB.aC.90°--aD.-a

22

【答案】C

【分析】本题考查了正方形的性质，角的平分线，三角形全等的判定性质，设尸的

交点为G,利用SAS证明”瓦名ABCE(SAS),得NCGB=90°,ZCEB=ZCBG=a,

结合BP平分NCBF,得到ZCBP=-ZCBF=-a，根据NCPB+NCBP=NCPB+-a=,

222

计算即可.

【详解】设C£,89的交点为G,

如图，：正方形/BCD,

AB=BC=CD=DA,ZFAB=ZEBC=/BCD=90°,

AE=DF,

：.FA=EB,

AB=BC

'：\ZFAB=ZEBC,

AB=BC

；.△ABF知BCE(SAS),

ZABF=ZBCE,

NFBA+NFBC=9。。

：.ZBCE+ZFBC=90°,

NBGC=90°,

...ZCEB=ZCBG=a,

：BP平分NCBF,

ZCBP=-ZCBF=-a,

22

NCPB+NCBP=NCPB+-a=9ff,

：.ZCPB=9QP--a,

2

故选C.

变式1：如图，在四边形4BDC中，己知BE平分/ABD,且BELDE,H

为上一点，ZBDK=ZHDK,ZDHB=24°，则NEDK=

【答案】12。/12度

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质，解题的关键是作出

恰当的辅助线.

延长。£交于点尸，先证明AFBEmXDBE,则NBFE=NBDE,然后根据三角形外

角的性质并结合已知条件可逐步推得/EDK=12。.

【详解】如图，延长交48于点?

,/BE平分ZABD,且BE_LDE,

：.ZFBE=ZDBE,ZBEF=ABED=90°,

又BE=BE,

；.AFBEADBE(ASZ

：.NBFE=NBDE,

•：ZDHB=24°,ZBDK=NHDK,

：.ZBFE=ZDHB+ZFDH=24°+ZFDH,

NBDE=4BDK+NEDK=ZHDK+ZEDK=ZFDH+ZEDK+NEDK=ZFDH+2NEDK

：.24°+ZFDH=ZFDH+2ZEDK

：.NED-

故答案为：12。.

变式2：如图/8〃C。，E在上，且CE平分//CD.

(1)如图1,求证：ZAEC=ZACE.

(2)点M为C£上一点，试判断NE4W,ZAME,NEC。之间的数量关系，并证明.

⑶如图3,在(2)的条件下，延长交CD于G,在的延长线上取点N,连接CN,

使NDCN+a4CN=180。，且乙4MC=2N/ME,求NNNC的度数.

【答案】(1)证明见解析

(2)ZEAM+NAME+ZECD=180°,证明见解析

(3)Z4NC=30。

【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、平角的定义等，解题的关键熟

知相关的性质并能综合运用.

(1)根据平行线的性质与角平分线的定义即可推证.

(2)根据平行线的性质与三角形内角和定理即可推证相关结论.

(3)延长NC至点R根据平角与角平分线的定义，结合已知条件可推证NECN=90。，

再由乙4MC=2乙ZAMC+ZAME=180°,可推得//腔=/。/乂=60。，于是

在直角KMN中可求得NANC=30°.

【详解】(1),/AB//CD,E在上，且CE平分/4CD.

ZAEC=NDCE,ZACE=ZDCE,

：.ZAEC=NACE.

(2)NEAM、NAME、/ECD三角之和为180。，证明如下.

AB//CD,

：.ZECD=ZAEC,

ZEAM+NAME+NAEC=180°,

/EAM+NAME+ZECD=180°.

(3)延长NC至点尸，如图所示.

,：ZDCN+ZACN=1SQ°,ZACF+ZACN,

：.ZDCN=ZACF,

由CE平分//CO知：ZACE=ZDCE,

ZACE+ZDCE+ZDCN+ZACF=180°(组成一个平角)

即：2(NDCE+NDCN)=18。。

：.ZECN=90°.

由4MC=,N/MC+4^=180°得=60°,

ZCMN=60°,

：.ZANC=180°-ZECN-ZCMN=180°-90°-60°=30°.

易错点5：角平分线综合

例：如图，“8C的外角N/CD的平分线C尸与内角的平分线8P相交于点P,

若4PC=40。，则/C4P的度数为()

A.40°B.50°C.55°D.60°

【答案】B

【分析】根据外角与内角性质得出/A4c的度数，再利用角平分线的性质以及直角三

角形全等的判定，得出/◎尸=/"尸，即可得出答案•

【详解】解：延长A4,作PN，BD,PFLBA,PMYAC,

设/尸CZ)=x。，

c尸平分/zcr>,

ZACP=ZPCD=x°,PM=PN,

,：BP平分NABC,

:./ABP=/PBC,PF=PN,

PF=PM,

•：/BPC=40°,

/ABP=/PBC=/PCD-ZBPC=(x-40)°,

/.ZBAC=ZACD-ZABC=2x。-（x。-40。）-（x。-40°）=80°,

...NC4c=100。,

在Rt△尸口和Rt△尸肱4中，

[PA^PA

[PM=PF，

Rii.PFA^Rt^PMA（HL）,

NFAP=/CAP=50。.

故选B.

【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知

识，根据角平分线的性质得出尸河=印=尸尸是解题的关键.

变式1:如图，已知/8〃C。，点尸、0分别是直线NB,C。上两点，点G在两平行

线之间，连接尸G,OG,点£是直线下方一点，连接防，EQ,且G0的延长线平

分NCQE,PE平分NAPG,若2NPEQ+NPGQ=117°,则NCQE的度数是.

E

【答案】42°

【分析】过点G作GW〃CO,交EP于点M,利用平行线的判定性质，结合三角形外

角性质，解答即可.

【详解】的延长线平分NC0E,PE平分ZAPG,

：.ACQF=ZEQF=x,Zl=Z2=y,

过点G作GM〃CD,交E尸于点M,

VABHCD,

二GM//AB,

：./PGM+ZAPG=180P,ZMGF=ZGQD=ZCQF=x,Z1=Z2=NPMG,

/.ZPMG=ZMGF+ZMFG,ZMFG=NFEQ+ZEQF=NFEQ+x,

ZPMG=x+NFEQ+x=/.FEQ+2x,

•：2APEQ+APGQ=\\1°,

2NPEQ+ZPGM+x=117°,

2ZP£2+180°-2Z2+x=117°

2/尸£0+18Oo_2(NF£Q+2x)+x=117。

3x=63°

解得x=21。

2x=42°

故/CQE=42°,

故答案为：42°.

变式2：【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴儿W的

光线和CD经过凹透镜的折射后，折射光线8E,。厂的反向延长线交于主光轴MV

上一点p.

E

图①

【提出问题】

小明提出：NBPD,NA8尸和/CD尸三个角之间存在着怎样的数量关系？

【分析问题】

已知平行，可以利用平行线的性质，把42尸。分成两部分进行研究.

【解决问题】

探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由.

探究二：如图②，NP,ZAMP,NCNP的数量关系为；如图③，已知,

NABC=25°,ZC=60°,AE\\CD,贝!|乙=°,（不需要写解答过程）

利用探究一得到的结论解决下列问题：

如图④，射线ME,NF分别平分和/CNF,ME交直线CD于点E,NF与ZAMP

内部的一条射线板交字点尸，若ZP=2ZF,求ZRWE的度数.

【答案】解决问题：［探究一］N8尸。=N4BP+NC£>P；［探究二］=

145；［拓广提升］NFME=90°

【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出

ZBPD=ZABP+ZCDP,由此结论来解决问题.

探究一：由平行线的性质推出=尸，ZDPN=ZCDP,得到

/8/W+ZDPN=N/8P+NCDP,即可解决问题；

探究二；如图②，由平行线的性质推出/〃KP=/CNP,由三角形外角的性质即可得到

NAMP=NP+NCNP；

如图③，由平行线的性质推出乙"。=/。=6),求出乙4乙5=180。-//£。=120。，由

三角形外角的性质得到/8/E=N8+/4L8=145=；

如图④，由探究一的结论得到

ZP=ZAMF+ZPMF+ZCNF+ZPNF,ZF^ZAMF+ZCNF，而4=2",推出

ZPMF=-ZAMP,又ZPME=-ZPMB,得到ZFME=-ZAMB=9CP.

222

【详解】解：［探究一］:NBPD=NABP+ZCDP,理由如下：

如图①，

NBPN=ZABP,NDPN=ZCDP,

：.NBPN+ZDPN=NABP+ZCDP,

ZBPD=NABP+ZCDP.

［探究二］如图②，

图②

ZAMP^ZP+ZCNP,理由如下:

•?AB//CD,

：.4MKP=ZCNP,

"：NAMP=NP+NMKP,

NAMP=NP+NCNP.

如图③，延长E/交8c于乙

E

图③

AE//CD,

Z.NALC=NC=60P,

，NALB=180°-ZALC=120°,

ABAE=ZB+AALB=25°+120°=145c.

故答案为：ZAMP=ZP+ZCNP,145.

［拓广提升了.,射线ME，NF分别平分/的呼和NCNP,

ZPME=-ZPMB,/CNF=NPNF,

2

如图④，

由探究一的结论得：NP=ZAMF+NPMF+NCNF+NPNENF=ZAMF+NCNF,

,/ZP^IZF,

：.ZAMF+ZPMF+NCNF+NPNF=2NAMF+2ZCNF,

,：ZCNF=APNF,

：.AAMF+APMF=2AAMF,

NPMF=ZAMF=-ZAMP,

2

ZPMF+ZPME=g(+NPMB)

NFME=-ZAMB=-x18(F=9(F.

22

相交线与平行线专题

易错点1：相交线的规律

例：观察下列图形并阅读图形下方的文字，像这样，20条直线相交，交点的个数最多

为（）

2条直线相交，3条直线相交，4条直线相交，

最多有1个交点;最多有3个交点;最多有6个交点;

A.185B.190C.200D.210

【答案】B

【分析】结合所给的图形找出交点个数的计算公式.

【详解】设直线有n条，交点有m个.有以下规律:

直线n条交点m个

21

31+2

41+2+3

nm=l+2+3+...+(nl),

2

20条直线相交有T)=i90个.

故选B.

【点睛】此题考查了相交线，解题关键是找出直线条数与交点个数的计算公式.

变式1：在一平面中，两条直线相交有一个交点；三条直线两两相交最多有3个交点；

四条直线两两相交最多有6个交点……当相交直线的条数从2至〃变化时，最多可有的

交点数P与直线条数〃之间的关系如下表：

直线条数〃/条2345678

最多交点个数〃/个13610

则〃与〃的关系式为：

【答案】P=；"("T)

【分析】因为两条直线有1个交点，三条直线最多有3=1+2个交点，四条直线最多由

6=1+2+3个交点，所以根据规律，n条直线有(l+2+3+4+...+nl)个交点，故可求出关

系式.

【详解】因为两条直线有1个交点，

三条直线最多有3=1+2个交点，

四条直线最多由6=1+2+3个交点，

，n条直线有(l+2+3+4+...+nl)个交点，

...关系式为P=g"("T)

【点睛】此题主要考查代数式的规律探索，解题的关键是发现每一项的规律，再求出来

即可.

变式2：为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手：

(1)一条直线把平面分成2部分；

(2)两条直线最多可把平面分成4部分；

(3)三条直线最多可把平面分成7部分...；

把上述探究的结果进行整理，列表分析：

直线条数把平面分成部分数写成和形式

121+1

241+1+2

371+1+2+3

4111+1+2+3+4

(1)当直线条数为5时，把平面最多分成一部分，写成和的形式」

(2)当直线为n条时，把平面最多分成一部分.

【答案】16,1+2+3+4+5；1+yn(n+1).

【详解】试题分析：(1)根据表中规律，当直线条数为5时，把平面最多分成

1+1+2+3+4+5=16部分；

(2)根据(1)的规律，得出当直线为n条时，把平面最多分成：1+1+2+3+...+11=1+万11

(n+1).

考点：探寻规律.

易错点2：平行线中的三角板

例：如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果Nl=32。，那么N2的

度数是()

A.32°B.48°C.58°D.68°

【答案】C

【分析】主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质.互为余角的两角的和为90。，

本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答，解此题的关键是能准确的从

图中找出这两个角之间的数量关系，从而计算出结果.

【详解】解：如图：

根据题意可知，N2=/3,

/1+/3=90°,

Zl+Z2=90°,

Z2=90°-Zl=90°-32°=58°,

故选：C.

变式1：将一个三角板如图所示摆放，直线九W与直线相交于点p,ZMPH=45°,

现将三角板绕点A以每秒1。的速度顺时针旋转，设时间为/秒，且0VtV150,当，=

时，MN与三角板的边平行.

【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解答本题的关键.

根据题意，分三种情况讨论：当时，当/C'〃儿W时（“3（7转到448'。'）,

当时（“8c转到△/B'C'）,画出对应的图形，利用平行线的性质，计算得

到答案.

【详解】当3C〃MV时，如图：

ZAQB=Z.MPH=45=,

•••NABC=ZBAQ+ZAQB,

60°=45°+ZBAQ,

ZBAQ=15°,

.•"=15+1=15（秒）.

ZC'AB=180°-APAC=135°,

：.ZC'AC=ACAB-ZCAB=109,

.•"=105+1=105（秒）.

当4B〃MV时(“BC转到△TIB'C'),如图:

NPAB'=ZMPH=特，

：.NB'AB=180°-/PAS'=135°,

.•"=135+1=135（秒）.

故答案为：15秒或105秒或135秒.

变式2：如图1,将三角板4BC与三角板ADE摆放在一起；如图2,其中44cs=30。,

ZDAE=45°,ZBAC=ZD=90°.固定三角板/BC,将三角板ADE绕点/按顺时针

方向旋转，记旋转角=a(0°<«<180°).

固定三角板48。

旋转三角板4DE

图2

C

备用图

⑴当二为.度时，AD//BC,并在图3中画出相应的图形;

(2)在旋转过程中，试探究与之间的关系;

(3)当VNOE旋转速度为5。/秒时.且它的一边与3c平行(不共线)时，直接写出时间/

的所有值.

【答案】（1）15,图见解析

⑵当0。<[445。时，/BAE-NC4D=45。；当45°<a490°时，NCAD+NB4E=45°；

当90°<a<180°时，ZCAD-ZBAE=45°

（3”=3或21或30

【分析】(1)根据AD〃BC得出ADAC=NACB=30°,根据a=ZCAE=ZDAE-ADAC

即可求解；

(2)设NC/Z)=7，ZBAE=p,在旋转过程中，分当0。＜口445。时，当45。＜a490。

时，当990。＜夕＜180。时，三种情况根据平行线的性质即可求解；

(3)分①当4D〃3C,②当DE〃:BC,③当4E〃BC时，分别画出图形即可求解.

【详解】(1)当a=15。时，AD//BC,如图：

•••AD//BC

:.ZDAC=ZACB=3Q°

a=ZCAE=ZDAE-ADAC=45°-30°=15。

故答案为15；

(2)设：ZCAD=y,ABAE=p,

①如图,当0°<a445。时,

a+p=90°,a+y=45°,

故尸一7=45。，即/胡E-/G4D=45。；

E

ZDAE+y+/3=90°,即+/◎£>=45。

③当90°<a<180°时，NCAD=y,ZBAE=p,

A

C

n

/CAD-ABAC=ZEAB-ZEAD

o

gpz-90=yff-45°

:.y_0=45。,即/£=45。；

(3)①当40〃5C时，由(1)可知a=15。,

・・・5f=15,

t=3；

D

②当DE//5C时，

则/AFB=ZD=90°,

/54F=90。—60。=30。,

tz=90°+15°=105°,

A5/=105

③当时，

贝2二180。-30。=150。,

J5/=150,

J£=30；

A

C

D

综上，f=3或9或21或27或30.

【点睛】本题考查了旋转的性质，三角尺中角度的计算，解答此题的关键是通过画图，

确定旋转后△/£>£的位置，还注意分类求解，避免遗漏.

易错点3：平行线的性质与判定

例：如图，AB//CD,N/=N3C。，点M是边/。上一点，连接打延长5M、CD

交于点P.点N是边BC上一点，连接MN,使得ZNMC=NMCN，作NNMP的平分线MQ

交CP于点。.若NCMQ=a,则/4W的度数用含a的式子表示为（）

A.180°-aB.1800-2aC.45°+aD.90°+a

【答案】B

【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质、角平分线的定义，设

=由平行线的性质得出乙4=N/小，从而得出=,推出,

求出=即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：设NNMC=x,

■：AB//CD,

NA=ZADP,

•1-N4=ZBCD,

ZAPD=ZBCD,

AD//BC,

■：ZNMC=ZNCM=x,

ZCMD=ZNCM=x,

平分NNMP,

AQMP=ZQMN=x+a,

ZPMD=ZPMQ+ZQMD=x+a+{a-x)=2tt,

ZAMP=180O-ZPMD=180°-2iz,

故选：B.

变式1：已知等腰直角AC=BC,ADIAC,CE=EF,延长E/交8/延长

线于点G,若GF=CD,48=6,AF=242,则GB的长为.

【答案】8

【分析】如图，延长ZX4至点使=连接CM并延长交8G的延长线于点N,

连接MG,利用勾股定理求得/C=3也，从而可得。-=也，根据垂直平分线的性质

得CW=C£),从而可得CM=GF,再由等腰三角形的性质可得=

ZDCA=ZCFE,从而可得NMCN=NC7诂，再根据对顶角相等可得NGE4=NMC4,

由平行线的判定可得C"〃尸G,从而可证四边形CMG厂是平行四边形，由平行四边形

的性质可得CFuMGue"，且C尸〃MG,再由平行线的性质得NNA£4=NNC8,

ZNMG=ZMCF,从而可得ZGMA=ZACB=90°,可证△MG4是等腰直角三角形，再

利用勾股定理即可求解.

【详解】解：如图，延长D4至点使/M=4D,连接CN并延长交8G的延长线于

点N,连接MG,

：是等腰直角三角形，43=6,

血AC=AB=6，

AC=36，

AF=2V2，

CF=g，

VACLAD,AM=AD,

：.CM=CD,

又：GF=CD,

：.CM=GF,

•：ACLAD,CMCD,

・・・/DCA=/MCA,

CE=EF,

：.ZDCA=NCFE,

・・・AMCA=ACFE,

又•・,ZCFE=AGFA,

：.AGFA=AMCA,

：.CM//FG,

・•・四边形CMGF是平行四边形，

:・CF=MG=6，且CT7〃MG,

・・・ANMA=ZNCB,即ZNMG+ZGMA=ZMCF+ZACB,

・・・四边形CMGF是平行四边形，

・•・MG//CF,

：.ZNMG=ZMCF,

・・・ZGMA=ZACB=90°,

VZCAB=45°,ZCAD=90°,

・・・ZDAB=ZMAG=45°,

・・・△MG4是等腰直角三角形，

AG=42MG=2，

GB=GA+AB=2+6=8,

故答案为：8.

c

【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行

四边形的判定与性质、对顶角相等、平行线的判定与性质，正确作出辅助线，构造平行

四边形是解题的关键.

变式2：如图，48是。。的直径，C、。为O。上的点，且8C〃OD,过点。作。E148

于点E.

(1)求证：BD平分NABC；

(2)若BC=4,DE=3,求O。的半径长.

【答案】(1)见解析

⑵而

【分析】(1)利用平行线的性质得到=NCBD,根据半径相等可得NO03=ZOBD,

等量代换得到ZOBD=ZCBD,进而证得结论；

(2)过。点作O///3C于H,根据垂径定理得到BH=CH=2,再证明AODE也ABOH

得到。E=08=3,然后利用勾股定理计算05的长即可.

【详解】(1)证明：：8C〃O。，

ZODB=ZCBD,

OB=OD,

：.AODB=ZOBD,

ZOBD=ZCBD,

：.BD平分/ABC；

(2)解：过。点作于H,如下图，

•；BC=4,

,/DEIAB,OHIBC,

：.ZDEO=NOHB=90°,

・・,OD//BC,

：./DOE=ZOBH,

在△ODE和△50〃中，

ZDEO=/OHB

</DOE=ZOBH,

OD=OB

：.AODE-BOH(AAS),

DE=OH=3,

在中，OB=yjBH2+OH2=722+32=V13，

即。。的半径长为屈.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定

理等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键.

易错点4：平行线之间的距离

例：如图，在^ABC中，点。、E、尸分别在45、4C、上，连接DE、EF,且DE〃BC,

AT)1

EF//AB,——二一.若四边形3。石尸的面积为16,则V40E的面积为()

BD2

16

A.4B.—C.2D.——

75

【答案】A

【分析】本题考查了平行四边形的判定和面积计算，三角形的面积计算，由。£〃BC,

EF//AB得到四边形BDEF为平行四边形，利用平行四边形BDEF与VADE同高即可求

解，利用平行四边形与三角形同高找到面积的关系是解题的关键.

【详解】解：过点尸作,，于点”，

DE//BC,EF//AB,

四边形BDE尸为平行四边形,

,/四边形ADEF的面积为16,

；.BDFH=16

'BD~1'

：.2AD-FH=16,

：.AD-FH=8,

：.S=-AD-FH=-x8=4,

"ADE22

故选：A.

变式1：如图，已知六边形4BCDE尸是。。的内接正六边形，的半径为3cm,连接

04、OB、BF,则图中阴影部分的面积是.

【答案】|Kcm2

【分析】本题考查的是圆的内接多边形的性质，扇形的面积，如图，连接N8,OF,OC,

证明邑加=冬救即可得到答案.

:六边形/BCOEF是O。的内接正六边形,

ZAOF=ZAOB=ZBOC=60°,

/FOC=180°,F,O,C三点共线，

OA=OB,

：.”08为等边三角形，

NOAB=ZAOF=60P,

AB//CF,

•C—c

,,2AABF-Q"OB，

.c_c_60兀x3?_3兀

..3阴影=3扇形=­嬴—=—cm2

3

故答案为：-Ttcm2

变式2：如图2,是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线8。上，转轴2

到地面的距离8。=2.5m.乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点/时，测得点N

到2D的距离/C=1.6m,点/到地面的距离/E=1.5m,当他从/处摆动到H处时,

若_L,求A'到BD的距离.

图1图2

【答案】1m

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，作4尸1BD,

垂足为F,先证明N2=N3,再证明多AAFW(AAS),得到Hb=,证明AC//DE,

得至l]CD=4E=1.5m；则BC=8。-CD=l(m),贝l]H尸=l(m),即©到8。的距离是Im.

【详解】解：作HF1BD,垂足为尸，

AC1BD,

：.ZACB=ZA'FB=90°,

在RM/'FS中，/1+/3=90。；

又：A'B1AB,

Z1+Z2=90°,

N2=N3；

在△NC3和△8E4,中，

AACB=ZA'FB

<Z2=Z3,

AB=A'B

・・・g△BT^(AAS)；

・・・AF=BC,

・.•ACLBD,DELBD

：.AC//DE,

・.•CDLAC,AELDE,

：.CD=AE=\.5m；

.・.BC=BD-CD=2.5-1.5=l(m),

：.ArF=l(m),

即H到AD的距离是Im.

图形的轴对称专题

易错点1:轴对称的性质

例：如图所示三角形纸片N3C中，ZB=ZC,将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落

到边上的£点处，折痕为AD.再将纸片沿过点£的直线折叠，点A恰好与点。重

合，折痕为E/，若4E=2,则“3C的周长为13,贝!尸长为（）

A

【答案】B

【分析】本题考查翻折变换，根据等角对等边可得Z8=/C,折叠的性质得8C=5£,

CD=DE=AE=2,AF=DF,再根据“3C的周长为13,可得到关于小的方程，求解

即可.熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

【详解】解：：三角形纸片48c中，/B=NC,

：.AB=AC,

:将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为BD.再将纸片

沿过点£的直线折叠，点A恰好与点。重合，折痕为"，AE=2,

：・BC=BE,CD=DE=AE=2,AF=DF,

.・.AB=AC=AF+DF+CD=2AF+2,

又「AB=AE+BE=2+BC,

：.2+BC=2AF+2,

：.BC=2AF,

・・・小5C的周长为13,

AB+AC+BC=13,

BP2/尸+2+2/尸+2+2/尸=13,

AF=1.5,

即AF长为1.5.

故选：B.

变式1：如图，梯形OZ3C中,5clM0,0(0,0),4(10,0)1(10,4),BC=2,G«,0)是底边

CM上的动点.

(1)tanZCUC=；

(2)边关于直线CG的对称线段为MN,若MN与△CMC的其中一边平行时，则

【答案】24或4指或10-2掂’

【分析】(1)根据/。/。=乙4c3,求出tan44cB即可.

(2)分①MN||OA②MN||AC③MN||OC三种情形讨论即可.

【详解】(1)解：：BC//AO,

：.NOAC=ZACB,

•：AB=4,BC=2,

AR4

AtanZOAC=tanZACB=——=—=2.

BC2

故答案为2；

(2)解：情形①图1中，当时，作CZ)_LCM垂足为。,

■:NBCN=90°,CG平分ZBCN,

：.ZGCD=-ZBCN=45°,

2

4CGD是等腰直角三角形，

v0(0,0),/(10,0),300,4),BC=2,G(t,0),

:.OA=1Q,BC=DA=2,DG=CD=AB=4,

：.t=OG=OA-(DA+GD)=10-6=4.

情形②图2中，MN//AC,

■:3cliNO,0(0,0),/(10,0),800,4),BC=2,G«,0),

・•.C(8,4),

OC=A/