立体几何中的结构不良问题-高考数学题型归纳与方法总结（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展29立体几何中的结构不良问题(精讲+精练)

一、知识点梳理

一、空间向量与立体几何的求解公式

(1)异面直线成角：设方分别是两异面直线/1,/2的方向向量，则与/2所成的角6满足：850=嬲；

⑵线面成角：设直线/的方向向量为a,平面a的法向量为“，a与"的夹角为从

则直线I与平面«所成的角为0满足：sin。=|3川=韶.

(3)二面角：设"1,“2分别是二面角的两个半平面a,£的法向量，

则两面的成角。满足：cos6(=cos<rai,n2>=方向；

注意：二面角的平面角大小是向量"1与"2的夹角或是向量为与"2的夹角的补角，具体情况要判断确定.

(4)点到平面的距离：如右图所示，已知A3为平面a的一条斜线段，〃为平面a的法向量，E

则点8到平面a的距离为：|的=噜回，即向量劭在法向量”的方向上的投影长./♦

二'几种常见角的取值范围

__JT__TT

①异面直线成角e(0,N；②二面角q0,兀]；③线面角e[0,引；④向量夹角G[0,兀]

三、平行构造的常用方法

①三角形中位线法；②平行四边形线法；③比例线段法.

四、垂直构造的常用方法

①等腰三角形三线合一法；②勾股定理法；③投影法.

五、用向量证明空间中的平行关系

⑴线线平行：设直线h和h的方向向量分别为V1和V2,则(〃/2(或/1与L重合)〃也.

(2)线面平行：设直线/的方向向量为匕平面a的法向量为〃，则/〃a或/uae_L".

(3)面面平行:设平面a和夕的法向量分别为"1,u2,贝Ua〃伙=io〃"2.

六、用向量证明空间中的垂直关系

(1)线线垂直：设直线/1和/2的方向向量分别为灯和也，则/」/2令01"2=0.

(2)线面垂直：设直线/的方向向量为v,平面a的法向量为"，则

(3)面面垂直：设平面a和/的法向量分别为此和如贝Ija_LAuwi_L“2Uwr"2=0.

七、点面距常用方法

①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法

二、题型精讲精练

[典例1]（2022•北京•统考高考真题）如图，在三棱柱ABC-中，侧面BCC内为正方形,平面BCC国1

平面A2用A，AB=BC=2,M,N分别为4瓦，AC的中点.

4/彳

c

⑴求证：MN〃平面BCC4；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线A3与平面BMN所成角的正弦值.

条件①：AB1MN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）取43的中点为K,连接"K,腿，可证平面MKN〃平面3CG耳，从而可证MN〃平面BCC4.

（2）选①②均可证明8月，平面ABC,从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角

的正弦值.

【详解】（1）取的中点为K,连接MK,NK,

由三棱柱ABC-AeG可得四边形ABB.A,为平行四边形，

而B]M=MA1,BK=K4,则MK〃区81，

而MK<z平面BCClBl,BB[u平面BCCiBl,故MKII平面BCCtBt,

而CN=NA,BK=KA,则隧//3C,同理可得M7/平面BCQ用，

而NK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN〃平面BCG4,而MNu平面MKN,故〃平面BCC4,

（2）因为侧面BCG片为正方形，故用，

而CBu平面BCG4，平面CBBg±平面ABB.Aj,

平面CBBlCln平面ABB^=BBt,故CB_L平面AB4A,

因为NK//BC,故A«_L平面，

因为Afiu平面AB4A，故NKLAB,

若选①，则ABLMN,而NKLAB,NK^\MN=N,

故AB工平面MAK,而必Tu平面MAK,故AB_LA/K,

所以片，而CB,BB],CBcAB=B,故B片，平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,M（0,l,2）,

故丽=（0,2,0）,前=（1,1,0）,丽=（0,1,2）,

设平面的法向量为五=（x,y,z）,

加丽=0_f元+y=0.-/、

从而jv+2z_0，取z=—1,贝！]巩=(―2,2,—1),

n-BM=0

设直线A3与平面3NM所成的角为。，则

若选②，因为NK//BC,故雁，平面4即4，而平面MKN,

故NKLKM,而B]M=BK=1,NK=1,故B、M=NK,

而B[B=MK=2,MB—MN,故ABB、MHAMKN,

所以NBB[M=4MKN=90°,故4园1BBt,

而C2_LBB|,CBoAB^B,故台与，平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3（0,0,0）,4（0,2,0）,N。,1,0）,M（0,1,2）,

故丽=（0,2,0）,丽=（1,1,0）,西=（0,1,2）,

设平面BNM的法向量为n=（x,%z）,

n-BN=0\x+y=0一/、

从而1+；z=0'取z=—1，贝U〃=(—2,2,—1),

n-BM=0

设直线A5与平面BNM所成的角为。，则

42

2^33

z

【题型训练-刷模拟】

一、解答题

1.（2023•北京海淀•校考三模）如图，在四棱锥尸-A6CD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为

JT

等腰直角三角形，且=点尸为棱PC上的点，平面AZ）尸与棱尸8交于点

⑴求证：EF/IAD-,

（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为己知，求平面尸。与平面ADEE所成锐二面角的

大小.

条件①：AE=四;

条件②：平面R4D_L平面A3CD；

条件③：PB1FD.

2.（2023・全国•高三专题练习）如图，在长方体ABCD-AgCR中，AB=AD=^AAI=1,E为。2的中点.

⑴证明：平面平面EACi；

(2)若点p在AEAC内，且R尸〃BE,从下面三个结论中选一个求解.

①求直线所与平面EAG所成角的正弦值；

②求平面E4B与平面K4B所成角的余弦值；

③求二面角AB-F-AQ的余弦值.

注：若选择多个结论分别解答，按第一个解答计分.

3.(2023・北京•统考模拟预测)如图，在三棱柱ABC-4月G中，相，平面ABC,AB=AC=AAi=l,M

为线段AC上一点，平面3cM交棱4月于点尸.

⑴求证：FM//BC;

TT

(2)若直线A片与平面3cM所成角为:，再从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，求点A到平

面BCM的距离.

条件①：AB1AC-,

条件②：BC=V2.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

4.(2023•北京海淀•校考三模)在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，AC^BD^O,^.PO1

平面ABC。，PO=2,尸,G分别是的中点，E是以上一点，且AP=3AE.

(1)求证：30〃平面跖G；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面跖G所成角的正弦值.

条件①：BD=20

条件②：ZDAB=^-.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分.

5.(2023•全国•高三专题练习)如图在几何体ABCDEE中，底面ABCD为菱形，

ZABC=60°,AE//DF,AE±AD,AB=AE=2DF=2.

(D判断AD是否平行于平面CEF,并证明；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，求：

(i)平面ABCD与平面CEF所成角的大小；

(ii)求点A到平面CEF的距离.

条件①：面面ABCD

条件②：BD1CE

条件③：EF=CF

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

6.(2023.北京.校考模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，ABJ.BC,AD//BC,底面ABC。，M

为棱PC上的点，PB=AB=BC=2,AD=\.

p

(1)若DM//平面R40,求证：点M为尸C的中点；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面C3D与平面3ZW夹角的余弦值.

条件①：FA//平面

条件②：直线■与夹角的余弦值为g

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

7.(2023•全国•高三专题练习)如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，ZABC=6ff,四边形丛。。为矩

形，PA=1,从下列三个条件中任选一个作为己知条件，并解答问题(如果选择多个条件分别解答，按第一

个解答计分).

①班上与平面A3CD所成角相等；②三棱锥尸一体积为且；③cos/8PA=@

35

(1)平面PACQ，平面ABCD；

(2)求二面角3-P。-D的大小；

⑶求点C到平面台尸。的距离.

8.(2023•全国•高三专题练习)如图在三棱柱ABC-A4G中，。为AC的中点，AB=BC=2,

NAABi=NB[BC.

（2）若且满足：,（待施条件）.

从下面给出的①②③中选择两个填入待造第件，求二面角B-B.D-G的正弦值.

①三棱柱ABC-的体积为3相；

②直线A片与平面BCCR所成的角的正弦值为我；

13

③二面角-C的大小为60°；

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

9.（2023•甘肃兰州•统考模拟预测）如图所示的五边形S&LDC中ABCD是矩形，BC=2AB,SB=SC,沿BC

⑴在四棱锥S-MCD中，可以满足条件①&4=#；②cosNSBM=屿;®sinZSAM=—,请从中任选

53

两个作为补充条件，证明：侧面SBC,底面ABC。；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计

分.）

（2）在（1）的条件下求直线SC与平面&W所成角的正弦值.

10.（2023•全国•高三专题练习）在AABC中，ZACB=45°,BC=3,过点A作AD13C,交线段BC于点。

（如图1）,沿AD将△ABD折起，使ZBOC=90。（如图2）,点分别为棱3C,AC的中点.

图1

⑴求证：CDLME；

4__.?__►1__.

（2）在①图1中tan2B=-],②图1中莅=]通+3才至，③图2中三棱锥的体积最大.

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再解答问题.

问题：已知,试在棱CD上确定一点N,使得并求平面与平面CBN的夹角的余

弦值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

11.（2023•甘肃兰州・统考模拟预测）如图所示的五边形瓯M）C中ABC。是矩形，BC=2AB,SB=SC,沿

8C折叠成四棱锥S-MCD,点M是的中点，SM=2.

⑴在四棱锥S-MCD中，可以满足条件①&4=灰；②cos/SBM=昱;③sin/S4W=逅，请从中任选

53

两个作为补充条件，证明：侧面SBC,底面A5cD；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计

分.）

⑵在（1）的条件下求点M到平面SAD的距离.

12.(2023・全国•高三专题练习)如图，在四棱锥A-3CDE中，侧棱2平面BCDE,底面四边形BCDE是

矩形，AB=BE=4,点、P、M分别为棱A£、AC的中点，点厂在棱8E上.

(D若B会F=:1，求证：直线四〃平面PCF；

(2)若3c=2,从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立.

①平面ADE与平面ABC的交线为直线/,I与直线CF成角的余弦值为平；

②二面角P—CF—E的余弦值为9.

6

注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分.

13.(2023•江苏盐城・盐城中学校考模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是矩形，尸。,底

®ABCD,且PD=AD=2,E是PC的中点，平面A8E与线段尸。交于点E

(1)证明：F为的中点；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求直线8E与平面外。所成角的正弦值.

条件①：三角形BC尸的面积为加；

条件②：三棱锥P-3CF的体积为1.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

14.（2023・北京•高三专题练习）如图，已知直三棱柱