三角函数中的最值模型之胡不归模型（原卷版）

专题12三角函数中的最值模型之胡不归模型

胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟

考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析,

方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。

【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之

间线段最短”，虽然从他此刻位置/到家8之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人

刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的

一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

【模型解读】一动点尸在直线外的运动速度为匕，在直线放N上运动的速度为匕，且匕＜%,/、

B为定点,点C在直线上，确定点C的位置使江+与的值最小.（注意与阿氏圆模型的区分）

匕匕

B

2）构造射线40使得匕—=k,C"=~C,将问题转化为求5C+C”最小值.

AC

3）过8点作交友W于点C,交40于H点，此时3C+C8取到最小值，即2C+HC最小.

【解题关键】在求形如“我+女尸8”的式子的最值问题中，关键是构造与柱8相等的线段，将“我+女尸8”型问题

转化为“以+PC，型.（若k>l,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。

例1.（2023•四川绵阳•九年级校联考阶段练习）如图，在必△48C中，ZACB=90°,/B=30。,48=4,

点D、/分别是边8C上的动点，连接C。，过点/作/ELCZ）交5c于点E,垂足为G,连接GR则

例2.（2023上•广东佛山•八年级校考阶段练习）如图，在长方形/BCD中，AB=2,/。=2百，点E在3C

上，连接DE,在点£的运动过程中，8£+及Z）E的最小值为.

例3.（2023・四川乐山•统考二模）如图，菱形中，AB=4,ZADC=U0°,E是对角线/C上的任意

一点，则［CE+BE的最小值为（）.

2

A.百B.2GC.2D.2V3-1

例4.（2023.绵阳市八年级期中）尸是正方形对角线上一点，AB=2,则尸N+P8+PC的最小值为.

D

F

BC

例5.（2023上•福建福州•九年级校联考期中）已知如图，O。中直径BC=4,方=石=比，点尸是射线

皿上的一个动点、，连接°尸,则"+口2的最小值为——

例6.（2023・广东深圳•校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=/+3x-4的图象与x轴交

于/、C两点，与y轴交于点2,若P是x轴上一动点，点。（0,2）在了轴上，连接尸。，则尸0+1尸c的最

小值是.

例7.（2022•湖南九年级期中）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一

个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的"自相似分割线”.如图1,在A/BC中，AB=AC=1,

ZBAC=W8°,OE垂直平分48,且交8c于点。，连接AD.

⑴证明直线/。是A/BC的自相似分割线；（2）如图2,点尸为直线DE上一点，当点尸运动到什么位置时,

PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度.⑶如图3,射线CF平分NNC3,点。为射线CF上一点，当

/Q+'亘CQ取最小值时，求/aC的正弦值.

4

例8.（2023•浙江宁波•九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=分别交x轴、

y轴于/、2两点，若。为x轴上的一动点，则22C+/C的最小值为.

例9.（2023.重庆九年级一诊）如图①，抛物线了=-gx2+x+4与x轴交于4,8两点，与y轴交于点C,

点。为线段NC的中点，直线AD与抛物线交于另一点E,与y轴交于点尸.（1）求直线AD的解析式；（2）

如图②，点尸是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD,PF,当APDF的面积最大时，在线段上找一

点G,使得PG-^GE的值最小，求出点G的坐标及PG-^GE的最小值；

课后专项训练

1.（2023・四川攀枝花•统考二模）如图，Y/3CD中，ADAB=30°,48=6,BC=2,尸为边CD上的一动

点’则必+”的最小值等于（）

2.（2023春・广东广州•九年级校考阶段练习）如图，菱形N3C。的边长为5,对角线03的长为46,P为OB

上一动点，则/尸+正。尸的最小值等于.

5

3.（2021眉山市•中考真题）如图，在菱形/BCD中，AB=AC=10,对角线相交于点

点M在线段/C上，且/河=3,点P为线段3。上的一个动点，则+1尸3的最小值是.

2

4.（2023春•浙江•八年级专题练习）如图，矩形/BCD中AB=3,BC=。,E为线段48上一动点，连接

CE,则的最小值为.

一也x+地与x轴交于点C,

5.（2023•重庆沙坪坝•八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线4：y=

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与了轴交于点A,分别以OC、CM为边作矩形/8CO,点。、£在直线/C上，且。£=1,则AD+gcE的

最小值是.

6.（2023•广东珠海•校考三模）如图，在中，乙4cB=90。，/C=4,8C=3,点。是斜边上

的动点，则CD+—AD的最小值为.

2

7.（2022・湖南•九年级月考）如图，在中，ZACB=90°,N/=60°,AB=6,△BCD为等边三

角形点£为△3。围成的区域（包括各边）的一点过点E作瓦以〃/5,交直线NC于点M作EN〃/。交直

线AB于点、N,则的最大值为.

8.（2023•内蒙古通辽•统考一模）如图，已知菱形48CD的边长为8,点M是对角线/C上的一动点，且

ZABC=120°,则MA+MB+MD的最小值是.

9.（2021•山东淄博市•中考真题）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形/BCD,如图所示.若Na=30。,

则对角线上的动点P到4民。三点距离之和的最小值是

AD

10.（2023春・广东广州•八年级校考期中）在菱形48C。中，ADAB=30°.

（1）如图1,过点8作于点£,连接CE,点F是线段CE的中点，连接8尸，若AE=M，求线段8尸

的长度；（2）如图2,连接/C.点。是对角线/C上的一个动点，若AB=2娓,求。2+QC+QD的最小值.

图1图2

11.（2023・山东济南•统考二模）如图①，在矩形048c中，04=4,0c=3,分别以OC、04所在的直线为

V

X轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接08,反比例函数y=—优＞0）的图象经过线段的中点D,并与

x

矩形的两边交于点E和点F，直线/：产立+6经过点£和点尸.

（1）写出中点。的坐标,并求出反比例函数的解析式；（2）连接。£、OF,求△。斯的面积;

（3）如图②，将线段03绕点。顺时针旋转一定角度,使得点B的对应点〃恰好落在x轴的正半轴上,

连接8”,作点N为线段（W上的一个动点,求的最小值.

图②

1L（2023广西•南宁三中一模）如图，二次函数y=o?+6x+l的图象交x轴于点，（-2,0）、5（1,0）,交了轴

于点C,点。是第四象限内抛物线上的动点，过点。作你轴交X轴于点E,线段C2的延长线交DE于

点”，连接。河、BD交手点、N,连接/Z）.（1）求二次函数的表达式；（2）当S“O£”=S的E时，求点。的

坐标及sin/ZUE；（3）在（2）的条件下，点P是x轴上一个动点，求DP+^AP的最小值.

13.（2023春•广东揭阳•九年级统考期末）如图，矩形/BCD的对角线/C,8。相交于点。，ACOD关于CD

的对称图形为△CED.

EE

O

（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接NE,若CD=6cm,AD=-cm.①求sin/£4D的值；

②若点P为线段/£上一动点（不与点/重合），连接。尸，一动点0从点。出发，以lcm/s的速度沿线段。尸

匀速运动到点尸，再以gcm/s的速度沿线段P/匀速运动到点/,到达点/后停止运动.设点。沿上述路线

运动到点/所需要的时间为K求才的最小值.

14.（2023・吉林长春・统考一模）（1）【问题原型】如图①，在"BC,AB=AC=5,BC=6,求点C到/8

的距离.

（2）【问题延伸】如图②，在“3C,AB=AC=10,5c=12.若点“在边3c上，点尸在线段上，

连结CP,过点尸作「。工/3于。，则。+尸。的最小值为.

（3）【问题拓展】如图（3）,在矩形N3C。中，/8=2b.点E在边/。上，点M在边48上，点尸在线段

CM上，连结E尸.若NBCA/=30。，则CF+2防的最小值为.

图①图②图③

15.（2022••达州市九年级期中）如图，矩形。18C的顶点A、C分别在x、了轴的正半轴上，点8的坐标为

（2瓜4）,一次函数了=-?*+6的图象与边OC、48、x轴分别交于点。、E、F,ZDFO=3