高考数学二轮复习：同构函数问题-学案讲义

培优点3同构函数问题

同构函数问题，是近几年高考的热点问题，考查数学素养和创新思维.同构函数问题是指在

不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，利用函数的性质解决问

题，常见的同构有双变量同构和指对同构，一般都是压轴题，难度较大.

考点一双变量同构问题

例1(1)(多选)已知兀，且e，sinx=e"siny,其中e为自然对数的底数，则下列选项中

一定成立的是()

71—兀

A.y<4B.x<4

C.cosx+cosy>0D.sinx>siny

答案BC

y，x

解析因为esinx=esiny9所以牛^=当4,令g«)=(二0<%<兀，所以g(x)=g(y),则g'⑺

ercostcossint,,

=---访—=——，由/⑺>0有y(o,》

由屋⑺<0有y俘兀)，所以g«)=号％(o,g上单调递增，在俘兀)上单调递减，因为

兀

0<x<y<Ti,由g(x)=g(y)有0<x<]<yv兀，故A错误，B正确；

因为0Vx<丁〈兀，所以e>>e\由电^=^^有siny>sinx,故D错误；

因为0<x<^<y<Ti,所以cossin2x>0,|cosy|—sin2y,

因为siny>sinx,所以cosx>|cosy\,所以cosx+cosy>0,故C正确.

（2）（2023・大连模拟）若实数m"满足4。+1（）83。=即+310g27A，则（）

A3b「3b

A.B.«>-2-

C.a>b3D.a<bi

答案A

解析由题意知。>0,b>0,

・.・4a=22a,8b=2?仇310g27万=log3Z?,

22a+log3〃=23b+log3b,

3Z?

：.22"+log3〃+log32=2+log3Z?+log32,

2tz3Z?

即2+log326z=2+log32/?,

Vy=log3%在(0,+8)上单调递增,

10g32/?<10g33Z?,

2a3Z,

・・・2+log32a<2+log33^.

设«x)=2X+log3X,则fi2a)<fi3b),

•.•y=2"与y=logM在(0,+8)上单调递增，

工段)在(0,+8)上单调递增,

2a<3b,即〃〈苧.

规律方法含有地位相等的两个变量的不等式(方程)，关键在于对不等式(方程)两边变形或先

放缩再变形，使不等式(方程)两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问

题.

跟踪演练1(1)若对于0<xi<X2<〃，都有xilnxzWxi一冗2成立，则〃的最大值为()

B.1C.eD.2e

答案B

角翠析V%21nxi-xi\n%2<为一工2,

.Inxilnx2<1_1

X\X2x\

rilnxi+1_lnX2~\~1

即-------<------,

XIX2

又0<xi<X2<a,

人Inx+1

令(p(x)=~"-,

.•.贝工)在(o,〃)上单调递增，(pr(%)=N,

当x£(0,l)时，/W>0,

当x£(l,+8)时，“(x)<0,

・・・9(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，故・•・〃的最大值为1.

(2)(2023・德阳模拟)已知实数x,y满足e4nx=ye\y>l,则％,y的大小关系为()

A.y^xB.y<x

C.y>xD.y^x

答案C

解析由e〉lnx=ye£可得旨=舟，

因为y>l,6y>0,所以10,

所以记7>0,则lnx>0,所以尤>1,

令兀0=%—Inx,

1X—1

则/a)=T=:，

当x>l时，/(x)>0,

所以函数«r)在(1,+8)上单调递增，

则当尤>1时，式x)次1),即x—lnx>l,一定有x—lnx>0,

所以x>lnx>0,贝吟〈息，

厘e”

又因为7F

x

所以e衿©，

令g(x)=£,

则g，(x)=e(5D,

当x>l时，g'(x)>0,所以函数g(x)在(1,+8)上单调递增，

因为x>l,y>l,

4y

所以J>X.

考点二指对同构问题

考向1指对同构与恒成立问题

例2已知函数/(x)=e*+(l—〃)X—Inax(a>0).

(1)当〃=1时，求曲线y=/(x)在点(1,11))处的切线方程；

(2)若对于任意的x>0,有兀1)20,求正数。的取值范围.

解(1)当a=l时，/(x)=e*—lnx,

得/

切点坐标为(1,e),斜率为/'(l)=e—1,

所求切线方程为y—e=(e—l)(x—1),

即(e—l)x~y+1=0.

(2m)20,

即e%+x—or—In〃％20(。>0,x>0)

=e*+x三ax+Inax(a>0,x>0)

=e*+x三*奴+Inax(a>0,x>0).

令g(x)=e%+x,显然g(x)是增函数，

于是上式可化为g(%)》g(lnQx),

即x21nx>0)

=ln〃Wx—Inx(a>0,x>0).

令e(x)=x~\nx(x>0),

1Y-1

则0'(x)=l--=—

易知9(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

故矶x)min=。⑴=1,于是InaWl,

可得0<aWe.故正数。的取值范围为(0,e].

考向2指对同构与证明不等式

例3已知函数fi,x)=xlnx.

(1)求/(x)的最小值；

Y

(2)当x>2时，证明：^-^ex>\n(x-1).

(1)解危)的定义域为(0,+8),

f(x)=l+lnx,

当xe(0,£]时，f'(x)<0,

当尤eg，+8)时，/(尤)>0,

，兀0在(o,鼻上单调递减，在弓，+8)上单调递增，

(2)证明,：X>2,：.X~1>1,

Y

要证犬_产>1口(%—1),

即证xex>(x—l)ln(x—1),

即证eHnex>(x-l)ln(x—1),

即证/(e%)次x—1),

由⑴知八X)在Q,+8)上单调递增，

且ex>px-1>~,即证ex>x—1,

令矶x)=ex—(x—l)(x>2),

<p'(x)=e"-l>0,9(无)在(2,+8)上单调递增，

9(X)>9(2)=e2—1>0,

Qx>x-1,即证原不等式成立.

规律方法指对同构的常用形式

(1)积型：Qe"W句nb,一般有三种同构方式：

①同左构造形式：tze^lnbe［nb,构造函数危)=xet

②同右构造形式：e"lne"Wbln/?,构造函数«r)=xln%;

③取对构造形式：a+\na^lnZ?+ln(lnZ?)(Z?>1),构造函数«x)=x+ln%.

、e。h

(2)商型："WR,一般有三种同构方式：

e。pinb6%

①同左构造形式：力・而万，构造函数段)=不

Qabx

②同右构造形式：记］(百万，构造函数式x)=S\;

③取对构造形式：〃一InaWln匕一ln(ln构造函数人%)=无一Inx.

(3)和、差型：ea±a>b±\nb,一殳有两种同构方式：

①同左构造形式：e"±〃>ein"±ln/?,构造函数/(x)=e*±x;

②同右构造形式：ea±lned>/?±lnb,构造函数/(x)=x±ln%.

跟踪演练2已知。>0,函数#x)=%e”一QX.

⑴当〃=1时，求曲线y=/(x)在x=l处的切线方程；

(2)若於)2111%—％+1恒成立，求实数。的取值范围.

解(1)当4=1时，fix)=xex—x,

所以/(%)=(%+

所以/(l)=2e—1,加)=e—1,

所以切线方程为y-(e-l)=(2e-l)(x-l),

即(2e—1)%—y—e=0.

(2)由题意得xex—ax^\nx—x~\-1,

即xex—Inx-\-x—1

xe^—Inx~\-x—1

因为x>0,所以:2。,

xO—lnx+x-1

设F(x)=

x

ex+inx-\nx+x-l

二x，

令力=x+lnx,易知/=x+lnx在(0,+8)上单调递增,

当工一0时，「一一8,当％—+8时，［一+8,

所以存在为，使£=xo+ln%o=O,

令加«)=e"一/一1,/£R,

因为根'(/)=e'一1,

所以当te(—8,0)时，/(f)<0,

即加⑺在(一8,0)上单调递减；

当re(0,+8)时,m'⑺>o,

即机⑺在(0,+8)上单调递增,

所以m(0min=W(0)=0,

所以机⑺27"(0)=0,

即相⑺=e'一t—1N0,得到e'2r+l,当且仅当f=0时取等号，

x+lnx

”,e-lnx+x~1x+lnx+1-Inx+x-12x

所以F(x)=---------------N--------------------=-2,

当且仅当尤+ln尤=0时取等号，所以aW2,又a>0,

所以a的取值范围是(0,2].

专题强化练

1.(2023・南宁模拟)已知a,贝1J"a+£>0”是“a+£>cosa—cos夕'的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析构造函数COSX,

则/(x)=l+sinx]。在定义域R上恒成立，

所以函数1x)=x—cosx为增函数，

又因为a+QO,所以a>一.，

所以八㈤/一口)，

即a—cosa>cos(—/J),

即a—cosa>一万一cosB，

所以a+W>cosa—cosB，

即“a+4>0"能推出“a+Qcosa—cosQ”；

根据a+Qcosa-cos0,

可得a-cosot>—cosB，

即a—cosa>-p-cos(—1J),

所以7(a)/一£),所以a>一£,即。+.>0,

所以“a+夕〉cosa—cos£"能推出"a+4>0”,

所以“a+4>0"是"a+B>CGSa—cosB"的充要条件.

2.己知尤GN,y^N,x勺，则方程正=『的解的组数为()

A.0B.1

C.2D.无穷多个

答案B

解析必=/\两边取对数，得ylnx=xlny,

lnxIny、兀“、Inx.

即Hri丁=丁，设五动=木，x>0,

„,,1—Inx

则/(无)=一丁一，

当xe(O,e)时,f(x)>0,於)单调递增,

当xG(e,+8)时，f(x)<o,1x)单调递减，

且当xe(o,l］时，段)W0,

当%>1时，外)>0,人2)=野，五4)=竽=野，

所以满足XGN,yGN,x<y,则方程的解的组数为1.

3.若2。+log2a=4"+210g》，贝1k)

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a<b2

答案B

解析由指数和对数的运算性质可得

2“+log2〃=4"+210gs=226+log2〃.

令人X)=2%+k)g2X,

则於)在(0,+8)上单调递增，

2Z?2Z72Z,

又・・・2+log2/?<2+log2Z?+l=2+log22/7,

2a+log2«<22Z?+log22Z?,

即a<2b.

4.设m匕都为正数，e为自然对数的底数，若ae"<〃n4则()

A.ab>eB.b>ea

C.ab<eD.b<ea

答案B

解析由已知aea<b\nb,则e"lnea<b\nb.

设/(x)=jdnx,则#即)勺(b).

Vtz>0,.\ea>l,

a

*.*/?>0,Z?lnb>ae>09b>1.

当x>l时，f(x)=lnx+l>0,

则危)在(1,+8)上单调递增，所以/＜尻

5.(多选)已知若e"—2a=ae5+i—加“，贝U()

A.ln(tz—/?)<0

B.ln(tz+/?)>1

C.3a+3~b>2y[3

D.3a~x<ib

答案BC

解析由e〃-2a=*+1—be。,

得(6+1把“=成苫留+2),

afc+1

所以既Q=e+2

b+i

令加)弋(尤＞1)，

小,(%—l)ex

则/(%)=(父,0,

所以八X)在(1,+8)上单调递增.

b+1

因e"为e=曰2＞°，

所以几7)字S+1),所以。>6+1,所以。-6>1,

所以ln(〃-Z?)>ln1=0,A错误；

因为a+b>b+1+/?>3>e,

所以ln(〃+Z?)>lne=l,B正确；

易知30+3p>3>i+3P>20T于=2书，C正确;

因为a—l>b,所以3"r>3"D错误.

6.若人x)=xe%—a(x+lnx)有两个零点，则实数〃的取值范围是.

答案(e,+°°)

x11

解析=xe—a(x+Inx)=e**%一〃(%+jn%),

令£=x+lnx,/£R,显然该函数为增函数.

e'

当/W0时，由N一成=0,得a=—.

可知函数的图象与直线y=a有两个交点，可画出函数图象(图略)得到a的取值范

围是(e,+°°).

7.(2023・邵阳模拟)已知函数段)=e"i—2+1,g(x)=^+2.

(1)讨论函数g(x)在定义域内的单调性;

(2)若yu)\g(x)恒成立，求实数。的取值范围.

InX

解(i)・・・ga)=^+2的定义域为(0,+8),

由g'(%)>0，#0<x<e,由g'(x)<0,得x>e.

.,.g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减.

(2)由1x)》g(x),即e"i—：+1力手+2,

得aWxex+1—Inx—x=ein"x+i—(lnx+x+l)+l,

令f=lnx+x+l,fGR,

即aWF—r+1恒成立，

令(p(f)=er—1~\~1,reR,

则“(f)=M—l,

当re(—8,0)时，⑺<o；

当E(0,+8)时，“⑺>0,

••.9⑺在(一8,0)上单调递减，在(0,十