人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：3 2 2 第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1第2课时双曲线的标准方程及性质的应用学习目标1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解有关弦长问题．导语上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题．一、双曲线定义的应用问题1思考双曲线例5与椭圆一节中的例6比较，你有什么发现？〖提示〗当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比值大于1时，点M的轨迹是双曲线．知识梳理双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝eq\f(c,a)(e>1)时，这个点的轨迹是双曲线．二、直线与双曲线的位置关系问题2类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？〖提示〗有三种位置关系，分别为相交、相切、相离三种情况．知识梳理把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．注意点：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．例1已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围．解联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝4，,y＝kx－1，))消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－3k2>0，,1－k2≠0，))得－eq\f(2\r(3),3)<k<eq\f(2\r(3),3)且k≠±1，此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点．延伸探究若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围．解联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝4，,y＝kx－1，))消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－3k2＝0，,1－k2≠0，))得k＝±eq\f(2\r(3),3)，此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公共点；当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点．故当k＝±eq\f(2\r(3),3)或±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点．反思感悟(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论．跟踪训练1已知双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.解(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意．(ⅱ)当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.当4－k2＝0时，k＝±2，l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝eq\f(5,2).综上，k＝eq\f(5,2)或k＝±2或k不存在．三、弦长公式及中点弦问题例2已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为()A．3eq\r(2)B．4eq\r(2)C．6D．6eq\r(2)〖答案〗D〖解析〗双曲线C：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1，则c2＝4，∴右焦点为F(2,0)，根据题意易得过F的直线斜率存在，设方程为y＝k(x－2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,x2－y2＝2，))化简得(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0，∴xA＋xB＝eq\f(－4k2,1－k2)，xAxB＝eq\f(－4k2－2,1－k2).∵线段AB中点的横坐标为4，∴xA＋xB＝eq\f(－4k2,1－k2)＝8，解得k2＝2，∴xAxB＝eq\f(－4k2－2,1－k2)＝10，则(xA－xB)2＝(xA＋xB)2－4xAxB＝82－4×10＝24，则|AB|＝eq\r(1＋k2xA－xB2)＝eq\r(3×24)＝6eq\r(2).反思感悟双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似．解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围．跟踪训练2已知双曲线的方程为x2－eq\f(y2,2)＝1.试问：双曲线上是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．解方法一设被点B(1,1)所平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－eq\f(y2,2)＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，∴Δ＝〖－2k(k－1)〗2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0，解得k<eq\f(3,2).设弦的两端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(2kk－1,k2－2).∵点B(1,1)是弦的中点，∴eq\f(kk－1,k2－2)＝1，∴k＝2>eq\f(3,2).故双曲线上不存在被点B(1,1)所平分的弦．方法二设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)－\f(y\o\al(2,1),2)＝1，①,x\o\al(2,2)－\f(y\o\al(2,2),2)＝1，②))由①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－eq\f(1,2)(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴kMN＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝2，∴直线MN的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,x2－\f(y2,2)＝1，))消去y，得2x2－4x＋3＝0.又Δ＝－8<0，∴直线MN与双曲线不相交，故双曲线上不存在被点B平分的弦．1．知识清单：(1)双曲线的第二定义．(2)判断直线与双曲线交点个数．(3)弦长公式．2．方法归纳：定义法，数形结合．3．常见误区：直线与双曲线的位置关系可以通过联立直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，若不为零，再利用Δ来判断直线与双曲线的位置关系．代数计算中的运算失误．1．直线y＝eq\f(b,a)x＋3与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的交点个数是()A．1B．2C．1或2D．0〖答案〗A〖解析〗由题意，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，可得其渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，因为直线y＝eq\f(b,a)x＋3与双曲线的一条渐近线y＝eq\f(b,a)x平行，所以它与双曲线只有1个交点．2．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为()A．(－2,2)B．〖－2,2)C．(－2,2〗D．〖－2,2〗〖答案〗A〖解析〗易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－2<k<2.3．直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是()A．(1,2) B．(－2，－1)C．(－1，－2) D．(2,1)〖答案〗C〖解析〗将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为eq\f(x1＋x2,2)＝eq