人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：2 5 1 第二课时 直线与圆的位置关系的应用

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1第二课时直线与圆的位置关系的应用课标要求素养要求1.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.2.会用“数形结合”的数学思想解决问题.通过直线与圆的位置关系的应用，提升直观想象、数学运算及逻辑推理素养.自主梳理用坐标法解决几何问题用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响.因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单.自主检验1.思考辨析，判断正误(1)圆心到圆的切线的距离等于半径.(√)(2)圆的弦的垂直平分线过圆心.(√)(3)同一圆的两条弦的垂直平分线的交点为圆心.(√)2.若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是()A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.都有可能〖答案〗B〖解析〗由题意知点(0，0)到直线的距离应小于1，即eq\f(|0－0－1|,\r(a2＋b2))<1，整理为eq\r(a2＋b2)>1，即点P(a，b)到圆心的距离大于半径，所以点P在圆外.3.如图，圆弧形桥拱的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，则拱桥的直径为()A.15米 B.13米 C.9米 D.6.5米〖答案〗B〖解析〗如图，设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝eq\f(13,2)，所以拱桥的直径为13米.4.设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直线方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________.〖答案〗eq\f(7\r(2),2)－2〖解析〗圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0距离为eq\f(|2＋3＋2|,\r(2))＝eq\f(7\r(2),2)，则从村庄外围到小路的最短距离为eq\f(7\r(2),2)－2.题型一直线与圆的方程的实际应用〖例1〗某圆拱桥的水面跨度为20m，拱高为4m.现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？解建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上.依题意，有A(－10，0)，B(10，0)，P(0，4)，D(－5，0)，E(5，0).设这座圆拱桥的拱圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，于是有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－10－a）2＋b2＝r2，,（10－a）2＋b2＝r2，,a2＋（b－4）2＝r2.))解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3m，3<3.1，所以该船可以从桥下通过.思维升华应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤：(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.〖训练1〗如图是一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为________m.〖答案〗2eq\r(51)〖解析〗如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)，将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1m后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝eq\r(51)，∴当水面下降1m后，水面宽为2x0＝2eq\r(51)m.题型二坐标法证明几何问题〖例2〗如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.证明以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设|AB|＝2r，D(a，0)，则|CD|＝eq\r(r2－a2)，∴C(a，eq\r(r2－a2))，∴圆O：x2＋y2＝r2，圆C：(x－a)2＋(y－eq\r(r2－a2))2＝r2－a2.两方程作差得直线EF的方程为2ax＋2eq\r(r2－a2)y＝r2＋a2.令x＝a，得y＝eq\f(1,2)eq\r(r2－a2)，∴Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,2)\r(r2－a2)))，即H为CD中点，∴EF平分CD.思维升华坐标法建立直角坐标系应坚持的原则：(1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴.(2)充分利用图形的对称性.(3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称.(4)关键点的坐标易于求得.〖训练2〗如图，直角△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值.证明如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m，0)，C(m，0)，P(－n，0)，Q(n，0).设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上，故|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).题型三与圆有关的最值问题〖例3〗已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3，求eq\f(y,x)的最大值和最小值.解原方程表示以点(2，0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆，设eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).故eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3)，最小值为－eq\r(3).思维升华与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如t＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值；(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题.〖训练3〗例3中的条件不变，求y－x的最大值和最小值.解设y－x＝b，即y＝x＋b.当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，即b＝－2±eq\r(6).故y－x的最大值为－2＋eq\r(6)，最小值为－2－eq\r(6).1.一种思想方法——转化与化归思想利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法.事实上，数学中一切问