平面向量中等和线的应用-高考数学复习重点题型归纳与方法总结（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展14平面向量中等和线的应用(精讲+精练)

、知识点梳理

一、平面向量共线定理

已知而=49+〃51,若;I+〃=1,则A,B,C三点共线，反之亦然.

二、等和线

平面内一组基底无施及任一向量而，而=几宓+〃5瓦若点P在直线AB上或者在平行

于A8的直线上，则几+〃=左(定值)，反之也成立，我们把直线A8以及与直线平行的直线称为等和

线.

(1)当等和线恰为直线A8时，k=l;、、由

(2)当等和线在。点和直线AB之间时，左e(0,l);

(3)当直线A8在点。与等和线之间时，ke(l,+oo)；

(4)当等和线过。点时，k=0；

(5)若两等和线关于。点对称，则定值A互为相反数.°、

三、证明步骤

如图1,P为AAOB所在平面上一点，过O作直线///AB,由平面向量基本定理知:

存在x,yeR,使得OP=%。4+yOB

图1

下面根据点P的位置分几种情况来考虑系数和x+y的值

①若Pe/时，则射线0P与/无交点，由///AB知，存在实数4,使得加=4而

而通=砺—0X,所以赤=4历—2函，于是x+y=4U=0

②若时，

(i)如图1,当P在/右侧时，过P作CD//AB,交射线Q4,08于C,。两点，则

AOCD-AOAB,不妨设AOC。与AQ43的相似比为人

由P,C,。三点共线可知：存在2eH使得：OP=AOC+(l-A)OD=kAOA+k(l-^OB

所以x+y=kZ+^(1-A)=k

(ii)当尸在/左侧时，射线0P的反向延长线与A5有交点，如图1作尸关于。的对称点P',由6)的

分析知：存在存在/LGH使得：OP'=AOC+(l-^OD=kAOA+(l-^OB

所以声=-左/l赤+-(1—2)OB于是x+y=-左2+-k(l-A)=-k

»

综合上面的讨论可知：图1中而用雨,砺线性表示时，其系数和x+y只与两三角形的相似比有关。

我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为

三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过。作A3边的垂线设

点P在/'上的射影为P,直线/'交直线A3于点则次1=告胃(左的符号由点尸的位置确定)，因此

Iu勺I

只需求出QPI的范围便知y的范围

一般解题步骤：(1)确定单位线(当2+〃=1时的等和线)；(2)平移等和线，分析何处取得最值；

(3)从长度比计算最值.

二、题型精讲精练

【典例1】设。,E是AABC边上的点，=若诙〃而，则2+〃=()

【解析】因为崖=理一亚，所以正一罚=兄赤+〃近，因为ADngAB,所以

AE=AB+^iAC,由于此时等和线为BC,所以；1+万+〃=1,即；1+〃=5

【典例2】如图，四边形Q43c是边长为1的正方形，点。在。4的延长线上，且AZ)=2,点。是八68

(含边界)的动点，设赤=4祝+〃砺，则2+〃的最大值为()

B

【解析】当点P位于点3时，过点5作GH//DC,交OC,OD的延长线于G,H，则OP=xOG+yOH,

且X+y=l,所以赤=砺=%而+、闻=—%双+—丁丽=；1瓦+"赤，所以

333

A+ju=—x+—y=—.

222

3

故答案为：—,

2

【题型训练-刷模拟】

一、单选题

1.已知。为AABC的外心，若A(0,0),3(2,0),AC=1,ABAC=120。，且Zd=2AB+//AC,则4+〃=

)

【解析】过点A作AGJ_BC于G,过点。作于H，

过点。作EFVABC交AC的延长线于E,交A3的延长线于厂，

因为A(0,0),5(2,0),AC=1,ABAC=120。,则AB=2,从而有CB=布,

叵

而三角形&4BC的外接圆的半径为7>±=*,所以。”

sin120023~6~

_V21

]S76

且AG4C=ACAB-sinl20。，所以AG="，所以甘盘==有,

7AE尸721+72113

所以AC=9AE,AB=9AE,故而=包衣+也/，由于/+包=1,因此2+〃=上.

1313131313136

.1___.

2.在AABC中，M为边2C上的任意一点，点N在线段AW上,且满足4V=§MW,若丽=/通+〃AC（Z〃eR）,

则2+〃的值为（）

A.-B.-C.1D.4

43

【答案】A

【解析】设两=应?（醺91）,AN=^NM,

^r]^AN=-AM=-（AB+BM）

44

=-AB+-tBC

44

=-AB+-t（AC-AB）

44

11—.1—.

=（------t）AB+-tAC,

444

又前二;I南+〃正，

­」1、11

4444

故选：A.

3.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P是以C为圆心且与BD相切的圆上，若瓦=久成+〃砺，则

2+〃的最大值为（）

A.3B.2V2C.75D.2

【解析】：根据图形可知，当点P在圆上运动到与A点距离最大时

A

AP

九+〃有最大值，此时X+〃=F，过A点作BD的垂线，如图所示垂足分别为M、N,则

AQ

2AP=AM=3

AQAN

答案：A

4.在AABC中，点D是线段BC上任意一点,且满足AD=3AP，若存在实数m和n,使得BP=mAB+〃AC，

贝！Jm+n=()

2121

A.-B.-C.--D.--

3333

【解析】BP=AP-AB=mAB+nAC»则AP=(〃z+l)A5+〃AC，

所以机+1+巩="=工，贝!］机+"=工一1=一2

AD333

答案：C

5.已知抛物线x2=4y的焦点为F,点C(0,-2),过点F且斜率为1的直线交抛物线于AB两点，点P为抛

物线上任意一点，若CP=nzCA+“CB，则m+n的最小值为()

1123

A.-B.-C.一D.-

3234

CPCP

【解析】因CP=MC4+"C3,则冽+〃=\—,当等和线相切于抛物线时机+〃二=一有最小值，过C作

CRCR

CPCS

两等和线的垂线，垂足分别为T、S,则上一=舁

CRCT

由抛物线方程为必=4丁可得直线AB方程为x-y+l=。，y=|=l,故

13

切点为尸(2,1),此时切线方程为x—y—1=0,CS=忑,CT=&

则加+〃=金=5」

CRCT3

答案：A

6.在矩形ABCD中，AB==2,动点p在以点C为圆心且与相切的圆上，若衣=4通+〃而,

则4+〃的最大值为（）

A3B272C亚D2

【解析】：如图所示:

过A作的垂线，垂足为H,则AH=CE=CF=r,

当E,C,P三点共线时，高线最长，即（2+〃）max=/=3

r

7.已知。是AABC内一点，且两+诙+反=0，点〃在AOBC内（不含边界），若旃=4而+〃薪，则

7+2〃的取值范围是（）

A.B.（1,2）C,51]D.gJ

【答案】B

【解析】因为。是AABC内一点，且次+砺+配=。

所以O为AABC的重心

加在AOBC内（不含边界），且当M与O重合时，2+2〃最小，此时

AM=2AB+//AC=|x1（AB+AC）]=|AB+|AC

所以2=；,〃=；,即彳+2〃=1

当M与C重合时，2+2〃最大，此时

AM=AC

所以2=0,〃=1,即彳+2〃=2

因为M在AOBC内且不含边界

所以取开区间，即几+2〃«1,2）

所以选B

8.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆0,P为圆。上任一点，若Q=x福+y*,则2x+2y的最大

值为（）

84

A.-B.2C.-D.1

33

【答案】A

【解析】

作5c的平行线与圆相交于点P,与直线45相交于点E,与直线AC相交于点八

^AP=AAE+/JAF,贝!|力+〃=1,

AFAF4

VBC//EF,・••设——=——=k贝！

ABAC93

AE=kAB,AF=kAC,AP=AAE+juAF=AkAB+jukAC

:.x=Ak,y=/jk

Q

：.2x+2y=2(%+〃)％=故选：A.

二、填空题

1.如图，在同一个平面内，向量而，丽,反的模分别为1,b叵,而与56的夹角为&,且tana=7,

08与0c的夹角为45°，OC—mOA+nOB(m,n^R)>则m+n=.

【解析】连接AB,过C点作AB的平行线，则加+〃=—,

0D

在AOAB中，由题意可知OA=OB=1,tanZAOD=7,/BOD=45°,

74f765

所以sinNAOD=--r=,sinZAOB=—，根据三角形张角定理得飞=5叵”,所以。D=W，则

5y/25

OD-1丁3

OC

m+n=-----