中考数学专项复习：平方差和完全平方公式

14.3平方差和完全平方公式

【考点1：平方差公式运算】

【考点2：平方差公式的几何背景】

【考点3：完全平方公式】

【考点4：完全平方公式下得几何背景】

【考点5：完全平方公式的逆运算】

知识点1：平方差公式

1.平方差公式：(a+b)(a—b)=a1—b2

语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

注意：在这里，a,6既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

2.平方差公式的特征

抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有

相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下

类型：

①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2

②符号变化，(-工+双-工-夕户㈠尸-廿:苫?-^

③指数变化，(/+俨)(/廿M4_俨

④系数变化，(2a+6)(2a-6)=4*_b2

⑤换式变化，

222222222222

[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)-(z+m')=xy—(z+m)(<z+m)=xy-(z+zm+zm+m)=xy-z-2zm-m

⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2—z2=x2-2xy+y2-z2

【考点1：平方差公式运算】

【典例1】

试卷第1页，共10页

1.计算：

（l）（x+5）（2x-7）；

（2）20202-2019x2021（用乘法公式简算）；

【变式1-1]

2.计算：]一口+夫:-9

【变式1-2】

3.计算：（2"36）（2a+36）（4/+蚓）

【变式1-3】

4.计算：

（1）1232-122x124；

（2）（x-2_y）（x+2j）+x（2x-_y）.

【考点2：平方差公式的几何背景】

【典例2】

5.从边长为。的正方形中减掉一个边长为6的正方形（如图1）,然后将剩余部分拼成一个

长方形（如图2）.

(1)上述操作能验证的等式是.

A.a2-2ab+b2=[a-b'yB.a2-b1=(a+b)(a-b)C.a'-ab=a[a-b)

（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题:

①已知：a-b=3,a2-b2=21,求的值;

②计算：一卦IT>…'I徐卜]一七｝

【变式2-1]

6.从边长为。的正方形中剪掉一个边长为6的正方形（如图1）,然后将剩余部分拼成一个

试卷第2页，共10页

长方形（如图2）

（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是:

（2）应用（1）中得出的等式，完成下列各题：

①已知x?-4廿=12,x+2y=4,求x-2y的值.

②计算：）一一……[「徐一

【变式2-2]

7.如图，边长为。的大正方形中有一个边长为6的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一

个长方形（如图②所示）.

（1）上述操作能验证的等式是（）（请选择正确的一个）.

A./—/=(a+b)(a—b)；B.a2-lab+b2=(a-b)2；C.a2+ab=a(a+b)

⑵请应用（1）中的等式完成下列各题：

①已知/一〃=28,a+6=7,则。一6=；

②计算：502-492+482-472+---42-32+22-12.

③计算：I[一…「壶）.

【变式2-3]

8.如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分如图剪开,

拼成图②的长方形.

试卷第3页，共10页

(1)分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是

A.4—/=(Q+b)(a—b)

B.(Q—b)?=Q?—2uh+A?

C.(tz+bp="+2ab+Z?2

D.a2+ab=a(a+b)

(2)应用这个公式完成下列各题.

①已知4加2_〃2=]2,2m+n=4,求2加一〃的值；

②计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+]).

知识点3:完全平方公式1.完全平方公式：(q+b)2=/+2仍+/

(a-b)2=a2-2ab+b2

两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍

注意：公式特点：左边是两数的和(或差)的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和

加(或减)这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

a2+b2=(a+-2ab=(a-b)2+2ab

(Q+bp=(a-bp+4ab

2.拓展、补充公式

(a+b+c尸=Q?+/+，+^就+lac+2bc

(«±—)2=Q?+4±2bd+x(b+d)+x=(b+x)(d+x)；(^a±b^(a2+ab+b2}=a3±b3；

aav7

(〃±bj=a3±3a2b+3ab2±b3；(^a+b+c^2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

试卷第4页，共10页

【考点3：完全平方公式】

【典例3】

9.计算：（2y+3）2=.

【变式3-1】

10.计算：（w—2«）2=.

【变式3-2]

11.（/=4/+12。6+9/

【变式3-3】

12.计算：（。+6+1）2=.

【考点4：完全平方公式下得几何背景】

【典例4】

13.若x满足（9-x）（x-4）=4,求（9-xy+（x-4）2的值.

解：设9—x=a,x-4=b,贝|(9_x)(x_4)=ab=4,a+/?=(9-x)+(x-4)=5.

j5fflU(9-x)2+(x-4)2=a2+Z)2=(a+6)2-2.6=52-2x4=17.

请仿照上面的方法求解下面问题：

⑴若x满足（5-x）（x-2）=2,求（5-耳2+（X一2）2的值；

（2）如图，已知正方形/8C。的边长为x,E,尸分别是。。上的点，且4E=1,CF=3,

长方形EMED的面积是24,分别以儿彳，。尸为边作正方形.

①正方形河网N的边长为0,正方形。尸G"的边长为6,则。-6=；ab=

试卷第5页，共10页

②利用你学过的平方差公式和完全平方公式求图中阴影部分面积.

【变式4-1]

14.图1是一个长为2.、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后

按图2的形状拼成一个正方形.

aa

b

b

图1图2

(1)图2中阴影部分的正方形的周长为二

⑵观察图2,请写出下列三个代数式(a+6)2,(a-6)2,仍之间的等量关系；

(3)运用你所得到的公式，计算：若加、”为实数，且〃加=-3,m-n=4,试求加+〃的

值.

【变式4-2]

15.【观察】如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长

方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图②所示，请直接写出(。+6)2,

(a-6)2,1之间的等量关系

b

图1图2

［应用］若机+〃=6,mn-5,贝=

【拓展】如图③，正方形ABC。的边长为x,AE=5,CG=15,长方形EFG。的面积是

200,四边形NG。”和四边形ME。。都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部

分的面积.

试卷第6页，共10页

【变式4-3]

16.图1是一个长为2a、宽为26的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后

按图2的形状拼成一个正方形.

图1图2图3

⑴观察图2,请你写出下列三个代数式(。+6)2,(。-之间的等量关系为一.

(2)运用你所得到的公式，计算：若加、〃为实数，且〃HZ=-3,m-n=4,试求加+〃的

值.

(3)如图3,点C是线段上的一点，以4C、为边向两边作正方形，设/8=8,两正方

形的面积和百+$2=28,求图中阴影部分面积.

【考点5：完全平方公式的逆运算】

【典例5】

17.已知。+6=4,ab--5,求：

(1)/+方的值;

(2)。-6的值.

【变式5-1]

18.已知a+b=3,ab=-4,求下列代数式的值:

(l)a2+Z；2

⑵(7)2

【变式5-2]

19.已知。-6=7,ab=-12.

(1)求)+下的值;

(2)求a+6的值.

【变式5-3]

20.已知：a-b=3,ab=\,试求：

试卷第7页，共10页

(1)/+3tzZ?+Z?2的值;

(2)g+W的值.

达标测试

21.（a+l『的展开式是（）

A.a1+1B.2〃+2C.a?+2a+1D.Q?+Q+1

22.下列各式能用平方差公式计算的是

A.(2x-y)(x+2y)B.(x-y)(y-x)

C.(b+a)(b-c)D.(-Q+6)(Q+6)

23.下列运算正确的是（)

A.a2-a3=a6B.“6C.-a3D.(a-1)?="—1

24.若4/-即+16可以配成一个完全平方公式，则加的值为)

A.-8B.±8C.16D.±16

25.若x+y=8,x2+y2=40,求V的值是()

A.8B.-8C.±12D.12

26.(a+“(〃为非负整数)当〃=0,1,2,3,....时的展开情况如下图所示:

(。+6)。=1

(a+by=a+b

(a+b)2=a2-^2ab+b2

(a+by=a3+3a2b+3ab2+b3

(。+6)4=。4+4。36+6。262+4疝+〃

(4+6)5=/+5。彷+10"〃+1o第〃+5。〃+65

观察上面式子，我们得出了下表:

1

11

121

1331

14641

15101051

这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图。他揭示了

试卷第8页，共10页

S+6)"展开后的各项系数的情况，被称为“杨辉三角”.据这个表，你认为(。+6)9的展开式

中所有项系数的和应该是()

A.128B.256C.512D.108

22

27.&+2y]()=ix-4y.

28.计算：+.

29.计算：20202-2022x2018=.

30.已知无2+TMX+36=(X+6『，则加的值为_.

31.若。-6=7,ab=3,则/+片的值为.

32.计算：

(1)(«6-4)2—(ab+3)(ab+5)；

⑵(机+2〃-1)(加+2〃+1).

33.利用公式计算：

(1)20232-2022x2024；

(2)992-1.

34.计算：

(1)-2。.(-2盯2了+(2孙)3.(孙2)

⑵(x-2y)(x+2y)-(x+2y『.

35.先化简，再求值，(x-y)(x+y)+(x+»-2尤2,其中x=-2,>=

36.数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为。的正方形，B

种纸片是边长为6的正方形，C种纸片是长为6,宽为。的长方形•并用A种纸片一张，8种

纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.

试卷第9页，共10页

b

s

⑴请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：；方法2：；

⑵观察图2,请你写出代数式：（。+6）2,a2+b2tg之间的等量关系；

⑶根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a+b=5,a2+b2=13,求ab的值；

②已知（2020-a）2+（a-2019>=5,求（2020—。）（。一2019）的值；

37.从边长为。的正方形减掉一个边长为6的正方形（如图1）,然后将剩余部分拼成一个

长方形（如图2）.

（1）上述过程所揭示的因式分解的等式是；

（2）若9--16/=30,3x+4y=6,求4y-3尤的值;

试卷第10页，共10页

1.(1)2X2+3X-35

(2)1

【分析】本题考查了多项式乘以多项式、平方差公式，熟练掌握运算法则是解此题的关

键.

（1）根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可得出答案；

（2）利用平方差公式进行计算即可得出答案.

【详解】⑴解:（x+5）（2x-7）

=2x~—7x+10x—35

=2x2+3x-35；

（2）解：20202-2019x2021

=202（）2_（2020-l）x（2020+1）

=20202-（20202-l））

=20202-20202+l

=1.

11

2.-/2——x22

4-9

【分析】本题考查平方差公式.根据平方差公式（“+6）（。-3=力-62计算即可得到答案.

3.16a4-81Z?4

【分析】本题考查平方差公式.根据平方差公式»计算即可得到答案.

【详解】解：（20-36）（20+33（4/+962）

=（4a2-%2）（4a2+%2）

=16a4-81Z?4.

答案第1页，共18页

4.(1)1

(2)3%2—4y2—xy

【分析】本题考查平方差公式以及单项式乘多项式.

(1)将原式化为1232-0237)x(123+1),利用平方差公式进行计算即可；

(2)利用平方差公式以及单项式乘多项式展开，再合并即可求解.

【详解】(1)解：1232-122x124

=123z-(123-1)x023+1)

=1232-1232+1

=1；

(2)解:(x-2y)(x+2y)+x(2x-y)

—x2—4+2厂—xy

=3x—~4y之一xy.

5.(1)B

2025

⑵①7；②加i

【分析】本题考查平方差公式的几何背景及其在计算中的应用，熟练掌握平方差公式是解题

的关键.

(1)分别表示出图1剩余部分的面积和图2的面积，由二者相等可得等式；

(2)①将已知条件代入(1)中所得的等式，计算即可；

②利用平方差公式将原式的各个因式进行拆分，计算即可.

【详解】(1)••・从边长为。的正方形中减掉一个边长为6的正方形(如图1),然后将剩余部

分拼成一个长方形(如图2),

二图1剩余部分的面积为/-图2的面积为(。+6)(。-6),二者相等，从而能验证的等

式为：a2-b2=(a+b){a—b).

故选：B.

(2)(T)a-b=-b?=21,tz2—b^=(a+b)(a-6),

答案第2页，共18页

.,.21=(〃+b)x3,

q+b=7；

②原式

「盛11+总■£小壶

1324352022202420232025

=—X—X—X—X—X—X...........X------------X------------X------------X------------

2233442023202320242024

=—1x-2-0-2-5

22024

_2025

-4048,

6.⑴/-/=(a+b)(a-b)

2025

⑵①3;②

4048

【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关

键.

（1）用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可；

（2）①由平方差公式进行计算即可；

②将原式化为"»1或1+3…I募）I卡森）即9滔*…

据此求解即可.

【详解】（1）解：图中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即/一拼成的图2是长

为a+b,宽为的长方形，因此面积为（。+6）（。-6）,

所以有a~—b~=(a+b)(a—b),

故答案为：a12-b2=(a+bXa-b)；

(2)解：①•7-4/=12,即(x+2y)(x-2y)=12,而x+2y=4,

％-2歹=12+4=3；

1+

132420232025

——X—X—X—X...X-----------X------------

223320242024

=—1x-2-0-2-5

22024

答案第3页，共18页

2025

4048

7.(1)A

(2)①4；②1275；③葛

【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提.

(1)分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案；

(2)①利用平方差公式化简计算即可；

②利用平方差公式将原式转化为1+2+3+…+99+100即可.

③利用平方差公式将解答即可.

【详解】(1)解：图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即/-62,

图2中的阴影部分是长为(“+明宽为(。-6)的长方形，因此面积为(。+6)(。-6),

所以有a?-b~=(a+6)(0—6),

故答案为：A；

(2)解：①,•,。2-从=(a+»(a-b),/-〃=28,a+b=l,

。—6=4；

②原式=(50+49)(50—49)+(48+47)(48—47)+…+(4+3(4—3)+(2+1)(2—1)

=50+49+48+47+・・・+4+3+2+1

③原式=X---X

50485149

=­X—X—X—X---X——X—X—X—

223349495048

—_1V_5_1—_5_1_

一250-100-

8.(1)A

(2)①3；②2-

【分析】本题考查了平方差公式的几何背景以及平方差公式的计算；

(1)图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即/-而图②的阴影部分为长为

g+6),宽为的矩形，可表示出面积为

答案第4页，共18页

（2）①用平方差公式分解4病一二，将已知值代入可求解；

②原式乘以（2-1）,应用平方差公式展开后合并同类项即可.

【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为图②阴影部分是长为（0+6）,宽为（0-6）

的长方形，因此面积为（。+»（。-9，

由图①，图②中阴影部分的面积相等可得，a2-b2=（a+bXa-b）,

故选：A；

（2）①；4疗一/=12,

[lm+n）（2m—nj-12,

又，:2加+〃=4,

2加一〃=12+4=3；

②（2+DQ2+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（28-1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（216-1）（216+1）（232+1）

=（232-1）（232+1）

=264-1.

9.4/+12^+9

【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据（x+y）2=/+2盯+/进行求解即可.

【详解】解：（27+3『=4/+12y+9,

故答案为：4y2+12y+9.

10.m2-4mn+4n2

【分析】本题考查完全平方公式，准确计算是解题的关键，根据完全平方公式计算即可.

答案第5页，共18页

【详解】解：(m-2n)2=m2-4mn+4n2

故答案为：m2-4mn+4n2.

11.2a+3b

【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的特点是解题的关键.

【详解】解：442+12ab+962=(2a)2+2-2e3b+(3叶=(2°+36)2,

故答案为：2a+36.

12.ci~++h~+2a+2b+1

【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式进行计算即可得，掌握完全平方公式

是解题的关键.

【详解】解：(a+6+iy

=[(a+Z>)+l]2

=(a+b¥+2(a+b)+\

=+2ab+b~+2a+2b+1»

故答案为：a1+2ab+〃+2a+2b+1.

13.(1)5

(2)①2；24；②20

【分析】(1)设5-尤=a,x-2=b,则(5-x)(x-2)=a6=2,a+6=(5—x)+(x-2)=3,根

据(5-x)2+(x-2)2=/+/=(°+z,)2_2ab代入计算即可解答；

(2)①根据正方形/BCD的边长为x,即可表示出MB与。巴正方形AffTW的边长为a,

正方形DbG”的边长为6,表示出和必即可；②根据矩形的面积公式、正方形的面积

公式以及完全平方公式求解即可.

【详解】(1)解:设5-x=a,x-2=6,则

(5-x)(x-2)="=2,a+6=(5-x)+(x-2)=3.

所以(5—尤)2+(工一2)2=/+/=(“+6『-2a6=32-2x2=5.

(2)解：①由题意得，MF=DE=AD-AE=x-l,DF=CD-CF=x-3.

・•・正方形M7的V的边长为。，正方形G”的边长为6

答案第6页，共18页

x—1—6Z,x-3=6,

q_6=(x_l)_(x_3)=2,

•••长方形EMFD的面积是24,

■.MF-DF=24,9?ab=24.

故答案为2,24.

②由图形可知：阴影部分的面积为：a2-b2

■■■a-b=2,ab=24

.•.(a+/>)2=(”6)2+4“6=22+4义24=100,即a+b=10

2

$阴影=$正方WEffiv—S正方形GFDH=(x-1)一—(x-3)2=a-b~=(a+b)(a-b)=10x2=20.

【点睛】本题主要考查完全平方公式的几何背景、平方差公式等知识点，熟练掌握完全平方

公式与平方差公式是解答本题的关键.

14.(1)4。-4b

(2)(a+b)~=(a—b)°+4ab

⑶2或-2

【分析】(1)由拼图可得阴影正方形的边长，进而表示周长即可；

(2)根据图形中各个部分面积之间的关系即可得出答案；

(3)由(2)的结论代入计算即可.

【详解】(1)解：由图可得：阴影部分的正方形边长为。-6,

.,.周长为:4(a-<)=4a-46,

故答案为：4a-4b；

(2)解:由图可得：

大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab+(a-b)2,

大正方形边长为a+b,故面积也可表达为：(a+b)2,

(a+by=(a-+4ab；

(3)解：由(2)知：(〃?+〃)-=(加-,

m-n=4,mn=-3,

答案第7页，共18页

(m+/j)2=42+4x(-3)=16-12=4,

，机+〃=2或-2.

【点睛】本题考查了列代数式、完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结果特征是

解题的关键.

15.观察：(a+6)2-(a-6)2=4M；应用：士4；拓展：900

【分析】观察：根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a,b的长方

形面积，可得答案；

应用：将加+〃=6,=5代入(1)中公式即可求解；

拓展：由正方形的边长为％,则。£=x—5,DG=x-\5,得(x-5)(x-15)=200,设

m=x—5,n=x-15,mn=200,得加一〃二10,则S阴影=(加+几＞=(加一〃/+4机〃，代入即

可.

【详解】解：观察：由图形知，大正方形的面积为(〃+6)2,中间小正方形的面积为3-4)2,

大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为Q,b的长方形面积，

・••(a+b)2-{a-bp=Aab,

故答案为：(a+b)2—(a—b)2=4ab；

应用：;(a+6)2-("6)2=4ab,

(m+n)2-(m—n)2=Amn,

将加+〃=6,加〃=5代入得：62-(m-w)2=4x5,

(m-n)2=16,

：.m-n=±4,

故答案为：±4；

拓展：•・•正方形/BCD的边长为x,

DE=x-5,DG=x-15,

.­.(x-5)(x-15)=200,

设加=%—5,n=x-l5,mn=200,

・••加一〃=10,

答案第8页，共18页

S阴影=(m+”)

=(m-n)2+4mn

=102+4X200

=900,

・•・图中阴影部分的面积为900.

【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，图形的面积，解题的关键是能从整体和

部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，并能进行公式的变形应用.

16.⑴(Q+=(q-bp+4仍

⑵2或-2

⑶9

【分析】(1)根据图2中，各个部分面积与大正方形面积之间的关系可得答案；

(2)由(1)的结论，进行应用即可；

(3)设/。=加，BC=n,得出用+〃=8,m2+n2=28,根据完全平方公式计算出相〃的

值即可.

【详解】(1)解：由图形面积得(。+6)2=("4+4M,

故答案为：(4+6)2=(Q—6)2+4ob；

(2)由(1)题所得(Q+6)2=(a-bp+4仍，

.•・(m+"J=(加一〃了+4机〃,

・•・当mn=-3,初一〃=4时，

(加+几『-42+4x(-3)=4,

•,・加+〃=2或・2；

(3)解：设机，BC=n,

则加+〃=8,机2+/=28,

又由(加+〃『=加2+2加〃+〃2,得

2mn=(m+n)2-(m1+〃？)=64—28=36,

答案第9页，共18页

・•・图中阴影部分的面积为：1w«=9.

【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中面积

之间的关系是解决问题的前提.

17.(1)26

⑵士6

【分析】本题考查了完全平方公式的运用，代数式求值，平方根的求解，熟练掌握相关运算

法则是解题关键.

(1)禾U用完全平方公式得到/+/=(a+b)2_2H,代入求解即可；

(2)利用完全平方公式得到=.+6)2-4a6,求出的值，再求其平方根即可.

【详解】(1)解：•.・a+b=4,ab=-5,

.-.a2+/)2=(6?+Z?)2-2a/)=42-2x(-5)=16+10=26；

(2)'：a+b=A,ab=-5,

(a-bf=((z+ft)2-4aZ?=42-4x(-5)=16+20=36

a-b=±6.

18.(1)17

(2)25

【分析】本题考查了完全平方公式变形求值.

(1)根据〃？+/=(。+6)2—2。6计算即可；

(2)根据=(〃+/)『_4/计算即可.

【详解】(1).•・a+b=3,ab=-4,

.­.a2+Z?2=(o+Z))2-2a/>=32-2x(-4)=17；

(2)Q+6=3,ab=-4,

••.(a-bp=(q+b)2-4ab=32-4x(-4)=25.

19.(1)25

(2)a+6=±1

答案第10页，共18页

【分析】本题考查了通过完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

(1)利用完全平方公式进行变形即可；

(2)利用完全平方公式进行变形即可.

【详解】(1)解：-：a-b-7,ab--12,

二/+/=gw+2.=49-24=25；

(2)解：'：a-b=1,ab=-12,

(a+bf=(a-b)2+4a6=49-48=1.

:.a+b=+l.

20.(1)14

⑵13

【分析】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对是解题的关键.

根据完全平分公式的变形即可求解

【详解】(1)解：•.•a-b=3,ab=l

a1+3ab+b2

=+5ab

=9+5

二14；

⑵(a+6广

=(Q-6)2+4H

=9+4

=13.

21.C

【分析】本题考查多项式乘多项式，利用完全平方公式把原式展开即可.

【详解】解：(a+l『="+24+1,

故选：C.

22.D

答案第11页，共18页

【分析】本题考查了平方差公式.运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结

果是相同项的平方减去相反项的平方.

根据平方差公式(a+6)(a-b)=a2-/对各选项分别进行判断.

【详解】解：A、(2x-y)(x+2y)不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；

B、(x-y)b-x)不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；

C、3+a)(b-c)不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；

D、(-。+6)(。+与能用平方差公式计算，故本选项符合题意；

故选：D.

23.C

【分析】本题考查了同底数募的乘除法、累的乘方、完全平方公式，熟练掌握各知识点是解

答本题的关键.

根据同底数幕的乘除法、幕的乘方法则，完全平方公式逐项分析即可.

【详解】解：A.a2-a3=a5,故不正确；

B.a6a3=a3,故不正确；

C.,正确；

D.((7—1)~=a~—2a+1,故不正确；

故选C.

24.D

【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式得出-mx=±4-x-4,求出即可.

【详解】解：；4必-加y+16是一个完全平方式，

-mx=±4•x-4,

解得：加=±16,

故选：D.

25.D

【分析】本题考查了完全平方公式变形应用，由完全平方公式得(x+y丫-2孙=40,代值计

算，即可求解；掌握x+了、刈、/+丁之间的关系是解题的关键.

【详解】解：.•.X2+/=40,

答案第12页，共18页

（x+y）2-2xy=40,

82-2xy=40,

解得：孙=12,

故选：D.

26.C

【分析】本题考查完全平方公式，杨辉三角的有关知识，由特殊情况，可以总结出一般规

律.

【详解】当〃=0时展开式所有系数的和为：1=2°.

当"=1时展开式所有系数的和为：1+2=2=2】.

当〃=2时展开式所有系数的和为：1+2+1=4=22.

当〃=3时展开式所有系数的和为：1+3+3+1=8=23.

当"=4时展开式所有系数的和为：1+4+6+4+1=16=2".

当"=5时展开式所有系数的和为:1+5+10+10+5+1=32=25.

.•.当”=9时展开式所有系数的和为：29=512.

故选：C.

【分析】本题考查了整式的除法，平方差公式.利用整式的除法列式]:--4/1+（；1+2了

再利用平方差公式计算即可求解.

【详解】解：++

心+2心-0+2y]

故答案为：g尤-2九

28.—X2-3xy+9y2

【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式（。±6）2=/±2"+/是解答本

题的关键.根据完全平方公式计算即可.

答案第13页，共18页

【详解】解：+=（gx-3yj=-^-x2-3xy+9y2.

故答案为：|x2-3xy+9/.

29.4

【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键.将

20202-2022x2018变形为20202_（2020+2）X（2020-2）,利用平方差公式计算即可.

【详解】解：20202-2022x2018

=20202-（2020+2）x（2020-2）

=20202-（20202-22）

=202（）2-202（）2+4

=4,

故答案为：4.

30.12

【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键；

根据完全平方公式即可求解；

【详解】解：（x+6）2=x?+12x+36,

即加=12

故答案为：12

31.55

【分析】本题考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式是解答此题的关键.

直接利用完全平方公式进行变形即可.

【详解】解：,「a—b=7,

:.（a-b）2=49,

即a2-2ab+b2=49,

又■:ab=3,

々2-2x3+62=49,

a2+b2=55•

故答案为：55.

答案第14页，共18页

32.(l)-16aZ)+l

(2)m2+4mn+4/72-1

【分析】本题考查整式的乘法运算.

(1)先根据完全平方公式，多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可；

(2)先添加括号，运用平方差公式进行计算，再运用完全平方公式进行计算即可.

【详解】(1)解：一(a6+3)(a6+5)

=[a'b1-8a6+16)-(a%。+8ab+15)

=a2b2-Sab+16-a2b2-Sab-15

=-\6ab+\；

(2)解：(m+2/7-l)(/w+In+1)

=[(〃?+2〃)一1][(%+2〃)+1]

=(机+2〃y-1

=m2+4mn+4n2—1.

33.(1)1

(2)9800

【分析】本题考查利用平方差公式简化运算，熟记平方差公式是解决问题的关键.

(1)根据题目式子的结构特征，将式子化为20232-