专题04幂函数指数函数与对数函数(模拟练)

专题04幂函数、指数函数与对数函数(模拟练)一、填空题1．（2021·上海闵行·一模）函数的定义域为_________.【答案】【分析】根据对数的真数大于0求解即可.【解析】，，解得所以函数的定义域为，故答案为：2．（2010·上海嘉定·二模（理））幂函数的图像过点，则函数的反函数=_____（要求写明定义域）．【答案】【分析】先用待定系数法设出其解析式，将点的坐标代入求得幂函数的解析式，最后根据反函数的定义，求出.【解析】设幂函数，将点代入，得，解得，则，由反函数的定义可得.故答案为：.3．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）方程的解为__________.【答案】【分析】由题意知，可求出的值，再结合真数大于零进行检验，从而可求出最终的解.【解析】由，得，所以，又因为且，所以；故答案为：.4．（2021·上海杨浦·二模）方程的解为___________．【答案】【分析】结合对数运算以及指数运算，解方程求得的值.【解析】依题意，，，，，即或，解得或，当时，，不符合题意，舍去.所以.故答案为：5．（2021·上海虹口·一模）已知是定义域为的奇函数，且对任意的满足，若时，有，则______.【答案】【分析】由条件可得，然后可算出答案.【解析】因为，是定义域为的奇函数，所以因为当时，有，所以所以故答案为：6．（2021·上海金山·二模）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中、，则的最小值为____________.【答案】【分析】求出定点，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【解析】对于函数，令，可得，则，故函数的图象恒过定点，因为点在直线上，则，可得，因为、，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.7．（2021·上海虹口·一模）已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝______.【答案】1【分析】根据幂函数，当为奇数时，函数为奇函数，时，函数在(0，＋∞)上递减，即可得出答案.【解析】解：∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴可取－1，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故＝－1.故答案为：1.8．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）若函数单调递增，则实数m的最大值是__________.【答案】【分析】由题意列不等式，直接解出m的范围.【解析】因为在上单调递增，在上单调递增，所以要使函数单调递增，只需，解得：.即实数m的最大值是.故答案为：9．（2020·上海大学附属中学三模）若，且函数与的图象恰有两个交点，则满足条件的不同集合有________个【答案】4【分析】列举出所有两个不同函数的交点个数，筛选出符合题意的函数即可得结果.【解析】图象与、、、的图象有1个、1个，2个、2个交点；图象与、、的图象有1个、1个，1个交点；图象与、的图象有2个、2个交点；图象与的图象有3个交点，综上可得，满足函数与的图象恰有两个交点的集合有4个：，故答案为：4【点睛】本题主要考查幂函数的图象与性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.10．（2020·上海·复旦附中模拟预测）设，若对任意，都存在唯一实数，满足，则正数的最小值为____________【答案】##【分析】由已知函数解析式得到函数值域，结合存在唯一的，满足，可得，即，进一步转化为，，求解不等式得到的范围，进一步得到的范围得答案．【解析】解：函数的值域为．的值域为；的值域为．的值域为上有两个解，要想在上只有唯一的满足，必有．，即，解得：．当时，与存在一一对应的关系．问题转化为，，且．，解得：或者（舍去）．，解得．故答案为：．11．（2019·上海普陀·二模）设实数a、b、c满足a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，alga•blgb•clgc≥10，则a+b+c＝____【答案】12【解析】由已知可得0≤lga≤1，0≤lgb≤1，0≤lgc≤1，得到lg2a≤lga，lg2b≤lgb，lg2c≤lgc，进而得出lg2a+lg2b+lg2c≥lga+lgb+lgc，从而得到lg2a＝lga，lg2b＝lgb，lg2c＝lgc，由此得到a，b，c的值，则答案可求．【解析】由a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，可得0≤lga≤1，0≤lgb≤1，0≤lgc≤1．可得lg2a≤lga，lg2b≤lgb，lg2c≤lgc，又由alga•blgb•clgc≥10，可得lg（alga•blgb•clgc）≥lg10，可得lg2a+lg2b+lg2c≥1又由lgabc＝lga+lgb+lgc=lg10=1，可得lg2a+lg2b+lg2c≥lga+lgb+lgc，所以lg2a＝lga，lg2b＝lgb，lg2c＝lgc，则a＝10或1，b＝10或1，c＝10或1，由对称思想，不妨a＝10，则b＝1，c＝1，所以a+b+c＝12．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了对数的运算性质及其应用，其中解答中熟记对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.12．（2018·上海·复旦附中三模）已知函数且，其中为奇函数,为偶函数，若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】试题分析：∵h（x）为定义在R上的偶函数，g（x）为定义在R上的奇函数∴g（x）=g（x），h（x）=h（x）,又∵由h（x）+g（x）=2x，h（x）+g（x）=h（x）g（x）=2x，∴h（x）=(2x+2−x)，g（x）=(2x−2−x),不等式2ag（x）+h（2x）≥0在[1，2]上恒成立，化简为:a(2x−2−x)+(22x+2−2x)≥0，x∈[1，2],∵1≤x≤2∴2x2x＞0,令t=2x2x，整理得：，由t=2x2x得在上单调递增，故意当时，即实数a的取值范围为.考点：1.函数不等式的恒成立问题；2.换元法；3.基本不等式二、单选题13．（2021·上海崇明·一模）下列函数中，在区间上为增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本初等函数的单调性可得出合适的选项.【解析】函数、在区间上为减函数，函数在区间上为增函数，函数在区间上不单调.故选：B.14．（2017·上海奉贤·一模）若方程在内有解，则的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】方程在内有解，转化为函数的图象和直线在上有交点，结合选项中的图象逐一判断即可.【解析】根据方程在内有解，转化为函数的图象和直线在上有交点．：与直线的交点是，不符合题意，故不正确；：与直线无交点，不符合题意，故不正确；：与直线在区间上有交点，不符合题意，故不正确；：与直线在上有交点，故正确．故选D．【点睛】函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.15．（2013·上海奉贤·一模（理））已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据函数的图象求出、的范围，从而得到函数的单调性及图象特征，从而得出结论．【解析】由函数的图象可得，，故函数是定义域内的减函数，且过定点.结合所给的图像可知只有C选项符合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图象特征，属于基础题．16．（2022·上海宝山·二模）关于函数和实数的下列结论中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，即可得到此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，从而一一判断即可；【解析】解：因为，所以函数是一个偶函数，又时，与是增函数，且函数值为正数，故函数在上是一个增函数由偶函数的性质得函数在上是一个减函数，此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，考察四个选项，A选项，由，无法判断，离原点的远近，故A错误；B选项，，则的绝对值大，故其函数值也大，故B不对；C选项是正确的，由，一定得出；D选项由，可得出，但不能得出，不成立，故选：C．17．（2021·上海嘉定·二模）已知函数，则不等式的解集为（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】设函数，判断其单调性与奇偶性；从而得出单调性与对称性，将所求不等式化为，根据函数单调性，即可求出结果.【解析】设函数，则函数是定义域为，根据指数函数与幂函数的单调性可得，是增函数，是减函数，是增函数，所以在上单调递增；又，所以是奇函数，其图象关于原点对称；又，即的图象可由向右平移一个单位，再向上平移两个单位后得到，所以是定义域为的增函数，且其图像关于点对称，即有，即．由得，即，即，所以，解得．故选：A．【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据函数的解析式，判断函数的单调性与对称性，进而即可求解不等式.18．（2018·上海市南洋模范中学三模）已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是()A．

B．C．

D．【答案】B【分析】先求得关于轴对称得到的函数表达式，根据与在上有公共点，由变为两个函数图像在上有交点，来求得的取值范围.【解析】关于轴对称得到的函数为，依题意可知与在上有公共点，由得，.对于函数，在上单调递减，且.对于函数，在上单调递增.当时，的图像向右平移个单位得到，与图像在上必有个交点.当时，的图像向左平移个单位得到，要使与图像在上有交点，则需当时（也即轴上），的函数值小于的函数值，即，解得.综上所述，的取值范围是.故选：B.【点睛】本小题主要考查函数的图像的对称关系，考查两个函数图像有交点的问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题19．（2017·上海奉贤·一模）已知函数，且（1）求和的单调区间（2）解不等式.【答案】（1），增区间，无减区间；（2）．【分析】（1）直接由求得，然后结合对数函数性质求得单调区间；（2）代入函数式，再化不等式为，由对数函数性质去掉对数号后再解指数不等式．【解析】（1），，（舍去），，由得，，，，即定义域是，在上，是增函数，是增函数，∴是增函数．即的增区间是，无减区间．（2），即，即，∴，解得．∴原不等式解集为．【点睛】本题考查对数的运算，考查对数型函数的单调性，考查解对数与指数不等式，难度中等．对数问题中一定要注意对数函数的定义域．20．（2021·上海·华师大二附中三模）已知.（1）解不等式：；（2）若在区间上的最小值为，求实数a的值.【答案】（1）或；（2）或.【分析】（1）由对数函数的性质求解不等式即可；（2）由题意可得在区间上的最小值，在上的最大值为4，然后分和讨论即可得答案【解析】（1）或；（2）令，则在区间上的最小值，在上的最大值为4，当时，，；当，，.综上，或21．（2021·上海·格致中学三模）“弗格指数”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标，其中b是该地区的最低保障收入系数，a是该地区收入中位系数，x是该地区收入均值系数，经换算后，a、b、x都是大于1的实数，当时，该地区收入均衡性最为稳定.（1）指出函数的定义域与单调性（不用证明），并说明其实际意义，经测算，某地区的“弗格指数”为0.89，收入均值系数为3.15，收入中位系数为2.17，则该地区的最低保障收入系数为多少（精确到0.01）？（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，求该地区收入均值系数的取值范围（用a、b表示）.【答案】（1）定义域为，在上单调递减，实际意义见解析，1.04；（2）.【分析】（1）由及且可得函数的定义域；由复合函数的单调性可得函数的单调性；将，，代入函数，用计算器可求得；（2）解不等式可得结果.【解析】（1）要使函数有意义，则，又且，解得，

所以，函数的定义域为；

令，则.

因为，所以当时，函数单调递减；

又，所以在上单调递增，

故在定义域上是减函数.

其实际意义是：当该地区收入均值系数大于该地区的最低保障收入系数时，收入均

值系数越大，弗格指数越小.

将，，代入函数得，

所以，用计算器可解得.（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，则，

即，又，所以，

即，又，，所以，

解得，

即该地区收入均值系数的取值范围是.【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是解不等式.22．（2022·上海·模拟预测）(1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值.(2)若且，求解不等式.【答案】(1)(2)答案见解析.【分析】（1）由题知，再根据题意得，解方程即可得答案；（2）根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为的解集，再分类讨论求解即可.(1)解：函数的定义域满足，即，所以，要使函数的定义域非空，则，即.若将函数图像向下移后得到的解析式为：，.所以在函数的图像上，即，解得：，所以，(2)解：由题知，,,因为函数在上单调递增，所以等价于，展开整理得：，所以，不等式的解集为的解，所以，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为.综上，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为.23．（2019·上海市复兴高级中学三模）已知函数f(x)＝lg(x＋1)．(1)若0<f(1－2x)－f(x)<1，求实数x的取值范围；(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g(x)＝f(x)，当x∈[1,2]时，求函数y＝g(x)的解析式．【答案】(1)；(2)【分析】（1）先求出对数函数的定义域，由对数的运算性质有，则，再根据对数函数的图象分析可得，从而可得的取值范围；（2）根据题意，由函数的奇偶性与周期性分析可得，代入函数的解析式即可得答案.【解析】(1)由得－1<x<1.由0<lg(2－2x)－lg(x＋1)＝lg<1，得1<<10.因为x＋1>0，所以x＋1<2－2x<10x＋10，解得－<x<.由得－<x<.(2)当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，因此y＝g(x)＝g(x－2)＝g(2－x)＝f(2－x)＝lg(3－x)．【点睛】本题考查对数函数的图象以及对数不等式的解法，以及根据函数周期性与奇偶性求函数的解析式.已知当时，函数，则当时，求函数的解析式，有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若函数为奇函数，则函数的解析式为24．（2021·上海交大附中模拟预测）已知，.（1）当时，求函数的值域；（2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）当时，当时，当时，.【分析】（1）依题意可得，根据二次函数的性质计算可得；（2）由得，令，对一切的恒成立，参变分离，根据函数的单调性求出函数的最值即可求出参数的取值范围；【解析】（1）因为，，令，∵，∴，所以当，即时取最大值，当或，即或时取最小值，∴函数的值域为.（2）由得，令，∵，∴，∴对一切的恒成立，①当时，若时，；当时，恒成立，即，函数在单调递减，于是时取最小值2，此时，于是；②当时，此时时，