专题14《复数》-《2020-2021学年高一下期末（浙江）数学试题分项解析》（新高考新教材）

专题1.4《复数》一、单选题1．（2021·浙江湖州·高一期末）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，根据其几何意义判断其对应点的象限即可.【详解】由，即复数在复平面内所对应的点位于第一象限.故选：A2．（2021·浙江杭州·高一期末）已知复数满足（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由给定等式两边同时除以再经计算即可得解.【详解】因，则.故选：B3．（2021·浙江宁波·高一期末）复数在复平面内对应的点在第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【解析】【分析】先化简复数，再根据其在复平面内对应的点的坐标判断所在象限即可.【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点坐标为，对应象限为第二象限.故选:B4．（2021·浙江台州·高一期末）在复平面内复数为虚数单位)对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义，得出复数在复平面内对应的点的坐标，即可求解.【详解】由题意，复数，根据复数的几何意义，可得复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.5．（2021·浙江丽水·高一期末）复数的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由题意可得，再由复数虚部的概念即可求解【详解】因为，所以复数的虚部为2，故选：C6．（2021·浙江温州·高一期末）的虚部为（

）A．1 B．1 C． D．【答案】A【解析】【分析】直接利用，化简，再得到其虚部．【详解】因为，的虚部为1．故选：．7．（2021·浙江绍兴·高一期末）已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的代数形式的几何意义得到对应点的坐标，进而判定.【详解】复数对应的点的坐标为,为第四象限的点，故选:D.8．（2021·浙江温州·高一期末）已知是虚数单位，复数，则的虚部为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，由此可得出复数的虚部.【详解】，因此，复数的虚部为.故选：C.9．（2021·浙江·高一期末）复数(是虚数单位)=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】直接利用复数的除法运算法则计算即可【详解】故选：A10．（2021·浙江嘉兴·高一期末）若复数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算法则，求解即可．【详解】解：因为，所以．故选：．11．（2021·浙江宁波·高一期末）已知复数（为虚数单位），则（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算法则求解即可．【详解】解：因为，所以．故选：．12．（2021·浙江湖州·高一期末）如果复数是纯虚数，那么实数m等于（

）A．﹣1 B．0 C．0或1 D．0或﹣1【答案】D【解析】【分析】先对复数化简，然后使其实部为零，虚部不为零，从而可求出实数m的值【详解】解：，因为复数为纯虚数，所以且，解得或，故选：D13．（2021·浙江衢州·高一期末）已知复数满足，则z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】【分析】化简复数，结合复数的坐标表示，即可求解.【详解】由题意，复数满足，可得，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.二、多选题14．（2021·浙江绍兴·高一期末）已知是虚数单位，复数，则（

）A．的实部为 B．的共轭复数是C． D．【答案】BD【解析】【分析】化简复数，根据复数概念，模的计算公式，以及共轭复数的定义和复数的运算，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，复数，则复数的实部为，所以A不正确；复数的共轭复数是，所以B正确；根据复数模的计算公式，可得，所以C不正确；由，所以D正确.故选：BD.15．（2021·浙江宁波·高一期末）已知复数（为虚数单位），复数满足，则下列结论正确的是（

）．A．在复平面内所对的点在第四象限B．在复平面内对应的点在第一象限C．的最大值为D．的最小值为【答案】AC【解析】【分析】复数i在复平面内对应的点为，故选项A正确；复数在复平面内对应的点是以为圆心，1为半径的圆，故在复平面内对应的点不一定在第一象限，故选项B错误；的最大值为，故选项C正确；的最小值为，故选项D错误．【详解】复数i在复平面内对应的点为，则，所以点在第四象限，故选项A正确；复数满足i|=1，则在复平面内对应的点是以为圆心，1为半径的圆，故在复平面内对应的点不一定在第一象限，故选项B错误；表示点，之间的距离，所以的最大值为，故选项C正确；表示点与点之间的距离，所以的最小值为，故选项D错误．故选：AC16．（2021·浙江丽水·高一期末）下列四个命题中，不正确的是（

）A．若复数z满足，则B．若复数，满足，则C．若复数（），则为纯虚数的充要条件是D．若，则【答案】ACD【解析】【分析】利用特值法与复数的运算性质逐一判断即可【详解】对于A：令，则，但，故A错误；对于B：若复数，满足，令，则，，故B正确；对于C：若复数（），则为纯虚数的充要条件是，故C错误；对于D：当，，时，，故D错误；故选：ACD17．（2021·浙江省桐庐中学高一期末）是著名的欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系.若，，恒成立且，则表示的复数不可能位于复平面中的（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】BCD【解析】【分析】利用平方关系及二倍角的余弦公式可求得，再根据复数的乘法运算及，可求得的范围，再根据欧拉公式及复数的几何意义即可得出答案.【详解】解：，由，，则，，所以，又因为恒成立，所以，所以，根据，则，因为，则，所以，所以表示的复数位于复平面中的第一象限.故选：BCD.三、填空题18．（2021·浙江金华·高一期末）______．【答案】【解析】【分析】利用复数的运算性质可求得结果.【详解】.故答案为：.19．（2021·浙江台州·高一期末）已知复数(为虚数单位)为纯虚数，则实数__________.【答案】3【解析】【分析】根据复数的分类，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，复数为纯虚数，则满足，解得.故答案为：.20．（2021·浙江丽水·高一期末）设复数，则_________________.【答案】1【解析】【详解】解法一：由题意可得：.解法二：21．（2021·浙江宁波·高一期末）设，若，则的最大值为________．【答案】3【解析】【分析】设，，则，再根据复数模的计算公式及函数的性质计算可得．【详解】解：，，设，，则，所以，所以，因为，所以，，所以，所以则的最大值为3，故答案为：3．22．（2022·浙江师范大学附属中学高一期末）设，且满足，则______．【答案】1【解析】【分析】利用复数除法及复数相等求得，即可得结果.【详解】由，则，所以.故答案为：123．（2021·浙江温州·高一期末）若复数，其中i为虚数单位，，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】由复数模的运算公式代入计算，可得，化简配方可求出模的最小值.【详解】解：，因为，所以当时，有最小值.故答案为：24．（2021·浙江温州·高一期末）若复数，其中为虚数单位，，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】利用复数模的运算求解即可．【详解】因为，所以，所以的最小值为．故答案为：．25．（2021·浙江省桐庐中学高一期末）设复数满足，使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为________【答案】【解析】【分析】设，（且），将原方程变为，则①且②；再对分类讨论可得；【详解】解：设，（且）则原方程变为所以，①且，②；（1）若，则解得，当时①无实数解，舍去；从而，此时，故满足条件；（2）若，由②知，或，显然不满足，故，代入①得，所以综上满足条件的所以复数的和为故答案为：【点睛】本题考查复数的运算，复数相等的充要条件的应用，属于中档题.四、解答题26．（2021·浙江丽水·高一期末）已知复数满足，则的最大值是____．【答案】【解析】【分析】利用复数模长的几何意义进行求解.【详解】在复平面内，表示复数在以圆心是，半径为的圆上，而表示复数对应的点到坐标原点的距离，所以的最大值就是.故答案为：7.27．（2021·浙江宁波·高一期末）（Ⅰ）在复数范围内解方程：；（Ⅱ）如图，在矩形中，，，为中点，点在边上，若，求的值．【答案】（Ⅰ）方程的根为或；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）把方程化为，开平方求出方程的解；（Ⅱ）建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算的值．【详解】解：（Ⅰ）方程可化为，所以，解得原方程的根为或．（Ⅱ）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：则，，，．设，，由，解得，所以，，所以．28．（2021·浙江·高一期末）已知，为复数，且满足，(是虚数单位).（1）若是纯虚数，求；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）6.【解析】【分析】（1）由题意，设，根据题意列出方程，即可求解；（2）因为，得到对应的点在以原点为圆心，5为半径的圆上，结合的几何意义，即可求解.【详解】（1）由题意，设，可得为纯虚数，则.则，所以.（2）因为，则对应的点在以原点为圆心，5为半径的圆上，表示的点到点的距离，所以当复数对应的点为，即时，有最大值6.29．（2021·浙江台州·高一期末）已知复数(为虚数单位).（1）求；（2）若，求实数和的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据复数模的计算公式，即可求得；（2）根据复数的除法运算，化简得到，利用复数相等的条件，即可求解.【详解】（1）由题意，复数，可得.（2）因为，可得，所以.30．（2021·浙江温州·高一期末）在复平面内，复数，对应的点分别为（1，2），，，且为纯虚数．（1）求a的值；（2）若的共轭复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先利用复数的几何意义，求得，再设，利用复数相等求a的值；（2）将代入方程，求实数，的值.【详解】（1）由条件可知，，，则，所以，解得：