专题06零点问题（4月）（期中复习热点题型）（人教A版2019）

专题06零点问题一、单选题1．函数（，且）有两个零点，则a的取值范围为A． B．C． D．【试题来源】山西省2021届高三一模【答案】B【分析】令，将题意转化为函数图象与函数图象有两个交点，结合图象确定正确选项．【解析】，得，即．由题意知函数图象与函数图象有两个交点．当时，草图如下，显然有两交点．当时，函数图象与函数图象有两个交点时，注意到互为反函数，图象关于直线对称，可知函数图象与直线相切，设切点横坐标，则，解得综上，a的取值范围为．故选B．2．函数的零点个数为A． B．C． D．【试题来源】云南省州砚山县20202021学年高一上学期期末【答案】A【分析】利用导数求得函数的单调性与最小值，结合单调性与最小值，即可求解．【解析】由题意，函数的定义域为，且，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以函数在定义域内没有零点．故选A．3．定义在上的函数满足，，若，则函数在区间内A．没有零点 B．有且仅有1个零点C．至少有2个零点 D．可能有无数个零点【试题来源】2021届江西省八所重点中学高三4月联考【答案】B【分析】依据题意可知函数的单调性，对称性，然后简单判断即可．【解析】由题可知，函数关于直线对称，又，当时，；当时，所以函数在单调递减，在单调递增，由，所以，根据对称性可知根据零点存在性定理可知函数在区间内有且仅有1个零点，故选B.4．已知函数，若有2个零点，则的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】超级全能生”2021届高三全国卷地区1月联考丙卷（B）【答案】C【分析】根据零点的定义，结合基本不等式、导数运用转化法进行求解即可．【解析】可转化为．设，由基本不等式得，当且仅当时，取到最小值0．设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取到最大值．若有2个零点，则与有两个交点，此时，解得，故选C5．已知函数在区间内有唯一零点，则实数的取值范围为A． B．C． D．【试题来源】备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）【答案】B【分析】等价转化为在区间内只有一个根，然后利用导数求得在区间的单调性，最后简单计算可得结果．【解析】由题可知等价于在区间内只有一个根即在区间内只有一个根，令，令，，函数在区间单调递增，，所以，函数在区间单调递增，所以有，即，故选B．【名师点睛】（1）等价转为在区间内只有一个根；（2）构造函数；（3）利用导数研究函数性质；（4）得出结果．6．若函数有两个零点，则实数的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学20202021学年高二上学期期末考试【答案】C【分析】函数的导函数，对进行分析可知，利用导数在函数单调性中的应用，可知当时，函数在R上单调，不可能有两个零点；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，要使函数有两个零点，只需的最小值小于零即可，由此即可求出结果．【解析】函数的导函数．当时，恒成立，函数在R上单调递减，不可能有两个零点；当时，令，得，函数在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为．令，则．当时，单调递增；当时，单调递减，所以，所以的最小值为，函数有两个零点．综上所述，实数的取值范围是．故选C7．若函数有零点，则实数的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】湖南省益阳市桃江县第一中学20202021学年高二下学期入学考试【答案】A【分析】设，则函数有零点转化为函数的图象与直线有交点，利用导数判断函数的单调性，即可求出．【解析】设，定义域为，则，易知为单调递增函数，且所以当时，，递减；当时，，递增，所以所以，即．故选A．8．若函数存在零点，则实数a的取值范围为A． B．C． D．【试题来源】广西河池市20202021学年高二上学期期末【答案】D【分析】由题意得，令，求的取值范围可得答案．【解析】由，则，令，则，当得，单调递增，当得，单调递减，所以，，当趋向于正无穷大时，也趋向于正无穷大，所以函数存在零点，则．故选D．【名师点睛】本题考查函数零点问题．解题方法是把零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象交点个数，由图象观察所需条件求得结论．考查了分析问题、解决问题的能力．9．已知函数，则函数零点的个数是A． B．C． D．【试题来源】黑龙江省大庆市2021届高三第一次教学质量检测（一模）【答案】B【解析】，，令，得或，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，，且当时，，令得或，所以有两个解，有三个解，所以函数零点的个数是5个，故选B．【名师点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数零点个数的问题，解题方法如下：（1）对函数求导，确定函数的单调性和极值，并确定函数图象的变化趋势；（2）求函数零点，就是令函数等于零，方程的根，求解二次方程，得到函数值的取值；（3）结合函数图象，确定其零点个数．10．已知函数．若函数有三个零点，则A．， B．，C．， D．，【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】B【分析】首先求出函数的导函数，要使函数有三个零点，则必定有两个正实数根，即可求出参数的取值范围，再求出函数的单调区间，从而得到，即可判断的范围；【解析】因为，所以，要使函数有三个零点，则必定有两个正实数根，即，，所以解得，此时，，令，解得或，即函数在和上单调递增，令，解得或，即函数在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值；因为当时，；当时，，要使函数函数有三个零点，则，，即，且，因为，所以，，所以，，所以，又，所以，故选B．11．已知函数()有唯一的零点，则A． B．C． D．【试题来源】备战2021年高考数学全真模拟卷（新课标Ⅲ卷）【答案】A【分析】利用函数的零点以及方程的根的关系，通过函数的导数，二次导函数判断函数的单调性，利用函数的零点判定定理，推出结果即可．【解析】函数，则，可得，恒大于0，是增函数，令，则，有唯一解时，，代入可得，由于是增函数，，所以时，．故选．12．已知曲线：在处的切线与曲线：在处的切线平行，令，则在上A．有唯一零点 B．有两个零点C．没有零点 D．不确定【试题来源】宁夏固原市第五中学2021届高三年级期末考试【答案】A【分析】先对函数和求导，根据两曲线在处的切线平行，由导数的几何意义求出，得到函数，对其求导，利用导数的方法判定单调性，确定其在上的最值，即可确定函数零点个数．【解析】因为，所以，又，所以，由题设知，，即，所以，则，所以，，令，，则，当时，，即函数单调递减；当时，，即函数单调递增；所以在上的最小值为，所以，则，所以在上单调递增，且．在上有唯一零点，故选A．【名师点睛】利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数．（有时也需要利用数形结合的方法进行判断）13．已知函数，下列选项正确的是A．奇函数，在上有零点 B．奇函数，在上无零点C．偶函数，在上有零点 D．偶函数，在上无零点【试题来源】2021年高考二轮复习讲练测（）【答案】D【分析】根据函数的奇偶性可排除选项AB，再通过导数研究函数在区间的单调性，从而确定函数在区间上有无零点．【解析】，函数的定义域为，且故为偶函数，故排除AB；，令，即，解得当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以，当时，取得极小值，且，而，，所以函数在上无零点．故选D14．已知．是函数()在上的两个零点，则．满足A． B．C． D．【试题来源】备战2021年高考数学全真模拟卷（新课标Ⅱ卷）【答案】B【分析】由题意可得，设，（），则由可得，要比较其与1的大小，构造函数()，利用导数求得其最大值，可得，进而可证得结论【解析】由题意可知，，故，即，设，，则，，所以，由得，所以，令()，则恒成立，故在上单调递减，故，故，即，所以，所以，所以，故选B．二、多选题1．已知函数，，则A．1是函数的极值点 B．当时，函数取得最小值C．当时，函数存在2个零点 D．当时，函数存在2个零点【试题来源】江苏省南通市海门市第一中学20202021学年高二上学期期末【答案】AD【分析】求出函数的导数，根据导数的符号判断函数的单调性，从而可判断AB的正误，根据零点存在定理和最值的符号可判断CD的正误．【解析】，令可得，当时，；当时，，故为的极大值点，故A正确．又在上为增函数，在上为减函数，故当时，函数取得最大值，故B错误．当时，，又，而，故且，令，则，故在上为减函数，故，由零点存在定理及的单调性可得有两个不同的零点，故D正确．而当时，当时，恒成立，故在最多有一个零点，故C错误．故选AD2．关于函数，下列结论正确的有A．在上是增函数 B．存在唯一极小值点C．在上有一个零点 D．在上有两个零点【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】ABD【分析】根据函数求得与，再根据在恒成立，确定在上单调递增，及，且存在唯一实数，使，从而判断A，B选项正确；再据此判断函数的单调性，从而判断零点个数．【解析】由已知得，，，恒成立，在上单调递增，又时，且存在唯一实数，使，即，所以在上是增函数，且存在唯一极小值点，故A，B选项正确．且在单调递减，单调递增，又，，，所以在上有两个零点，故D选项正确，C选项错误．故选ABD．3．知函数，则下述结论中正确的是A．若在有且仅有个零点，则在有且仅有个极小值点B．若在有且仅有个零点，则在上单调递增C．若在有且仅有个零点，则的范是D．若的图象关于对称，且在单调，则的最大值为【试题来源】广东省汕头市2021届高三一模【答案】ACD【分析】令，由，可得出，作出函数在区间上的图象，可判断A选项正误；根据已知条件求出的取值范围，可判断C选项正误；利用正弦型函数的单调性可判断B选项的正误；利用正弦型函数的对称性与单调性可判断D选项的正误．【解析】令，由，可得出，作出函数在区间上的图象，如下图所示：对于A选项，若在有且仅有个零点，则在有且仅有个极小值点，A选项正确；对于C选项，若在有且仅有个零点，则，解得，C选项正确；对于B选项，若，则，所以，函数在区间上不单调，B选项错误；对于D选项，若的图象关于对称，则，．，，，．当时，，当时，，此时，函数在区间上单调递减，合乎题意，D选项正确．故选ACD．【名师点睛】求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．4．已知函数对于任意，均满足．当时，若函数，下列结论正确的为A．若，则恰有两个零点B．若，则有三个零点C．若，则恰有四个零点D．不存在使得恰有四个零点【试题来源】山东省日照市2021届高三下学期一模【答案】ABC【分析】设，作出函数的图象，求出直线与曲线相切以及直线过点时对应的实数的值，数形结合可判断各选项的正误．【解析】由可知函数的图象关于直线对称．令，即，作出函数的图象如下图所示：令，则函数的零点个数为函数、的图象的交点个数，的定义域为，且，则函数为偶函数，且函数的图象恒过定点，当函数的图象过点时，有，解得．过点作函数的图象的切线，设切点为，对函数求导得，所以，函数的图象在点处的切线方程为，切线过点，所以，，解得，则切线斜率为，即当时，函数的图象与函数的图象相切．若函数恰有两个零点，由图可得或，A选项正确；若函数恰有三个零点，由图可得，B选项正确；若函数恰有四个零点，由图可得，C选项正确，D选项错误．故选ABC．5．已知函数，，其中，则下列说法中正确的是A．若只有一个零点，则B．若只有一个零点，则恒成立C．若只有两个零点，则D．若有且只有一个极值点，则恒成立【试题来源】湖北省（B4联考新高考调研）部分省级示范性重点中学20202021学年高三上学期统一质量检测【答案】ABD【解析】构造函数，其中，则．当时，，函数单调递减；当时，，此时，函数单调递增．所以．，且．，则．当时，，，由零点存在定理可知，函数在内至少有一个零点，所以，当时，函数在区间上至少有两个零点，所以，当函数在区间上只有一个零点时，．对于A选项，当时，．，则，，，，由零点存在定理可知，函数在区间上至少有一个极值点，令，可得，当时，，由，可得，解得，所以，函数在区间上有且只有一个极值点．作出函数与函数在区间上的图象如下图所示：由图象可知，函数与函数在区间上的图象有且只有一个交点，记该交点的横坐标为，当时，，此时；当时，，此时．所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．所以，，又．若函数在区间上有且只有一个零点，则．，则，所以，，解得，A选项正确；对于B选项，若函数在区间上有且只有一个零点时，由A选项可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．，，所以，对任意的，，B正确；对于C选项，取，则，，则，令，可得或，可得或，解得或．所以，当时，函数有两个零点，C选项错误；对于D选项，当时，若，则，且，当时，令，可得出，至少可得出或，即函数在区间上至少有两个极值点，不合乎题意，所以，．下面证明：当时，，构造函数，其中，则，所以，函数在区间上为增函数，所以，，即．分以下三种情况来证明恒成立．，可得，，由可得出，所以，．则．①当时，，则，，即成立；②当时，，则；③当时，，．综上所述，当函数只有一个极值点时，恒成立．故选ABD．三、填空题1．已知函数，，若函数只有唯一零点，则实数a的取值范围是________．【试题来源】备战2021年高考数学经典小题考前必刷集合【答案】【分析】首先令，得，画出函数与的图象，再根据图象求解即可．【解析】令，得，则当时，令，所以，则在单调递减，所以函数与的图象，由图象可知，当，即时，图象有1个交点，即存在1个零点．故答案为2．函数的零点个数为________．【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练【答案】1【解析】因为，所以单调递增，因为，所以有且仅有1个零点．故答案为13．已知函数，则函数零点的个数为________．【试题来源】2021届高三高考数学适应性测试仿真系列卷四（江苏等八省新高考地区专用）【答案】3【分析】首先分别求出函数在和的单调性和最值，从而得到函数的图象，在根据函数的图象与的交点个数即可得到答案．【解析】因为的零点个数与图象的交点个数，当时，，所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值为，因为当时，，且，所以时，；当时，，所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值为，又当时，，当时，，所以时，，作出的函数图象如图所示：由图象可知有个交点，所以有个零点，故答案为34．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是________．【试题来源】备战2021年高考数学全真模拟卷（新课标Ⅲ卷）【答案】【分析】将问题转化为直线与函数的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性可求得的取值范围．【解析】构造，，有三个零点即与有三个交点，，在和上单调递减，在上单调递增，且，，即，即，解得．故答案为．【名师点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，关键点是将问题转化为直线与函数的图象有三个交点，同时也考查了导数的应用，属于中等题．5．已知函数在区间内有零点，则的取值范围为________．【试题来源】百师联盟20202021学年高三下学期开年摸底联考考试卷（全国Ⅰ卷）【答案】【分析】对函数求导，对参数进行讨论，结合函数的单调性，以及零点存在的条件，列出不等式组求得结果．【解析】，（1）当时，在区间内，，在区间内单调递减，只要满足；，无解；（2）当时，，①若，即时，在单调递减，在区间单调递增；只要，所以令，当时，恒成立，所以．②当或时，在上单调，且，所以函数在上没有零点；故答案为．6．若函数在上有零点，则实数的取值范围为________．【试题来源】河南省驻马店市20202021学年高一上学期期末数学理试题【答案】【分析】令得，构造函数并求值域可得答案．【解析】由，则，令，因为在上都递减，所以在上是单调递减函数，且，可得．故答案为．【名师点睛】本题考查由函数零点求参数问题，解答时要先将函数的零点问题转化为方程有根的问题，进而分离参数，再运用函数思想将问题转化为研究函数图象的性质和最大最小值的问题，考查了分析问题解决问题的能力．7．定义在的函数满足，则的零点是________．【试题来源】东北三省三校（哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学）20202021学年高三下学期第一次联合模拟考试【答案】【分析】构建函数，依据条件可知，进一步可得，最后令可得结果．【解析】令，则，又，所以，则函数为常函数，又，所以，令，所以，故答案为【名师点睛】解决本题的关键在于构建函数，并通过题干可知函数，以便得到函数的解析式．8．设函数的零点为、、…，表示不超过的最大整数，有下述四个结论：①函数在上单调递增；②函数与有相同零点；③函数有且仅有一个零点，且；④函数有且仅有两个零点，且．其中所有正确结论的序号是________．【试题来源】备战2021年高考数学全真模拟卷（新课标Ⅱ卷）【答案】①②④【分析】对①，对函数求导和，从而判断得函数在上单调递增；对②，可直接判断出函数与在上有相同零点；对③和④，对函数求导可判断出在和上单调递增，再利用零点存在定理判断出函数在和上存在零点．【解析】，，当时，，所以在上单调递增，所以在恒成立，所以函数在上单调递增，故①正确；显然不是零点，令，则在上，与有相同零点，故②正确；在上，，所以在上单调递增，在上也单调递增，而，，所以存在，使，又，，所以存在的，使，所以在上只有两个零点、，也即在上只有两个零点为、，且，故③错误，④正确．故答案为①②④．【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数之间的等式，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．9．已知函数存在4个零点，则实数m的取值范围是________．【试题来源】备战2021年高考数学经典小题考前必刷集合【答案】【分析】令可得出，令，，利用导数分析函数与的单调性与极值，数形结合可得出与函数的两个交点的横坐标在区间内，进而可求得实数的取值范围．【解析】令，可得，令，，，令，可得，列表如下：极大值所以，函数在处取得最大值，即．当时，．所以，函数的定义域为，，令，由于，解得，列表如下：极大值所以，函数在处取得最大值，即，若使得函数存在个零点，则直线与函数的图象恰有两个交点，设交点的横坐标分别为、，作出函数的图如下图所示：由图象可知，，作出函数与函数在上的图象如下图所示：由图象可知，当时，即当时，直线与函数在上的图象有两个交点，综上所述，实数的取值范围是．故答案为．10．已知函数存在个零点，则实数的取值范围是________．【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学期末试题【答案】【分析】令可得出，令，，利用导数分析函数与的单调性与极值，数形结合可得出与函数的两个交点的横坐标在区间内，进而可求得实数的取值范围．【解析】令，可得，令，，，令，可得，列表如下：极大值所以，函数在处取得最大值，即．当时，．所以，函数的定义域为，，令，由于，解得，列表如下：极大值所以，函数在处取得最大值，即，若使得函数存在个零点，则直线与函数的图象恰有两个交点，设交点的横坐标分别为、，作出函数的图如下图所示：由图象可知，．作出函数与函数在上的图象如下图所示：由图象可知，当时，即当时，直线与函数在上的图象有两个交点，综上所述，实数的取值范围是．故答案为．四、双空题1．已知函数，令，当时，有，则________；若函数恰好有4个零点，则实数k的值为________．【试题来源】2021年高考数学二轮小题专练（新高考）【答案】【分析】当时，根据函数的解析式，列出方程，即可求得的值，再由为函数的一个零点，则当时，得到，转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可求解．【解析】由，可得当时，恒成立，所以；当时，，可化简得，则或；由为函数的一个零点，当时，令，则，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，函数取得极大值，极大值为，要使得函数恰好有4个零点，等价于函数与的图象有三个不同的交点，作出函数的图象，如图所示，要使得函数恰好有4个零点，则．故答案为.2．已知实数且，为定义在上的函数，则至多有________个零点；若仅有个零点，则实数的取值范围为________．【试题来源】2021年浙江省新高考测评卷数学（第五模拟）【答案】【分析】令（，且），可得出，构造函数，利用导数分析函数的单调性与极值，将问题转化为直线与函数的图象的交点个数，数形结合可得出结论．【解析】令（，且），可得，等式两边取自然对数得，即，构造函数，其中，则．当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减．所以，，且当时，，如下图所示：由图象可知，直线与函数的图象至多有两个交点，所以，函数至多有个零点．若函数只有一个零点，则或，解得或．故答案为；．3．已知函数，则方程的实根的个数为________；若函数有三个零点，则的取值范围是________．【试题来源】江苏省南通市如东县20202021学年高三上学期期末【答案】3【分析】用导数求出在的时单调性，极值，确定函数的变化趋势，得出函数的单调区间，作出函数图象，方程的的解的个数转化为的图象与直线的交点个数，由此分析可得．【解析】由得，时，，递增，时，，递减，时，取得极大值，时，，所以的增区间是，减区间是，，且时，，时，，作出函数的图象，如图，作直线，由图可知直线与函数的图象，在时无交点，或时有一个交点，或时有两个交点，时，有三个交点．因为，所以直线与的图象有三个交点，方程有三个实根，易知有两个解，，由得，由得，当时，函数至多有两个零点，不合题意时，函数有三个零点，，函数有两个零点，不合题意，时，有一个解，由题意要有两解，所以或，所以或，综上，函数有三个零点，则取值范围是．【名师点睛】本题考查方程解的个数，函数零点个数问题，解题方法是数形结合思想，问题转化为直线与函数图象交点个数，作出函数图象与直线，由它们交点个数得出结论．4．已知函数，当时，函数的零点的个数为________个；若在上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．【试题来源】江苏省苏州中学20202021学年高二下学期3月月考【答案】1【解析】（1），，则令，则或，所以当或时，函数为增函数，当时，函数为减函数，所以函数在处取极大值，时取到极小值，因为，，所以在上只有一个零点，且为函数的唯一零点；令，则在上有且仅有两个不同的零点，令即，显然，所以，令，只要与的图象在有且仅有个交点，，因为，所以当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，所以，即，可得所以．故答案为1；五、解答题1．已知函数，，．（1）若，证明：当时，；（2）讨论在上零点的个数．【试题来源】2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）【答案】（1）证明见解析；（2）当时，在上有1个零点；当时，在上有2个零点．【分析】（1）作差，令，利用导数证明当，有即可；（2）对于，求出，对a讨论，利用零点存在定理讨论零点个数．【解析】（1）令，所以当时，，，所以．所以在上单调递增．当，有，所以在上恒成立．（2）．所以，设，，①当时，因为，所以，而，所以，即恒成立，所以零点个数为1个．②当时，，所以在上递增，而，所以，所以在上递增，因为，所以是唯一零点，此时零点个数为1个．③当时，，所以在上递增，而，，所以存在，有，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，取得最小值，而，，因为图象是连续不间断的，由零点存在性定理知，在上有唯一零点，因为也是零点，所以在上有2个零点．综上：当时，在上有1个零点；当时，在上有2个零点．【名师点睛】（1）利用导数证明不等式的解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，解题关键是如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数；（2）研究函数零点(方程有根)的常用方法：①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；③数形结合法：研究单调性，利用零点存在定理判断．2．已知在有零点．（1）求实数的取值范围；（2）求证：．【试题来源】中学生标准学术能力诊断性测试2021年3月测试（一卷）试卷【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）利用导数进行分类讨论，结合零点的定义和函数的单调性进行求解即可；（2）结合（1），构建新函数利用导数进行证明即可．【解析】（1），①当时，在时恒成立，在上递增，，不符合题意，②当时，，当时，；当时，，在上递增，在上递减，，当时，，满足题意；③当时，在时恒成立，在上递减，，不符合题意．综上所述，的取值范围是．（2）由（1）知，，要证明，只要证明设，，，，即另一方面：要证明，只要证明，即证明，即证，设，，则，所以当时，，即，所以成立．3．设函数，．（1）求的单调区间和极值；（2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．【试题来源】2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是；极小值，无极大值；（2）证明见解析．【分析】（1）求函数导数，分析函数的单调性即可得极值；（2）由（1）知，在区间上的最小值为，由得，讨论和时端点的函数值即可得证．【解析】（1），令得(舍负)，列表如下：0↘极小值↗综上：的单调递减区间是，单调递增区间是；极小值为，无极大值；（2）由（1）知，在区间上的最小值为．因为存在零点，所以，从而．当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点．当时，在区间上单调递减，且，，所以在区间上仅有一个零点．综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点．4．已知函数，．（1）当时，证明：；（2）若在只有一个零点，求．【试题来源】2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）【答案】（1）证明见解析；（2）2【分析】（1）当时，，其定义域为，利用导函数可求得在上的单调性，进而可证明；（2）若或，利用导数研究函数的单调性，可证明函数