高考数学专项复习：集合（新定义）（原卷版）

专题15集合专题（新定义）

一、单选题

1.（2023.全国.模拟预测）已知集合A,8满足AUB={1,2,3},若人工比且伊&间，出&阎表示两个不

同的“AB互衬对"，则满足题意的“A8互衬对“个数为（）

A.9B.4C.27D.8

2.（2023・全国・高三专题练习）定义集合4（8）2={讨尤eA且无£8},已知集合4={-3,-2,2,3},8={-3,-1,1,2},

则A（8）B=（）

A.{-3,2}B.{-1,1}C.{-2,3}D.{0}

3.（2023・全国•高三专题练习）定义集合A*3={z|z=孙,设集合A={-l,0/},3={-1,1,3},

则A*B中元素的个数为（）

A.4B.5C.6D.7

4.（2021秋・陕西安康•高一校考阶段练习）设P,。是两个非空集合，定义PxQ={（a/）|aeP/e。},若

尸={3,4,5},。={4,5,6,7},则尸xQ中元素的个数是（）

A.3B.4C.12D.16

5.（2020秋•黑龙江哈尔滨・高一哈尔滨三中校考阶段练习）设集合的全集为U,定义一种运算。，

MON={x|xeMc®N）},若全集U=R,M={x||x|<2},N={尤卜3Vx<1},则（）

A.何-2Vx<1}B.1x|l<x<2^

C.{%|l<x<2}D.{x|-2<x<l）

6.（2022秋•上海浦东新•高一校考期中）当一个非空数集G满足“如果a、beG,贝物+人、a—b、abeG,

且6Ho时，feG”时，我们称G是一个数域.以下四个关于数域的命题中真命题的个数是（）

b

①。是任何数域中的元素；②若数域G中有非零元素，则2022eG；

③集合P={x\x=2k,k^Z］是一个数域；④有理数集Q是一个数域.

A.1B.2C.3D.4

7.（2022秋・北京房山•高一统考期中）已知U是非空数集，若非空集合A,B满足以下三个条件，则称（4或

为集合U的一种真分拆，并规定（AB）与（B,A）为集合U的同一种真分拆.

①AcZ?=0；

®A<JB=U；

③A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素.

则集合。={123,4,5}的真分拆的种数是（）

A.4B.8C.10D.15

8.（2023春・湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习）若一个〃位正整数的所有数位上数字的〃次方和等

于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合A,集合2={xeZ|-3Vx<4},

则AcB真子集个数为（）

A.3B.4C.7D.8

9.（2023秋•上海徐汇•高一统考期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1）OGA,IGA；（2）若

则尤-yeA；（3）若xeA且xwO,则则称A为“好集已知命题：①集合{1,0,-1}是好集；②对

X

任意一个“好集”4若则x+yeA.以下判断正确的是（）

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

f—1,xgM

10.（2022秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考阶段练习）对于集合定义函数九（x）=,“，对

于两个集合“、N,定义集合，MAN^{x\fM（x）-fN（x）=-l],已知A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,16）,用|也

表示有限集合M中的元素个数，则对于任意集合|/乙4|+|/她|的最小值为（）

A.5B.4C.3D.2

11.（2022秋•天津和平•高一天津市汇文中学校考阶段练习）若xeA且工©A就称A是伙件关系集合，集合

123,41的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（）

A.15B.16C.64D.128

12.（2022秋•宁夏石嘴山•高一石嘴山市第一中学校考阶段练习）已知集合”={2,3,4,5},对它的非空子集A,

可将A中的每一个元素%都乘以（-以再求和（如A={2,3,5},可求得和为：2-（-1）2+3-（-1）3+5-（-1）5=-6）,

则对M的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是（）

A.18B.16C.-18D.-16

13.（2023•全国•高三专题练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺

序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4,6,9}的交替和是9-6+4=7；而⑸的交替和是5,

则集合"={1,2,3,4,5,6}的所有非空子集的交替和的总和为（）

A.32B.64C.80D.192

14.（2022秋・北京海淀•高一人大附中校考期中）若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，

称A为互斥集.若4={。,6,。}={1,2,3,4,5},且A为互斥集，则：+■1■的最大值为（）

abc

11「13厂7-47

A.—B.—C.-D.—

612460

15.（2022.上海.高一专题练习）设X是一个集合，T是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属

于T,。属于T；②T中任意多个元素的并集属于T；③T中有限个元素的交集属于T.则称T是集合X上的一

个拓扑.已知集合乂={”，b,c},对于下面给出的四个集合T:

①T={0,{a},{a,b）,{a,c}}；

②T={0,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}；

③T={0,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}；

④T={0,{a},{c},{a,b,c}].

其中是集合X上的拓扑的集合T的序号是（）

A.②B.①③C.②④D.②③

16.（2022秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试）定义集合运算A-B={x|xeA且x/图称为

集合A与集合B的差集；定义集合运算丛BA）称为集合A与集合B的对称差，有以下4个

命题：

@AAB=BAA②（AAB）AC=AA（BAC）

③AI（BAC）=（AIB）A（AIC）@AU（BAC）=（AUB）A（AUC）

则4个命题中是真命题的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

二、多选题

17.（2022秋.江苏苏州.高一星海实验中学校考期中）整数集Z中，被4除所得余数为七的所有整数组成一

个“类”，其中左e{0,l,2,3},记为因，即因={x|x=4〃+匕〃eZ},以下判断正确的是（）

A.2022e[l]B,-3e[3]

C.Z=[O]U[1]U[2]U[3]D.若a-6e[0],则整数a,b属于同一个类

18.（2022秋・山西运城.高一山西省运城中学校期中）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有

理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无

理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集Q划分为两个非空的子集M与M

且满足MuN=Q,McN=0,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M,N）为戴德金分割.

试判断下列选项中，可能成立的是（）

A.M={xeQ|x<0},N={xeQ|x20卜茜足戴德金分割

B.M没有最大元素，N有一个最小元素

C.M没有最大元素，N没有最小元素

D.M有一个最大元素，N有一个最小元素

19.（2022秋・四川眉山・高一校考阶段练习）给定集合A,若对于任意beA,有a+beA,且

则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（）

A.集合A={0}为闭集合；

B.集合A={T,-2,0,2,4}为闭集合；

C.集合4={川〃=3怎左eZ}为闭集合；

D.若集合A、4为闭集合，则4口4为闭集合.

三、填空题

20.（2022秋.江苏常州.高一常州高级中学校考期中）设集合/={1,2,3},A=/,若把集合M。A=/的集合M

叫做集合A的配集，则4={1,2}的配集有个.

21.（2023・全国•高三专题练习）对于非空集合入7%%,4,…,q}（qN0,i=l,2,3,…〃），其所有元素的几何

平均数记为E（A）,即E（A）=ya/?••…％.若非空数集B满足下列两个条件：①BA；②E（B）=召（A）,

则称B为A的一个“保均值真子集”，据此，集合{L2,4,8,16}的“保均值真子集”有一个.

22.（2020秋.上海闵行.高一上海市七宝中学校考阶段练习）设集合S,={1,2,3,…㈤，若XQS",把X的

所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为

0）.若X的容量为奇（偶）数，则称X为S”的奇（偶）子集，则$5的所有奇子集的容量之和为.

23.(2022秋・河北沧州•高一任丘市第一中学校考阶段练习)设A是整数集的一个非空子集，对于ZeA,若

k-l^A,且％+1/A,贝I称不是A的一个“孤立元”，集合T={L2,3,5}中的“孤立元”是；对

给定的集合S={1,2,3,4,5,6},由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有

个.

24.(2021秋・上海徐汇・高一位育中学校考阶段练习)若一个非空数集F满足：对任意a,beF,有a+b,a-b,

abeF,且当bwO时，有feF,则称尸为一个数域，以下命题中：

b

(1)0是任何数域的元素；(2)若数域尸有非零元素，则2021e尸；

(3)集合P={x|x=3Z#eZ}为数域；(4)有理数集为数域；

真命题的个数为

25.(2022秋・北京•高一校考阶段练习)已知集合A,3满足：(1)AU8=Q,AnB=0；(2)若

%eQ且尤2<占，则x”A；(3)若%©Q且%>/，则%e尻给出以下命题：

①若集合A中没有最大数，则集合8中有最小数；

②若集合A中没有最大数，则集合B中可能没有最小数；

③若集合A中有最大数，则集合3中没有最小数；

④若集合A中有最大数，则集合8中可能有最小数.

其中，所有正确结论的序号是.

26.(2022秋・江苏淮安•高三校联考期中)用Cwd(A)表示非空集合A中的元素个数，定义

Card(A)-Card(B),Card(A)>Card(B)

AQB=<,若4={2,3},B=卜］(x2+/nx)(尤2+尤+1)=0且

Card-Card(A),Card(A)<Card(B)

AQB=1,若8中元素取最少个数时加=.若8中元素取最多个数时，请写出一个符合条件的集合

B=.

27.(2022秋.上海浦东新•高一上海南汇中学校考阶段练习)对于集合{xlaWxWb},我们把称为该集

2

合的长度,设集合A={x\a<X<a+1921},B={x\X-(2b-1094)x+b{b-1094)<0),且A,8都是集