2025年高考数学复习之填空题：函数应用（10题）

2025年高考数学复习之小题狂练600题（填空题）：函数应用（10题）

—.填空题（共10小题）

1.（2024•龙岩三模）已知函数f（x）=/-logbx（a>l,b>l）有且只有一个零点，则ab的取值范围

为.

2.（2024•松江区校级模拟）已知函数/（x）=cosx,若对任意实数无i,xi,方程|/（尤）-/（xi）\+\f（x）

-f（X2）|=根（wGR）有解，方程|/（x）-f（xi）|-If（x）-f（X2）|="（71GR）也有解，则m+n的

值的集合为.

3.（2024•东湖区校级模拟）对于实数。和6,定义运算“*”：a*b=1十一"'0*2设/（无）=（2x

{,b2—ab,a>b

-1）*（x-1）,且关于％的方程为/（x）=m（meR）恰有三个互不相等的实数根xi,X2,%3,则实数

机的取值范围是；X1+X2+X3的取值范围是.

4.（2024•香坊区校级模拟）定义区表示不超过X的最大整数，{九}=兀-印.例如：［-3.2］=-4,{-3.2}

=0.8,则方程2x{x}-X-1=0的所有实根之和是.

5.（2024•海淀区校级三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发

G

点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为w=%。彳，其中w表示每一轮优化时使用的学

习率，师代表初始学习率，。表示系统衰减系数，G表示迭代轮数，Go代表衰减速度.已知某个指数

衰减学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为18,当训练迭代轮数也为18时，学习率为0.4,则学

习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：/g3«0.301）.

6.（2024•海淀区校级三模）设函数/（无）=［kl+a,久22（°>。且。=1）.给出下列四个结论：

%<2

①当。=2时，存在3方程/（%）=/有唯一解；

②当标（0,1）时，存在3方程/（X）=/有三个解；

③对任意实数。（。>0且aWl）,f（x）的值域为［0,+8）；

④存在实数。，使得/（x）在区间（0,+8）上单调递增；

其中所有正确结论的序号是.

7.（2024•顺德区模拟）函数无）定义域为。，若对任意xe［0,a］QD,均有/⑶2/冷）（keN*）成立，

且7（0）=0,则称函数/（无）为区间［0,0上的左阶无穷递降函数.根据上述定义，已知函数/（X）=

-cos3x+l,那么函数/（无）在［0,2用上（填“是”或“不是”）2阶无穷递降函数；若函数

fG）在［0,a］上是3阶无穷递降函数，则。的最大值为.

2%—Q,X<^1

,0,给出下列四个结论：

{x2-3ax+2a2,x>l

1

①当。=1时，f(%)的最小值为一4

②存在a>0,使得/(X)只有一个零点

③存在a>0,使得/(x)有三个不同零点

@Vae(-8,o),f(x)在R上是单调递增函数

其中所有正确结论的序号是.

9.(2024•河西区校级模拟)设函数/(x)=曰一°VI)若/(x)恰有2个零点，则实数

(2(%-a)(%-2a)(X>1)

a的取值范围是.

x\x-11—1,%20,

10.(2024•河北区模拟)函数=11若函数g(x)=/(1-%)-办+1(〃W0)恰

--7，XV0，

1

有两个不同的零点，则实数a的取值范围为.

2025年高考数学复习之小题狂练600题（填空题）：函数应用（10题）

参考答案与试题解析

一.填空题（共10小题）

1.（2024•龙岩三模）己知函数/（%）=K-log/a（a>l,b>l）有且只有一个零点，则H的取值范围为

1

软，+8）.

【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理.

【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑推理；直观想象;

数学运算.

1

【答案】（西,+8）.

【分析】由题意可得g'（x）=〃（X）只有一个解，从而可得a=急,仍=忌，设Q（b）=岛（lVbV

1

ee）,利用导数求解即可.

【解答】解：依题意得g（X）=/与/7（X）=10g处只有一个交点，即两曲线相切,

则g'（x）=h'（无）只有一个解,

•・•Lt儿a—l-J17,

xlnb

即公嬴1

11

化简得%=（薪）万，将其代入/（X）,

11

得----+-loq[alnb)=0,

alnba%、)

1

---+logz?(alnb)=0,

Inb~

logbe+logb(abib)=0,

]

即eH脑=1,.■9=编.

11

a>\,---->1,1<b<ee,

elnb

则M=焉

b1

设Q(6)=丽(lVbVe?),

则Q'(b)="I<0,

e(lnby

1

：.Q(Z?)在(1,二)单调递减,

11

；・Q(b)>Q(吟=ee,

1

ab>ee,

1

・・・"的取值范围是(赤，+8).

1

故答案为：(亦，+8).

【点评】本题考查了转化思想、对数函数、指数函数的性质，考查了导数的综合运用，属于难题.

2.(2024•松江区校级模拟)已知函数/(x)=cosx,若对任意实数xi,xi,方程|/(%)-/(xi)\+\f(x)

-f(%2)\=m(mGR)有解，方程(x)-f(xi)|-\f(x)-f(X2)\=n(nGR)也有解，则m+几的

值的集合为{2}.

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】分类讨论；函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；直观想象；数学运算.

【答案】{2}.

【分析】根据题意，不妨设cosxiWcosI2,分类讨论当cosx》cosx2,cosxWcosxi,COSX1<COSX<COSX2

三种情况下，结合方程有解以及余弦函数的图象和性质，从而求出相和〃的值，即可得出小+〃的值的

集合.

【解答】解：由题可知/(%)=COSX,不妨设COSX1WCOSX2,

对于相，对任意实数xi,X2,方程1/(%)-/(xi)|+|f(x)-f(X2)\—m(mGR)有解，

当COSX2cosX2时，方程可化为机=2cosx-(COSX1+COSX2)有解，

所以m^cosx2-cosxi恒成立，所以小22；

当cosx^cosxi时，同上；

当COSX1<COSX〈COSX2时，方程可化为m=COSX2-COSX1有解，所以m6[0,2],

综上得：m=2；

对于〃，对任意实数xi,X2,方程，(x)-/(xi)|-\f(x)-f(X2)\=n(neR)也有解，

当COSx2cOSX2时，方程可化为〃=COSX2-COSX1有解，所以及E[0,2];

当cosx^cosxi时，同上；

当COSX1<COSX〈COSX2时，方程可化为〃=2cosx-(COSX1+COSX2)有解，

所以COSX1-COSX2<n<COSX2-COSX1恒成立，所以〃=0,

所以m+〃的值的集合为{2}.

故答案为：{2}.

【点评】本题考查函数与方程的综合问题，考查余弦函数的图象和性质，通过设COSX1WCOSX2,以及分

类讨论COSX与COSX1,COS尤2的大小情况，并将方程有解转化为恒成立问题是解题的关键，考查学生的分

类讨论思想和逻辑分析能力.

3.（2024•东湖区校级模拟）对于实数a和6,定义运算“*"："匕二产一"，a<b^设了（无）=⑵

W2—ab,a>b

-1）*（x-1）,且关于％的方程为/（x）—m（meR）恰有三个互不相等的实数根X2,%3,则实数

m的取值范围是（0,、；X1+X2+X3的取值范围是（泞&1）.

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】新定义.

【答案】见试题解答内容

【分析】由已知新定义，我们可以求出函数的解析式，进而分析出函数的两个极值点，进而求出尤的方

程为/（无）=m（niGR）恰有三个互不相等的实数根时，实数相的取值范围，及三个实根之间的关系，

进而求出X1+X2+X3的取值范围

【解答】解：-%a-b,

vbz—ab,a>b

(2x2—x,x<0

:•于(x)(2x-1)*(x-1)

(―%2+x,x>0

则当x=0时，函数取得极小值0,当时，函数取得极大值工

z4

故关于％的方程为/（龙）—m（mGR）恰有三个互不相等的实数根xi,X2,13时,

实数机的取值范围是（0,1）

令/（X）=］则X=］户,或x=义

住4Z

不妨令XIVx2VX3时

1—V3

则-----<Xl<0,X2+X3=l

4

；.X1+无2+尤3的取值范围是（殳言，1）

故答案为：（0,3，（二目，1）

【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知新定义，求出函数的解析式,

并分析出函数图象形状及性质是解答的关键.

4.（2024•香坊区校级模拟）定义［%］表示不超过尤的最大整数，住}=尤-印.例如：［-3.2］=-4,{-3.2}

=0.8,则方程2x{x}-%-1=0的所有实根之和是-1.

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算.

【答案】7.

【分析】将问题转化为函数y=2{x}与y=l+1的图象交点横坐标的和，作出两函数的图象，即可得答

案.

【解答】解：显然尤=0不是2r{x}-尤-1=0的解，

--1

所以2{尤}=1+婷

作出函数y=2{x}与y=l+1的图象，如图所示：

由此可得两函数的交点除（-1,0）外，其余点关于点（0,1）对称，从而和为0,

所以方程2x{尤}-X-1=0的所有实根之和为-1.

故答案为：-1.

【点评】本题属于新概念题，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题.

5.（2024•海淀区校级三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发

G

点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为加=%。4,其中W表示每一轮优化时使用的学

习率，质代表初始学习率，D表示系统衰减系数，G表示迭代轮数，Go代表衰减速度.已知某个指数

衰减学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为18,当训练迭代轮数也为18时，学习率为0.4,则学

习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为74（参考数据：/g3«0.301）.

【考点】根据实际问题选择函数类型.

【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】74.

G

【分析】由题意得出该指数衰减的学习率模型w=0.5X0.8无，根据题意列出不等式，求解即可.

18

【解答】解：当G=18时，W=0A,代入得，0.4=0.5・。正，解得£>=0.8,

由学习率衰减到0.2以下（不含0.2）,

G

得0.5x0.818<0.2,

G

0.818<0.4,

G

—>log0A,

186n8Q

G>181ogo.s0.4,

因为Zog0.804=譬=傍需=群1x4.1,

所以G>73.8,故G取74.

故答案为：74.

【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题.

6.（2024•海淀区校级三模）设函数/（x）=［疡2+以%-2（°>0且。=1）.给出下列四个结论:

［\ax-2\,x<2

①当。=2时，存在方程/（X）=f有唯一解；

②当（0,1）时，存在3方程/（%）=/有三个解；

③对任意实数a（。>0且aWl）,f（x）的值域为［0,+°°）；

④存在实数a，使得/（x）在区间（0,+8）上单调递增；

其中所有正确结论的序号是①②.

【考点】分段函数的应用.

【专题】函数思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算.

【答案】①②.

【分析】直接解方程可判定①；

分类讨论解方程可判定②；

利用事函数与指数函数的单调性判断③;

利用分段函数的性质可判定④.

'7x—2+2,x>2

(y/x—2+2,x>2

【解答】解：对于①，当4=2时，

f(x)=l|2x-2|,x<2«2*-2,1<x<2，

、2—2工，x<l

易知函数在(-8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增;

且当XVI时，f(x)=2-2%V2,/(1)=0,

可知y=V%—2+。〉0恒成立，

若aE(0,1),由上可知-2在(-8,2)上单调递减,

且x=log〃2(log。2V0)时，y=ax-2=0,

止匕时y=|d-2|20；

若〃>1,易知y=〃-2在(-8,2)上单调递增，

即y=aK-2<a2-2,

(z)当证之时，y=ax-2<0,

则|/-2|>0；

(，，)当。>鱼时，在x=log〃2(log«2<2)时，

y=ax-2=0,

此时y=\ax-2|20；

则当时，f(x)取不到最小值0,故错误；

对于④，由上可知〃E(0,1)和(鱼，+8)时，

f(x)在(-8,iog42)上单调递减；

当证>a>l时，/(x)在(-8,2)上单调递减，故④错误.

故答案为：①②.

【点评】本题考查了累函数、指数函数的性质，考查了指数函数的性质及数形结合思想，属于中档题.

7.(2024•顺德区模拟)函数/(x)定义域为。，若对任意xe［0,a］QD,均有f(x)2f(左)(keN*)成立，

且/(0)=0,则称函数/(无)为区间［0,上的左阶无穷递降函数.根据上述定义，已知函数/(x)=

-cos3x+l,那么函数/(无)在［0,2TT］±不是(填"是”或“不是”)2阶无穷递降函数；若函数/

7T

(x)在［0,4］上是3阶无穷递降函数，则a的最大值为~.

【考点】函数与方程的综合运用.

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；

数学运算.

71

【答案】不是；

Y

【分析】根据2阶无穷递降函数的定义，若/(x)在［0,2川上是2阶无穷递降函数，则/(x)之(5)

_-T7-X.

在［0,2冗］上恒成立，而时，f(x)2/(3)不成立，因此可得/(%)=-cos3x+l在［0,2n］上不是

x

2阶无穷递降函数；若/(X)=-cos3尤+1在［0,a］上是3阶无穷递降函数，则/(x)(-)在［0,a］

上恒成立，利用三角恒等变换公式将不等式化简为4cosx(1-cos2x)三0,在［0,a］上恒成立，结合1

-cos2xN0推导出cosxNO在［0,a］上恒成立，进而求出实数a的取值范围，可得答案.

【解答】解：根据题意，若函数/(x)=-cos3尤+1在［0,2n］上是2阶无穷递降函数，

x

则，(x)(-)在［0,2川上恒成立，

而当X=2时，f(x)=-COS—+1=1,f(-)=-COS—+1=1+芋，此时/(x)<f(-).

x

因此，f(x)讨(-)在［0,2川上不能恒成立，

故函数f(x)=-cos3x+l在［0,2n］上不是2阶无穷递降函数；

x

若/(x)=-cos3x+l在［0,例上是3阶无穷递降函数，则/(%)(-)在［0,例上恒成立，

即-cos3x+12-cosx+1,即cos%-cos3x20在(0,a)上恒成立，

因为cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx=(2cos2x-l)*cosx-2sin2xcosx

=2COS3X-cosx-2cosx(1-cos2x)=4cos3x-3cos］,

所以不等式cos%-cos3x20可化为cosx-(4cos\-3cosx)20,

即4cosx-4cos320,即4cosx(1-cos2x)20在［0,上恒成立,

因为1-cos2x^0在R上恒成立，所以4cosx^0在［0,上恒成立，

7TTC

即cos尤20在［0,4］上恒成立，结合余弦函数的性质可知即。的最大值为了

TI

故答案为：不是；

2

【点评】本题主要考查三角恒等变换公式、余弦函数的图象与性质、函数与方程的综合应用等知识，属

于中档题.

12”—Q,X*^1

8.(2024•门头沟区一模)设a€R,函数f(x)=，给出下列四个结论：

lx2-3ax+2a2,x>1

①当。=1时，/(无)的最小值为一

②存在。>0,使得/(x)只有一个零点

③存在。>0,使得/(%)有三个不同零点

@Vae(-8,o),f(x)在R上是单调递增函数

其中所有正确结论的序号是②③.

【考点】分段函数的应用.

【专题】分类讨论；函数思想；综合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算.

【答案】②③.

【分析】分析函数在(-8,1)上的取值范围即可判断①；

对零点在(-8,1)、［1,+OO)讨论，即可判断②，③；

使得函数在各段单调性，且在断点左侧的函数值不大于断点右侧函数值，即可判断④.

2%_ay

{xz—3ax+2a一x>1

当x<l时，f（x）=2X-a,则函数在（-8,i）上单调递增，

又函数y=J?-3QX+2〃2的对称轴为久=当，

”」（2%—1,%<1

对于①：当”=1时，/（%）=］0，

{,X2—3%+2，x>1

当xVl时，0<2%<2,所以即<1,故①错误；

对于②：当零点位于（-8,1）时，贝J2a>°,解得0V〃V2,

U>o

此时0V当<3,

若0V当W1,即OVaJ时，f（x）在［1,+8）上单调递增，

此时只需/⑴=l-3a+2a2>0,解得。>1或aV、所以OVaV称,

3Qo

若一>1,即a>5■时,此时△=9〃2-8〃2=〃2>0,

23

则/（X）在［1,+8）上至少还有1个零点，故不符合题意；

-1

所以0<aV］；

当零点位于［1,+8）,此时了（%）在（-8,1）上无零点，则2-〃WO,解得心2,

,,,「3。

此时A〉。且一〉1,

2

1

要使函数/（x）只有一个零点，则只需/（I）=1-3〃+2〃2〈①解得avqvi,

又〃>2,显然〃无解，所以此种情况不符合题意；

综上可得当OVavg时/（X）只有一个零点，故②正确；

对于③：使得了（%）有三个不同零点，则必然是在（-8,1）上有一个零点，在口，+8）上有两个零

点，

'21-a>0

,a>0

则，解得lWa<2,

詈>1

</（1）=1-3a+2a2>0

所以当lWa<2时/(x)有三个不同零点，故③正确；

对于④：若/(%)在R上是单调递增函数，则,解得。工与3,

IT-1

所以当a<上沪时，/(%)在R上是单调递增函数，故④错误.

故答案为：②③.

【点评】本题考查了指数函数、二次函数的性质，考查了分类讨论思想及函数的零点，属于中档题.

9.(2024•河西区校级模拟)设函数/(x)=13：-以；<1)若/(无)恰有2个零点，则实数

12(x—a)(x—2a)(x>1)

a的取值范围是g,l)u［3,+8).

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】分类讨论；函数思想；综合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据解析式分析了(x)的性质，讨论aWO、3>a>0、。三3,结合指数函数和二次函数的性质

判断了(%)恰有2个零点情况下a的取值范围.

【解答】解：由题意可得知，y=f3在(-8,1)上单调递增，

所以/(x)e(-a,3-a)；

在［1,+8)上，f(x)的对称轴为x=学且开口向上，

所以当-。20,即aWO时，%=^<0<1,

则/(%)在［1,+8)上递增，f(1)=2(1-a)(1-2a)>0,此时/(x)无零点；

当0VaV3时;在(-8,1)上/(无)存在一个零点，

要使/G)恰有2个零点，

则在口，+8)上也只有一个零点，

.3a93ctQ2

而x=-5-6(0,一)且/(—)=—­<0,

2222

3a7

所以当三41,即0<公呈

17

只需/⑴=2(1-4)(1-2a)W0,可得3<a<j；

,3a-7

当一>1,即a>5,

23

2

只需/(l)=2(1-a)(1-2a)<0,可得3<h<l；

1

所以此时，时，/(x)恰有2个零点；

当a23时，在(-8,1)上/(无)无零点，

要使了(无)恰有2个零点，

则在[1,+8)上有两个零点即可，

而x=%g,+8)且/(y)=一。<0,/(1)=2(1-a)(1-2a)>0,

所以/(x)在口，+8)上恒有两个零点.

1

综上，〃的取值范围为5，1)U[3,+8).

1

故答案为：[3,1)U[3,+°°).

【点评】本题考查了指数函数、二次函数的性质，考查了分类讨论思想，属于中档题.

x\x-11-L%20,

10.(2024•河北区模拟)函数/(%)=1若函数g(%)=/(1-x)-ax+1(〃W0)恰

--r，xV0，

vx—1

1

有两个不同的零点，则实数4的取值范围为(二，1)U(-8,-1).

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算.

1

【答案】(一，1)U(-8,-1)

4

【分析】画出g(x)=/(l-x)+1,y=ax的图象，数形结合后可求参数的取值范围.

(x\x-1|-1/%>0

【解答】解：因为/(%)=1

(—,%V。

I%—1

(1-x)\x\,X<1

所以/(1-x)+1=1

一一+L%>1

X

则函数g(X)=/(1-x)-ax+1恰有2个零点等价于7(1-％)+l=ax有两个不同的解,

故y=/(l-x)+1,y=ax的图象有两个不同的交点，

(1—x)x,0<%<1

一支(1一%),x<0

--F1/%>1

{x

又y=g(%)，的图象如图所示，

由图象可得两个函数的图象均过原点,

当时，

考虑直线〉=以与g(x)(OWxWl)的图象相切，

则由ax=x-/可得△=(〃-1)2-0=0,即a=l,

考虑直线与g(x)=—]+1(x21)的图象相切，

由ax=一；+1可得这2~%+1=0，贝I△=1-4〃=0,即a=

考虑直线〉=以与g(x)=?-x(%W0)的图象相切，

由ax=j?-%可得x2-(〃+1)%=0,贝!jA=(q+l)2-0=0,即a=-1,

1

结合图象可得当;VzVl或〃V-1时，两个函数的图象有两个不同的父点,

4

1

综上，一<a<l或〃V-1.

4

【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想，作出图象是解答本题的关键，属于中档题.

考点卡片

1.函数零点的判定定理

【知识点的认识】

1、函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=/(x)在区间伍，句上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/(a)f(b)<0,那么

函数(%)在区间(a,b)内有零点，即存在ce(A,b),使得/(c)=0,这个c也就是/(x)=0

的根.

特别提醒：

(1)根据该定理，能确定了(无)在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一.

(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a,

b)上没有零点，例如，函数/(x)=/-3x+2有/(0A/(3)>0,但函数/(无)在区间(0,3)上有两

个零点.

(3)若f(x)在［a,可上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a).于(b)<0,则/(尤)在(a,6)

上有唯一的零点.

【解题方法点拨】

函数零点个数的判断方法：

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=/(x)的图象联系起来，并利用函数的性

质找出零点.

特别提醒：

①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程/-2x+l=0在［0,2］上有

两个等根，而函数无)=/-2%+1在［0,2］上只有一个零点；

②函数的零点是实数而不是数轴上的点.

(2)代数法：求方程/(无)=0的实数根.

2.函数的零点与方程根的关系

【知识点的认识】

函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的.但是，他

们的解法其实质是一样的.

【解题方法点拨】

求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了.我们重

点来探讨一下函数零点的求法(配方法).

例题：求函数f(尤)=X4+5X3-27/-101x-70的零点.

解:,:于(尤)=¥+5x3-277-101x-70

=(x-5)*(x+7)e(x+2)>(x+l)

，函数/(X)=¥+5/-277-101X-70的零点是:5、-7、-2、-1.

通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次

函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可.

【命题方向】

直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可.

3.函数与方程的综合运用

【知识点的认识】

函数与方程的综合运用是指结合函数的性质和方程的解法解决复杂问题.

【解题方法点拨】

-函数性质：分析函数的定义域、值域、单调性、对称性等性质.

-方程求解：利用函数性质建立方程，求解方程根.

-综合应用：将函数性质和方程求解结合，解决实际问题.

【命题方向】

常见题型包括函数性质和方程解法的综合运用，解决复杂的数学问题.

4.分段函数的应用

【知识点的认识】

分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的.这个在

现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里

面都涉及到分段函数.

【解题方法点拨】

正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现.下

面我们通过例题来分析一下分段函数的解法.

例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税.某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，

年销售量为11.8万件.第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%(0<p<100,即销售100元要征收

P元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件赤石元，预计年销售量将减少P万件.

（I）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；

（II）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？

（III）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？

解：（I）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8-p）万件，

年销售收入为翅丝（n.8-p）万元，

100-p

政府对该商品征收的税收y=票与（11.8-y?）p%（万元）

故所求函数为y=盖刁（11.8-p）p

由11.8-p>0及p>0得定义域为0<p<11,8…（4分）

80

（〃）由后16得市二「（11.8-p）pN16

化简得p2-12p+20W0,即（p-2）（p-10）WO,解得2WpW10.

故当税率在［0.02,0.1］内时，税收不少于16万元.…（9分）

（HI）第二年，当税收不少于16万元时，

厂家的销售收入为g（p）=翟与（1L8”）（2WpW10）

••,g（P）=翟与（1L8-P）=800（10+忐看）在［2,10］是减函数

'-g（p）max—g（2）—800（万兀）

故当税率为2%时，厂家销售金额最大.

这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分

段其实无关.我们重点看看分段函数要注意的地方.第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；

第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅

某段函数的讨论.

【命题方向】

修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答.

5.根据实际问题选择函数类型

【知识点的认识】

1.实际问题的函数刻画

在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画.用函数的观点看实际问题，是学

习函数的重要内容.

2.用函数模型解决实际问题

（1）数据拟合：

通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征,看

它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具

体的函数表达式,再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法

称为数据拟合.

（2）常用到的五种函数模型：

①直线模型：一次函数模型y=kx+b（kWO）,图象增长特点是直线式上升（x的系数

k>0）,通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y=kx（k>0）.

②反比例函数模型：y=5（左>0）型，增长特点是y随尤的增大而减小.

③指数函数模型：y=a,bx+c（b>0,且bTM,aWO）,其增长特点是随

着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b>1,。>0）,常形象地称为指数爆炸.

④对数函数模型，即y=mlogax+n（a>0,a#1,mWO）型，增长特点是随

着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a>1,m>0）.

⑤幕函数模型，即j=a•x"+b（a力0）型，其中最常见的是二次函数模型：y=

ax-+bx+c（a#0）,其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a>0）.

在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范

围，同时还要与实际问题结合，如取整等.

3.函数建模

（1）定义：用数学思想、左法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模.

（2）过程：如下图所示.

（实气情埴）

（提M问题）

不（函数国

合

乎

实［数学结果）

际

何用结果）

【解题方法点拨】

用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：

(1)解函数关系已知的应用题

①确定函数关系式