2025年高考数学复习之解答题：空间向量与立体几何（10题）

2025年高考数学复习之小题狂练600题（解答题）：空间向量与立体几何

（10题）

一.解答题（共10小题）

1.（2024•浑南区校级模拟）如图，直线尸。垂直于梯形ABC。所在的平面，ZADC^ZBAD^90°,F为

线段抬的中点，PD=V2,AB=AD=^CD=1,四边形PACE为矩形.

（1）求证：AC〃平面。跖；

（2）求直线AE与平面BCP所成角的正弦值.

2.（2024•邵阳三模）如图，在四棱台A181GO1-ABCD中，四边形ABCZ）是边长为4的菱形，ZABC=

60°,AiAX^FffiABCD,AAi=Ai»=2.

（1）证明：AiC±ABi；

（2）求二面角Ai-CDi-Bi的正弦值.

3.（2024•新华区校级一模）在直角梯形A3。中，AD//BC,BC=2AD=2AB=20,NABC=90°,如

图（1）.把△43。沿8。翻折，使得平面A8O_L平面BCD

（I）求证：CD1AB；

BN

（II）在线段BC上是否存在点N,使得AN与平面AC。所成角为60。？若存在，求出工的值；若不

存在，说明理由.

A

图⑴图(2)

4.(2024•西安模拟)如图，在四棱锥尸-ABC。中，PD=PC=CB=BA==2,AD//CB,ZCPD

=ZABC=90°,平面PC£)_L平面ABC。，E为PO中点.

(1)求证：尸。_1面尸。人；

T—*___y/5

(2)点。在棱以上，设PQ=4P4(0<2Vl),若二面角P-CD-Q余弦值为w，求入.

5.(2024•铜川一模)如图，四棱锥P-ABC。的底面A2CD是边长为2段的菱形，ZABC=60°,AP^AB,

尸8=4,平面平面A8CD,E,P分别为CD,尸8的中点.

(1)证明：CD_L平面B4E；

(2)求点A到平面PEF的距离.

6.(2024•浙江模拟)如图，斜三棱柱ABC-ALBIQ的底面是直角三角形，/AC8=90°,点81在底面

A8C内的射影恰好是8C的中点，且BC=CA=2.

(I)求证：平面ACCiAi_L平面31cleB；

(II)若斜棱柱的高为百，求平面与平面A81Q夹角的余弦值.

Bi.A,

7.(2024•门头沟区一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，R1_L平面ABC。，AB±AD,AD//BC,BC=^AD,

PA=AB=2,E为棱尸。的中点.

(1)求证：EC〃平面E4&

(2)当尸C=3时，求直线PC与平面BCE所成角的正弦值.

8.(2024•湖北模拟)如图，A£_L平面ABC。，E,尸在平面ABC。的同侧，AE//DF,AD//BC,AD1AB,

1

AD=AB=^BC=1.

(1)若3,E,F,C四点在同一平面内，求线段环的长；

(2)若。尸=2AE,平面加印与平面8CF的夹角为30°,求线段AE的长.

9.(2024•射洪市模拟)如图，四棱锥尸-ABCZ)中，PA=PD,PALPD,底面ABC。中，AD//BC,A。：

2PC=2BC=4CD,ZADC=6Q°,E是线段AP上一点，设族=4访.

(1)若入=1,求证：BE〃平面PCZ)；

(2)是否存在点E,使直线3E与平面外。所成角为30°,若存在，求出入；若不存在，请说明理由.

P

E

A；(一yD

BC

10.(2024•重庆模拟)如图，在四棱锥E-A8CQ中，EC_L平面ABC。，AB//DC,△ACD为等边三角形,

OC=2AB=2,CB="，点尸为棱BE上的动点.

(1)证明：£>C_L平面BCE；

(2)当二面角AC-B的大小为45°时，求线段CF的长度.

2025年高考数学复习之小题狂练600题（解答题）：空间向量与立体几何

（10题）

参考答案与试题解析

一.解答题（共10小题）

1.（2024•浑南区校级模拟）如图，直线垂直于梯形4BCD所在的平面，ZADC=ZBAD=90°,F为

线段用的中点，PD=V2,AB=AD=2CD=1'四边形PDCE为矩形.

（1）求证：AC〃平面OEF；

（2）求直线AE与平面8cp所成角的正弦值.

AB

【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；直线与平面平行.

【专题】转化思想；向量法；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算.

【答案】（1）证明见解析；

3近

（2）-----.

14

【分析】（1）根据题意易得AC〃FG,再利用线面平行的判定定理，即可证明；

-»

（2）建立空间直角坐标系，求出平面BCP的法向量及力E,利用线面角的向量法，向量夹角公式，即

可求解.

【解答】解：（1）证明：设CPCZ）E=G,连接FG,

因为四边形POCE为矩形，所以G为PC中点，

又F为胆中点，贝IJAC〃尸G,又尸Gu平面。EF,ACC平面。EF,

所以AC〃平面DEF；

—>—>—>

（2）以。为坐标原点，DA,DC,DP的正方向分别为x,y,z轴，

建立如图所示空间直角坐标系:

*y

则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,&),E(0,2,&),

所以品=(-1,L0),CP=(0,-2,V2),AE=(-1,2,V2),

设平面BCP的法向量为£=(x,y,z),

则⑹屋r+y=0取G=Q,-必，

CP•n——2y+V2z=0

TT厂

设直线AE与平面BCP所成角为。，所以S讥8=坐斗=萼.

\AE\-\n\14

所以直线AE与平面BCP所成角的正弦值为处.

14

【点评】本题考查线面平行的证明，向量法求解线面角问题，属中档题.

2.(2024•邵阳三模)如图，在四棱台A18C1D1-ABC。中，四边形ABC。是边长为4的菱形，ZABC=

60°,4A_L平面ABCDAAi=AiDi=2.

(1)证明：AiCXABi；

(2)求二面角Ai-CDi-Bi的正弦值.

D

【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面垂直.

【专题】转化思想；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算.

【答案】(1)证明见解析；

V13

(2)-----.

13

【分析】(1)根据给定条件，以点A为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理

即得.

(2)求出平面AiCOi和平面BiCOi的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.

【解答】解：(1)证明：因为菱形A8CD中，ZABC=60°,

所以△ABC是正三角形，

在平面ABC。内过4作4'_18。，由AiA_L平面ABCD,

得直线Ar,AD,A4i两两垂直，

以点A为原点，直线Ar,AD,AAi分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

则4(0,0,0),C(2V3,2,0),4式0,0,2),。式0,2,2),B式色,-1,2),

-»—>—>—>

所以&C=(2遮，2,一2),AB1=(V3,-1,2),CD1=(-273,0,2),七心=(0,2,0),

=(-V3,3,0),

所以4C-ABr=2V3xV3+2x(-1)-2x2=0,

—>—>

所以41。1481，所以AiCLLABi.

(2)设平面AiCZh的法向量£二(%,y,z),

/->Tf—

EintCD】=—2v3x+2z=0加~,八二、

则-/，取zi=(zl,0,V3),

n-A1D1=2y=0

设平面BCD的法向量益=(a,b,c),

(TT.—

m•CD】=—2v3a+2c=0.-r-.

则niII/,=(zV3,1,3),

.n-B1D1=—y/3a+3b=0

设二面角Ai-CDi-Bi的大小为0,

则|cos8|=\cos(m,n)\=兽鲁==筹，

|m||n|VloxzV15

所以二面角Ai-CD!-Bi的正弦值为sin。=1-(萼尸=%.

,IvlS，J

【点评】本题考查线线垂直的证明，二面角的求解，属中档题.

3.(2024•新华区校级一模)在直角梯形ABC。中，AD//BC,BC=2AD=2AB=242,ZABC=90°,如

图(1).把△A3。沿2。翻折，使得平面A2Z)_L平面BCD

(I)求证：CD±AB；

BN

(II)在线段BC上是否存在点M使得AN与平面AC。所成角为60。？若存在，求出「的值；若不

BC

存在，说明理由.

图⑴图(2)

【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系.

【专题】综合题；转化思想；向量法；空间角.

【答案】见试题解答内容

【分析】(I)由题意求解直角三角形可得CDLBD,再由面面垂直的性质可得C£)_L平面ABD,进一

步得至ljCD±AB；

(II)由8,平面AB。，得CDLBD.以点。为原点，所在的直线为x轴，。。所在直线为y轴，

过点D作垂直平面BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz,

求出A,B,C,。的坐标.得到小、G的坐标.求出平面AC。的一个法向量，假设存在点N,使得

AN与平面AC。所成角为60°,设BN=ABC,0W入W1,得到4N的坐标.结合AN与平面AC。所成角

为60°列式求得人值得答案.

【解答】解：(I)证明：'JAD//BC,BC=2AD=2AB=2近,ABLBC,

：.AD^AB=V2,BD=y/AB2+AD2=2,

又/DBC=/ADB=45。,.,.CD=卜+(2物2—2x2x2&cos450=2,

：.BD2+AC2^BC2,则CDLBD.

又平面ABD_L平面BCD,平面ABOC平面BCD=BD,

：.CZ)_L平面ABD,又ABu平面ABD,

：.CD1AB-,

(II)解：：CD_L平面ABD：.CD±BD.

以点。为原点，所在的直线为x轴，OC所在直线为y轴，过点。作垂直平面80的直线为z轴,

建立空间直角坐标系D-xyz,

如图.由己知，得A(1,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0).

：.CD=(0,-2,0),AD=(-1,0,-1).

'TT

设平面ACD的法向量为装=(x,y,z),则=-2>=°,

n'AD=-x—z=0

令x=l,得平面AC。的一个法向量为£=(1,0,-1).

假设存在点N,使得AN与平面AC£)所成角为60°,

—>—>—>

设BN=4BC,。〈入W1,则N(2-2入，2入，0),AN=(1-24,24,-1).

T—L

：.sin6。。=&理=I*24+11=李，

\n\\AN\J(1-2A)2+(2A)2+(-1)2XV2

可得8人2+2入-1=0,解得2='或4=-义(舍去).

综上所述，在线段BC上存在点N,使得AN与平面AC。所成角为60°,

【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，训练了利用空间向量求线面角，是中档

题.

1

4.(2024•西安模拟)如图，在四棱锥P-ABC。中，PD=PC=CB=BA=^AD=2,AD//CB,ZCPD

=NABC=90°,平面尸C£)_L平面ABC。，E为尸。中点.

(1)求证：「。_1面PCA；

f-*y/~5

(2)点。在棱上，设PQ="4(0<2Vl),若二面角尸-CD-。余弦值为g,求入.

p

D3--------------1

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直.

【专题】整体思想；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算.

【答案】(1)证明见解答；

(2)2=^.

【分析】(1)依题意可证CD_LAC,由面面垂直的性质得到AC1•平面PCD,即可得到PO_LAC,再由

PCLPD,即可得证；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【解答】(1)证明：由题意：BC=AB=2,ZABC-90°,

：.AC=y/AB2+BC2=2V2,同理CD=2V2,

又A£)=4,CD1+AC1AD1,

：.CD±AC,

又平面PC£)_L平面ABCD,平面PCDC平面ABCD=CD,ACu平面ABCD,

；.AC_L平面PC。，POu平面PC。，

：.PD.LAC,

又尸C_LP。且尸Cu面尸CA,ACc®PCA,PCHAC=C,

.'.PDXffiPCA；

(2)解：以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

ACD=(2V2,0,0),CP=(V2,0,V2),PA=(-V2,2五,一必,

由PQ=2Pa(0<a<l),有CQ=CP+4P2=(a(1—2),2夜九V2(l-A)),

令1=(x,y,z)是平面CD。的一个法向量，

n-CD=0=0

则TT

ji-CQ=0—A)%+2V2Ay+V^(l—A)z=o'

令y=l,有?i=(O,1,a—1)，

取面尸CD的一个法向量拓=(0,1,0),

则|cos<n，m>\=I?叫=

|n||m|52

【点评】本题考查线面垂直的判定，考查二面角的求法，属难题.

5.(2024•铜川一模)如图，四棱锥尸-ABC。的底面A3C0是边长为2鱼的菱形，ZABC=60°,AP^AB,

尸3=4,平面B43_L平面ABC。，E,尸分别为C。，尸5的中点.

(1)证明：CD_L平面PAE-,

(2)求点4到平面PEF的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直.

【专题】转化思想；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算.

【答案】(1)证明见解析；

2V15

(2)-------.

5

【分析】(1)由面面垂直的性质得出线面垂直，再由线面垂直的判定定理求证;

(2)利用等体积法求出点到平面的距离即可.

【解答】解：(1),:AP=AB=2五,PB=4,

.•.AP2+AB2=PB2,:.AP±AB.

:平面E4BJ_平面ABCZ),且交线为AB,APu平面出B,

；.AP_L平面AB。，

：C£)u平面ABCD,J.APLCD.

连接AC,AF,如图所示：

因为四边形ABC。是边长为2&的菱形，ZABC=60°,

所以△AC。为等边三角形.

又因为E为C£)的中点，所以CDLAE,

又APCAE=A,APu平面出E,AEu平面E4E,

所以CZ)_L平面PAE.

(2)设点A到平面PEF的距离为九则以一PEF=VE一出尸，

因为AB〃CD,所以AE_LA8,又由(1)知AE_LAP,

XAPAAB=A,APu平面以8,ABu平面以8,所以AEJ_平面物8,

又PFu平面B48,AFu平面B48,所以AE_LPF,AE±AF,

又AF==2,AE=2V2Xsin600=V6,

又由PF_L4E,PFLAF,AEPiAF^A,AFu平面AEB,AEu平面AER

所以P5_L平面AEF,且PF=2,FE=y/AE2+AF2=V10,

er-11cl„„,11„„.„.„,AFxAE2XA/62-715

所以-x-PFxFExh=-x-xPFx4FxAE,即Hn力=—=-7==—5―,

3232FE同5

所以点A到平面PEF的距离为竺^

【点评】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了点到平面的距离计算问题，是中档题.

6.(2024•浙江模拟)如图，斜三棱柱ABC-A1B1Q的底面是直角三角形，/AC8=90°,点81在底面

ABC内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=2.

(I)求证：平面ACCiAi_L平面BCCB；

(II)若斜棱柱的高为百，求平面ABB1与平面AB1C1夹角的余弦值.

Bi.A,

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角；数学运算.

【答案】(I)证明见解析；

(II)平面ABB1与平面AB1C1夹角的余弦值为*

【分析】(I)取8C的中点连接利用点81在底面内的射影恰好是BC的中点，证明

AC,结合ACL8C,由线面垂直的判定定理证明AC,平面81cle8,根据面面垂直的判定定理证明即

可；

(II)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面

和平面A81C1的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

【解答】解：(/)证明：取BC中点为连接

1/B1在底面内的射影恰好是中点，

ABC,又：ACu平面ABC,

.,.BiMLAC,

又4cB=90°,

：.AC±BC,

BCu平面BiCiCB,B\MC\BC=M,

；.AC_L平面81cle8,

又：ACu平面ACCMi,

平面ACGAi_L平面BiCiCB；

(〃)以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系，

由BC=CA=2,

可得4(2,0,0),B(0,2,0),M(0,1,0),Bi(0,1,V3),Q(0,-1,V3),

即有血=T—>

2,1,A/3),AB=(-2,2,0),B©=(0,2,0),

设平面的法向量为£=(x,y,z),

JTL

即有展"1=0,则有『y+y+fz=0,令2=后可得尸产3,

ln-AB=0(-2x+2y=°

所以:=(3,3,V3),

设平面ABiCi的法向量为蓝=(a,b,c),

'TT

即有M•空1=0,则有2a甘+存=0,令。=g，可得6=0,c=2,

.m-BiG=0(­2匕=0

所以蔡=(V3,0,2),

所以有Icos<nm>\-1葡-|3x、+3x0+―x2|__递

期以印'『向丽—V9+9+3XV3+0+4-V21xV7

由两平面夹角定义可知平面ABB1与平面ABiCi夹角为锐角，

5

故平面48"与平面A8心夹角的余弦值为3

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用,

二面角的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化

为空间向量问题进行研究，属于中档题.

1

7.(2024•门头沟区一模)如图，在四棱锥P-A8CZ)中，B4_L平面48CD,AB±AD,AD//BC,BC=^AD,

B4=AB=2,E为棱尸。的中点.

(1)求证：EC〃平面出8；

(2)当PC=3时，求直线PC与平面BCE所成角的正弦值.

p

BC

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行.

【专题】转化思想；转化法；立体几何；数学运算.

【答案】（1）证明见解析；（2）竺.

15

【分析】（1）取出中点为M,证明EC〃及/即可由线线平行证明线面平行；

（2）过尸作平面8CE的垂线，结合几何特点求得PN,再求线面角的正弦值即可.

【解答】解：⑴证明：取抬中点为M,连接ME,MB,如下图所示：

在△抬。中，因为M,E分别为抬，尸。的中点，

1

HME//AD,ME=^AD,

i

又4D||BC,BC=2AD>

极ME〃BC,ME=BC,则四边形“BCE为平行四边形，EC//MB,

XMBc.^PAB,PAB,

故EC〃面PAB.

（2）过点P作延长线的垂线，垂足为M连接NC,如下图所示:

p

BC

由（1）可知，EC//BM,

故平面BCE也即平面NMBCE,

因为BC//AD,

贝I」BC±AB,

ABCD,BCc®ABCD,

^BCLPA,

y,PAr>AB=A,PA,ABc®PAB,

故8<?_1面PAB,

又PNu面抬8,贝|PN_L3C,又PNLBN,

BSBN=B,BC,BNu面BCE,

故PALL面BCE,

则ZPCN即为PC与平面BCE的夹角，

在△ABM中，因为AB=2,AM=^PA=1,

2R

则BM=VXS2+XM2=V5,sinZAMB=誉，

1

在△PMN中，因为PM=jPX=1,ZAMB=ZPMN,

贝（JPN=sin/PMNxPM=等，

2y/S

又PC=3,sin/PCN=要=考=组,

?V5

即直线PC与平面BCE所成角的正弦值为丁.

15

【点评】本题考查空间线面位置关系以及线面角的求法，属于中档题.

8.（2024•湖北模拟）如图，AE_L平面4BC。，E,尸在平面A8C。的同侧，AE//DF,AD//BC,ADLAB,

1

AD=AB=^BC=1.

(1)若B,E,F,C四点在同一平面内，求线段所的长;

⑵若DF=2AE,平面8跖与平面8CE的夹角为30°,求线段AE的长.

【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算.

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算.

1

【答案】(1)1;(2)

【分析】(1)由线面平行的判定定理、性质定理得四边形AOEE是平行四边形，由此能求出线段跖的

长；

(2)以A为坐标原点，分别以A3,AD,AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利

用向量法能求出线段AE的长.

【解答】解：(1)'."AD//BC,BCu平面BCEF,ADC平面8CEF,

〃平面BCEF,

'JAE//DF,：.A,E,F,。四点共面，

VAD//5?®BCEF,A£)u平面平面BCEPCl平面

：.AD//EF,y.AE//DF,四边形AOFE是平行四边形，

；.EF=DC=1.

(2)以A为坐标原点，分别以AB,AD,AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

设E(0,0,入)，F(0,1,2入)，B(1,0,0),C(1,2,0),

BE=(-1,0,a)，BF=(-1,1,2入)，BC=(0,2,0),

设茄=(x,y,z)是平面的一个法向量，

^\m-BE=-x+Az=O,MXz=1(得薪=(入，-入，口，

m-BF=—%+y+2Az=0

设臣=(a,b,c)是平面BFC的一个法向量，

LT

^\n-BC=2b=0,取c=i,得管=(2)，0,1),

(九.BF=—a+b+2Ac=0

~~》2I—

依题意|cos<m,n>\=-呼凹=------即jll=怖

17nH几Iri--------2-222

JAZ+(-A)2+1-J(2A)Z+02+1

解得％=：.AE=

【点评】本题考查线面平行的判定与性质、四点共面、向量法、二面角等基础知识，考查运算求解能力,

是中档题.

9.(2024•射洪市模拟)如图，四棱锥尸-ABC。中，PA=PD,PA±PD,底面ABC。中，AD//BC,A。：

2PC=2BC=4CD,ZADC=60°,E是线段A尸上一点，设族=4诟.

(1)若入=1,求证：BE〃平面PCD；

(2)是否存在点£,使直线BE与平面所成角为30°,若存在，求出入；若不存在，请说明理由.

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行.

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理.

【答案】(1)证明见解析；

3

(2)存在，入=3或9理由见解析.

【分析】(1)取尸。中点R证明8E〃CR由线线平行证得线面平行；

(2)建立空间直角坐标系，利用法向量解决线面角问题.

【解答】解：(1)证明：取尸。中点尸，连接尸C,如图所示，

TT1

,：AE=EP,为AP中点，EF//AD,B.EF=^AD.

1

,CBC//AD,BC/AD,

：.EF//BC^EF=BC,・••得四边形EFC8为平行四边形,

J.BE//CF,BEC平面PCD,CFu平面PC。,

故BE〃平面PCD.

(2)取AQ中点。，以。为原点，平面ABC。内过。点垂直于。。的直线为x轴，

过。点垂直平面A8CA的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：。-孙z,

设BC=1,P(x,y,z),VZADC=60°,

：.A(0,-2,0),B(孚，0),C得,I，0),D(0,2,0),AD=(0,4,0).

加『=/+(y+2)2+Z2=8,|PO|2=X2+/+Z2=4,|PC|2=(x-^)2+(y-|)2+z2=4,

解得：x=V3,y=0,z=l,

0,1),：.AP=(V3,2,1),

—>—>

设ZE=tap=(V5t,23t),ZG[0,1],

又耘=(亨，I，0),：.BE=AE-AB(V3t-,2t-|,t),

JT

设平面PAD的法向量为1=(久，y,z),丁,°,

n-AP=V3x+2y+z=0

令x=-1,解得y=0,z=V3,An=(-1,0,V3),

由直线BE与平面所成角为30°,

可得|cos<h,BE>\=cos(90°-30°)=|〔?==)

2j(V3t-^)2+(2t-|)2+t2

整理得：32?-36r+9=0,

解得t=[或t=)AE=tAP=--EP,

【点评】本题考查线面平行的判定和线面角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.

10.（2024•重庆模拟）如图，在四棱锥E-A8C。中，£C±¥ffiABCD,AB//DC,△ACD为等边三角形,

DC=2AB=2,CB=CE,点F为棱BE上的动点.

(1)证明：£>C_L平面BCE；

(2)当二面角尸-AC-8的大小为45°时，求线段CF的长度.

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直.

【专题】对应思想；综合法；空间角；数学运算.

【答案】(1)证明过程请见解答；(2)手.

【分析】(1)先结合余弦定理与勾股定理证明BC±AB,从而知BC±DC,再由EC，平面ABCD,得

ECLDC,然后利用线面垂直的判定定理，即可得证；

(2)过点F作FG//EC,交于G,过点G作GHLAC于H,连接FH,根据三垂线定理，可知/

GHF=45。，再利用△3CE是等腰直角三角形，找等量关系，求解即可.

【解答】(1)证明：因为△AC。为等边三角形，DC=2,

所以AC=2,ZACD=6Q°,

因为AB〃Z)C,

所以/8AC=NAG9=60°,

在△ABC中，由余弦定理知，BC2=AB2+AC2-2AB'ACcosZBAC^1+4-2X1X2x1=3,

所以BC2+AB2^AC2,即BC±AB,

所以BC_L£)C,

因为EC_L平面ABCZ),ABCD,所以EC_LDC,

又8CCEC=C,BC、ECu平面BCE,

所以。C_L平面BCE.

(2)解：过点尸作FG〃EC,交BC于G,过点G作GHLAC于H连接也，

因为EC_L平面ABC。，所以尸G_L平面AB。，

所以/G族就是二面角尸-AC-2的平面角，即NGH尸=45°,

所以GH=GF,

设GH=GF=t,

由（1）知，在RtZxABC中，AC=2AB,

所以/AC8=30°=ZHCG,

在RtACHG中，CG=2GH=2t,所以BG=BC-CG=V3-It,

因为CE_LCB,CB=CE,

所以△BCE是等腰直角三角形，

所以/CBE=45°,所以8G=GP=f,

所以旧—2f=f,即仁孚，

所以CF=7CG2+诲=J（竽尸+（苧尸=孚.

【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定与性质定理，二面角的定义与求法是

解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

考点卡片

1.空间中直线与直线之间的位置关系

【知识点的认识】

空间两条直线的位置关系：

位置关系共面情况公共点个数图不

相交直线在同一平面内有且只有一个

平行直线在同一平面内无

异面直线不同时在任何一个平无

面内

Z^7

2.直线与平面平行

【知识点的认识】

1、直线与平面平行的判定定理：

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.用符号表示为：若。仁式,

bua,a//b,贝!Ja//a.

2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直

线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行.即由线线平行得到线面平行.

1、直线和平面平行的性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

用符号表示为：若a〃a,au0,aA^>=b,贝!Ja〃氏

2、直线和平面平行的性质定理的实质是：

已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行.即由线面平行=线线平

行.

由线面平行今线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行.

正确的结论是：a//a,若bucc,则b与a的关系是：异面或平行.即平面a内的直线分成两大类，一类与

。平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条.

3.直线与平面垂直

【知识点的认识】

直线与平面垂直：

如果一条直线/和一个平面a内的任意一条直线都垂直，那么就说直线I和平面a互相垂直，记作Z±a,

其中/叫做平面a的垂线，平面a叫做直线/的垂面.

直线与平面垂直的判定：

(1)定义法：对于直线/和平面a,垂直于a内的任一条直线.

(2)判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.

(3)判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

直线与平面垂直的性质：

①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.符号表示为：G±a,b±a^a//b

②由定义可知：a_La,bca^a-Lb.

4.平面与平面垂直

【知识点的认识】

平面与平面垂直的判定：

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

平面与平面垂直的性质：

性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.

性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.

性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直.

5.直线与平面所成的角

【知识点的认识】

1、直线和平面所成的角，应分三种情况：

(1)直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；

(2)直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；

(3)直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°.

7T71

显然，斜线和平面所成角的范围是(0,-)；直线和平面所成的角的范围为[0,-].

2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题(空间问题)是通过斜线在平面内的射影转化为

两条相交直线的度量问题(平面问题)来解决的.具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的

环节：

(1)作--作出斜线与射影所成的角；

(2)证--论证所作(或找到的)角就是要求的角；

(3)算--常用解三角形的方法(通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形)求

出角.

(4)答--回答求解问题.

在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用.在直线与

平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想.

3、斜线和平面所成角的最小性：

斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是

斜线在平面上的射影.在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选

中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经

过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角.对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映

了斜线关于平面的“倾斜程度”.根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线

和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角.

用空间向量直线与平面所成角的求法：

(1)传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过

解直角三角形求得.

(2)向量求法：设直线/的方向向量为工平面的法向量为二直线与平面所成的角为0,3与京的夹角为(p,

则有sin0=