2025年高考数学总复习：利用导数研究函数的零点问题

第5课时利用导数研究函数的零点问题

核心考点提升“四能”

考点一

【例1】(2024•邢台模拟)已知函数/。)=2/—3d—12X+5.

⑴求/(x)的极值；

(2)讨论函数g(x)=f(x)—m的零点个数.

解：(1)由题意可得了(%)的定义域为R,/^)=6X2-6X-12=6(X+1)(X-2).

由广。)>0,得1或x>2;由/(%)<0,得一l<x<2,

所以/(x)在(一8,—1)和(2,+8)上单调递增，在(一1,2)上单调递减.

故/(x)极大值=/(—1)=12,f(x)极小值=/(2)=—15.

(2)由⑴可知/(%)在(一8,—1)和(2,+8)上单调递增，在(一1,2)上单调递减，/(—1)=12,

/(2)=-15.

当xf—8时，/a)f—8；当1f+8,y(x)->+°0.

/(%)的大体图象如图所示.

*

OIx

-15

令g(x)=f(x)—"2=0,则/(X)="Z.

当相>12或m<-15时，方程/(%)=根有且仅有1个实根，即函数g(jc)有1个零点；

当相=12或加=一15时，方程/(无)=%有2个实根，即函数g(x)有2个零点；

当一15<〃z<12时，方程/(x)="z有3个实根，即函数g(x)有3个零点.

综上所述，当机>12或机<—15时，g(x)有1个零点；当机=12或加=—15时，g(;c)有2

个零点；当一15<优<12时，g(x)有3个零点.

〉反思感悟

利用导数研究方程根(函数零点)的一般方法

⑴可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等来确定方程根的情况.

(2)根据题目要求，画出函数图象的走势，标明函数极(最)值的位置.

(3)数形结合去分析问题，可以使问题的求解过程有一个清晰、直观的整体展现.

多维训练

(2024・广东一模)已知0<«<1,函数/(为=竺『(无W0).

(1)求/(x)的单调区间.

(2)讨论方程/(x)=a的根的个数.

解：⑴求导得/a)=l_;_.1).

因为。>0,ex-a>0,

所以当/(x)<0时，x<l且xWO;当尸(x)>0时，x>l.

所以/(x)在(一8,0),(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

⑵①当x<0时，因为。>0,e厂“>0,所以/(x)=%<0<a

所以/(x)=a在(一8,0)上有0个根.

②当x>0时，由(1)得，x>0时，/(x)的最小值为/(l)=aei”

因为所以0<1—.所以e「">l.

所以/(l)=ae「">a.

所以/(x)=a在(0,+8)上有o个根.

综上所述，方程/(x)=a有0个根.

考点二由函数的零点个数求参数的范围

【例2】已知函数/(x)=e'—〃(尤+2).

⑴当。=1时，讨论/(尤)的单调性；

(2)若/(X)有两个零点，求a的取值范围.

解：(1)当a=l时，/(x)=e，一(x+2),广(x)=e，一1.

令广(无)<0,解得尤<0;令广(x)>0,解得x>0.

所以y(x)的单调递减区间为(-8,0),单调递增区间为(0,+°°).

(2)因为/(x)=e*—a(x+2),所以/(无)=3—4

若aWO,则f'(x)=ex-a>0在R上恒成立，

所以/(x)在R上单调递增，则最多只有一个零点，不符合题意.

若a>0,令/(x)=e“一a=0,得x=lna.

当xG(—8,In。)时，/(尤)<0;当尤G(lna,+0°)Ht,/,(x)>0.

所以/(x)在(一8,Ina)上单调递减，在(Ina,+8)上单调递增.

lna

所以/(x)min=/(lna)=e—a(lna+2)=—a(l+lna).

当无一+8时，/(x)>0,当X——8时，/(x)>0.

要使/(x)有两个零点，则/(尤)„m=/(Ina)<0,

即一a(l+lna)V0,所以即a的取值范围是&+8).

［变式］将本例中的函数改为“/(尤)=e，+ax—a(aGR且aWO)”，若函数/(劝不存在零点,

求实数。的取值范围.

解:f'(x)=e+a.

①当a>0时，f\x)>0,/(x)在R上单调递增，

且当x>l时，/(x)=e'+a(x-l)>0:

当尤<0时，取了=—5，则/(一0<1+。(_一_1)=一。<。，

所以函数/(x)存在零点，不满足题意.

②当a<0时，令/(彳)=炉+。=0,则x=ln(―a).

当xd(-8,ln(—a))时，f'(x)<Q,/(x)单调递减；

当xG(ln(—a),+8)时，f'(x)>0,/(x)单调递增.

所以，当％=ln(—〃)时，/(%)取得极小值，也是最小值.

函数/(x)不存在零点，等价于/(In(―〃))=e]n(-In(一〃)一〃=~2a+aIn(―(2)>0,

解得一

综上所述，实数〃的取值范围是(一e2,0).

A反思感悟

与函数零点有关的参数范围问题解题策略

(1)函数在定义域上单调，满足函数零点存在定理.

(2)若函数不是严格的单调函数，则求最小值或最大值时可以结合函数图象分析.

(3)分离参数后，数形结合，讨论参数所在直线与函数图象交点的个数.

多维训练.

(2024・潍坊模拟)已知函数/(x)=aInx—2五

(1)若。=2,求曲线y=/(x)在x=l处的切线方程；

⑵若函数/(x)在(0,16]上有两个零点，求a的取值范围.

解：⑴当。=2时，f(x)=21nx-2-^x,该函数的定义域为(0,+°°),/(x)=[—t，

所以f(l)=-2,r(1)=1,

因此，曲线y=/(x)在x=l处的切线方程为y+2=x—1,即龙一y—3=0.

(2)由题可得广(无)=卜前>0).

①当aWO时,广(x)=£—京<0,则/(无)在(0,

+8)上单调递减，不符合题意.

②当a>0时，由f(x)—uInx—2'\/^=0可得二=7'.

令g(x)=Jg(x>0),则直线尸:与曲线尸g(x)在(0,16]上有两个交点.

y/x_Inx

g'(x)=

2xy/x

令g，(%)=0,可得x=e2<16.

当工变化时，，(%),g(x)的变化情况如下表:

22

X(0,e2)e(e,16]

g'(x)+0一

2

g(x)单调递增单调递减

e

所以函数g(x)在区间(0,16］上的极大值为g(e?)=且g(16)=ln2,g(x)的大体图象如图所

示.

由图可知，当ln2W〃3,即当e<aW=-时，直线y=2与曲线y=g(x)在(0,16］上有两个交点,

aem2a

因此，实数〃的取值范围是(e,*).

考点三函数零点与极值点的偏移问题

【例3】已知函数/(x)=£1ln%.

⑴求了(%)的单调区间；

⑵当/(%1)=/(%2)(加<%2)时，求证：(%1+%2)>2.

(1)解：由题可得函数/(x)的定义域为(0,+-),/(x)=一需+品=匕*上

令g(x)=l—x2—2xlnx,则g〈x)=—2x—21nx—2=-2(x+lnx+l).

令/z(x)=-2(x+lnx+l),则〃(尤)=一2(1+：)=—9.

当无>0时，砥尤)<0,所以g'Cr)在(0,+8)上单调递减.

又g，(e-2)=—2(6—1)>0,g，⑴=—4<0,

所以电6©2,1),使得g，(xo)=O,

则当x£(0,沏)时,g'(%)>0;当-£(沏,+8)时,gXx)<0.

所以g(%)在(0,%。)上单调递增，在(xo,+8)上单调递减，所以g(x)在％o处取得极大值，也

是最大值，g(X)max=ga0)>g(l)=0.

又当x£(0,1)时，1——>0,-2xlnx>0,所以当x£(0,1)时，g(x)>0,即/(x)>0;

当工£(1,+8)时，g(x)<0,即尸⑴<0.

所以/(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+°°).

(2)证明：由(1)知，若/(即)=/(%2)(%1VX2),则0Vxi<1<X2.

要证XI+X2>2,只需证X2>2~XI即可.

因为0<为<1<%2,所以2—X1>1.

又/(x)在(1，+8)上单调递减，

所以只需证/(X2)</(2—Xl)即可.

因为/。1)=/。2),所以只需证/(%l)</(2—X1),

即证了(为)-7(2—乃)<0即可.

则需证%i+L、ln(2—xi)<0.

]+/3-x

又11%i>0,

所以只需证屿+唯二»<0,即证(3—xi)ln尤1+(1+尤i)ln(2一为)<0.

13—%

令尸(x)=(3—x)lnx+(l+x)ln(2—尤)(0<x<l),

则F(x)=-lnx+—+ln(2—尤)一上把.

x2~x

令G(x)=-Inx+—+ln(2-x)-—,则G,(x)=--------^-.<0,

x2~xxx22—xQ—%)

所以尸(x)在(0,1)上单调递减，F'(x)>F(l)=0.

所以尸(无)在(0,1)上单调递增，F(x)<F(l)=0.

所以(3—xi)ln尤i+(l+xi)ln(2—xi)<0.

原不等式得证.

►■反思感悟

对称化构造函数证明极值点偏移问题的关键

构造函数//⑴=/⑴一/^尤0—尤)，其中无0为函数/(x)的极值点，然后求导确定H(无)的单调性,

结合H(xo)=O确定H(x)的符号，再通过“X)的单调性得到结论.

多维训练.

若关于x的方程xInx=m有两个不相等的实数根xi，X2f求证：为%2<《(e是自然对数的底数).

证明：不妨设Xl>X2>0,要证X\X2<\,即证X1X2'(--

22

e\x2X]/e\x2X|/

整理得X1+；<X2+；.

2z

ex,ex2

又因为xilnxi=X21n%2,即证xilnxi—《X[+g)>X21nx2—Mx2+g)，%>0,

设h(x)=xInx-kx——,

e2x

要使X1>X2时，h(Xi)>h(X2),则/z(x)在(0,+8)上单调递增，

所以有“(功=111彳+1—％+120在(0,+8)上恒成立.

令H(x)=lnx+1~k+—,则H'(x)=l--(x>0).

e2x2xe2x3

令M(x)=0,解得x=%(x=二经舍去).

ee

易知当xd(o,W)时，H'(x)<0;当xd(W，+8)时，ff(x)>o,

所以〃(x)在(0,W)上单调递减，在(W，+8)上单调递增.

所以"(x)min=/?'(W)=；ln2左一%+；=如2k~2k+1).

令f/)=ln2左一2左+1,则//)=：—2.

令寅电>0,得ov^vg；令十期<0,得人>；,

所以f(左)在(0,；)上单调递增，在G，+8)上单调递减，函数*%)在左=;时取得极大值也是

最大值，又(：)=0,所以巡)=ln2A-2Z+1W0.

令9112A：—2左+1)20,得k二.

此时有〃(x)N0在(0,+8)上恒成立，原命题得证.

课时质量评价(二十)

1.(2024・南平模拟)已知函数/(x)=21nx—d+oxmeR).

(1)当。=1时，求函数/(尤)在(1,/(I))处的切线方程；

⑵若函数/(尤)的图象与直线y=ax—。在R,e］上有两个不同的交点，求实数。的取值范围.

解：(1)当a=l时，/(x)=21nx-x2+x(x>0),

所以广(%)=：—2x+l.

因为/(1)=0,

所以切点坐标为(1,0),切线斜率为尸(1)=1,

所以切线方程为y—o=l(x—1),即y=x~l.

(2)由题知/(x)=21nx~x2+ax(a^R),函数/(%)的图象与直线y=ax~a在卜,e］上有两个不

同的交点.

令g(x)=/(%)-y=21nx—x2+tz(x>0),所以g'(%)=|—2x=2(.+：)(x_Q.

因为E，e］，

所以令g'(x)=0,得x=l,

所以当时，，(x)>0,g(x)单调递增；当1cxWe时，g，(x)<0,g(x)单调递减，

所以g(%)=21nx一炉+〃在卜，e］上有最大值g(l),g(l)=a—1.

因为g(，=〃一2一3，g(e)=i+2—e2,

所以g(e)<gQ,

=a-2——WO,

e2

解得1<〃W2+二

e2

所以实数4的取值范围为(1,2+g).

2.(2024・通辽模拟)已知函数/a)=—x3+x2+x+〃(〃£R).

⑴求函数/(x)的极值点;

⑵若函数/(%)有且只有两个零点，求实数。的值.

解：(1)因为/任)=一丁+/+工+〃(〃£区)，所以尸(x)=—3/+2x+l=(3x+l)(—x+l).

令/(%)>0,解得一；4<1;令尸(x)V0,解得x>l或1v—g,

所以/(X)在(一8,—(1,+8)上单调递减，在(一；，1)上单调递增，

所以/(x)的极小值点是一：，极大值点是1.

(2)函数/(X)有且只有两个零点，令/(x)=0,则(一Jj+V+x：—〃.令g(x)=-x3+x2+x,即

y=g(x)与y=-a的图象有两个交点.

由(1)分析知g(x)在(一8,—0,(1,+8)上单调递减，在(一；，1)上单调递增，g(x)的大

致图象如图所示.

要使函数/(%)有且只有两个零点,,解得a=-1或t7=—.

3.(2024・江门模拟)已知函数/a)=(x+(l)eO—〃(〃£R).

⑴求/(x)的极值；

(2)若/⑴有两个零点，求实数。的取值范围.

解：(1)函数/(幻的定义域为R,尸(%)=(%+2)-

令尸(x)V。,得X<—2;令/(x)>0,得％>—2,

所以/(x)在区间(一8,—2)上单调递减，在区间(一2,+8)上单调递增.

所以当X=—2时，/(x)有极小值7(—2)=一5一a,无极大值.

(2)函数/(x)=(x+l)ex—a有两个零点，

取g(x)=(x+l)e",则直线y=a与函数y=g(x)的图象有两个交点.

gG)=a+2)e%,

令g'(x)V0,得x<—2;令g%x)>0,得％>—2,

所以g(x)在区间(一8,—2)上单调递减，在区间(一2,+8)上单调递增.

因为g(—1)=0,g(—2)=—1，

当x<—1时，g(x)<0,当x>—1时，g(x)>0,

当工——8时，g(X)->0,当Xf+8时，g(x)—+°0,

所以函数g(x)的大致图象如图所示.

8(#=(%+1户

-2/

"-To

结合图象可知，当一(<〃<0时，直线>=〃与函数y=g(x)的图象有两个交点，即/(X)有两个

零点，

故实数a的取值范围为(一：，0).

4.已知函数/(x)=x—lnx+M,g(x)=：.

⑴若函数/(%)和g(x)的图象都