2023届高考数学一轮复习模拟卷（三）（新高考版）

2023届高考数学一轮复习收官卷（三）（新高考版）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.）

1.（2022・广东肇庆•高三阶段练习）同时满足以下三个条件的一个复数是（）

①复数在复平面内对应的点位于第三象限；②复数的模为5；③复数的实部大于虚部.

A.4-3iB.-2-iC.-3-4iD.-4-3i

2.（2022•江苏南京・高一阶段练习）已知集合Af={xeZ|（x-l）（x+2）,,0},N=[y\y=2n-1,neM）,

则McN中元素个数为（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2022・全国•高一课时练习）在平面a内和这个平面的斜线/垂直的直线（）

A.只有一条B.可能一条也没有C.可能有一条也可能有两条D.有无数多条

4.（2022•广东珠海.高三阶段练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小

正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为打（0°<«<45。），且小正方形与大正

方形的面积之比为1:4,贝ijtan（z=（）

A4-V7口4+A/7「4+币4-77

3355

22

5.（2022•江苏南通・高三期中）过双曲线鼻-2=1的右顶点作x轴的垂线与两渐近线交于两点，这两个点

ab'

与双曲线的左焦点恰好是一个正三角形的三顶点，则双曲线的离心率为（）

A.V2B.2C.73D.4

6.（2022・河南・安阳一中高三阶段练习（文））如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图，空气质

量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法不正确

的是（）

A.这16日空气重度污染的频率为

B.该市出现过连续4天空气重度污染

C.这16日的空气质量指数的中位数为203

D.这16日的空气质量指数的平均值大于200

7.（2022.贵州.贵阳一中高三阶段练习（理））油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为

宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览

场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2,当阳光与地面夹角为60。时，

在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e,则《=（）

A.1B.7373-5C.73-272D.小］一2后

8.（2022.上海市进才中学高三期中）已知等差数列｛%｝（公差不为零）和等差数列也｝的前〃项和分别为

S”、T”,如果关于x的实系数方程2023/一S2O23X+G3=。有实数解，那么以下2023个方程

/―。/+4=。（，=1,2,3广.,2023）中，有实数解的方程至少有（）个

A.1009B.1010C.1011D.1012

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.（2022・广东清远•高二期中）若（1+〃觊）8=%+/尤+°2尤2H-----且2H---------------^08=255,则实数%的值

可以为（）

A.-3B.-1C.0D.1

10.（2022・广东•福田外国语高中高三阶段练习）已知平面向量@=。,0）,5=（1,273）,则下列说法正确的

是（）

A.\a+b\=l6B.（苕+B）•万=2

C.向量口+5与日的夹角为30°D.向量万+B在商上的投影向量为2。

11.（2022・湖北•宜城市第一中学高二期中）已知G：（尤一l）2+（y-a）2=9与圆C2：（x-a）2+（y+l）2=l有四

条公切线，则实数。的取值可能是（）

A.-3B.-2C.2D.3.

12.（2022•重庆・西南大学附中高三阶段练习）已知正方体4BCD-A4GA的棱长为2,E为线段AA的中

点，AP=AAB+^iAD,其中4,//G[0,1],则下列选项正确的是（）

A.〃=g时，A1P±EDX

B.2时，4P+PD的最小值为历

c.彳+〃=1时，直线片尸与面42E的交点轨迹长度为正

2

7T

D.4+4=1时，AP与平面A与G2所成的角不可能为1

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分,其中第16题第一空2分,第二空3分.）

13.（2022.上海大学附属南翔高级中学高三期中）若无＞0,则―+2X+4的取值范围是.

X

14.（2022.福建省福州格致中学高三期中）写出一个同时具有下列性质①②③的函数〃x）：.

①/（千2）=/（石）+/（々）；②当xe（0,+co）时，f'（x）＜0；③/'（X）是奇函数.

15.（2022.广东•广州大学附属中学高三阶段练习）数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究

一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在嗓音

工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数。，若存在一个整数

无，使得"整除则称。是”的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中机抽取

一个整数d记事件A=Z与12互质"，8=、是12的二次非剩余”，则尸（3|A）=.

k

16.（2022•辽宁・东北育才学校二模）已知函数f（x）=31nx-",若/⑺在定义域内为单调递减函数，

x

3e

则实数左的最小值为;若左＞0,3x0e[l,e],使得/（%）+一＜°成立，则实数上的取值范围为

玉）

四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.）

17.（2022•浙江・嘉兴一中高二期中）已知数列｛%｝满足：q=2%（“22,〃"*）,%=4,数列｛2｝的前〃项和

1

Sn=2n-n.

（1）求数歹£见｝,｛〃,｝的通项公式；

⑵设3=b„-an，求数列匕｝的前n项和Tn.

18.（2022•甘肃•模拟预测）如图，在三棱台。EF—ABC中48=2。及6,“分别为4（7,8（7的中点.

⑴求证：平面尸GH;

⑵若CF_L平面ABC,A8_LBC,CP=OE,/BAC=45。,求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.

19.（2022•四川省泸县第二中学模拟预测（理））共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数

据显示，某站点6天的使用单车用户的数据如下，用两种模型①y=6x+。；②y=b6+。分别进行拟合，

得到相应的回归方程%=10.7x+3.4,%=35.56-22.8,进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量

的值：（残差=真实值-预测值）

日期X（天）123456元=3.5

y=41

用户y（人）132243455568

6

Z%X=1049

模型①的残差值mi=\

6

登2=91

模型②的残差值ni=l

（l）（i）求表格中m,力的值；

（ii）残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好.根据表中数据，比较模型①，②的拟合效果，应

选择哪一个模型？并说明理由；

（2）残差绝对值大于3的数据认为是异常数据，需要剔除，剔除异常数据后，重新求出（1）中所选模型的回

归方程.

-E&-可（％-刃Zxiyi-rixy

（参考公式：-----------T--------------,a=y-bx）

之（西-可2tX-位2

i=li=l

20.（2022・四川・盐亭中学模拟预测（文））在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知向

量加，加满足机=(2a,#),，z=S,&sinB),S.m//n-

⑴求角A；

(2)若AABC是锐角三角形，且。=2,求8+c的取值范围.

21.(2022•浙江.模拟预测)如图，抛物线C：x2=2py(p>0),过抛物线焦点尸的直线与抛物线交于4台两

点，0为坐标原点，满足0408=-弓，过抛物线准线/上一点P,作抛物线的切线PQ,QRyPQ,且与

16

抛物线交于点R.

(1)求抛物线C的方程；

(2)记△POQ的面积为S,,AROQ的面积为.求S/S2的取值范围.

22.(2022.河南省淮阳中学模拟预测(理))已知函数〃x)=21n(x-l)+在左eR).

(1)若x=2是〃x)的一个极值点，求“X)的极值；

(2)设〃的极大值为//(%),且有零点，求证：左伍-1)2一备.

2023届高考数学一轮复习收官卷（三）（新高考版）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.）

1.（2022.广东肇庆.高三阶段练习）同时满足以下三个条件的一个复数是（）

①复数在复平面内对应的点位于第三象限；②复数的模为5；③复数的实部大于虚部.

A.4-3iB.-2-iC.-3-4zD.-4-3i

【答案】C

2.（2022・江苏南京・高一阶段练习）已知集合〃={.丫€2|（%-1）（%+2）,,0},N={y\y=2n-l,n&M},

则McN中元素个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

3.（2022.全国•高一课时练习）在平面a内和这个平面的斜线/垂直的直线（）

A.只有一条B.可能一条也没有C.可能有一条也可能有两条D.有无数多条

【答案】D

4.（2022.广东珠海.高三阶段练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小

正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为。（0°</<45。），且小正方形与大

正方形的面积之比为1:4,贝hang=（）

A4-百口4+夕-4+不„4-近

3355

【答案】A

22

5.（2022•江苏南通•高三期中）过双曲线鼻-1=1的右顶点作x轴的垂线与两渐近线交于两点，这两个

ab

点与双曲线的左焦点恰好是一个正三角形的三顶点，则双曲线的离心率为（）

A.&B.2C.73D.4

【答案】B

6.（2022.河南・安阳一中高三阶段练习（文））如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图，空气质

量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法不正

确的是（）

A.这16日空气重度污染的频率为

B.该市出现过连续4天空气重度污染

C.这16日的空气质量指数的中位数为203

D.这16日的空气质量指数的平均值大于200

【答案】D

7.（2022.贵州.贵阳一中高三阶段练习（理））油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为

宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览

场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2,当阳光与地面夹角为60°

时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e,则0=

（）

A.1B.86-5C.,3-2夜D.77-273

【答案】B

8.（2022・上海市进才中学高三期中）己知等差数列｛%｝（公差不为零）和等差数列也,｝的前〃项和分别

为S"、T",如果关于x的实系数方程2023/一506+加3=。有实数解，那么以下2023个方程

%2-外+2=01=1,2,3广.,2023）中，有实数解的方程至少有（）个

A.1009B.1010C.1011D.1012

【答案】D

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.（2022・广东清远•高二期中）若+=%+%了+的必+…+为X8且4+的+…+/=255,则实数根的

值可以为（）

A.-3B.-1C.0D.1

【答案】AD

10.（2022・广东・福田外国语高中高三阶段练习）已知平面向量前=。,0）,5=（1,2君），则下列说法正确的

是（）

A.\a+b\=Y6B.-a=2

C.向量力+B与力的夹角为30°D.向量在往上的投影向量为2万

【答案】BD

11.（2022・湖北•宜城市第一中学高二期中）已知£:（尤-l）2+（y-a）2=9与圆C2：（x-a）2+（y+l）2=l有四

条公切线，则实数。的取值可能是（）

A.-3B.-2C.2D.3.

【答案】AD

12.（2022•重庆・西南大学附中高三阶段练习）已知正方体A3CD-A耳6,的棱长为2,E为线段的中

点，AP=AAB+juAD,其中%，〃目0』］,则下列选项正确的是（）

A.〃=；时，AP±ED1

B.时，4尸+尸。的最小值为旧

C.几+〃=1时，直线A£与面瓦RE的交点轨迹长度为YI

2

77

D.彳+〃=1时，AP与平面A£GA所成的角不可能为§

【答案】ABD

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）

13.（2022・上海大学附属南翔高级中学高三期中）若x>0,则―+2X+4的取值范围是.

X

【答案】［6,+8）

14.（2022•福建省福州格致中学高三期中）写出一个同时具有下列性质①②③的函数/⑺：.

。/（卒2）=/（%）+/（%）;②当xe（0,+8）时，f\x）<0；③/'（x）是奇函数.

【答案】7（无）="g”xl（答案不唯一）

2

15.（2022•广东・广州大学附属中学高三阶段练习）数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究

一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在嗓音

工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数a,n（n>2）,若存在一个整

数X,使得〃整除.长-0,则称a是〃的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中机抽

取一个整数。，记事件A=、与12互质”，3=%是12的二次非剩余”，则P（B|A）=.

【答案】|

k

16.（2022•辽宁・东北育才学校二模）已知函数/（无）=31nx-h+—,若/⑺在定义域内为单调递减函数，

x

则实数人的最小值为;若左＞0,七使得+主＜。成立，则实数%的取值范围为

xo

【答案】I[fp+H

四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（2022•浙江•嘉兴一中高二期中）已知数列｛叫满足：°“=2%（心2,"€叱）,q=4,数列色｝的前〃项和

2

Sn=2n—n.

（1）求数歹U｛%｝,｛2｝的通项公式；

⑵设Cn=bn-an，求数列｛g｝的前n项和Tn.

【答案】⑴%=2"-也=4〃-3

（2）/=（4〃-7＞2"+7

【详解】（1）解:由题知。“=2a,T（〃22,〃eN*）,

—4,..q=1,

，｛凡｝是以2为公比的等比数列，

%=2"\

2

Q也｝的前"项和Sn=2»-n,

，心2时也=S.-

=2rr—n—2｛n—\）~+（n—1）

=4〃-3

当”=1时,S=1=仇，

故么=4〃-3,

综上:%=2"L勿=4M-3；

（2）由⑴知%=2"-也=4〃-3,

，c“=6j%=（4〃-3）-2"，

.口—+C2+C3+…+%+c“

=1.20+5-2'+9-22+...+（4«-7）-2,,-2+（4«-3）-2^1,0

231,1

2Tn=1-2'+5-2+9-2+---+(4W-7)-2^+(4M-3)-2

②-①可得：

23

T1t=-1-4-21-4-2-4-2------4-2"一+(4"-3)-2”

=-1--------+（4?;-3）-2"

=（4〃-7>2”+7

故（=（4"-7）2+7.

18.（2022・甘肃•模拟预测）如图，在三棱台。EF—ABC中瓦G,//分别为AC,BC的中点.

（1）求证：BD〃平面FGH;

⑵若C旦L平面A3C,A8_LBC,C尸NA4C=45。,求平面PG8与平面ACPD所成的角（锐角）的大小.

【答案】（1）证明见解析

（2）60°

【详解】（1）证明:连接。GCD,设CDcGb=O,连接OH,

在三棱台DEF—ABC中,AB=2£>E,G为AC的中点，

可得爪〃GC,Db=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.

则。为C。的中点，又//为BC的中点，所以次〃困）,

又OHu平面FGH,BD.平面FGH,所以5。〃平面FGH.

在三棱台。斯一ABC中,G为AC的中点，由。尸=gAC=GC,

可得四边形DGCF为平行四边形，因此OG〃尸C,又尸C,平面ABC,

所以OG_L平面ABC.在AABC中，由AB_LBC,/BAC=45o,G是AC中点.

所以ABnBCGBLGC,因此GB,GC,GD两两垂直.

以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.

所以G（0,0,0）,2（忘,0,0）,C（0,也,0）,0（0,0,1）.

可得"4,4，。],网0,行,1卜故而=[¥，q，o],存=（。，血，1）.

I22）（22）

一n-GH=0[x+y=0

设〃=（x,y,z）是平面厂GH的一个法向量，则由＜―,，可得《厂

而GF=0，2y+z=0

可得平面FGH的一个法向量3=（1,-1,V2）.

因为说是平面ACF。的一个法向量，丽=（0,0,01

GBn_后_1

所以cos(G3•九

网*运=1•

所以平面尸GH与平面AC"）所成角（锐角）的大小为60。.

19.（2022•四川省泸县第二中学模拟预测（理））共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数

据显示，某站点6天的使用单车用户的数据如下，用两种模型①y=bx+a；②y=6«+a分别进行拟合,

得到相应的回归方程%=1。-7》+3.4,%=35.5«-22.8,进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计

量的值：（残差=真实值-预测值）

日期X（天）123456元=3.5

y=41

用户y（人）132243455568

6

=1049

i=\

模型①的残差值m

6

i，x，=91

模型②的残差值ni=l

（l）（i）求表格中m,n的值;

（ii）残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好.根据表中数据，比较模型①，②的拟合效果，应

选择哪一个模型？并说明理由；

(2)残差绝对值大于3的数据认为是异常数据，需要剔除，剔除异常数据后，重新求出(1)中所选模型的

回归方程.

-XU一可(％-刃Sx^-rixy

(参考公式：吞=------------=---------,a=y-bx)

支(%-可2^xf-nx2

Z=1Z=1

【答案】(1)(i)777=7.5,«=-3.2；(ii)应该选模型①，理由见解析;

⑵y=15+卜

(l)(i)%=10.7x3+3.4=35.5,故〃2=43-35.5=7.5；

%=35.5x6-22.8=48.2,故a=45-48.2=-3.2.

(ii)应该选择模型①，理由如下：

模型①的残差值的绝对值之和为Ll+Z8+7.5+L2+1.9+0.4=14.9,

模型②的残差值的绝对值之和为03+54+4.3+3.2+1.6+3.8=18.6.

由，则模型①的拟合效果较好，应该选模型①.

⑵剔除异常数据，即剔除第3天的数据后，Wx=1(3.5x6-3)=3.6,y=1(41x6-43)=40.6,

5

=1049-3x43=920,

z=l

£尤；=91-3。=82

i=i

A卒"一卬920-5x3,6x40.6

,・.b=-..................=------------------------a=y-t>x=40.6-11x3.6=1.

£24―282—5x3.6x3.6

2A-5x

4=1

.♦•y关于尤的回归方程为y=llx+L

20.(2022•四川•盐亭中学模拟预测(文))在44BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知向

量加,，九满足机=(2a,遍)，77=0,72sinB),且机〃

(1)求角A;

(2)若AABC是锐角三角形，且a=2,求人+c的取值范围.

【答案】(1)。或g

(2)(273,4]

(1)因为m=(2久n)，n=(b,y/2sinB),且根〃几，所以2a夜sin5=痛。，BP2asinB=y[3b.

在△ABC中，由正弦定理得2sinAsin3=A^sinB,而sin5>0,所以sinA=，又OVAVTI，所以A=§或？~,

⑵因为是锐角三角形，所以Ag所以c=。"又。<八%且。d-24所以表2小

b_c_a_2_4A/3厂

c=4c-n3")

由a=2及正弦定理得sinBsinCsinA63，贝1=

T,333

4^/3

所以力+c=——sinB+sinsinB+—cosB+-sinBsinB+—cosB=4sinY,

3222

7

-，“兀八兀27trp[yj3<sin[B+-^-j<l,故2A/3<b+c<4

3632

所以6+c的取值范围(20,4].

21.(2022•浙江•模拟预测)如图，抛物线C：尤2=2外(〃>0),过抛物线焦点下的直线与抛物线交于4,3

—,—.3

两点，。为坐标原点，满足04。3=-7,过抛物线准线/上一点尸，作抛物线的切线尸。，QRrPQ,且

16

与抛物线交于点R.

(1)求抛物线C的方程；

(2)记△尸。。的面积为H,AROQ的面积为邑.求S「邑的取值范围.

【详解】⑴设尸[0,ACwJKx?,%),则A2：y=c+g

_P_

kx+12

联立<>2n尤2_2pkx-p=0=>xTx2=—p,

52=2py

xx

TH7)D3(i2)321

OAOB^--=%尤2+%%=益尤2「PnP=k

1。4P42

x1=y

(2)设尸b-ljoH.ysbKaQjPQfnMx-。-；,

、,、y=kx—kt—7,(1、八

联立<4=>^—kx+\k1t+—\=O,

二y

kk2、

/.k2=4kt+1,可得。—r

247

2

QR-y=-\kky=2

x~~+丁，联立，T~^x+-x-

K

X2=yk4

1

x+x=一■-,

34k

1k

-+—，乂，而OQ：依-2)=0,

k2

若4,4分别表示P,R到直线OQ的距离,