江西省南昌市东湖区南昌市心远中学2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．1，2，5 B．2，2，4 C．2，3，5 D．2，3，42．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．若（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6，则m等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．14．如图，已知BC＝BD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（）A．AC＝AD B．∠ABC＝∠ABD C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB第4题第5题第6题5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，根据尺规作图保留的痕迹，判断下列结论错误的是（）A．AD是∠BAC的平分线 B．AD＝BD C．AD＝2CD D．2S△ABD＝3S△ACD6．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（）°（点A，B，P是网格交点）．A．30 B．45 C．60 D．75二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠C＝．8．计算：（15y2﹣5y）÷5y＝．9．若2x﹣5y＝3，则代数式4+4x﹣10y的值是．10．如图，已知直线l经过点（0，﹣1）并且垂直于y轴，若点P（﹣3，2）与点Q（a，b）关于直线l对称，则a+b＝．11.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，且CD＝5，AD＝13，直线EF是边AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为．12．如图，在正方形ABCD中，将线段AD绕点A逆时针旋转α°（0＜α＜180）得到线段AE，连接BE、CE．若△EBC是等腰三角形，则α＝．第10题第11题第12题三、（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）13．分解因式：（1）x3﹣9x（2）3x2﹣6xy+3y214．先化简，再求值：（2x+1）2﹣x（x﹣1）+（x+2）（x﹣2），其中x＝1．15．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，2），B（﹣4，0），C（﹣3，﹣2）．（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△DEF，其中点A与点D对应，点B与点E对称；（2）连接CD，CE，则△CDE的面积为．16．作图：（1）已知：四边形ABCD是等腰梯形，请你用无刻度直尺作出它的对称轴；（2）如图，BE＝AE，AF＝CF，EM⊥AB，NF⊥AC于点M、N，请你用无刻度直尺作出△ABC边BC上中线．17．如图，△ABC中，AB＝AC，DE是腰AB的垂直平分线．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；（2）若AB＝9，BC＝5，求△BDC的周长．四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）18．四个全等的长方形（长a，宽b，且a＞b）既可以拼成一个大的长方形（如图1），也可以拼成一个正方形（如图2），通过观察可以发现图2中间空白的部分的面积是（a﹣b）2．（1）继续观察，请你直接写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的数量关系：；（2）根据你得到的关系式解答下列问题：若x+y＝﹣4，xy＝3，求x﹣y的值．19．如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．（1）求证：OC平分∠MON；（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长．20.已知：如图所示，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1.5cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）21．我们定义：如图1，在四边形ABCD中，如果∠A＝α，∠C＝180°﹣α，对角线BD平分∠ABC，我们称这种四边形为“分角对补四边形”．（1）特例感知：如图1，在“分角对补四边形”ABCD中，当α＝90°时，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝DC，这个性质是；（填序号）①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理．（2）猜想论证：如图2，当α为任意角时，猜想DA与DC的数量关系，并给予证明；（3）探究应用：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．22.阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值；（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．（本大题共12分）23.如图1，在平面直角坐标系中，A、B坐标为（6，0）、（0，6），P为线段AB上的一点（1）如图1，若S△AOP＝12，求P的坐标（2）如图2，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1cm/s，则在M、N运动的过程中，线段PM、PN之间有何关系？并证明（3）如图3，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别与F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．1，2，5 B．2，2，4 C．2，3，5 D．2，3，4【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项逐一分析即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：A、1+2＜5，不能组成三角形，故此选项不符合题意；B、2+2＝4，不能组成三角形，故此选项不合题意；C、2+3＝5，不能组成三角形，故此选项不符合题意．D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，掌握判断能否组成三角形的简便方法是：较小的两个数的和是否大于第三个数．2．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念，进行判断即可；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项符合题意；B．该图形是轴对称图形，故此选项不合题意；C．该图形是轴对称图形，故此选项不合题意；D．该图形是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：A．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．3．若（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6，则m等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【分析】先利用多项式乘多项式法则求出（x+2）（x﹣3），再根据（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6求出m．【解答】解：∵（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6，又∵（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6，∴x2﹣x﹣6＝x2+mx﹣6．∴m＝﹣1．故选：C．4．如图，已知BC＝BD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（）A．AC＝AD B．∠ABC＝∠ABD C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB【分析】要判定△ABC≌△ABD，已知BC＝BD，AB是公共边，具备了两组边对应相等，故添加AC＝AD、∠ABC＝∠ABD、∠C＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ABD，而添加∠CAB＝∠DAB后则不能．【解答】解：A、添加AC＝AD，根据SSS，能判定△ABC≌△ABD，故A选项不符合题意；B、添加∠ABC＝∠ABD，根据SAS，能判定△ABC≌△ABD，故B选项不符合题意；C、添加∠C＝∠D＝90°时，根据HL，能判定△ABC≌△ABD，故C选项不符合题意；D、添加∠CAB＝∠DAB，SSA不能判定△ABC≌△ABD，故D选项符合题意；故选：D．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，根据尺规作图保留的痕迹，判断下列结论错误的是（）A．AD是∠BAC的平分线 B．AD＝BD C．AD＝2CD D．2S△ABD＝3S△ACD【分析】根据直角三角形30度的性质，等腰三角形的判定，等高模型一一判断即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，由作图可知AD是∠CAB的角平分线，∴∠CAD＝∠BAD＝30°，∴∠B＝∠BAD＝30°，∴AD＝DB，∵∠C＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD，∴BD＝2CD，∴S△ABD＝2S△ACD，∴选项A，B，C正确，选项D错误．故选：D．【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（）°（点A，B，P是网格交点）．A．30 B．45 C．60 D．75【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠C＝80°．【分析】利用三角形内角和定理结合条件可求得答案．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，∴设∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝4x°，由三角形内角和定理可得：2x+3x+4x＝180，解得x＝20，∴∠C＝4x°＝80°，故答案为：80°．8．计算：（15y2﹣5y）÷5y＝3y﹣1．【分析】根据整式的除法运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝15y2÷5y﹣5y÷5y＝3y﹣1，故答案为：3y﹣1．【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．9．若2x﹣5y＝3，则代数式4+4x﹣10y的值是10．【解答】解：原式＝4+4x﹣10y＝4+2（2x﹣5y），∵2x﹣5y＝3，∴原式＝4+2×3＝10．故答案为：10．10．如图，已知直线l经过点（0，﹣1）并且垂直于y轴，若点P（﹣3，2）与点Q（a，b）关于直线l对称，则a+b＝﹣7．【分析】根据轴对称的性质可得a＝﹣3，﹣1﹣b＝2﹣（﹣1），从而可得b的值，进一步求解即可．【解答】解：∵点P（﹣3，2）与点Q（a，b）关于直线l对称，又∵直线l经过点（0，﹣1）并且垂直于y轴，∴a＝﹣3，﹣1﹣b＝2﹣（﹣1），∴b＝﹣4，∴a+b＝﹣3+（﹣4）＝﹣7，故答案为：﹣7．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．11．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，且CD＝5，AD＝13，直线EF是边AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为18．【分析】由EF垂直平分线段AC，推出MA＝MC，推出DM+MC＝AM+MD，可得当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，最小值就是线段AD的长，即可求解．【解答】解：连接MA，∵EF垂直平分线段AC，∴MA＝MC，∴DM+MC＝AM+MD，∴当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，∵AD＝13，∴DM+MC的最小值就是线段AD的长，∴△CDM周长的最小值为DM+MC+CD＝13+5＝18，故答案为：18．【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．12．（3分）如图，在正方形ABCD中，将线段AD绕点A逆时针旋转α°（0＜α＜180）得到线段AE，连接BE、CE．若△EBC是等腰三角形，则α＝30°或60°或150°．【分析】分EB＝BC或EB＝BC或EB＝EC，三种情形，分别画出图形，利用正方形和等腰三角形的性质即可得出答案．【解答】解：如图，当EB＝BC时，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD，由旋转的性质得AE＝AD＝AB＝BC＝EB，∠DAB＝90°，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝60°，∴∠DAE＝150°，即a＝150°；如图，当EB＝BC时，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD，由旋转的性质得AE＝AD＝AB＝BC＝EB，∠DAB＝90°，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝60°，∴∠DAE＝30°，即a＝30°；如图，当EB＝EC时，连接DE，∴E在线段BC的垂直平分线上，∴ED＝AE，由旋转的性质得AE＝AD＝DE，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，即a＝60°，当CE＝BC＝AD时，此种情况不存在，综上所述，a的值为：30°或60°或150°，故答案为：30°或60°或150°．【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键．三、（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）13．分解因式：（1）x3﹣9x；（2）3x2﹣6xy+3y2【解答】解：（1）x3﹣9x＝x（x2﹣9）＝x（x+3）（x﹣3）．-------------------------------------3分（2）3x2﹣6xy+3y2＝3（x2﹣2xy+y2）＝3（x﹣y）2；-------------------------------------6分14.先化简，后求值：（2x+1）2﹣x（x﹣1）+（x+2）（x﹣2），其中x＝1．解：原式＝4x2+4x+1﹣（x2﹣x）+（x2﹣4），＝4x2+4x+1﹣x2+x+x2﹣4，＝4x2+5x﹣3，-------------------------------4分∵x＝1，∴4x2+5x﹣3=6，-------------------------------6分【点评】此题考查了整式的化简及化简求值运算，熟练掌握运算法则及整体代入思想是解题的关键．15．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，2），B（﹣4，0），C（﹣3，﹣2）．（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△DEF，其中点A与点D对应，点B与点E对称；（2）连接CD，CE，则△CDE的面积为．【分析】（1）根据轴对称的性质找出对应点即可求解；（2）根据割补法即可求解．【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求；-------------------------------3分（2）图中连接了CD、CE，△CDE的面积为7×4﹣×7×2﹣×3×2﹣×4×4＝10，-------------------------------6分16．作图：（1）已知：四边形ABCD是等腰梯形，请你用无刻度直尺作出它的对称轴；-------------------------3分（2）如图，BE＝AE，AF＝CF，EM⊥AB，NF⊥AC于点M、N，请你用无刻度直尺作出△ABC边BC上中线．-------------------------------6分2.【分析】（1）连接AC、BD，它们相交于点O，延长BA、CD，它们相交于P点，利用等腰梯形的性质可判断PO垂直平分AD、BC，从而得到直线OP满足条件；（2）利用等腰三角形的性质得到M点为AB的中点，N为AC的中点，连接CM、BN，它们相交于Q，则Q点为三角形△ABC的重心，延长AQ交BC于D，则AD为BC边上的中线．【解答】解：（1）如图1，直线PO为所作；（2）如图2，AD为所作．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了等腰梯形的性质和线段垂直平分线的性质．17．如图，△ABC中，AB＝AC，DE是腰AB的垂直平分线．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；（2）若AB＝9，BC＝5，求△BDC的周长．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】（1）30°；（2）14．【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝70°，∠ABD＝40°，进而可得∠DBC；（2）由垂直平分线的性质可得AD＝DE，所以BD+DC＝AC，可得△BDC的周长＝AC+BC．【解答】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝＝70°．∵DE是腰AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∠DBA＝∠A＝40°，∴∠DBC＝70°﹣40°＝30°；----------------------------3分（2）由（1）得：AD＝BD，∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝AB+BC＝9+5＝14．答：△BDC的周长是14．-------------------------------6分【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练的掌握线段垂直平分线的性质定理是解题关键．四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）18．四个全等的长方形（长a，宽b，且a＞b）既可以拼成一个大的长方形（如图1），也可以拼成一个正方形（如图2），通过观察可以发现图2中间空白的部分的面积是（a﹣b）2．（1）继续观察，请你直接写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的数量关系：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2）根据你得到的关系式解答下列问题：若x+y＝﹣4，xy＝3，求x﹣y的值．【分析】（1）根据题意可得，可得空白部分的面积等于边长为（a+b）的正方向面积减去长为a，宽为b的长方形面积，计算即可得出答案；（2）根据（1）中的结论进行计算即可得出答案．【解答】解：（1）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；-------------------------------3分（2）根据题意可得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝（﹣4）2﹣4×3＝4，-------------------------------5分∴x﹣y＝±2，即x﹣y的值是±2．-------------------------------8分（少一个答案扣2分）【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键．19．如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．（1）求证：OC平分∠MON；（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理推出Rt△ADC≌Rt△BEC，根据全等三角形的性质得出CD＝CE，再得出答案即可；（2）根据全等三角形的性质得出AD＝BE＝3，根据全等三角形的判定定理推出Rt△ODC≌Rt△OEC，根据全等三角形的性质得出OD＝OB，再求出答案即可．【解答】（1）证明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，在Rt△ADC和Rt△BEC中，，∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），∴CD＝CE，∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴OC平分∠MON；-------------------------------4分（2）解：∵Rt△ADC≌Rt△BEC，AD＝3，∴BE＝AD＝3，∵BO＝4，∴OE＝OB+BE＝4+3＝7，∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴∠CDO＝∠CEO＝90°，在Rt△DOC和Rt△EOC中，，∴Rt△DOC≌Rt△EOC（HL），∴OD＝OE＝7，∵AD＝3，∴OA＝OD+AD＝7+3＝10．-------------------------------8分【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质等知识点，能熟记到角两边距离相等的点在角的平分线上是解此题的关键．20.已知：如图所示，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1.5cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【考点】等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据等边三角形的判定得：BP＝BQ，列等式可得t的值；（2）分两种情况：当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，则6﹣2t＝3t，②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，则1.5t＝2（6﹣2t），分别求出t的值．【解答】解：（1）由题意可知AP＝2t，BQ＝1.5t，则BP＝AB﹣AP＝6﹣2t，当△PBQ为等边三角形时，则有BP＝BQ，即6﹣2t＝1.5t，解得，即当t＝时，△PBQ为等边三角形；-------------------------------3分（2）当∠BQP＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴在Rt△PBQ中，BP＝2BQ，即6﹣2t＝3t，解得；-------------------------------6分当∠BPQ＝90°时，同理可得BQ＝2BP，即1.5t＝2（6﹣2t），解得，综上可知当t为或时，△PBQ为直角三角形．-------------------------------8分【点评】本题主要考查等边三角形的性质及判定和直角三角形的性质，利用t表示出BP和BQ，化“动”为“静”，是解题的关键．五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）21．我们定义：如图1，在四边形ABCD中，如果∠A＝α，∠C＝180°﹣α，对角线BD平分∠ABC，我们称这种四边形为“分角对补四边形”．（1）特例感知：如图1，在“分角对补四边形”ABCD中，当α＝90°时，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝DC，这个性质是③；（填序号）①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理．（2）猜想论证：如图2，当α为任意角时，猜想DA与DC的数量关系，并给予证明；（3）探究应用：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可解决问题；（2）如图2中，作DE⊥BA交BA延长线于点E，DF⊥BC于点F，证明△DEA≌△DFC即可解决问题；（3）如图3中，在BC时截取BG＝BD，连接DG，根据（2）的结论得到AD＝DG，根据等腰三角形的判定定理得到GD＝GC，结合图形证明即可．【解答】（1）解：∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，∴DA＝DC，∴根据角平分线的性质定理可知AD＝CD，故答案为：③；-------------------------------2分（2）解：DA＝DC，理由如下：如图2中，作DE⊥BA交BA延长线于点E，DF⊥BC于点F，∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE＝DF，∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，∵∠E＝∠DFC＝90°，∴△DEA≌△DFC（AAS），∴DA＝DC；-------------------------------5分（3）证明：如图3，在BC上截取BG＝BD，连接DG，∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBG＝∠ABC＝20°，∵BD＝BG，∴∠BGD＝∠BDG＝80°，即∠A+∠BGD＝180°，由（2）的结论得AD＝DG，∵∠BGD＝∠C+∠GDC，∴∠GDC＝∠C＝40°，∴DG＝CG，∴AD＝DG＝CG，∴BD+AD＝BG+CG＝BC．-------------------------------9分【点评】本题考查四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．22.阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值；（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．【考点】因式分解的应用；非负数的性质：偶次方．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，应用因式分解的方法，判断出（x﹣y）2+（y+3）2＝0，求出x、y的值各是多少，再把它们相乘，求出xy的值是多少即可；（2）首先根据a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，求出a、b的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出△ABC的最大边c的值是多少即可；（3）首先根据a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，求出a、c、b的值各是多少；然后把a、b、c的值求和，求出a+b+c的值是多少即可．【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，∴x﹣y＝0，y+3＝0，∴x＝﹣3，y＝﹣3，∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，即xy的值是9．-------------------------------2分（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，∴a＝5，b＝6，∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，∴6≤c＜11，∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．-------------------------------5分（3）∵a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2＝0，∴（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，∴a﹣4＝0，c﹣8＝0，∴a＝4，c＝8，b＝a﹣8＝4﹣8＝﹣4，∴a+b+c＝4﹣4+8＝