同课异构：等边三角形的性质和判定

等边三角形的性质和判定上海市初级中学名师制作一、复习引入三角形按边分类不等边三角形等腰三角形等边三角形是特殊的等腰三角形，因此它具有等腰三角形的一切性质．等边三角形定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．只有两条边相等的等腰三角形等边三角形{性质定义判定{三角形不等边三角形等腰三角形二、新知讲授①等腰三角形的两条腰相等.（定义）等腰三角形的性质②等腰三角形的两个底角相等.（简称“等边对等角”）③等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“等腰三角形的三线合一”）④等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.回顾角对称性边特殊线段——等边三角形的性质．等边三角形是特殊的等腰三角形,具有等腰三角形的一切性质．等边三角形的三边都相等.（定义）等边三角形的性质：角对称性边特殊线段二、新知讲授——等边三角形的性质．？解：因为AB=AC（已知）,所以∠B=∠C(等边对等角）.因为AB=BC(已知）,所以∠C=∠A（等边对等角）,所以∠A=∠B=∠C（等量代换）.

等边三角形的三个内角都相等又由∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°）,得∠A=∠B＝∠C=60°.猜想：，都等于60°．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=BC,试说明∠A=∠B=∠C的理由．利用等腰三角形的性质，可知等边三角形的三个内角相等．

根据三角形的内角和等于180°,可以算出每个角等于60°．二、新知讲授——等边三角形的性质．等边三角形的性质：等边三角形的每个内角等于60°.因为△ABC是等边三角形(已知）,所以∠A=∠B=∠C=60°（等边三角形的每个内角等于60°）.符号语言60°60°60°二、新知讲授——等边三角形的性质．等边三角形的三边都相等．（由定义得）等边三角形的每个内角等于60°．等边三角形是轴对称图形角对称性边，它的对称轴有3条．特殊线段等腰三角形的三线合一二、新知讲授——等边三角形的性质．等边三角形的性质：等边三角形是特殊的等腰三角形,具有等腰三角形的一切性质．

，任何一条边上的中线、高和这条边所对的角平分线相互重合．有两条边相等的三角形是等腰三角形.（定义）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.边角等腰三角形的判定方法：回顾三角形等腰三角形边角二、新知讲授——等边三角形的判定判定等边三角形的方法：边角有三条边相等的是等边三角形．三角形三角形等腰三角形边角等边三角形边角二、新知讲授——等边三角形的判定？（定义）？已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C，试说明△ABC是等边三角形的理由．解：因为∠A=∠B(已知），所以AC=BC（等角对等边）．

因为∠B=∠C(已知），

所以AB=AC（等角对等边），

所以已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C，试说明△ABC是等边三角形的理由．猜想：三个内角都相等的三角形是等边三角形．

AB=BC=AC．所以△ABC是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）．等边三角形的定义等腰三角形的判定二、新知讲授——等边三角形的判定====三个内角都相等的三角形是等边三角形．判定等边三角形的方法：因为∠A=∠B=∠C（已知），所以△ABC是等边三角形（三个内角都相等的三角形是等边三角形）．符号语言二、新知讲授——等边三角形的判定判定等边三角形的方法：边角有三条边相等的是等边三角形．（定义）三角形三角形等腰三角形边角等边三角形边角三个内角都相等的是等边三角形．三角形？二、新知讲授——

等边三角形的判定

等腰△ABC中，AB=AC，不添任何辅助线，补充一个条件，使△ABC为等边三角形.从边来考虑添AB=BC添AC=BC有三条边相等的三角形AB=AC底边腰腰与底边相等的等腰三角形是等边三角形讨论二、新知讲授——等边三角形的判定AB=AC=BC

等腰△ABC中，AB=AC，不添任何辅助线，补充一个条件，使△ABC为等边三角形.从角来考虑讨论三个内角都相等∠B=∠CAB=AC二、新知讲授——等边三角形的判定让等腰三角形的一个内角是60°，行吗？∠A=∠B=∠C添∠A=∠B添∠A=∠C

等腰△ABC中，AB=AC，不添任何辅助线，补充一个条件，使△ABC为等边三角形.所以∠B=∠C=60°(等边对等角）.解：因为AB=AC,∠B=60°（已知），又由∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°），得∠A=180°－∠B－∠C＝180°－60°－60°=60°.所以（等量代换）.60°60°60°∠A=∠B=∠C所以△ABC是等边三角形（三个内角都相等的三角形是等边三角形）.

等边对等角讨论二、新知讲授——等边三角形的判定添∠A=60°添∠C=60°添∠B=60°

等腰△ABC中，AB=AC，不添任何辅助线，补充一个条件，使△ABC为等边三角形.所以∠A=∠B=∠C（等量代换）.所以△ABC是等边三角形（三个内角都相等的三角形是等边三角形）.

所以∠B=∠C(等边对等角）．因为AB=AC（已知）,因为∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°）,得2∠B=180°－∠A＝180°－60°=120°,又∠A=60°（已添）,所以∠B=∠C=60°,60°60°60°等边对等角讨论二、新知讲授——等边三角形的判定添∠A=60°

等腰△ABC中，AB=AC，不添任何辅助线，补充一个条件，使△ABC为等边三角形.讨论二、新知讲授——等边三角形的判定添∠A=60°添∠C=60°添∠B=60°顶角为60°角．一个内角为60°∠A=∠B=∠C底角为60°角．分类讨论思想有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形．判定等边三角形的方法：

符号语言因为△ABC是等腰三角形，∠A=60°(已知)，所以△ABC是等边三角形

（有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形）．∠A=60°或∠B=60°或∠C=60°二、新知讲授——等边三角形的判定判定等边三角形的方法：边角有三条边相等的是等边三角形．（定义）三个内角都相等的是等边三角形．腰与底边相等的是等边三角形．有一个内角等于60°的是等边三角形．三角形等腰三角形三角形等腰三角形三角形等腰三角形边角等边三角形边角边角二、新知讲授——等边三角形的判定三、例题讲解分析:BE=AD说明两条线段相等的方法：①等角对等边

（在一个三角形中）②全等三角形的性质

（在两个三角形中）△ADC≌△BEC△ABC和△CDE是等边三角形60°60°例题1如图，在等边三角形ABC的BC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形CDE，联结AD、BE，（1）试说明BE=AD的理由.∠ACD=∠BCEAC=BC,CD=CE(S.A.S)含AD边的三角形：△ABD与△ADC含BE边的三角形：△BDE与△BECEBDCADA三、例题讲解例题1如图，在等边三角形ABC的BC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形CDE，联结AD、BE，（1）试说明BE=AD的理由.解：因为△ABC是等边三角形（已知）,所以AC=BC,∠ACD=60°（等边三角形的性质）．因为△CDE是等边三角形（已知），所以CD=CE,∠BCE=60°（等边三角形的性质），所以∠ACD=∠BCE（等量代换).在△ACD与△BCE中，

AC=BC,∠ACD=∠BCE,

CD=CE,所以△ACD≌△BCE（S.A.S),得BE=AD（全等三角形的对应边相等）.等边三角形的性质全等三角形的判定全等三角形的性质60°60°BCEAD三、例题讲解例题1如图，在等边三角形ABC的BC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形CDE，联结AD、BE，（1）试说明BE=AD的理由.△ADC≌△BECBE=AD?..∠DAC=∠EBC∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°∠EBC+

=

60°∠BED=?∠EDC=三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和分析:（2）图中∠BAD与哪一个角相等？说明两个角相等的方法：①等边对等角（在一个三角形中）②全等三角形的性质

（在两个三角形中）③通过“内角、外角”等性质计算得到））∠BAD=

∠ADC=∠BEC∠BAD=∠BED60°四、归纳小结角边对称性特殊线段等边三角形的性质等腰三角形的性质等边三角形的三边都相等.（定义）①等腰三角形的两条腰相等.（定义）等边三角形的每一内角等于60°②等腰三角形的两个底角相等.③等腰三角形的三线合一等腰三角形的三线合一等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有3条．④等腰三角形是轴对