山西省长治市2024-2025学年高三上学期9月质量监测数学试题（含答案解析）

2024—2025学年度高三年级九月份质量监测数学试题【注意事项】1.本试卷全卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.3.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，填空题和解答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.第Ⅰ卷选择题（58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，,则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由已知得，因为，所以，故选A．2.已知复数，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，找到共轭复数即可.【详解】结合题意：，所以.故选：B.3.下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指对幂函数的性质依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，函数为奇函数，在定义域上无单调性，故错误；对于B选项，函数为奇函数，当时，为减函数，故函数在定义域内为减函数，故B正确；对于C，由于函数均为增函数，故在定义域内为单调递增函数，故C错误；对于D选项，函数为非奇非偶函数，故错误.故选：B4.已知下列四个命题：：设直线是平面外的一条直线，若直线不平行于平面，则内不存在与平行的直线.：过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行.：如果直线和平面满足，那么.：设均为直线，其中在平面内，则“”是“且”的充分不必要条件.其中真命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据线面平行的性质和判断定理可判断、、的正误，根据线面垂直的判断定理可判断的正误.【详解】对于，因为直线不平行于平面，故与相交，若内存在与平行的直线，由线面平行的判断定理可得，矛盾，故正确.对于，过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故错误.对于，如果直线和平面满足，则异面或相交或平行，故错误.对于，若，因为在平面内，则且，但若且，在相交的条件下才有，故是且的充分不必要条件，故正确.故选：B.5.的展开式中的系数是（）A.﹣10 B.0 C.10 D.30【答案】C【解析】【分析】根据乘法的分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】依题意可知，含的项是，所以的系数是.故选：C6.平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据,先求得，再由，即可求解.【详解】∵三个力平衡，∴，∴.设与的夹角为，则，即，解得故选：A7.若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（）A.y=2x+1 B.y=2x+ C.y=x+1 D.y=x+【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线方程为，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.8.已知矩形（）的周长为12，把沿向折叠，折过去后交于点.当的面积取最大值时，的长度为（）A.3 B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意设，用表示，以及面积，结合基本不等式即可求得结果【详解】由题意可知，矩形的周长为12，，即，设，则，而为直角三角形，∴，∴，∴，∴.当且仅当，即时，此时，满足，即时，面积.取最大值.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的部分图像如图所示，则（）A.B.的图像关于点对称C.的图像关于直线对称D.函数为偶函数【答案】ABC【解析】【分析】首先根据得到，根据得到，根据得到，从而得到，再依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，，，所以.因为，所以，，.又因为，所以，，.因为，所以，即，故A正确.对选项B，令，解得，，所以的图像关于点对称，故B正确.对选项C，令，解得，，所以的图像关于直线对称，故C正确.对选项D，，因为，定义域为，，所以为奇函数，故D错误.故选：ABC10.已知a，，有一组样本数据为，3，，，8，10，，12，13，若在这组数据中再插入一个数8，则（）A.平均数不变 B.中位数不变 C.方差不变 D.极差不变【答案】AD【解析】【分析】求出样本数据的平均数，判断A的真假；令取特殊值，验证B的真假；利用方差的计算公式求方差判断C的真假；因为8不是最值，所以插入8不影响极差，可判断D的真假.【详解】对于A选项，原数据的平均数为8，插入一个数8，平均数不变，正确；对于B选项，取，，原数据的中位数为9，新数据的中位数为8.5，错误；对于C选项，新数据的方差为，错误；对于D选项，因为，所以8不是最值，故新数据的极差不变，正确．故选：AD11.如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）A.直线平面B.棱与平面所成角的正切值为C.若平面，则动点Q的轨迹是一条线段D.若，那么Q点的轨迹长度为【答案】ACD【解析】【分析】以为坐标原点建立坐标系，用空间坐标求解A,，B选项;对C，D选项:设，根据条件求出满足的方程,判断其轨迹即可.【详解】以为坐标原点，以分别为轴建立坐标系，则设平面的法向量，由得，令得，所以取，因为，故，所以直线平面，故A正确;对B:设与平面所成角为，则，所以，故B错误;对C:设平面的法向量，由得，令得，所以取，因为Q为正方形内一动点（含边界），设，因为平面，所以，即，令得，此时为棱的中点，令得，此时为棱的中点，在正方形内的轨迹为线段，故C正确;对D:由得，即，在正方形内的轨迹为以为圆心，半径为的四分之一圆周，那么Q点的轨迹长度为，故D正确.故选:ACD【点睛】对空间几何中的轨迹或最值问题求解时可以建立空间直角坐标系,几何关系转化为代数关系,可从方程上判断轨迹形状,从函数的角度求最值.第Ⅱ卷非选择题（92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列的前n项和为，则______.【答案】81【解析】【分析】运用等差数列的性质公式计算即可.【详解】根据题意，知道，则，则，若公差为，所以，则.故则.故答案为：8113.已知抛物线、分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，且与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则b＝______.【答案】【解析】【分析】根据题意可知，，根据题意，列出方程求解即可.【详解】如图所示，因为抛物线所以，因为抛物线的准线过双曲线的左焦点，所以，所以，又因为双曲线的一条渐近线，所以，因为，所以即，化简得，又因为，联立解得故答案为：.14.已知实数，满足，，则______.【答案】【解析】【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令，得到，研究函数的单调性，求出关系，即可求解.【详解】实数，满足，，，，则，，所以在(0,+∞)单调递增，而，.故答案为:.【点睛】本题考查函数单调性应用，换元法是解题的关键，构造函数是难点，属于中档题.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在锐角中，a，b，c分别为内角A、B，C的对边，且.（1）求A的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助正弦定理将角化边后，借助余弦定理计算即可得；（2）由为锐角三角形可得角的范围，再借助三角恒等变换化简后计算即可得.【小问1详解】由题及正弦定理得：，即，则，∵，∴；【小问2详解】由为锐角三角形知，，故，则，有，即，故的取值范围为.16.如图，AB是圆的直径，MA与圆所在的平面垂直，C是圆上不同于A、B的一点.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由平面可得，结合是圆的直径可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可得平面平面；（2）法一：可建立适当空间直角坐标系，并分别求出平面与平面法向量，借助空间向量夹角公式计算；法二：作于，作于，连接，借助线面垂直的判定定理与性质定理可得到为二面角的平面角，从而只需计算出即可得解.【小问1详解】∵平面，平面，∴，∵是圆的直径，∴，∵，、平面，∴平面，∵平面，∴平面平面；【小问2详解】法一：如图，建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则有，令，得，设平面的法向量，则有，令，得，则，，二面角的正弦值为.法二：作于，作于，连接，∵平面，平面，∴，∵，、平面，∴平面，∵平面，∴，又∵，、平面，∴平面，∵平面，∴，∴为二面角的平面角，，∵平面，平面，∴，，∵平面，平面，∴，，则，二面角的正弦值为.17.已知函数，.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）当时，证明：.【答案】（1）（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；（2）求导可得，分情况讨论：当时，f′x>0恒成立，得的增区间为0,+∞；当，由f′x>0，得增区间，由f′（3）由题意得到函数，要证明，只需证明，再利用导数求出即可得证.【小问1详解】，由曲线y=fx在点1,f1处的切线与直线，.【小问2详解】的定义域为，当时，f′x>0，在0,+当时，由，得.当时，f′x>0，当时，f′x<0，综上：当时，在0,+∞上是增函数；当时，在单调递增，在单调递减.【小问3详解】当时，，令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减.，∴.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数y=fx，y=gx，，构造函数，（1）若，总有成立，故；（2）若，总有成立，故.18.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为，且该椭圆过点，直线l交椭圆E（1）求椭圆E方程；（2）若AB的中点坐标为，求直线l的方程；（3）若直线l方程为，过A、B作直线的垂线，垂足分别为P、Q，点R为线段PQ的中点，求证：四边形ARQF为梯形.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.（2）利用点差法求得直线的斜率，进而求得直线的方程.（3）联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，计算，以及AF与RQ，从而判断出四边形ARQF为梯形.【小问1详解】由题得，将代入得：，椭圆E的方程为.【小问2详解】设Ax1,y且，两式相减得：，可得，l方程为，即.【小问3详解】由得：，且，，∴，又直线的斜率存在，AF与RQ不平行，∴四边形ARQF为梯形.【点睛】关键点点睛：根据已知条件求得，和是两个未知参数，要求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“椭圆的右焦点以及椭圆所过点”两个已知条件，再结合即可求得，从而求得椭圆的标准方程.19.某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，σ近似为样本标准差S.（ⅰ）利用该正态分布，求；（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E（Z）；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布，则，.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点O出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可