2024-2025学年北京市某中学高二年级上册10月练习数学试卷（含详解）

必/r，、死

数学

本试卷共4页,满分150分,考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效.考试

结束后，将答题纸交回.

第一部分选择题（共60分）

一，单选题：本题共12小题,每小题5分，共60分.

1.过"W（若两点的直线的倾斜角为（）

A.-60°B.60°C.120°D.150°

2.已知直线/经过点A（LL2）,8（0,1,0）,平面a的一个法向量为“=（—2,0,—4）,则（）

A.I//aB.I_La

C.luaD./与。相交，但不垂直

3.如图，平行六面体ABCD—中,E为BC中点，AB=a,AD=b，A4j=c，则DXE=（）

B.ci---b—c

2

CciH—b+cD.—aH—b—c

222

4.设点A（2,3,-4）在xOy平面上的射影为瓦则网等于（）

A.V29B.5C.2占D.V13

5.在以下4个命题中，不正确的命题的个数为（）

①右则〃

②若三个向量两两共面,则向量共面.

③若｛a,b,c｝为空间的一个基底,则｛a-＞力+c,c+a｝构成空间的另一基底.

④卜同M.卜|.

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.已知向量,则“（a+=0"是"a=6或a=—6”的（）条件.

A.必要而不充分B.充分而不必要C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知R4=(2,1,-3),PB=(-1,2,3),PC=(7,6,2)，若尸,A,3,C四点共面，则4()

A.9B.-9C.-3D.3

______uumuum

8.设ABC。是空间不共面四点,且满足A9AC=0，ACAD=0，A9AD=0,则A3。。是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定

9.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三

片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合,这个组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1,则点A到

平面QGC的距离是（）

图1

DT

10.正多面体也称柏拉图立体,被誉为最有规律的立体结构,是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全

等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十

面体.如图，已知一个正八面体ABCDEF的棱长为2,N分别为棱AD,AC的中点，则直线恻和月欣夹角的余

弦值为（）

。乎Y

11.在棱长为1的正方体ABCD-ABIGA中，点M和N分别是正方形ABCD和351cle的中心,点P为正方体表面

上及内部的点，若点尸满足。r=根04+〃。知+左。/八其中〃2，“，左€1<,且帆+〃+左=1,则满足条件的所有点「构

成的图形的面积是（）

正73V6A/6

V

12.菱形ABCD的边长为4,NA=60°,E为48的中点（如图1），将VADE沿直线。E翻折至一ADE处（如图

2），连接43,AC,若四棱锥A'-E3CD的体积为4若，点尸为AO的中点，则尸到直线8C的距离为（）

AEBEB

图1

A/23

第二部分非选择题（共90分）

二，填空题：本题共6小题,每小题5分，共30分.

13.已知向量。=（一1,2,1）,6=（3.》）,且&//。,则％+>=.

14.已知j,j,k为空间两两垂直的单位向量,且a=i+2j-k,b=3i-j+4k,则Q./?=.

15.已知a=（2,—2,3）1=（1,1,一2）,则向量。在向量b上的投影向量的坐标为.

17.长方体—A用G2中，4。=441=3,43=4,瓦£6分别是棱。|2,5。,。£的中点，“是该长方体的

面ABCD内的一个动点（不包括边界），若直线RM与平面EFG平行,则MBi-MDX的最小值为.

18.如图，在四棱锥尸―A3CD中，底面ABCD是正方形，上4,底面=A3=LG为PC的中点，M为

△PfiD内一动点（不与P,5。三点重合）.给出下列四个结论：

P

AB

①直线BC与尸。所成角的大小为工②AG，,③GM的最小值为1,④若A"=1,则点〃的轨迹所围成

432

71

图形的面积是一.

其中所有正确结论的序号是

三,解答题：本题共5小题,共60分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

19.已知空间中三点A(-2,0,2),B(-l,l,2),C(-3,0,3),设"AB,b=AC.

(1)求.

(2)求向量。与向量b夹角大小.

20.如图，平行六面体45。。-4片£2中，以顶点A为端点的三条棱长都是1,

NBADugOo,NDia=NB4A=60°,M为AG与42的交点•设=c.

(1)用C表示BM,并求|创《的值.

(2)求3M.AG的值.

21.如图,正方体ABCD-AgGA棱长为2,点E是棱BC的中点.

(1)求证：3。1//平面。GE.

(2)若点F是线段BD｝的中点,求直线与平面。弓石所成角的正弦值.

22.如图，在四棱锥P—ABCD中，？0，平面43。。,45〃。。,/4。。=90°,且4)=。0=包＞=245=2.

(1)求证：AB1_平面？AD.

（2）求平面K4D与平面P3C夹角的余弦值.

2

（3）在棱尸3上是否存在点G（6与2,3不重合），使得。G与平面P3c所成角的正弦值为一？若存在，求——的

3PB

值,若不存在，说明理由.

23.学习阅读以下材料，应用所学知识解决下面的问题.

类比于二维空间（即平面），向量。可用二元有序数组（《,4）表示，若〃维空间向量。用〃元有序数组（6，生，…，4）

表示,记为a=（4，%…,qj,对于左eR,任意a=（01，4,-，aJZ?=（4,白,」也），有：

①数乘运算：ka=（kal,ka2,-,kan）.

②加法运算：a+Z>=（4+4，出+4,,，4+2）.

③数量积运算：a-b=01bl+a»2+-+a%

④向量的模：问=Ja；+a；+~+a；.

⑤对于一组向量q«=l,2,,,加），若存在一组不同时为零的实数尢G=l,2,，加）使得左］4+%/++kmam=O,

则称这组向量线性相关,否则称为线性无关.

⑥在〃维向量空间中，基底是一组线性无关的向量{6,e；,并且在空间中的任意向量a都可以由这组基底线性

表示，即夕=46+%e2++42，其中4,4，,4,是一组实数.

设4是〃元集合人={1,2,.,〃}子集，集合&元素的个数记为|4|,若集合组A，4，,4“同时满足以下2个条

件，则称集合组A，4，,4具有性质人①⑶为奇数，其中，=1,2,…,加，②同闾为偶数，其中

ij=j.

（i）当”=3时,集合组4,4，,4具有性质R求加的最大值，并写出相应集合组.

（2）当”=8时,集合组A，4，,4具有性质尸，求加的最大值.

（3）4是〃元集合4={1,2,…㈤的子集，若集合组合，4,…,4具有性质P,求P的最大值.

北京十二中2023级高二年级10月练习

，、忆

数学

本试卷共4页,满分150分,考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效.考试

结束后，将答题纸交回.

第一部分选择题（共60分）

一，单选题：本题共12小题,每小题5分，共60分.

1.过"W（若两点的直线的倾斜角为（）

A.-60°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【分析】先根据两点坐标求出直线的斜率,再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角.

【详解】已知直线经过4。/）和3（右,4）两点.

根据直线斜率的计算公式左（其中（西，必）和（9，％）为直线上两点的坐标）.

4—13仄

所以心=忑口=忑=6

因为直线的斜率左=tanc（戊为倾斜角），己知心=G，即tana=G.

又因为倾斜角0°Wa<180?,在这个区间内，满足tana=6的。=60°.

故选：B.

2.已知直线/经过点A（LL2）,8（0,1,0）,平面a的一个法向量为〃=（—2,0,—4）,则（）

A.I//aB.I_La

C.ZczaD」与a相交，但不垂直

【答案】B

【分析】根据平面&的法向量与直线/的方向向量的关系即可求解.

【详解】因为直线/经过点A（l,l,2）,6（0,1,0）.

所以A3=（-1,0,-2）,又因为平面a的一个法向量为“=（-2,0,-4）.

且”=2AB,所以平面戊的一个法向量与直线/的方向向量平行.

则/J_a.

故选：B.

3.如图，平行六面体ABCD-A4G2中,E为8C的中点，AD=b，A4]=c,则£>]£?=（）

B.a----b—c

2

C.ciH—b+cD.—d—b—c

222

【答案】B

【分析】根据给定条件,利用空间向量的线性运算求解即得.

【详解】在平行六面体ABCD-44GA中,E为的中点.

----11

所以D]E=A+AA+AB+BE=-AD-AAi+ABH—AD=a—b-c.

故选：B

4.设点A（2,3,-4）在xOy平面上的射影为瓦则网等于（）

A.729B.5C.2A/5D.V13

【答案】D

【分析】先得到6（2,3,。），从而求出OB=（2,3,0）,计算出模长.

【详解】点4（2,3,-4）在平面上的射影为5（2,3,0）,03=（2,3,0）.

故烟=A/22+32+02=713.

故选：D

5.在以下4个命题中，不正确的命题的个数为（）

①右〃•/则〃=

②若三个向量两两共面,则向量共面.

③若｛a,b,c｝为空间的一个基底,贝!]｛a-＞力+c,c+a^构成空间的另一基底.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】利用向量的数量积，向量共面与向量基底的定义和性质，结合特殊向量法,逐一判断各命题即可得解.

【详解】对于①,设Z?=0,〃与c可以为任意向量，因为〃力二〃.。：。，Z?.c=0-c=0-

此时〃•人=/7,但。不一定等于。，所以①不正确.

对于②，例如在墙角处的三条交线对应的向量。，。，C.

它们两两共面(两两垂直)，但是向量。，b,。不共面，所以②不正确.

对于③，假设b，b+c,C+a共面.

则存在实数X,〃使得a—b=2(。+c)+〃(c+〃).

即〃一b=4〃+Xb+(X+〃)c.

〃=1

由｛。，①。｝为基底，所以。不共面，则(%=-1，这个方程组无解.

%+//=0

所以。一人，人+。，c+a不共面，｛a—b,b+e,e+a｝构成空间的另一基底,③正确.

对于④，I|=|II。I.

而|Q1=1。IIAIICOS。I(。为〃与匕的夹角).

所以|1=1〃Z?||cos6^||c\^\a\\b\\c\,④不正确.

故不正确的有：①②④，共3个.

故选：C.

6.已知向量a力，则“(a+A>(a—功=0”是或a=—沙”的()条件.

A.必要而不充分B.充分而不必要C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】结合向量的数量积,根据充分必要条件的定义判断.

【详解】a=人或。=—b时，。+6=。或。—/?=0,贝!1(。+人)，(。—人)=0,必要性满足.

若a=(1,0),b=(0,1),则(a+b)•(a—b)=0,但aW土匕，即充分性不满足.

故题设条件关系为必要不充分条件.

故选：A.

7.已知丛=(2,1,-3),尸5=(-1,2,3),PC=(7,6")，若P,A,8,C四点共面，则4=()

A.9B.-9C.-3D.3

【答案】B

【分析】由已知可得PA,PB,PC共面,根据共面向量的基本定理，即可求解.

【详解】由P,A,B,C四点共面,可得PA,PB,PC共面.

/.PC=xPA+yPB=(2x-y.x+2y,-3x+3y)=(7,6,2).

2x-y=rlx=4

<x+2y=6解得<y=1

一3%+3y=2A=—9

故选:B.

【点睛】本题考查空间四点共面的充要条件以及平面向量的基本定理,属于基础题.

..--------——-UUUlUUU1

8.设是空间不共面的四点，且满足43以。=0,4。&。=0,A-=0，则ABCD是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定

【答案】A

BCBD

【分析】根据题意，得到=AC—AB,=AD—AB,进而求出8C.30=A3?〉0,根据cosB=

-BC|n.|~BD|［，即可

判断B的大小，利用上述方法求得。8.。。＞0，。8.。。＞0，即可判断＜^和D的大小，进而可以判断出三角形的形状.

...,22

【详解】BCBD=(AC-AB)(AD-AB)=ACAD-ACAB-ABAD+AB=AB~>0,

BCBD

cosB=MW>0

.•.5为锐角.

同理：£＞8•£＞C＞0，C3♦C。＞0，。和C都为锐角.

/.ABCD为锐角三角形.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了平面向量的加减运算法则与向量数量积的运算，考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.

9.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三

片这样的达・芬奇方砖形成图2的组合,这个组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1,则点A到

平面QGC的距离是（）

图1

DT

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系,求平面QGC的法向量,用点到平面的距离公式计算即可.

【详解】建立空间直角坐标系如图所示:

7

\D

]c,

、眄

Z17一7一L7二也

[/D\/

\/oy

B

x^E

则C(0,2,0),e(l,0,2),G(0,0,2),A(1,1,O),QC=(—1,2,—2),QG=(—1,0,0),AC=(—1,1,0),设平面QGC的法

n-QC=Q一x—0

向量为"=（%,y,2）,则，，即■ccC，则平面QGC的一个法向量为“=(0,1,1).

n-QG=0—x+2y—2z—U

\n-Ac\正

则点A到平面QGC的距离d='.I1=-y

n\

故选：C

10.正多面体也称柏拉图立体,被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全

等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十

面体.如图，已知一个正八面体ABCDEF的棱长为2,Al,N分别为棱AD,AC的中点，则直线恻和网0夹角的余

弦值为（）

5R而

A.D.------------

66

叵D系

C.~6~

【答案】D

1一1一一

【分析】根据题意得到BN=—AC-A3,FM=—-AD-AB,然后由向量的数量积公式分别求出

22

FM-BN,\FM\,\BN\,结合向量的夹角运算公式,即可求解.

【详解】如图所示:

由题意，可得3N=A2V-AB=LAC-AB,FM=FD+DM=BA+DM=--AD-AB.

一「’22

又由正八面体ABCDEF的棱长都是2,且各个面都是等边三角形.

在△ABD中，由43=?10=2,50=2也，可得482+4£)2=班)?，所以钻j_旬，所以

FM-BN=[-^AD-AB}I^AC-AB]

111--2

=——ADAC+-ADAB——ABAC+AB

422

=J-X22-2X2X-+22=J1—2+4=3

V42

FM\=^-^AD-AB^=^AD+ADAB+AB

1X22+0+22=71+0+4=75.

5

2_岳

所以cos(EM,BN，=FMBN

即直线BN和FM夹角的余弦值为边5

6

故选：D.

【点睛】关键点点睛：选取适当的基底向量AB,AGA。，由已知条件可以求出它们的模以及两两之间的夹角,所以只

需把分解,然后由向量的夹角公式即可求解.

11.在棱长为1的正方体ABC。-AgG。中，点M和N分别是正方形A3CD和35cle的中心,点p为正方体表面

上及内部的点，若点尸满足DP=根ZM+/DM+左DN,其中m,几次eR,且机+〃+左=1,则满足条件的所有点尸构

成的图形的面积是（）

A石RV3rV6n76

A.D.U.D.

2824

【答案】A

【分析】由共面定理得出P,A,M,N共面,正方体中得知截面即为「AC4,然后可计算面积.

【详解】因为。P=++左DN，机+〃+左=L

所以P,N四点共面，如图，易知过AM,N截面是正ACBX.

则由题意可知满足条件的所有点P构成的图形为正

正方体棱长为1,则正AGA边长为友.

所以满足条件的所有点尸构成的图形的面积为@x（加了=@.

42

故选：A.

12.菱形ABCD的边长为4,NA=60°,E为A2的中点（如图1），将VADE沿直线翻折至一ADE处（如图

2），连接A5,AC,若四棱锥A'-EfiCD的体积为4月，点厂为AO的中点，则尸到直线8C的距离为（）

【答案】A

【分析】由已知可证得DEL平面AEB,4石，平面3cDE,所以以E为原点，EB,ED,E4'所在的直线分别为

苍丁*轴,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解即可.

【详解】连接BD,因为四边形ABCD为菱形，且NA=60°,所以△A3。为等边三角形.

因为E为AB的中点，所以。E_ZAB,所以DELEfi.DELA'E.

因为£5AE=E,EB,A'Eu平面A'EB，所以DE，平面AEB.

因为菱形ABCD的边长为4,所以AB=AO=CD=5C=4,£>E=2®AE=BE=2.

所以直角梯形BCDE的面积为g义（2+4）x26=6』.

设四棱锥4—仍。的高为九则;x6四=4/，得〃=2.

所以场=A石，所以AE，平面BCDE.

所以以E为原点，EB,ED,EN所在的直线分别为％,%z轴,建立空间直角坐标系,则

8(0,2,0),C(-2A5,4,0),F(-A5,0,1).

所以BC=(—2g,2,0).

所以c=]-----1=一~—,0,a=FB=(y/3,2,-l)

\BC\I22J

所以卜卜J3+4+1=2^2,a-c=——+1=

所以尸到直线BC的距离为d

第二部分非选择题（共90分）

二，填空题：本题共6小题,每小题5分，共30分.

13.已知向量。=（-1,2/）"=（3,羽〉）,且。/小则％+丁=.

【答案】-9

【分析】

3Yv

根据a/",由1=彳=:，求得x，y即可.

【详解】因为向量。=（-1,2,1）,〃=（3,羽y）,且a/4.

广…3xy

所以一二一二一.

-121

解得x=-6,y=-3.

所以x+y=-9.

故答案为：-9

14.己知i,j,k为空间两两垂直的单位向量,S.a=i+2j-k,b=3i-j+4k,a-b=.

【答案】-3

【分析】根据数量积的运算律计算即可.

rrxrrrrr、rrr

【详解】a»=1+2j—左）x［z3i—j+4左）=3,2-2j2-4k2=3—2—4=—3.

故答案为：-3.

15.已知a=（2,—2,3）力=（1,1,-2）,则向量。在向量。上的投影向量的坐标为.

【答案】（T—1,2）

【分析】根据投影向量公式计算即可.

【详解】因为a=（2,-2,3）力=（1,1,一2）.

a-bb_2-2-6。，1，-2）_.

则向量.在向量方上的投影向量为时付―a+1+45+1+4一（''）

故答案为：（-LT2）.

16.已知直线/斜率的取值范围是卜百,1）,则I的倾斜角的取值范围是.

【答案】匠）小

【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解.

【详解】因为直线/斜率的取值范围是卜6,1）.

7T

所以当斜率0W左<1时,倾斜角OWa<一.

4

当斜率—6<k<0时,倾斜角—2%"<a<7i.

综上倾斜角的取值范围0,（；［等,万］

故答案为：o..［

【点睛】本题主要考查了直线的斜率，直线的倾斜角，属于中档题.

17.长方体—A用G2中，4。=441=3,43=4,瓦£6分别是棱。|2,5。,。£的中点，〃是该长方体的

面ABCD内的一个动点（不包括边界），若直线RM与平面EFG平行,则MBi-MDX的最小值为.

【答案】—

4

【分析】作出截面跖G,由平行得出M点轨迹是线段AC,建立空间直角坐标系，设出M点坐标，用坐标计算出数量

积后,结合二次函数知识得最小值.

【详解】解法一：

因为E,F,G分别是棱G2，BC,CC1的中点,再分别取AB,AA,,片已的中点〃，/J,则过E,F,G三点的截面为六边

形EGFH",如图.

连接D,C,CA,AR,则C2//EG,又CD1平面ENG,EGu平面ENG,同理AC//平面EFG.

而ACCD]=C,AC,CDtu平面ACDt.

所以平面ACDt//平面ENG,当MeAC时，DXMu平面ACDlt从而D{MII平面EFG.

所以4点轨迹是线段AC.

分别以。4,。。,。。为苍y*轴建立空间直角坐标系,如图，则2(0,0,3),B/3,4,3),A(3,0,0),C(0,4,0).

在平面ABC。内，设直线AC方程为二+)=1,即设M(a,4-竺,0),(0<a<3).

343

—•4a4q

则MB】=(3-a,与-,3),MD]=(-a,-4+§,3).

.„,.4a4a25225.25.3.211

MB]•MDX=—a(3—d)+—(-4+—)+9=—a-—a+9=—(a--)+—.

311

所以a=一时，MB,■MD.取得最小值一.

2114

如图,分别以AD，9方向为工,北z轴建立空间直角坐标系

可得：E(2,3,3),Fl4,j,olGl4,3,|j,R(0,3,3),4(4,0,3),设M(x,y,0).

EF=2,—3,FG=0,|,|,DlM=(x,y-3,-3).

设平面EFG的法向量〃=(%,y,z).

EF•〃二0

则

FG,n=O

3

取y=l,得x=—：,y=l,z=—L即”=一iT•

4

由于直线D、M与平面EFG平行，则RM•〃=0.

33

得：--x+y-3+3=0,BP：y=-x.

4-'4

MB】=(4—x,—y,3),MD〕=(—x,3-y,3).

22

MB1-MDl=(4-j;)-(-x)+(-y)-(3-y)+9=x-4%+y-3y+9.

25025(、2H

-----x+9=r(x-2)+—

416、74

可知：由于x«0,4),当x=2时，MB]-町取得最小值，最小值为a・

故答案为：*

18.如图，在四棱锥尸―ABCD中，底面A5CD是正方形，以J_底面A3CD,B4=A3=1.G为PC的中点，”为

△PfiD内一动点(不与P,3,D三点重合).给出下列四个结论:

①直线BC与PD所成角的大小为工②AG，,③GM的最小值为无，④若AM=正，则点〃的轨迹所围成

432

TT

图形的面积是一.

6

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【分析】根据异面直线所成的角即可判断①,根据空间中的垂直关系转化即可证明AGL平面PB。，即可求证线线垂直

进而判断②，根据点到面的距离为最小值,利用等体积法即可求解③,根据圆的面积即可判断④.

【详解】由于5C//AD,所以/PDA即为直线3c与所成的角或其补角.

JT

由于24J_底面ABC。,ADu平面ABCD,所以上4，AD,又E4=AD=1,所以NPD4=—，①正确.

4

由于卓，底面AB。,CDu平面ABCD,所以，CD.

又AT>_LCDPAcAZ)=A,PA,ADu平面PAD

所以CD,平面？AD.

取尸。中点为N,连接N4,NG.

由于G为PC的中点，所以NG//CD,所以NG,平面？AD?Du平面K4Z),则NG,尸。.

又E4=A。=1,尸。中点为N,所以J_AN.

ANcNG=N,AN,NGu平面4VG,所以FD，平面ANG,AGu平面ANG,则PDLAG.

AC±BD,BD±PA,B4cAe=A,B4,ACu平面PAC,所以5D/平面PAC,4Gu平面PAC.

所以J.AG.

PDBD=£>,P£>,BDu平面P3D,所以AG，平面,MBu平面PBD.

所以AG故②正确.

当GM_L平面PBD时，GM最小,设此时点G到平面PBD距离为h.

=XX1X1X1

VG-PBD=VD-PBG=^VD-PBC=~VP-DBC=~VP-ABCD--=7T

乙乙IIJ\,乙

=

所以匕-PBD=gspBD

2

由于P£>=yAD?+PA=旧故APBD为等边三角形,SPBD=；x后x后义号=5

所以勿PBD——X~~'h——nh=△叵,故③错误.

G-PBD32126

由③得点G到平面PBD的距离为军，不妨设G在平面PBD的投影为H.

6

所以点C到平面PBD的距离为"

3

由于AC被BD平分,所以A到平面PBD的距离为显

3

由②知AG±平面尸3。，所以AG三点共线，即A”=@

I-----------_V6

又A"二J，所以=

2~~6

因此点〃的轨迹围成的图形是以点”为圆心，以为半径的圆,所以面积为兀=巴，故④正确.

6

故答案为：①②④

【点睛】方法点睛：本题考查立体几何中线面垂直关系的证明，异面直线所成角和

点到面的距离的求解,截面面积的求解问题,求解点到面的距离的常用方法是采用体积桥的方式,将问题转化为三棱锥

高的问题的求解或者利用坐标系，由法向量法求解..

三,解答题：本题共5小题,共60分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

19.已知空间中三点A（-2,0,2）,B（-l,l,2）,C（-3,0,3）,设a==AC.

（1）求.

（2）求向量力与向量b夹角的大小.

【答案】（1）1（2）120°

【分析】（1）（2）先求出a和6的坐标，再借助坐标运算,数量积和夹角坐标公式分别计算两小问.

【小问1详解】

已知4(—2,0,2),B(-l,l,2),C(-3,0,3).

a=AB=(-1-(-2),1-0,2-2)=(1,1,0).

6=AC=(-3-(-2),0-0,3-2)=(-1,0,1).

所以a+6=(1+(—l),l+0,0+l)=(0,l,l).

则a<a+6)=(l,L0>(0,Ll)=lx0+lxl+0xl=l.

【小问2详解】

根据向量点积公式a/=|a||/?|cos0.

a-b=lx(-l)+lx0+0xl=-l.

Ia|=Vl2+12+02=A/2.

\b|=7(-l)2+02+l2=72.

_a-b-11

则rcos0=---------=—j=~~7==一一.

Ia||Z?IA/2X\/22

所以，=120°.

20.如图，平行六面体ABC。-4用£2中，以顶点A为端点的三条棱长都是1,

/BAD=90°,ZDA^=ZBAA1=60°,M为AG与耳。的交点.设AB=a,AD^b,AAi=c.

(2)求3A1.AG的值.

【答案】(1)旦

2

(2)2

【分析】(1)先根据平行六面体的性质找到向量之间的关系，用a涉］表示出再通过向量模的计算公式求出

|BM|的值.

UUU

(2)先求出AC一再根据向量数量积的运算规则求出3M•AC］的值.

【小问1详解】

因为平行六面体ABCD-44G。中，"为AG与8禹的交点.

所以“是AC中点，也是中点.

又因为AB=a,AD=b,AAl=c,且平行六面体中44=AB=a,AlDl—AD-b.

那么3M=g网

因为BA——AB=c—d,BC[=BB{+4G=c+b.

—11一1-1

所以5M=_(c—a)+_(c+b)=-Z?——a+c.

2222

|BM|2=(-b-—a+c)2=—b2+—O1+c2-—a-b+c-b-c-a.

22442

因为/ft4D=90。，所以“2=0,又|Q|=|Z?|=|C|=1,ZDAA,=ZBAA,=60。.

所以c•〃=(?•/?=|c||a|cos60°=lxlx—.

22

13Ml2=工*1+工义1+1_工*0+工_4=3,所以|5四|=、£=逅.

442222\22

【小问2详解】

因为AC；=AB+AD+AA[=a+b+c.

所以BAf.AG=(c—ga+g人)・(a+b+c)

.r-21-1-<1,1,1r1,

=c-a+c-b+c——a2——a-b——a-c+—b-a+—b2+—b-c

222222

111^^11111^

=—l1-1------0+0—x—i1—x-=2.

22222222

21.如图,正方体ABCD-A4GA棱长为2,点E是棱3c的中点.

（1）求证：Bp//平面。GE.

（2）若点F是线段8。的中点，求直线止与平面。GE所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见详解，

⑵—

3

【分析】（1）连接2C,=。，得OE//B2,则根据线面平行的判定定理即可证明5。//平面。

（2）利用空间向量法,即可求直线。E与平面所成角的正弦值.

【小问1详解】

连接DC，2。DG=。，连接OE.

o,E分别是D、C,BC的中点，:.OEHBD{.

又BD[U平面DCXE,OE<=平面DCXE.

/.BD}//平面。GE1.

【小问2详解】

如图所示，以点。为坐标原点,分别以"所在直线为苍-Z轴,建立空间直角坐标系.

则。(0,0,0),G(0,2,2),£(1,2,0),5(2,2,0),2(0,0,2),下(1,1,1).

：.DCX=(0,2,2),DE=(1,2,0),OF=(1,1,1)

设〃=（x,y,z）为平面DC*的一个法向量.

n-DCX=0[2y+2z=0

.二V，令1=2,得〃=(2,—1,1).

n-DE-0x+2y=0

设直线DF与平面DC]E所成角为e.

|£)F-zz|

_2-1+1

sin。=

A/6x^/33

故直线DF与平面DC[E所成角的正弦值为正.

3

22.如图，在四棱锥尸—ABCD中，FD，平面ABC。,AB〃CD,NADC=90°,且AD=CD=PD=2AB=2.

(2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值.

9pr1

(3)在棱PB上是否存在点G（G与P,8不重合），使得0G与平面P3C所成角的正弦值为一？若存在，求一的

3PB

值,若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明过程见解析

8

3)9-

【分析】（1）根据线面垂直的性质定理,结合线面垂直的判定定理进行证明即可.

（2）根据线面的垂直关系,建立空间直角坐标系，利用空间向量平面间夹角公式进行求解即可.

（3）利用空间向量线面角夹角公式进行求解即可.

【小问1详解】

因为，平面ABCD,ABu平面ABCD.

所以切,钻.

又因为AB〃CD,ZADC=90°.

所以ADSAB,而阳=。*。,「。匚平面巳40.

所以ABJ_平面？AD.

【小问2详解】

因FD上平面ABCD,AD,CDu平面ABCD.

所以PD，CD,PDJ_A