河北省邢台市某中学2024-2025学年高二年级上册开学 数学试题（含答案）

邢台一中2024-2025学年第一学期开学考试

高二年级数学试题

考试范围：必修二

说明：

1.本试卷共4页，满分150分.

2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效.

第I卷（选择题共58分）

一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

Z

1.已知z=2+i,则z+i（）

3-i1-i3+i1+i

A.4B.4C.4D.4

2.若向量"=（T2）,'=（2,3）,则£在办上的投影向量为（）

12^p12^4V13

A.（8/2）B.113'13）C.113’可d.干

3.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正

A.8B.4+4aC.16D.8+8百

4.设/,〃?是两条不同的直线，"，〃是两个不同的平面，则下列说法中错误的是（）

A.若■平面a,a//P,,贝|]/_1,加B,若/,々，/〃加，则aJ■夕

C.若二。£=/,mua,I//mf则加〃6D.若=。夕=/,mua,m_Ll,则戊，/

5.已知数据为，％,…，网°,满足：x,-*=l（2</<10）,若去掉占，/后组

成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（）

A.中位数不变B.第35百分位数不变C.平均数不变

D.方差不变

a+b_a

6.△48。中，已知sin5sin5-sin4且cos（4-8）-cos（4+8）=1-cos2C贝0

MBC是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

7.在长方体-481G2中，已知48=3C=2,"4=3,后为片G的中点，则直线

CE与/口所成角的余弦值为（）

V95y/52V5

A.130B.10C.10D.5

----、2------»2

名.团.近卜名.（就.痛）=2死2

8.若。是的外心，且N8'4C\2,贝|sinS+sinC的最

大值是（）

5

C.2D.2V2

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的的部分分，有选错的得0

分.

9.关于复数的命题正确的有（）

A.若复数4＞4,贝产，ZzeRB.若复数2=病-1+（加+1＞为纯虚数，则

m=±1

C.若2逐2=°,则Z2=0或%=0D.若闻=㈤,则z；=z；

10.下列命题正确的是（）

A.设43是两个随机事件，且'2,'/3,若'6,则42是相互独立

事件

B.若三个事件48,C两两独立，则满足尸（例）=尸（/）尸⑻尸（C）

C.若「（4）＞0,网8）＞0,则事件48相互独立与48互斥一定不能同时成立

D.若事件招相互独立，尸⑷=叫「⑻=。.3,则尸…）=。$4

11.在直四棱柱"8C0-48cB中，底面/BCD是菱形'8=44=2,

E为因的中点，点/满足odBC+y。'1［刈，"［°4］）,下列结论正确的是

（）

x—_1_

A.若一2,则点尸到平面4的距离为百

B.若x+y=i,则四面体4一8跖的体积是定值

行兀

c.若4/=石，则点尸的轨迹长为丁

_j________

D.若无=1,'-5,则存在点尸642,使得"+尸尸的最小值为』9+2而

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.邢台一中高二年级研究性学习小组为了实地测量某塔的高度，选取与塔底中心。在同

一个水平面内的两个测量基点/与比在/点测得：塔顶尸的仰角为45。，。在N的北偏

东60。处，8在N的正东方向36米处，且在2点测得。与N的张角为45。，则此塔的高度

约为米（四舍五入，保留整数.参考数据：行“1414,73^1.732）.

13.在边长为2的正方体"2四-中，E,F,G是的中点，那么过

点£,F,G的截面图形为（在“三角形、四边形、五边形、六边形”中选择一个）

;截面图形的面积为.

14.4B、C三点在半径为1的圆。上运动，且NC，2C,〃是圆。外一点，0M=3,

\MA+MB+2.MC\

则的最大值是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道数学问题，满分100分.结束

后在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段:

（40,50）（50,60）

/，，,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中«的值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数；

（2）活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，

假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.任选一道数学问题，求甲、乙两位同

学恰有一人答对的概率.

16.如图，在等腰直角三角形/8C中，AB=AC=42,2E是线段8c上的点，且

DE=-BC

3

RD=-BC___

⑴若3,〃是边的中点，N是NC边靠近A的四等分点，用向量表示

DN,EM,

⑵求亚•下的取值范围.

17.如图，在以A,B,C,D,E,尸为顶点的六面体中（其中be平面£℃）,四边

形48。是正方形，助，平面/3。。，BF=FE,且平面尸£5，平面.

E

⑴设”为棱£8的中点，证明：A,C,F,M四点共面；

(2)若ED=2AB=4,求六面体EFABCD的体积.

18.如图，在△NBC中，NABC=90。，/8=6，BC=1,P为△N8C内一点,

NBPC=90°

(2)求PC+P5的取值范围；

⑶若AAPB=150°,求tanAPBA

19.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体

顶点的曲率等于2兀与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的

71

面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为§.故其各个顶

c_3cx_兀_—

点的曲率均为.如图，在直三棱柱耳5中，N,M分别为CG的

中点，且=

2兀

(1)当点/的曲率为3时证明：

①CN1平面

②平面AMB'1平面/网4.

兀

(2)当点N的曲率为5时，若44=248,求二面角/-又片-4的正弦值.

1.A

【分析】运用复数乘除法运算化简.

z_2+i_(2+i)(2-2i)_(2+i)(2-2i)_6—2i_3-i

［详解］U-2+i+i―(2+2i)(2—2i)―88~~T

故选：A.

2.C

【分析】首先求出。彳、W,再根据投影向量的定义计算可得.

【详解】因为"=（T2）,3=（2,3）,所以£%=_1X2+2X3=4,\^\=^22+32

〃“X4回

所以£在书上的投影向量为wWV13V13

故选：C

3.C

【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点

在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的周长即可.

【详解】还原直观图为原图形如图所示，

因为。4=2,所以00=2啦，还原回原图形后,

OA=04=2,0B=209=472,

所以AB—yJOA2+OB2=6,

所以原图形的周长为2*(2+6)=16.

故选：C.

4.D

【分析】由面面垂直的判定定理可判断B；线面垂直的性质定理可判断A；由线面平行的

判定定理可判断C,应用面面关系判断D.

【详解】对于A,因为平面a,a〃〃，所以/,平面分，又因为加u£,所以“机，

故A正确；

对于B,若/〃加，则机又因为“zu/?,所以故B正确；

对于C,若aC/3=l,mua,,则就”故c正确；

对于D,若mua,"山,则名月可以相交但是不垂直，故D错误.

故选：D.

5.D

【分析】由中位数，百分位数，平均数和方差的定义，计算后确定结论.

土”=为二+46

【详解】原来的中位数与现在的中位数均为22,故中位数不变，故

A选项正确；

原数据中，10X35%=3.5,第35百分位数是第4个数据%,

去掉占，再。后，8X35%=2.8,第35百分位数是新数据中的第3个相,

第35百分位数不变，B选项正确;

x+x-\-----Fx_10%1+45

1210=石+4.5

原来的平均数为1010

x+x-\-----F/_8项+36_/《

叱23——玉十

去M,再。掉后的平均数为88,平均数不变，故C选项正确;

（%一再一4.5）一+（「一再-4.5）~+.-+（再0一网-4.5）~=g25

原来的方差为io一，一）

（x?一再一4.5）+（xj-4.5）~+・一+（工9一4.5）~=5

去掉后占，石。的方差为8—',

方差变小，故D选项错误.

故选：D.

6.A

【分析】利用两角和差余弦公式二倍角公式化简。°$（/-8）-85（"+'）=1-«）$20得到

sin/sin8=side,再根据正弦定理化角为边，化简可得结论得到答案.

cos(4-8)-cos(4+B)=1-cos2C

【详解】因为

所以cosAcosB+sinAsinB—cosAcos3+sin4sinB=1—1+2sin2C,

所以sinZsinB=sin2C,

设△/5C的外接圆半径为厂,

abc.

------=-------=-------=2r

由正弦定理可得sinNsin5sinC

sin^=—sinB=g

所以2r,2r,2r

所以sinZsinB=sin2CIPab=c\

a+b_a

=

l^BsinB-smAJ可化为(〃+b)(sin5—sin/)=asinB,

b

=a—

所以12厂2r2r故/_Q2=,

所以62-/=°2,即/=02+/,

所以△NBC为直角三角形.

故选：A.

7.A

【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法，列公式求解即可;

【详解】如图，。为坐标原点，直线440c分别为x，％z轴，建立空间直角坐标系,

则2(0,0,3),E(1,2,3),/(2,0,0),C(0,2,0)

.而=(-2,0,3),赤=(1,0,3)

设直线CE与/。所成角为

\CE-AD^|-2+0+9|77130

则“巾

即异面直线CE与g所成角的余弦值为130

故选:A

8.B

【分析】利用数量积的定义将向量全部转化为三角形边角的关系，结合基本不等式求解.

［详解］设AB=c,AC=b,/BAO=仇/CAO=a,

二^-x^?|y4(?|cos^^--1yxcos6Z^=

722v_

一x(cos6)+Jx(cosa)=—1/。|

化简得。I)b'72lI,

cos0=,cosa=

若o是A/BC的外心，o是三边中垂线的交点，得2Hq2r°l

b2cc2b

-----x—：------：

代入上式得c2\AO\b2[AO\

b2+c2=5时

所以

根据题意知，是三角形A/8C外接圆的半径,

sin^=,——.,smC=，L^|;

2\AO\2\AO\

可得

.D..bcb+c

sin5+sinC=­।—H—।—..=—I—,

所以2陷2陷2陷

因为/+n2她所以（。+4=八62+2公2（?+62）=10|珂2

所以人+，'而|/0|,当且仅当"=c=W"°|时取等号,

b+c＜巫

6=c=巫|万|

sinB+sinC=啊一F

所以当且仅当2।।时取最值.

故选：B.

9.AC

【分析】根据复数的分类即可判断AB,根据复数的乘法和模长的计算可判断C,根据模长

公式和复数的乘方即可判断D.

【详解】由复数定义可知，若复数4＞马，这两个复数能比大小，贝z2eR,A选项

正确；

若复数zMT+（m+l）i为纯虚数，则［加+1*°,则加=1,B选项错误；

若花2=°,则有匕Z2|=R"|=°,即㈤=°或"|=°,所以马=°或4=0,c选项正确;

若团=%|,则z；=z；不一定成立，比如【Ji,z?=",

满足㈤="|=3,但z：=-2i,z；=-2,不满足z；=z；,口选项错误.

故选：AC.

10.ACD

【分析】根据利用独立事件的概率性质可判断ABC的正误，根据独立事件的性质及概率公

式计算后可判断D的正误.

P（AB）=-=P（A）P（B）.

【详解】对于A,因6V7V7,故48D是相互独立事件，故A正确.

对于B,考虑投掷两个骰子，记事件出第一个骰子的点数为奇数，

事件从第二个骰子点数为奇数，事件。：两个骰子的点数之和为奇数,

于是有P（6P⑻=P（C）［,P（⑷

P（/'C）=0,可以看出事件4B,C两两独立，但4且C不互相独立,

所以P（43C）w尸（N）P（8）P（C）,B错误；

对于C,若事件4?相互独立与42互斥同时成立，则尸（"8）=P（/）P（8）＞a

而尸（/即=°,矛盾，故事件48相互独立与42互斥不能同时成立，故c正确.

对于D,由尸⑷"6,尸（3）=03,则尸（1）=1-0.6=0.4,尸0）=1-0.3=07

又事件A,3相互独立，

则P（ABuAB）=P（/月）+P（彳5）=P（A）P（S）+P（1）尸（8）

=0.6x0.7+0.4x0.3=0.54,

故D选项正确;

故选：ACD.

11.BCD

]_

【分析】由条件确定点厂的轨迹，证明点尸到平面的距离为点C到平面。8片的5,

由此判断A,由x+〉=i可得点尸的轨迹为cn,结合锥体体积求法即可判断B；由条件确

定点尸的轨迹，由扇形弧长公式即可判断C；把沿着48进行翻折，使得

4,44,厂四点共面，结合平面几何知识可求/尸+尸尸的最小值，判断D.

【详解】对于A,如图，连接点赫为线段0C的中点，点N为线段05的中点,

——►1—►

DM=-DC757T

则2,DD[=MN,

1

因为“2,DF=xDC+yDDlf

~DF=~15C+vDD,=DM+yMN

所以2.।,

贝1加=/痂，又ye[o,i],

所以点尸的轨迹为线段九W,

因为MV//CC],CCj/IBB,

所以MN"BB],“Nz平面。881,8及u平面DBB],

所以MN//平面

所以点尸到平面的距离等于点〃到平面O84的距离，

又M为DC,

所以点F到平面。8片的距离等于点C到平面。8片的距离的5,

连接N8,CD,记其交点为°,

因为底面N3CD是菱形，

所以COJ.8D,

由已知,平面/8QD,COu平面48cD,

所以BB、J_COBB、cBD=BBB、,BDu平面DBB、

所以COL平面。8月,

ZBAD=-

因为四边形/5C。是菱形，3,

所以△8C。为等边三角形，又AB=2,

所以BC=CD=DB=2,所以CO=g,

所以点C到平面DBBI的距离为V3,

旦

所以点尸到平面与的距离为2,A错误;

对于B,连接8,由x+N=l得点厂在线段C2上，

由ABCD-44G2为直四棱柱得，A\B//CD\,又Fsen,

所以△4AF的面积为定值，又点E平面4BF的距离为定值,

所以三棱锥E-48尸的体积为定值，

所以四面体4一8跖的体积是定值，故B正确；

对于c,如图，在平面44GA中作4K'G〃，垂足为K,

由已知得，。°，平面48£0,且％Ku平面44GA,

所以又CQQAu平面OCCQ,且CQnDA=A

所以4K，平面DCGA,

71

ZBAD=-,AB=AA=2

因为底面N8CZ）是菱形，3

所以4K=6,皿=1,

在RtA4"中，因为/尸=石，所以K/=5与=后,

则点尸在以点K为圆心，血为半径的圆上运动,

设此圆与秋交于点4,因为必=收，且©=1,

B[KA3d三义历=里

所以一4,则点尸的轨迹长度为44故C正确;

把△4"8沿着AB进行翻折，使得4,4片,尸四点共面,

此时NP+小有最小值〃尸，

在尸2中，&F=瓜BF=区4B=26

7T3兀

j«2*厅2_/k2ZABF=—ZABF

所以4?+BF-4J所以{2,所以彳，

_4+5-=产_亚

cosNABF="+"J

在△4BF中，由余弦定理得2ABBF—4加2

解得//=的+2而,故D正确;

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于结合所给条件，结合线面位置关系，确定点

F的轨迹.

12.26

【分析】中，运用正弦定理，先求出N0,再根据等腰直角三角形知识得到

尸O=CM即可.

［详解】△N08中，^OAB=60°,△/80=45。，/8=36.所以4/08=105。.

ABAO

在△/OB中，运用正弦定理，可得sin/NOB-sin42。，代入值求得

de36xsin45°36xsin45。/r

AO=---------=------------=36(73-1n)«26

sin105°sin(60°+45°),

由于ANOP为等腰直角三角形，贝I］尸°=04=26,则此塔的高度约为26米.

故答案为：26.

13.六边形

【分析】根据面面平行的性质定理可推断正方体截面图形的形状为正六边形，再根据截面

图的边长与正方体棱长关系以及正六边形结构特征即可求解面积.

【详解】如图，分别取8C、〃4、的中点为H、I、J,

连接FI,IE,EH,HJ,JG,则由正方体的结构特征可知：

FI=IE=EH=HJ=JG=FG,&FIIIHJ,IE11JG,FG11EH

又由面面平行的性质定理可知过点£,F,G的截面与正方体上下面的两条交线平行,

与左右两个面的两条交线平行，与前后两个面的交线也平行，

故六边形尸G加以是正方体中过点区F,G的截面，

所以过点E,F,G的截面图形为六边形.

因为FG=y/FD：+DG=JF+F=&,

所以六边形FGJHEI是棱长为正的正六边形,

如图，根据正六边形结构特征可以将其分割成6个全等的正三角形，且边长为也,

6x—xV22=3>/3

故由正三角形面积公式得截面图形的面积为I4>

故答案为：六边形；3百.

14.14

【分析】根据圆的几何性质、向量运行以及绝对值三角不等式，由此求得正确答案.

【详解】连接N8,如下图所示：

因为则为圆°的一条直径，故。为/台的中点，

所以疝+砺=他方+刀>075+砺)=2流

所以

|AS+MB+2^C|=|2A?O+2(A7O+OCJ=|4W+2OC|<4|W|+2|0C

=4x3+2x1=14,

当且仅当M,o,c共线且MO0C同向时，等号成立.

故答案为：14

15.⑴”0.030,75；

13

⑵石

【分析】(1)根据频率之和为1即可求出。，根据频率分布直方图中中位数的求法求中位数

即可；

(2)根据相互独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式求解即可.

【详解】⑴由频率分布直方图有1°"1T°X(°Q°5+0Q10X2+0.020+0.025),解得

a=0.030,

因为10x(0.005+0.010+0.020)=0.35<0.5,0.35+0.030x10=0.65

所以中位数在区间°"®。）内，设为x,

贝ij有10x（0.005+0.010+0.020）+0.03*（尤一70）=0.5得，75

所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75；

（2）设/="任选一道题，甲答对"，2="任选一道题，乙答对"，"任选一道题，丙答

对”,

尸⑻二士2

P{A}=-=-

则由古典概型概率计算公式得：2055

p（2）=-尸（豆）=3

所以有I'5,I'5

记。="甲、乙两位同学恰有一人答对”，

则有D=N豆UM,且有2方与初互斥,

因为每位同学独立作答，所以/,8互相独立，则N与豆，7与B,工与豆均相互独立,

所以尸（ABu28）=P（N豆）+P（彳台）=P⑷P（耳）+P0）P（B）

13

所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率25.

DN=--AB-—ACEM=-AB--AC

16.（1）31263.

一8

⑵I’43~一

【分析】（1）根据平面向量的线性运算求解即可.

一一0<A<-亚•荏=4"」］+-

（2）首先设=3,得到I3J九再结合二次函数的性质

求解即可.

【详解】（1）如图所示：

A

//KN

BDEC

__,_____»3_______»3__,2__»

DN=CN-CD=-CA+DC=——AC+-~BC=3次+汕一方)

443

=A-AB-L-AC

312.

___________1k____、i__、2_i___

^M=JM-JE=一一AB——Jc=——AB-|（4C-ZB）=1ZB-|^C

232

（2）因为BC=J2+2=2,

一一0<A<-屉辰

设BDmC,3,贝1]=I1+：,

所以25•通=@+而）例+而）=万。+叵+屉）方+丽.而

=2+2SC+I2+1+2U+|j5C-；2

=2+^22+^jx2xA/2xcos1+2卜+；卜4=4卜一；[+[

2「84「

­■-3,故4X4E的取值范围是L93J.

17.（1）证明见详解

20

⑵3

【分析】(1)借助线面垂直的性质定理与判定定理可得NC，平面成为，再借助面面垂直

性质定理可得尸平面瓦历，即可得尸N〃/C,即可得证；

(2)结合题意，借助线面平行的判定定理可得平面2CWW,再利用线面平行的性质

定理可得OE//C产，即可得四边形0皿为矩形，最后借助割补法分别计算出与

%一EFC即可得解.

【详解】(1)连接/C,由四边形NBC。是正方形，故NC'DB,

又EDL平面ABCD,4Cu平面ABCD,故即_L/C,

由DEcBD=。，DE,BDu平面EDB,故NC_L平面EDS,

又M为棱£8的中点，BF=FE,故FMLEB,

又平面尸班_L平面瓦历，平面尸E8c平面EZ>8=E3,FA/u平面EFS,

故FM±平面EDB,故FM//AC,

所以A,C,F,M四点共面；

(2)设4c与8。交于。点，连接则。

又(Wu平面ZCW,。£2平面/C7W,则。£//平面/CFA/,

又因为六面体EFABCD,则平面CDEFA平面/CFN=CF,

又DEu平面CDEF,故DEICF,则四边形℃尸”为矩形，

则3=1,且CF，平面48cD,

CF=-DE=2

又BF=FE,故2,

^EFABCD=^E-ABCD+^B-EFC=—x4x4+—x2x2=—

则333.

V7

18.(1)2

⑶4

PA—7

【分析】（1）通过解直角三角形可得NP8C=60。，再利用余弦定理可求2.

（2）利用正弦定理结合三角变换可得P8+PC=3sin（0+45。），根据正弦函数的性质可

求线段和的取值范围；

（3）利用正弦定理结合三角变换公式可求tan/尸民4的值.

cosZPBC=-

【详解】（1）由已知2,所以/尸8。=60。，故4?8/=30。.

=3+--2xV3xlcos30°=-PA=~

在△NBC中，由余弦定理得424,故2.

(2)设NPBC=e,则0°＜e＜90°.

根据题意知道PB=BCcose=COSe,PC=BCsin0=sin3

则PB+PC=cos6+sin6=0sin(°