高二数学人教版选择性必修第一册《一元函数的导数及其应用》综合测试卷（A ）

《2022-2023学年高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》

专题5.7《一元函数的导数及其应用》综合测试卷（A）

第I卷选择题部分（共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.（2021•四川省芦山中学高二期中（理））/（X）=X2+X+3,则广⑴=（）

A.6B.5C.3D.2

2.（2022•吉林・高二期末）曲线“r）=e£+2x-l在点（0,0）的切线的方程为（）

A.尸了B.y=3xC.y=OD.y=4x

3.（2022•新疆和静高级中学高二阶段练习）下列求导运算正确的是（）

A.fsinyj=cosyB.cos3x）=2xsin3x+3x2sin3x

C-（tanx），=-J-D-[ln（2x+l）]'=白

4.（2021.宁夏•海原县第一中学高二期中（文））设函数/（尤）=/，广（％）=2,则%=（）

A.0B.1C.2D.3

5.（2022•陕西・延安北大培文学校高二阶段练习（理））函数=的导数为尸（x）=6f.贝丘+匕的值

为（）

A.3B.4C.2D.-1

6.（2022・陕西・延安北大培文学校高二阶段练习（理））函数y=-Inx的单调递减区间为（）

A.（-1,1）B.（0,1）C.[1,+8）D.（0,+8）

7.（2022•浙江•高二阶段练习）已知函数/（x）=x21nx+or存在减区间，则实数”的取值范围为（）

3_3_3_3

A-（e5,+oo）B.Qe）+⑹C.（_co,e5）D.（_oo,2e?）

8.（2022•陕西・延安北大培文学校高二阶段练习（理））若/（x）=d-2x-41nx,则用x）＞0的解集为（）

A.（0,+oo）B.（-oo,-l）U（2,+oo）C.（2,+co）D.（-oo,-l）

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.

9.（2021.广东.饶平县第二中学高二阶段练习）函数/（刈=（尤2-1）2+2的极值点是（）

A.无=1B.x=-lC.x=0D.x=-2

10.（2022•浙江•高二期中）如图，＞=/（尤）是可导函数，直线/：，=丘+2是曲线y=/（x）在x=3处的切

11.（2022.吉林.辽源市田家炳高级中学校高二期末）如图是导函数y=_f（x）的图象，则下列说法错误的是

A.（-1,3）为函数y=〃x）的单调递增区间

B.（0,3）为函数y=〃x）的单调递减区间

C.函数y=〃x）在无=0处取得极大值

D.函数y=在x=5处取得极小值

12.（2022.湖南省临澧县第一中学高二阶段练习）已知函数y=的导函数/（X）的图象如图所示，则下

A./'（x）在x=-4时取极小值B./（x）在x=-2时取极大值

C.x=1.5是“尤）极小值点D.x=3是“X）极小值点

第II卷非选择题部分（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2022.陕西•咸阳市高新一中高二阶段练习（理））若=一尸（1卜2+彳+5,贝=

14.（2022•陕西渭南•高二期末（理））曲线在点处的切线方程为.

15.（2022•陕西渭南.高二期末（文））曲线>=3+1在点（1,1）处的切线也为曲线y=e'+a的切线，则实数。=

16.（2021•北京房山•高二期中）已知函数Ax）的定义域为R,/3的导函数（（尤）=。-。）。-2）,若函数了（乃

无极值，则。=；若X=2是/'（X）的极小值点，则。的取值范围是.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（2022.湖南・株洲市深口区第三中学高二期中）求下列函数的导数.

⑴>=”；

⑵>=』；

x

⑶y=3\

（4）y=In无；

（5）y=cosx.

18.（2022.黑龙江.哈尔滨德强学校高二阶段练习）已知曲线C：/（劝=/+2尤-2

（1）求了⑴的值;

⑵求曲线C在点P（l,/（D）处的切线方程.

19.（2022•新疆•霍城县第二中学高二期末（文））设函数/（乃=以3+辰+1在彳=1处取得极值1

⑴求4、6的值；

⑵求Ax）的单调区间.

20.（2022•全国•高二专题练习）设函数/'（x）=/ei+a?+fev2,已知在片-2和无=1处，/⑺取得极值，

求。和6的值；

22.（2022・陕西・延安市第一中学高二阶段练习（理））某种儿童型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个

半球和一个圆柱组成，（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如图所示，

两头是半圆形，中间区域是矩形ABCD,其外周长为100毫米.防蚊液所占的体积为圆柱体积和一个半球体

4

积之和.假设的长为2x毫米.（注：Vk=Sh,其中R为球半径，S为圆柱底面积，。为圆柱的

高）

（1）求容器中防蚊液的体积y关于x的函数关系式;

（2）如何设计AD与钻的长度，使得y最大？

《2022-2023学年高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》

专题5.7《一元函数的导数及其应用》综合测试卷（A）

第I卷选择题部分（共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.（2021.四川省芦山中学高二期中（理））/（X）=X2+X+3,则/'⑴=（）

A.6B.5C.3D.2

【答案】C

【分析】求导，即可得解.

【详解】解：/，（x）=2x+l,

则/⑴=3.

故选：C.

2.（2022•吉林•高二期末）曲线/a）=e*+2x-l在点（0,0）的切线的方程为（）

A.y=xB.y=3xC.y=OD.y=4x

【答案】B

【分析】根据导数的几何意义，即可求解.

【详解】由题意可得/'（x）=e*+2,.•.1（0）=3,即左=3,

,切线方程为＞=3》.

故选：B

3.（2022•新疆和静高级中学高二阶段练习）下列求导运算正确的是（）

A.（sin号）=cos/B.（YcosBx）=2xsin3x+3x2sin3;c

C-（tan"=+D.[ln（2x+l）]，=-1-

【答案】D

【分析】利用基本初等函数、复合函数以及导数的运算法则可判断各选项的正误.

【详解】对于A选项，[in]]=0,A错；

对于B选项，cos3x）=2xcos3%-3—sin3%,B错；

对于c选项，（tan”=（电"4=0"=，，c错；

ICOS尤JCOSXCOSX

对于D选项，[111(2尤+1)]'=53，D对.

故选：D.

4.(2021•宁夏・海原县第一中学高二期中(文))设函数f'(x0)=2,则%=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根据幕函数的求导公式求导即可.

【详解】•••/'(x)=2x,

f(-^o)=2x()=2,

解得%=1.

故选：B.

5.(2022•陕西・延安北大培文学校高二阶段练习(理))函数=的导数为

/,(x)=6x2.贝！Ja+b的值为()

A.3B.4C.2D.-1

【答案】A

【分析】根据r(x)列方程，求得。力,进而求得。+从

a+b1

【详解】f(x)=a(a+b)x-=6^,

所以卜("：?一：，解得。=2,6=1,

[a+b-1^2

所以a+b=3.

故选：A

6.(2022・陕西・延安北大培文学校高二阶段练习(理))函数y=gf-inx的单调递减区间为

()

A.(-1,1)B.(0,1)C.[l,+oo)D.(0,+巧

【答案】B

【分析】求出导函数，令导函数小于0,即可得到单调递减区间.

【详解】解:由题意，x>0

在y=中，y'=x--=---

2xx

当y=o时，解得产_](舍)或％=i

当y<o即ov尤vi时，函数单调递减

・,•单调递减区间为(0,1)

故选：B.

7.(2022•浙江.高二阶段练习)已知函数/(x)=x21nx+ax存在减区间，则实数。的取值范围

为()

33_33

A.(e5,+co)B.(2e^,+oo)C・(-oo,e5)D.(_co,2e5)

【答案】D

【分析】函数/(x)=/Inx+亦存在减区间，则/'(幻<0有解可求解.

【详解】由题可知/(x)=2尤In尤+尤+a,

因为函数/'OhYlnx+ax存在减区间，则/'(%)<0有解，

即2xlnx+x+a<0有解，

令g(x)=2xlnx+尤+a,g'(x)=21nx+3,

令g'Q)>0,解得人/C-5；令8'。)<0,解得0\J<、小人、t彳/，

(_3\(_3\

所以g(x)在03一5单调递减，。-5,+8单调递增，

\7\7

_3_3_3_3

所以g(x)min=g(e万)=_3e万+e+a=-2e"+a，

3

因为2xlnx+x+a<0有解，所以_2”+4<0，

3

解得a<2eW-

故选:D.

8.(2022•陕西・延安北大培文学校高二阶段练习(理))若〃力二%2-2%-41nx,则制x)>。

的解集为()

A.(0,+co)B.(-OO,-1)U(2,-H»)C.(2,+oo)D.

【答案】C

【分析】先求导，再解不等式即可.

【详解】由/(%)=彳2—2x-41nx得，f'[x)=2x-2--,x>0

.4r

令2x—2—>0H,x>0»

x

解得x>2

即用x)>0的解集为(2,+s)

故选：C.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个

选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得

0分.

9.(2021.广东.饶平县第二中学高二阶段练习)函数，(丈)=(丁-1)2+2的极值点是()

A.x-1B.x=-lC.x=OD.x=-2

【答案】ABC

【分析】求导，令/'(x)=0,求出方程的根，根据极值点的定义即可判断.

【详解】由/(无)=(犬-1)2+2=--2无?+3得：f'(x)=4x3-4x=4x(x+l)(x-l),

令/'(x)=0,贝l]x=±l,0,当时，r(x)<。,当T<x<0,x>l时,>0,

故x=l,-1,0均是函数的极值点，

故选：ABC

10.(2022.浙江.高二期中)如图，y=/(x)是可导函数，直线/：>=履+2是曲线y=/(元)

在x=3处的切线,令g(尤)=#(x),其中g'(x)是g(x)的导函数，则()

【答案】ACD

【分析】由图像即可求人3),可判断A；根据/过(3,1)可求左=尸(3),可判断B；根据｛3)

可计算g(3),可判断C；根据g'(x)=f(x)+矿(力可求g'(3),可判断D.

【详解】由图可知，犬3)=1,故A正确；

(3,1)在y=Ax+2上，故1=34+2,故左=/«3)=-g,故B错误；

g(x)=xf(x),则g⑶=3/(3)=3,故C正确；

g'(x)=/(x)+V'(x),g,(3)=/(3)+3r(3)=l+3xL|Lo,故D正确.

故选：ACD.

11.(2022•吉林・辽源市田家炳高级中学校高二期末)如图是导函数y=f'(x)的图象，则下

列说法错误的是()

A.（T3）为函数y=/（x）的单调递增区间

B.（0,3）为函数y=〃x）的单调递减区间

C.函数y=『（x）在x=0处取得极大值

D.函数y=〃x）在x=5处取得极小值

【答案】BC

【分析】根据导函数函数值的正负与函数单调性的关系，以及函数极值点的定义，对每个选

项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】由图可知,当x＜—l时，尸（力＜0,故“X）单调递减；当xe（-1,3）,/（无）＞0,

故“X）单调递增；当xe（3,5）,1（x）＜0,故/（x）单调递减；当X＞5,f\x）＞0,故

单调递增，且/'（-1）=0,1（3）=0,广（5）=0,

则该函数在x=-l和x=5处取得极小值；在x=3处取得极大值.

故选：BC

12.（2022・湖南省临澧县第一中学高二阶段练习）已知函数y=〃x）的导函数尸（力的图象

A.在x=T时取极小值B.7（尤）在x=-2时取极大值

C.x=L5是极小值点D.x=3是极小值点

【答案】AC

【分析】由导函数的图像判断导数的正负，再通过导函数的零点左右两侧的导函数的正负来

确定函数的极值和极值点

【详解】解：由导函数尸（x）的图像可得，

当x=-4时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以/（尤）在x=T时取极小值，

所以A正确，

当x=L5时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以x=L5是/•"）极小值点，所

以C正确，

而x=-2和x=3,左右两边的导数值同号，所以x=-2和尤=3不是函数的极值点，所以BD

错误，

故选：AC

第II卷非选择题部分（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2022陕西・咸阳市高新一中高二阶段练习（理））若〃力=：X3一/"）尤2+彳+5,则/”）=

【答案】|

【分析】由导数的运算法则与赋值法求解，

【详解】/，（X）=X2-2/,（1）X+1,令X=1,得-⑴=（,

故答案为：：

14.（2022.陕西渭南.高二期末（理））曲线〃x）=d+3x在点A0J。））处的切线方程为

【答案】y=5x-l

【分析】由导数的概念和求导公式直接计算即可.

【详解】因为/'（x）=2x+3,所以解x）在A点的斜率左=尸（1）=5,

又因为/（1）=4,所以切线方程为y—4=5（尤-1）,

化简得y=5x-1.

故答案为：y=5x-l.

15.（2022•陕西渭南•高二期末（文））曲线y=lnx+l在点（1,1）处的切线也为曲线〉的

切线，则实数“=.

【答案】-1

【分析】利用导数求得曲线＞=©+1在点（L1）处切线的斜率，点斜式得到切线方程，此方

程也是曲线y=e，+a的切线方程，设切点坐标，利用导数列方程组求实数。的值.

【详解】由y=hx+l求导得y=p则曲线y=lnx+l在点（1,1）处的切线斜率为1,切线

方程为＞=x,

设直线＞=x与曲线y=e'+a相切的切点为0,e'+a）,由y=d+。求导得y，=e，,于是得

卜'=1=°

，解得「

et+a=t［。=-1

故答案为：-1

16.（2021.北京房山.高二期中）已知函数AM的定义域为R,AX）的导函数

（（无）=。-0。-2）,若函数〃尤）无极值，则斫；若x=2是/⑺的极小值点，

则a的取值范围是.

【答案】2a<2

【分析】对。进行分类讨论，结合函数的单调性确定正确结论.

【详解】当。<2时,“X)在区间(-w,a),(2,y)上/⑺>0,/(x)递增，在区间(。,2)上

/'⑴<0,/(%)递减.的极大值点为。,极小值点为2.

当a=2时，/'(X)=(^-2)2>0,在R上递增，无极值.

当a>2时，〃x)在区间(-00,2),(4,小》)上/(%)>0,/(%)递增，在区间(2,a)上

/(耳<0"(力递减.“力的极大值点为2,极小值点为久

故答案为：2；a<2

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.(2022•湖南•株洲市深口区第三中学高二期中)求下列函数的导数.

(l)J=x12；

⑵y=4；

X

⑶y=3'；

(4)y=lnx；

(5)y=cosx.

【答案】(l)y'=12x"

4

(2)y=

X

⑶y=3,In3

⑷y'=~

X

(5)y=-sin%

【分析】根据函数求导公式即可得出答案.

【详解】(1)y=(/)'=12产

(3)y'=(3，)'=3"n3

(4)y'=(in=—

(5)j/=(cosx)=-sinx

18.(2022•黑龙江・哈尔滨德强学校高二阶段练习)已知曲线C：f(x)=x2+2x-2

⑴求尸⑴的值;

⑵求曲线C在点P(l,/(1))处的切线方程.

【答案】(1)/(1)=4

⑵4x_y_3=0

【分析】(1)利用导数公式求解；(2)根据切点处函数的导数等于切线的斜率以及切点在曲线

上也在切线上的原理求解..

【详解】(1)由题得了'a)=2x+2,所以/'(1)=4.

(2)因为左=((1)=4,/(1)=1,

所以，切线方程为"1=4(》-1),

即4x-y-3=0.

19.(2022・新疆・霍城县第二中学高二期末(文))设函数/。)=依3+法+1在x=l处取得极

值-1.

⑴求。、6的值；

⑵求了(X)的单调区间.

【答案】(1)。=13=一3

⑵f(X)的单调递增区间为(F,-1),(1,y),单调递减区间为(-1,1).

【分析】(1)根据极值和极值点列出方程组，求出4=1,6=-3；⑵结合第一问得到单调区

间.

【详解】(1)f'(x)=3ax2+b,由题意得：f'(y)=3a+b=O,f(V)=a+b+l=-l,

解得：a=1,6=-3,

止匕时/'(彳)=3/—3=3(%+1)(彳一1),

当—1<%<1时，f'(x)<0,当x<-L或x>l时,f'(x)>0,

故无=1为极值点，满足题意，

所以。=1,。=-3.

(2)由(1)可知：当一l<x<l时，f'(x)<Q,当x<-l或x>l时，f'(x)>0,

故于3的单调递增区间为(f,-1),(1,—),单调递减区间为(-1,1)

20.(2022・全国•高二专题练习)设函数=依3+灰2,已知在x=-2和x=l处，/(x)

取得极值，求。和6的值；

【答案】a=-；,b=-l

【分析】求导，根据极值点列出方程组，求出。和b的值，再进行检验.

【详解】fr(x)=2xe”-i+X2ex~l+3ax2+2bx,由题意得：一2和1是2xex-1+x2ex~l+3ox2+2bx=0

3a-b=0

的两根，分别代入得：。“oC，解得：3,检验：当Q=—a,。=—1时，

\3a+2b+3=Ob=-13

f\x)=2屁-+/e>i—f_2x=x(e"T—1)(%+2),此时％=—2与尤=1均是极小值点，满足题

意；综上：a=-^,b=-l

21.(2022•内蒙古•北方重工集团第五中学高二阶段练习(文))已知函数〃元)=-：炉+/.

⑴求曲线y=/(x)在点(1,/(D)处的切线的斜率；

(2)求函数/(无)的单调区间与极值；

【答案】(1)1

(2)〃x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(-8,0),(2,+8),极小值为0,极大值

吟

【分析】(1)求导，求出了'(1)=-1+2=1即为切线斜率；(2)求导，列出表格，得到单调

区间和极值.

【详解】(1)因为/'(x)=-f+2x,所以『'(1)=-1+2=1,因此曲线y=/(x)在点(1,|)

处的切线的斜率为1;

(2)^f(x)=-x2+2x=0,解得：尤=0或2.

X(-8,0)0(。，2)2(2,+8)

—0+0—

“X)极小值/极大值

所以/(无)在(-8,0),(2,+8)内是减函数，在(0,2)内是增函数.

因此函数/(x)在x=0处取得极小值/(0),且/(0)=0,函数/(x)在x=2处取得极大

4

值，且/⑵=-；

综上：”X)的单调递增区间