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文档简介
2024-2025学年北京市第一六六中学高三上学期阶段测试数学试题
一、单选题:本题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合4=B={x\x2<2},则An8=()
A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{2,-2}D.{0,1}
2.若a<b且abKO,则下列不等式中一定成立的是()
A]竭B.*lC,<,3D.\a\<\b\
22
3.双曲线马―弓=1(a>0,6>0)的离心率为2,则其渐近线方程为()
ab
A.y=±V-2%B.y=±V-3xC.y=±苧%D.y=±2%
4.下列函数中,是偶函数且在区间(0,+8)上单调递增的是()
1
A./(x)=—B./(%)=sin|x|C./(%)=2%+2TD./(%)=tanx
5.在平面直角坐标系汽。y中,角a以。%为始边,终边与单位圆交于点P卜。,竽)则cos2a=()
A--|B.±:C号D.|
6.小王同学进行投篮练习,若他第1球投进,则第2球投进的概率为|;若他第1球投不进,则第2球投进的
概率为若他第1球投进概率为余他第2球投进的概率为()
A.fB.|C]D.|
7.已知数列{&J为无穷项等比数列,S”为其前兀项的和,“Si>0,且S2>0”是“VneN*,总有片>
0”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不必要又不充分条件
8.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐,新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口于1898年提出
蓄电池的容量C(单位:Ah),放电时间单位:九)与放电电流/(单位:/)之间关系的经验公式:C=严•
t,其中n为P常数为测算某蓄电池的尸常数九,在电池容量不变的条件下,当放电电流/二
20/时,放电时间t=20/i;当放电电流/=50/时,放电时间t=5儿若计算时取lg2、0.3,则该蓄电池的
常数几大约为()
A.1.25B.1.5C.1.67D.2
9.已知函数/(久)=俨则下列结论错误的是()
A.存在实数a,使函数/(乃为奇函数;
B.对任意实数a和/c,函数y=f(x)+k总存在零点;
C.对任意实数a,函数人久)既无最大值也无最小值;
D.对于任意给定的正实数小,总存在实数a,使函数f(x)在区间(-1,机)上单调递减.
10.设函数f(x)=sin(3久一9(3>0),若1fo1)-/(%2)1=2时,氏■-久2I的最小值为全则下列选项正确
的是()
A.函数f(x)的周期为亨
B.将函数“切的图像向左平移J个单位,得到的函数为奇函数
C.当Xe(睛)f(x)的值域为(苧,1)
D.方程f(x)=0在区间[-兀,汨上的根的个数共有6个
二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分。
11.已知cosa=|,a是第一象限角,且角a,£的终边关于y轴对称,贝!|tan£=
12.若函数/(x)=Xsin(tox+0)(2>0,3〉0,0<9<§的部分图象如图所示,则R的值是
13.数列{册}是公差为-2的等差数列,记{厮}的前n项和为工,且心,。3,。4成等比数列,则的=;
S7i=-----•
14.过抛物线y=%2的焦点尸的直线交抛物线于4,B两点,若弦中点纵坐标为2,则|2B|=.
15.斐波那契数列又称为黄金分割数列,在现代物理、化学等领域都有应用,斐波那契数列满足的=
a2=1,an=anT+an_2(n>3,nEN*).给出下列四个结论:
①存在mWN*,使得。皿。也+1,。也+2成等差数列;
②存在meN*,使得成等比数列;
③存在常数3使得对任意九EN*,都有成等差数列;
④存在正整数以…,im,且使得+见2+…+%恒=2023.
其中所有正确结论的序号是.
三、解答题:本题共6小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.已知函数/(久)=cos久“Zsinx+3cosx)-a的图像经过点弓,|).
(1)求实数a的值,并求/(久)的单调递减区间;
(2)当xe[o,1时,/(x)2m恒成立,求实数m的取值范围.
17.设函数/(X)=2sin(3x+0)(3〉0,|卬|<?,已知VxeR,/(%)<f(x)在区间[工,工]上单
调,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数/(%)存在.
(1)求3,0的值;
(2)当久e卜时,若曲线y=/(久)与直线y=小恰有一个公共点,求m的取值范围.
条件①:管,0)为函数y=f(x)的图象的一个对称中心;
条件②:直线x=需为函数y=f(x)的图象的一条对称轴;
条件③:函数/(X)的图象可由y=sin2x的图象平移得到.
注:如果选择的条件不符合要求,得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
18.某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况,从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份,
记录并整理这些保单的索赔情况,获得数据如下表:
赔偿次数01234
单数800100603010
假设:一份保单的保费为04万元;前3次索赔时,保险公司每次赔偿0.8万元;第四次索赔时,保险公司赔
偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率;
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
①记X为一份保单的毛利润,估计X的数学期望E(X);
(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利润
的数学期望估计值与①中E(X)估计值的大小.(结论不要求证明)
19.已知椭圆C:滔+/=l(a>6>0)的左顶点为力(―2,0),上下顶点为,禺心率为
(1)求椭圆C的方程
(2)设P点是椭圆C上一点,不与顶点重合,M满足四边形P/MB2是平行四边形,过点P作垂直y轴的直线
交直线4于点Q,再过Q作垂直于X轴的直线交直线PE?于点M求证:A,M,N三点共线.
20.已知函数"X)=」j,其中a为常数.
(%+a)
⑴若a=0,求函数/(X)的极值;
(2)若函数f(x)在(0,-a)上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)若a=-1,求函数在(0,1)上的极值点的个数.
21.已知数列4^a2>c1n.如果数列B“:瓦,%满足瓦=%,=ak_r+ak—bk_1,其中
k=2,3,-,n,则称8n为力日的“衍生数列”.
(1)若数列4:«i>a2,a3,的“衍生数列”是方4:5,-2,1,2,求心;
(2)若n为偶数,且4口的“衍生数列”是Bn,证明:Bn的“衍生数列”是4小
(3)若n为奇数,且上的“衍生数列”是4,当的“衍生数列”是金,…依次将数列力n,Bn,Cn,…第i(i=
1,2,…,n)项取出,构成数列。/a”bt,q....求证:化是等差数列.
参考答案
l.B
2.C
3.C
4.C
5.4
6.4
7.C
8.F
9.B
10.D
13.8;—n2+9n
14.6
15.①③④
16.(1)由题意得,cos((V3sin[+3cos[)-a=|.
解得a=|.
所以/(%)=cos%(V~^sin%+3cosx)—1=V"^sin%cos%+3cos2x—1
V3.1+cos2x3
=-2-sin2%+3x-----------]
=?sin2x+3c;2%_^/^sin(2x+§,
由5+CTT2,x+耳<——F2kn,keZ,得行+kn<%<—+kn,k£Z,
乙2/<D乙J.乙.乙
所以/(%)的单调递减区间为恪+加普+同(keZ).
(2)由(1)可知/(%)=V3sin(2x+5
因为04%同,所以牌2%+牌竽
所以一5WV-3sin卜%+g<y/~3.
所以一?4/(%)
当2%+g=与,即%=卯寸,/(%)取得最小值一|.
因为/(%)>ZH恒成立等价于zn</(%)min,所以血<-2-
所以实数小的取值范围是(-8,-|]
17.(1)由/(x)<f("]知sin3+卬)=1,从而工3+0=1+2/c;r(fcSZ).
而/(X)在区间[刍期上单调,/(X)的周期为穿,
这意味着蒋W工+9卫,即上工故0<3W2.
12122to2(x)
注意到工3+9=5+2%兀(攵CZ),从而有:
(p=^+2kn-^-a)>^+2kn-l=l+2k7i,cp=g+2kn—+2kn,
LLlzZ63一三L<L1Z〈三L
所以得+2/CTT,—5<5+2/C7T,即一:</CV2,而々6Z,故々=0.
从而专O)+(P=^,故/(%)=2sin(eox+(P)=2sin(3%+尹雪川)•
若选择条件①,贝鸣,0)为函数y=/Q)的图象的一个对称中心,从而这等价于f管)=0,
所以sin售3+5一居3)=0,从而sin+1)=0,故+(="(4€Z),
所以a=-2+4k(keZ),由0<a<2知3=2,故/(%)=2sin(3%+/—强3)=2sin(2x+号),故3=
71
2Q,(P-
若选择条件②,则直线久=段为函数y=/(%)的图象的一条对称轴,从而/倍)=±2,
而向在区间层阁上单调,f㈤=2,故f⑶=-2.
从而2sin借a—"a)=-2,所以sin(1a+])=-1,故为+,=写+2而(々WZ),
所以3=2+4k(kEZ),由0<3<2知3=2,故/(%)=2sin(3%+一春3)=2sin(2x+号),故a=
71
2Q,(p=-;
若选择条件③,函数/(%)与丫=sin2%的振幅不一致,无法通过平移得到,
故不能选择;
(2)条件等价于,关于%的方程/(%)=zn即2sin(2%+§=加在[-亨用上恰有一个解.
记2%+:〃,则%=从而%G卜与目和[Y片]一一对应,
这就表明条件等价于关于a的方程sina=与在卜弓片]上恰有一个解.
设g(u)=sina,则在[―葭]上递增,在||年]上递减,9(一£)=得,9(?=L9偿)=,
此时,若租>2,则g(〃)=sinu<1<y,方程sin”=/无解,不满足条件;
若mv-l,则当身时,g(〃)<g(_')=_1>';
当现叱用时,gQ)2g管"拉一W.
故方程sina在[-9引上无解,不满足条件;
11m/\m1m
-<<gI7r)-1>--<-
----一-g--
若1<m<2,由g(〃)>g222,V2/222
知方程sin”=狎(Y与和&(]上各至少有一个根,
从而在[-*片]上至少有两个根,不满足条件;
若一lWznVl,则当〃E年片]时,g(u)>g=1>-1>7,
故方程sinu=三在吟司上无解;
z\1m
1
而sina在[-弓用上单调,且g(a)>g(―§=-|<j,gf7T-!->->-
v2722
所以方程sina=3在卜睛)上恰有一个根.
这就表明方程sin”=/在[-泉裔上恰有一个根,满足条件;
若m=2,贝=sinu<1=y,当且仅当〃=+2kli(kEZ)时等号成立.
而ue故当且仅当a=轲等号成立,
故方程sinu=3在[Y凿上恰有一个根比=与满足条件.
综上,山的取值范围是[-1,1)U{2}.
18.(1)设4为“随机抽取一单,赔偿不少于2次”,
60+30+101
由题设中的统计数据可得PQ4)=
800+100+60+30+1010,
(2)(回)设f为赔付金额,则f可取0,0.8,1.6,2.4,3,
由题设中的统计数据可得%=0)=磊==0.8)=热=白,
「转=1-6)=蒜=去W=2.4)=蒜=高,
。纥=3)=蒜=+,
故E(§)=。*"0.8*春+1.6*9+2.4*高+3*焉=0.278
故灰X)=0.4-0.278=0.122(万元).
(日)由题设保费的变化为0.4*白96%+0.4*白1.2=0.4032,
故E(K)=0.122+0.4032-0.4=0.1252(万元),
从而E(X)<F(r).
19.(1)因为椭圆C:捻+"=l(a>b>0)的左顶点为4(—2,0),所以a=2,
又£=噂,所以C=,3,所以匕2=a2-c2=1,
a2
所以椭圆C的方程为9+y2=L
⑵
B2
由(1)知Bi(0,1),S2(0,-l),
1
f+
设尸4:y=kx-ZcWO,c-2-
y=kx—1
联立方程%2可得(4々2+1)%2—8收=0,
—+yz=1
4/
X—__8k_
一所以P(牛,纥匚),
_4r-l\4/cz+l4/cz+l/
{y―4/C2+I
因为四边形P/MB2是平行四边形,由椭圆的对称性可知点P与点M关于原点对称,
所以M(瑞瑞,
直线/Bi的方程为y=+1,把y=当匚代入可得%=j4-,
2/4/cz+l4k'+l
所以Q(q一,竺二),
\4r+l4kz+l/
把%==代入y=kx-l可得N-4fc2-4k-l\
4k'+l\4r+l4r+l/
-(2k+l)2
所以过4N的直线的斜率为%N=尹匚=温咨=篝,
1-4-2
所以过4,M的直线的斜率k4M=24,白=2;U?)2=|^票=%一
4fc2+l
所以4M,N三点共线.
20.(1)当a=0时,〃>)=臀,定义域为(0,+8),
(。)=铲
令((%)=0,即1—21n%=0,
Inx=I,解得%=V"^,
・•・当%e(0,,^)时,/'(%)>0,
当%E(yfe,+8)时,[(x)<0,
•••/(%)在(0,,5)上单调递增,在(/?,+8)上单调递减,
故〃%)的极大值为f(五)=曳I=E无极小值.
(<e)Le
(2),定义域为{%|%>0且%C—a),
^(x+a)2—(2x4-2a)Inx1+^—21nx
/'(%)=
(x+a)4(x+a)3
要使/(%)在(0,-。)上单调递增,则。<0,
又1G(0,—a)时,a<%+a<0,
只需1+?—21nx<0在(0,-a)上恒成立,
即a<2x\nx—%在(0,一a)上恒成立,
令9(%)=2xlnx-x,即a4g(%)min,
则=21nx+2—1=21nx+1,
令g'(%)=0,即21n%+1=0,
解得无=余
1
・•・当%£(0,.)时,g'(%)<0,
Ve
当%E(2+8)时,“(%)>0,
Ve
。(久)在(0,+)上单调递减,在(看,+8)上单调递增,
•••gQ)min=9(蚩)=a啥—蚩=—急
(3)当a=-l时,f(x)=xe(0,1),
'。-1)
,,1———21nx
由(2)知[(久)=一才,
(x-1)
令h(%)=1---21nx,
则/1G)=与二=号,
当%e(o[)时,h'(x)>o,
当xe6,i)时,"(久)<0,
八⑺在(0,今单调递增,在@,1)上单调递减,
•••八(x)max=h(今=21n2-1>0,
11
又hg)=1_4-21n:=41n2-3<0,h(l)=0,
44
则%(x)在(0,1)上有且仅有一个零点,设该零点为比,
则当久6(0,久0)时,旗久)<0,即
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