2024-2025学年北京市某中学高三年级上册阶段测试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市第一六六中学高三上学期阶段测试数学试题

一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4=B={x\x2<2},则An8=（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{2,-2}D.{0,1}

2.若a<b且abKO,则下列不等式中一定成立的是（）

A]竭B.*lC,<,3D.\a\<\b\

22

3.双曲线马―弓=1（a>0,6>0）的离心率为2,则其渐近线方程为（）

ab

A.y=±V-2%B.y=±V-3xC.y=±苧％D.y=±2%

4.下列函数中，是偶函数且在区间（0,+8）上单调递增的是（）

1

A./（x）=—B./（%）=sin|x|C./（%）=2%+2TD./（%）=tanx

5.在平面直角坐标系汽。y中，角a以。％为始边，终边与单位圆交于点P卜。，竽）则cos2a=（）

A--|B.±：C号D.|

6.小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为|；若他第1球投不进，则第2球投进的

概率为若他第1球投进概率为余他第2球投进的概率为（）

A.fB.|C]D.|

7.已知数列{&J为无穷项等比数列，S”为其前兀项的和，“Si>0,且S2>0”是“VneN*,总有片>

0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不必要又不充分条件

8.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口于1898年提出

蓄电池的容量C（单位：Ah）,放电时间单位：九）与放电电流/（单位：/）之间关系的经验公式：C=严•

t,其中n为P常数为测算某蓄电池的尸常数九，在电池容量不变的条件下，当放电电流/二

20/时，放电时间t=20/i；当放电电流/=50/时，放电时间t=5儿若计算时取lg2、0.3,则该蓄电池的

常数几大约为（）

A.1.25B.1.5C.1.67D.2

9.已知函数/(久)=俨则下列结论错误的是()

A.存在实数a,使函数/(乃为奇函数；

B.对任意实数a和/c,函数y=f(x)+k总存在零点；

C.对任意实数a,函数人久)既无最大值也无最小值；

D.对于任意给定的正实数小，总存在实数a,使函数f(x)在区间(-1,机)上单调递减.

10.设函数f(x)=sin(3久一9(3>0),若1fo1)-/(%2)1=2时，氏■-久2I的最小值为全则下列选项正确

的是()

A.函数f(x)的周期为亨

B.将函数“切的图像向左平移J个单位，得到的函数为奇函数

C.当Xe(睛)f(x)的值域为(苧,1)

D.方程f(x)=0在区间［-兀，汨上的根的个数共有6个

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知cosa=|,a是第一象限角，且角a,£的终边关于y轴对称，贝!|tan£=

12.若函数/(x)=Xsin(tox+0)(2>0,3〉0,0<9<§的部分图象如图所示，则R的值是

13.数列｛册｝是公差为-2的等差数列，记｛厮｝的前n项和为工,且心,。3，。4成等比数列，则的=;

S7i=-----•

14.过抛物线y=%2的焦点尸的直线交抛物线于4,B两点，若弦中点纵坐标为2,则|2B|=.

15.斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足的=

a2=1,an=anT+an_2(n>3,nEN*).给出下列四个结论：

①存在mWN*,使得。皿。也+1，。也+2成等差数列；

②存在meN*,使得成等比数列；

③存在常数3使得对任意九EN*,都有成等差数列;

④存在正整数以…，im，且使得+见2+…+%恒=2023.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.已知函数/(久)=cos久“Zsinx+3cosx)-a的图像经过点弓,|).

(1)求实数a的值，并求/(久)的单调递减区间；

(2)当xe［o,1时，/(x)2m恒成立，求实数m的取值范围.

17.设函数/(X)=2sin(3x+0)(3〉0,|卬|<?，已知VxeR,/(%)<f(x)在区间［工,工］上单

调，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数/(%)存在.

(1)求3,0的值；

(2)当久e卜时，若曲线y=/(久)与直线y=小恰有一个公共点，求m的取值范围.

条件①：管,0)为函数y=f(x)的图象的一个对称中心；

条件②：直线x=需为函数y=f(x)的图象的一条对称轴；

条件③：函数/(X)的图象可由y=sin2x的图象平移得到.

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

18.某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份,

记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：

赔偿次数01234

单数800100603010

假设：一份保单的保费为04万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔

偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立用频率估计概率.

(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；

(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.

①记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E(X)；

(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利润

的数学期望估计值与①中E(X)估计值的大小.(结论不要求证明)

19.已知椭圆C：滔+/=l(a>6>0)的左顶点为力(―2,0),上下顶点为,禺心率为

(1)求椭圆C的方程

(2)设P点是椭圆C上一点，不与顶点重合，M满足四边形P/MB2是平行四边形，过点P作垂直y轴的直线

交直线4于点Q,再过Q作垂直于X轴的直线交直线PE?于点M求证：A,M,N三点共线.

20.已知函数"X)=」j,其中a为常数.

(%+a)

⑴若a=0,求函数/(X)的极值；

(2)若函数f(x)在(0,-a)上单调递增，求实数a的取值范围；

(3)若a=-1,求函数在(0,1)上的极值点的个数.

21.已知数列4^a2>c1n.如果数列B“：瓦，%满足瓦=%，=ak_r+ak—bk_1,其中

k=2,3,-,n,则称8n为力日的“衍生数列”.

(1)若数列4：«i>a2,a3,的“衍生数列”是方4：5,-2,1,2,求心；

(2)若n为偶数，且4口的“衍生数列”是Bn，证明：Bn的“衍生数列”是4小

(3)若n为奇数，且上的“衍生数列”是4,当的“衍生数列”是金，…依次将数列力n,Bn,Cn，…第i(i=

1,2,…,n)项取出，构成数列。/a”bt，q....求证：化是等差数列.

参考答案

l.B

2.C

3.C

4.C

5.4

6.4

7.C

8.F

9.B

10.D

13.8；—n2+9n

14.6

15.①③④

16.(1)由题意得,cos((V3sin[+3cos[)-a=|.

解得a=|.

所以/(%)=cos%(V~^sin%+3cosx)—1=V"^sin%cos%+3cos2x—1

V3.1+cos2x3

=-2-sin2%+3x-----------]

=?sin2x+3c；2%_^/^sin(2x+§,

由5+CTT2,x+耳<——F2kn,keZ,得行+kn<%<—+kn,k£Z,

乙2/<D乙J.乙.乙

所以/(%)的单调递减区间为恪+加普+同(keZ).

(2)由(1)可知/(%)=V3sin(2x+5

因为04%同，所以牌2%+牌竽

所以一5WV-3sin卜％+g<y/~3.

所以一?4/(%)

当2%+g=与，即％=卯寸，/(%)取得最小值一|.

因为/(%)>ZH恒成立等价于zn</(%)min，所以血<-2-

所以实数小的取值范围是(-8,-|]

17.(1)由/(x)<f("]知sin3+卬)=1,从而工3+0=1+2/c;r(fcSZ).

而/(X)在区间[刍期上单调，/(X)的周期为穿，

这意味着蒋W工+9卫，即上工故0<3W2.

12122to2(x)

注意到工3+9=5+2%兀(攵CZ),从而有：

(p=^+2kn-^-a)>^+2kn-l=l+2k7i,cp=g+2kn—+2kn,

LLlzZ63一三L<L1Z〈三L

所以得+2/CTT,—5<5+2/C7T,即一：</CV2,而々6Z,故々=0.

从而专O)+(P=^,故/(%)=2sin(eox+(P)=2sin(3%+尹雪川)•

若选择条件①，贝鸣,0)为函数y=/Q)的图象的一个对称中心，从而这等价于f管)=0,

所以sin售3+5一居3)=0,从而sin+1)=0,故+(="(4€Z),

所以a=-2+4k(keZ),由0<a<2知3=2,故/(%)=2sin(3%+/—强3)=2sin(2x+号)，故3=

71

2Q,(P-

若选择条件②，则直线久=段为函数y=/(%)的图象的一条对称轴，从而/倍)=±2,

而向在区间层阁上单调,f㈤=2,故f⑶=-2.

从而2sin借a—"a)=-2,所以sin(1a+])=-1,故为+,=写+2而(々WZ),

所以3=2+4k(kEZ),由0<3<2知3=2,故/(%)=2sin(3%+一春3)=2sin(2x+号)，故a=

71

2Q,(p=-；

若选择条件③，函数/(%)与丫=sin2%的振幅不一致，无法通过平移得到，

故不能选择；

(2)条件等价于，关于％的方程/(%)=zn即2sin(2%+§=加在［-亨用上恰有一个解.

记2%+:〃，则％=从而％G卜与目和［Y片］一一对应，

这就表明条件等价于关于a的方程sina=与在卜弓片］上恰有一个解.

设g(u)=sina,则在［―葭］上递增，在||年］上递减，9(一£)=得，9(?=L9偿)=,

此时，若租>2,则g(〃)=sinu<1<y,方程sin”=/无解，不满足条件；

若mv-l,则当身时,g(〃)<g(_')=_1>'；

当现叱用时，gQ)2g管"拉一W.

故方程sina在［-9引上无解，不满足条件；

11m/\m1m

-<<gI7r)-1>--<-

----一-g--

若1<m<2,由g(〃)>g222,V2/222

知方程sin”=狎(Y与和&(］上各至少有一个根,

从而在［-*片］上至少有两个根，不满足条件；

若一lWznVl,则当〃E年片］时，g(u)>g=1>-1>7,

故方程sinu=三在吟司上无解；

z\1m

1

而sina在［-弓用上单调,且g(a)>g(―§=-|<j,gf7T-!->->-

v2722

所以方程sina=3在卜睛)上恰有一个根.

这就表明方程sin”=/在［-泉裔上恰有一个根，满足条件；

若m=2,贝=sinu<1=y,当且仅当〃=+2kli(kEZ)时等号成立.

而ue故当且仅当a=轲等号成立，

故方程sinu=3在［Y凿上恰有一个根比=与满足条件.

综上，山的取值范围是［-1,1)U{2}.

18.(1)设4为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，

60+30+101

由题设中的统计数据可得PQ4)=

800+100+60+30+1010,

(2)(回)设f为赔付金额，则f可取0,0.8,1.6,2.4,3,

由题设中的统计数据可得%=0)=磊==0.8)=热=白,

「转=1-6)=蒜=去W=2.4)=蒜=高，

。纥=3)=蒜=+，

故E(§)=。*"0.8*春+1.6*9+2.4*高+3*焉=0.278

故灰X)=0.4-0.278=0.122(万元).

(日)由题设保费的变化为0.4*白96%+0.4*白1.2=0.4032,

故E(K)=0.122+0.4032-0.4=0.1252(万元)，

从而E(X)<F(r).

19.(1)因为椭圆C：捻+"=l(a>b>0)的左顶点为4(—2,0),所以a=2,

又£=噂，所以C=，3,所以匕2=a2-c2=1,

a2

所以椭圆C的方程为9+y2=L

⑵

B2

由(1)知Bi(0,1),S2(0,-l),

1

f+

设尸4：y=kx-ZcWO,c-2-

y=kx—1

联立方程%2可得(4々2+1)%2—8收=0,

—+yz=1

4/

X—__8k_

一所以P(牛，纥匚)，

_4r-l\4/cz+l4/cz+l/

{y―4/C2+I

因为四边形P/MB2是平行四边形，由椭圆的对称性可知点P与点M关于原点对称,

所以M(瑞瑞，

直线/Bi的方程为y=+1,把y=当匚代入可得％=j4-,

2/4/cz+l4k'+l

所以Q(q一，竺二)，

\4r+l4kz+l/

把％==代入y=kx-l可得N-4fc2-4k-l\

4k'+l\4r+l4r+l/

-(2k+l)2

所以过4N的直线的斜率为%N=尹匚=温咨=篝，

1-4-2

所以过4,M的直线的斜率k4M=24,白=2；U？)2=|^票=%一

4fc2+l

所以4M,N三点共线.

20.(1)当a=0时，〃>)=臀，定义域为(0,+8),

(。)=铲

令((%)=0,即1—21n%=0,

Inx=I，解得％=V"^,

・•・当％e(0,，^)时，/'(%)>0,

当％E(yfe,+8)时,[(x)<0,

•••/(%)在(0,，5)上单调递增，在(/?,+8)上单调递减,

故〃%)的极大值为f(五)=曳I=E无极小值.

(<e)Le

(2),定义域为｛%|%>0且%C—a),

^(x+a)2—(2x4-2a)Inx1+^—21nx

/'(%)=

(x+a)4(x+a)3

要使/(%)在(0,-。)上单调递增，则。<0,

又1G(0,—a)时，a<%+a<0,

只需1+?—21nx<0在(0,-a)上恒成立,

即a<2x\nx—%在(0,一a)上恒成立，

令9(%)=2xlnx-x,即a4g(%)min，

则=21nx+2—1=21nx+1,

令g'(%)=0，即21n%+1=0,

解得无=余

1

・•・当％£(0,.)时，g'(%)<0,

Ve

当％E(2+8)时，“(%)>0,

Ve

。(久)在(0,+)上单调递减，在(看,+8)上单调递增，

•••gQ)min=9(蚩)=a啥—蚩=—急

(3)当a=-l时，f(x)=xe(0,1),

'。-1)

,,1———21nx

由(2)知[(久)=一才，

(x-1)

令h(%)=1---21nx,

则/1G)=与二=号,

当％e(o[)时，h'(x)>o,

当xe6,i)时，"(久)<0,

八⑺在(0,今单调递增，在@,1)上单调递减，

•••八(x)max=h(今=21n2-1>0,

11

又hg)=1_4-21n：=41n2-3<0,h(l)=0,

44

则％(x)在(0,1)上有且仅有一个零点，设该零点为比，

则当久6(0,久0)时，旗久)<0，即