浙教版七年级数学上册同步讲义：圆周角（学生版+解析）

第14课圆周角

号目标导航

学习目标

1.理解圆周角的概念.

2.经历探索圆周角定理的过程.

3.掌握圆周角定理和它的推论.

4.会运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题.

魏刘识精讲

知识点01圆周角的概念

圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.

知识点02圆周角性质定理

1.圆周角性质定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

2.推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.

3.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

能力拓展

考点01圆周角的概念

【典例1］下列图形中的角是圆周角的是（）

【即学即练1】下面图形中的角，是圆周角的是（）

A.B.C.D.

考点02圆周角性质的应用

【典例2】如图，。为半圆的圆心，C、。为半圆上的两点，连接C。、BD、AD,CD=BD.连接AC并延

长，与2。的延长线相交于点E.

(1)求证：CD=DE；

(2)若AC=6,半径。8=5,求8。的长.

【即学即练2］如图，OO的直径的长为10,弦AC的长为6,的平分线交O。于点D

(1)求弦BC的长；

(2)求弦8。的长；

(3)求CD的长.

fii分是分

题组A基础过关练

1.下列说法正确的是()

A.顶点在圆上的角是圆周角B.两边都和圆相交的角是圆周角

C.圆心角是圆周角的2倍D.在同圆中，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半

2.如图，为的直径，点C、。在。。上.若NACD==50°,则/BA。的大小为()

A.25°B.30°C.40°D.50°

3.如图，点A,B,C在O。上，ZAOC=130°,/B的大小是()

A.50°B.100°C.115°D.130°

4.圆中一条弦恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为()

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

5.如图，已知A8是的直径，弦与交于点E,设N42C=a,ZAEC^y,贝U()

A.a+p-y=90°B.P+Y-a=90°C.a+y-0=90°D.a+0+Y=18O。

6.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB

=12CMI,BC=5cm,则圆形镜面的半径为

7.如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角NC=48°,问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？

答：—.

灯塔」灯塔3

8.如图，△ABC中，AB^AC,以AB为直径作O。，交BC于点、D,交AC于点E.

(1)求证：.

(2)若/BAC=50°,求益的度数.

A

9.如图，A3是。。的直径，点C是圆上一点，点。为癌的中点，过点。作。A3于E,交3C于点F

（1）求证：DF=BF；

（2）若AC=6,。0的半径为5,求8。的长.

题组B能力提升练

10.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上.点A,2的读数分别为86。，30°,

则NACB的度数是（）

C.36°D.56°

11.下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；

④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所

对的圆周角相等，不正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

12.如图，已知。。的半径为5,AB,CD为的弦，且CO=6.若/408+/6'0。=180°,则弦A8的长

为（）

B.

A.6B.7C.8D.9

13.如图,在RtZsABC中，ZABC=90°，ZA=32°,点、B、C在上，边AB、AC分别交00于。、E

两点，点8是面的中点，则/ABE的度数是()

C.18D.21°

14.OO内一点P,OP=3cm,过点P的最短的弦48=6近51,。是。。上除AB两点之外的任一点，则/

AQB=.

15.如图，是。。的直径，45=4,AC=2«，如果。为圆上一点，且AO=2,那么/D4C=

16.如图，A8是。。的直径，弦平分/8AC,过点。分别作DELAC、DF±AB,垂足分别为£、F,Q0

与AC交于点G.

(1)求证：EG=BF；

(2)若。。的半径r=6,BF=2,求AG长.

17.如图，是。。的直径，C是俞的中点，尸是线段上一点，连接B并延长CF,与AB交于点E,

CF=BF.

(1)求证：CELAB；

(2)若C£=12,BE=8,求43的长.

18.如图所示，AB=AC,AB为OO的直径，AC.BC分别交。。于E,D,连结EDBE.

(1)试判断。E与2。是否相等，并说明理由；

(2)如果8C=12,AB=1Q,求BE的长.

题组C培优拔尖练

19.如图，A、P、B、C是。。上的四点，ZAPC=ZBPC=60°,E4=2,PC=4,则△ABC的面积为()

A.1V3B.拜C.273D.3M

20.如图，半径为R的。。的弦AC=B。，AC.BD交于E,尸为BC上一点，连ARBF、AB,AD,下列结

论：①AE=BE；AC±BD,则AD=&R；③在②的条件下，若静=而，AB=、［i，贝UBF+CE^1.其

中正确的是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

21.如图，A8是。。的直径，C,。是O。上的点，S.OC//BD,AD分别与BC,0c相交于点E,F,则下

列结论:

@AD_LBD；®ZAOC=ZAEC；③BC平分NAB。；®AF^DF-,⑤BD=20F；®/\CEF^/\BED,其中

一定成立的是()

A.②④⑤⑥B.①③⑤⑥C.②③④⑥D.①③④⑤

22.在△ABC中，ZBAC=100°,AB=AC,。为△ABC外一点，且AO=AC,则/BZ)C=°.

23.如图，A2是。。的一条弦，点C是O。上一动点，且/ACB=30°,点、E、P分别是AC、BC的中点,

直线E尸与。。交于G、H两点，若。。的半径为8,则GE+尸”的最大值为.

24.如图，。。的半径为1,A、2、C是。。上的三个点，点P在劣弧AB上，ZAPB=120°,PC平分NAPB.

(1)求证：PA+PB=PC-,

(2)当点尸位于什么位置时，△AP2的面积最大？求出最大面积.

25.如图1,在圆。中，AB=AC,/AC8=75°,点E在劣弧AC上运动，连接EC、BE,交AC于点反

(1)求/E的度数；

(2)当点E运动到使8ELAC时，如图2,连接AO并延长，交BE于点、G,交8C于点。，交圆。于

点.M,求证：。为GM中点.

图1图2

第14课圆周角

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学习目标

1.理解圆周角的概念.

2.经历探索圆周角定理的过程.

3.掌握圆周角定理和它的推论.

4.会运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题.

微电识精讲

知识点01圆周角的概念

圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.

知识点02圆周角性质定理

1.圆周角性质定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

2.推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.

3.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

能力拓展

考点01圆周角的概念

【典例1］下列图形中的角是圆周角的是（）

【思路点拨】根据圆周角的定义判断即可.

【解析】解：根据圆周角的定义可知，选项A中的角是圆周角.

故选：A.

【点睛】本题考查圆周角的定义，解题的关键是理解圆周角的定义，属于中考基础题.

【即学即练1】下面图形中的角，是圆周角的是（）

A.B.C.

【思路点拨】根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.即

可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用.

【解析】解：•••圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

...是圆周角的是艮

故选：B.

【点睛】此题考查了圆周角定义.注意圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上.②角

的两条边都与圆相交，二者缺一不可.

考点02圆周角性质的应用

【典例2】如图，。为半圆的圆心，C、。为半圆上的两点，连接。、BD、AD,CD=BD.连

接AC并延长，与8。的延长线相交于点E.

(1)求证：CD=DE-,

(2)若AC=6,半径08=5,求的长.

【思路点拨】(1)连接BC,由C£>=8D,AB为直径可得NE=NEC。，进而求解.

(2)由勾股定理求出8C的值，再由为等腰三角形可得工8E,再通过勾股

2

定理求解.

【解析】(1)证明：••SB为直径，

/A£)B=/A£)E=90°,

■:CD=BD,

J.ZEAD^ZDAB,

：.ZE=NABE,

连接8C,则/。CB=NZ)BC,ZACB=ZECB=90°,

E

c

.4OB

VZEBC+ZE=90°,NDCB+NECD=9Q°,

ZE=ZECD,

：.CD=DE.

(2)解：在Rt^ACB中，由勾股定理得BC='AB2_AC2=A/]02_62=8,

,/ZE=ZABE,

：./XAEB为等腰三角形，

：.AB=AE,BD=DE,

：.CE=AE-AC=AB-AC=10-6=4,

在RtABCE中，由勾股定理得—E={BC2KE2==4心

:.BD=LBE=2疾.

2

【点睛】本题考查圆与三角形的结合，解题关键是掌握圆周角定理，掌握解直角三角形

的方法.

【即学即练2】如图，O。的直径AB的长为10,弦AC的长为6,NACB的平分线交。。

于点D.

(1)求弦BC的长；

(2)求弦BD的长；

(3)求CD的长.

【思路点拨】(1)利用勾股定理求解即可.

(2)证明是等腰直角三角形，可得结论.

(3)作于H,如图，求出C”，DH,可得结论.

【解析】

解：(1)TAB为0O的直径，

AZACB=90°,

在RtZXACB中，AB=10,AC=6,

•，,BC=VAB2-AC2=V102-62=8；

(2)为。。的直径,

/.ZADB=90°,

•・,ZACB的平分线交。0于D,

：.ZACD=/BCD,

：.AD=BDf

・・・/\ABD为等腰直角三角形，

：.BD=

2

(3)作8"_LCQ于H,如图，

VZBC//=45°,

ABCH为等腰直角三角形，

BH=CH=®8c=4加,

2

在RtZ\BLW中，7BD2-BH2=3V2>

：.CD=CH+DH=4V2+3V2=7V2.

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识,

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

M分层提分

题组A基础过关练

1.下列说法正确的是()

A.顶点在圆上的角是圆周角B.两边都和圆相交的角是圆周角

C.圆心角是圆周角的2倍D.在同圆中，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度

数的一半

【思路点拨】根据圆周角的定义及圆周角定理的内容进行各选项的判断，继而可得出答

案.

【解析】解：A、顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，原说法错误，故本

选项错误；

8、没有强调顶点在圆上，原说法错误，故本选项错误；

C、同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，

原说法错误，故本选项错误；

D,在同圆中，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半，说法正确，故本选项

正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了圆周角的定义及圆周角定理的内容，属于基础题，同学们注意仔细理解

一些定义及定理，牢记各定理成立的条件.

2.如图，为的直径，点C、D在上.若/AC£>==50°,则NBA。的大小为（）

【思路点拨】利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可以得到

ZACD=50°,再利用直径所对的圆周角是直角，即可求出NBA。的度数.

【解析】解：连接80,

AZADB=9Q°,

---AABD^ZACD所对的弧都是俞，

AZABD=ZACD=50°,

ZBAZ）=90°-ZABD=90°-50°=40°,

故答案选：C.

【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是作辅助线连接8D

3.如图，点A,B,C在。。上，NAOC=130",的大小是（）

【思路点拨】在优弧AC上取点£）,连接AQ、C。，根据圆周角定理求出/£>=//AOC,

根据圆内接四边形的性质得出NB+NQ=180。，再求出答案即可.

【解析】解：在优弧AC上取点£）,连接A。、CD,

D

'：ZAOC=130°,

：.ZD=-L^AOC=65°,

：A、B、C、。四点共圆，

：.ZB+ZD=180°,

.\ZB=180°-65°=115°,

故选：C.

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形的性质等

知识点，能熟记圆周角定理是解此题的关键.

4.圆中一条弦恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为（）

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

【思路点拨】由题意先画出图形，由圆周角定理可求解/ACB=90°,利用含30°角的

直角三角形的性质可求解C8=30°,利用圆内接四边形的性质可求解/。的度数，进而

可求解.

【解析】解：如图：AB=2AC,AB为O。的直径，连接BC，AD,CD,

.,.ZB=30°,

VZB+ZD=180°,

.".ZD=150°,

即这条弦所对的圆周角的度数为30°或150°,

故选：C.

【点睛】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，含30°角的直角三角形的性

质，根据题意画出图形是解题的关键.

5.如图，已知AB是OO的直径，弦与A8交于点E,设NABC=a,ZABD=p,ZAEC

=Y，则（）

B

A.a+p-y=90°B.P+Y-a=90°C.a+y-p=90°D.a+p+y=180°

【思路点拨】连接AC,根据圆周角定理及三角形外角性质求解即可.

【解析】解：连接AC

TAB是。。的直径，

AZACB=ZBCD+ZACD=90°,

ZACD=ZABD=^f

：.ZBCD=90°-p,

ZAEC=ZABC+ZBCD=yfZABC=a,

.•・Y=a+90°-0,

即y+P-a=90°,

故选：B.

【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角等于90°”是解题的关键.

6.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的

测量，测得AB=12cm,BC=5cm,则圆形镜面的半径为^-cm

~2

【思路点拨】连接AC,根据/ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理

求出AC即可.

【解析】解：连接AC,

VZABC=90°,且/ABC是圆周角，

；.AC是圆形镜面的直径，

由勾股定理得：AC—yj+BC—V12^+5=(cm),

所以圆形镜面的半径为整

2

故答案为：^-cm.

2

【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆

形镜面的直径是解此题的关键.

7.如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角/C=48°,问船在航行时怎样才能保

证不进入暗礁区？答：NASB<48°.

灯塔」灯塔3

【思路点拨】如图，设AS交圆于点E,连接班，根据圆周角定理即可得到结论.

【解析】解：如图，设AS交圆于点E,连接仍，

由圆周角定理知，ZAEB=ZC=4S°,而NAEB是aSEB的一个外角，由

即当/S<48°时船不进入暗礁区.

所以，NASB应满足的条件是NASB<48°.

故答案为：ZASB<48°.

【点睛】本题考查三角形的外角的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，

灵活运用所学知识解决问题.

8.如图，△ABC中，AB=AC,以AB为直径作OO,交于点。，交AC于点E.

（1）求证：.

（2）若/B4C=50°,求益的度数.

【思路点拨】（1）连接AD,先由圆周角定理得/4。2=90°,则ADL2C,再由等腰

三角形的性质得即可得出结论；

（2）连接OE,先由等腰三角形的性质得/OE4=NBAC=50°,再由三角形内角和定

理求出NAOE=80°,即可得出结论.

【解析】（1）证明：连接AD,如图1所示：

是OO的直径,

ZADB=90°,

：.AD±BC,

'：AB^AC,

：.ZBAD=ZCAD,

(2)解：连接。E,如图2所示:

「AB是OO的直径，

*,.OA是半径，

：.OA=OE,

.•./OEA=N2AC=50°,

ZAOE=1SO°-50°-50°=80°,

:•金的度数为80°.

【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识；熟练

掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键.

9.如图，是。。的直径，点C是圆上一点，点。为合的中点，过点。作。ELA3于E,

交BC于点F.

(1)求证：DF=BF；

(2)若AC=6,。。的半径为5,求的长.

【思路点拨】(1)连接4。，由圆周角定理及。得出由点。为癌

的中点得出进而得到即可证明。尸=8斤；

(2)连接。。交BC于点X,由勾股定理得出BC=8,由垂径定理得出28=4,再由勾

股定理得到。"=3,进而求得。"=2,再由勾股定理即可得出5。的长度.

【解析】（1）证明：如图1,连接A。，

〈AB是OO的直径，

AZADB=90°,

AZDAB+ZABD=90°,

VDEXAB,

AZBDE+ABD=90°,

・•・ZDAB=ZBDE,

丁点。为宸的中点，

••,

：.ZCBD=ZDAB,

：.ZCBD=ZBDE,

：.DF=BF；

（2）解：如图2,连接。。交3C于点H,

•・・A8是。。的直径，。0的半径为5,

/.ZACB=90°,A5=10,

VAC=6,

:，BC=VAB2-AC2=V102-62=8，

:点。为合的中点，

：.OD±BC,

.\BH=ABC=AX8=4,

22

'OH=VOB2-BH2==3'

:.DH=OD-0H=5-3=2,

；•BD=VDH2+BH2=^22+42=2泥-

【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键.

题组B能力提升练

10.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上.点A,B的读数分

别为86°,30°,则NAC8的度数是（）

A.28°B.30°C.36°D.56°

【思路点拨】连接04OB,利用圆周角定理求解即可.

【解析】解：连接。4,OB.

由题意，ZAOB=86°-30°=56°,

ZACB=AZAOB=28°,

2

故选：A.

【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握圆周角定理解决问题.

11.下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的

两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中,

如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【思路点拨】根据垂径定理，圆周角定理，圆的基本性质，圆心角、弧、弦的关系逐一

判断即可.

【解析】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误；

②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；

③能够完全重合的两条弧是等弧，故③错误；

④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误；

⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故⑤错误；

所以，不正确的有5个，

故选：D.

【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆的基本性质，圆心角、弧、弦的关系，

熟练掌握这些数学概念是解题的关键.

12.如图，己知。。的半径为5,AB、CD为O。的弦，且C£»=6.若NA03+NC0£）=180

，则弦AB的长为（）

A.6B.7C.8D.9

【思路点拨】延长AO交OO于点E,连接BE,由ZAOB+ZBOE=ZAOB+ZCOD知/

BOE=/COD,据此可得3E=C。，在RtZ\A2E中利用勾股定理求解可得.

【解析】解：如图，延长AO交。。于点E,连接BE,

贝！|/AOB+/BOE=180°,

又•.,/AO8+NCO£）=180°,

：.ZBOE^ZCOD,

：.BE=CD,

为O。的直径，

AZABE=90°,

AB=>/AE2-BE2=V102-62=8，

故选：C.

【点睛】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是应用圆心角定理和圆周角定理解决问

题.

13.如图，在RtzXABC中，ZABC=90°,NA=32°,点2、C在。。上，边AB、AC分别

交。。于。、E两点，点B是面的中点，则NA2E的度数是（）

【思路点拨】连接CD,根据已知可得俞=黄，从而可得进而可得

/BCO=45°,然后利用直角三角形的两个锐角互余可得/ACB=58°,从而求出NOCE

=13°,最后根据同弧所对的圆周角相等即可解答.

【解析】解：连接

•・•点8是面的中点，

・,・而=前，

:・BD=BC,

VZABC=90°,

：.ZBDC=ZBCD=45°,

VZA=32°,

AZACB=90°-ZA=58°,

：.ZDCE=ZACB-ZDCB=13°,

AZABE=ZDCE=ir,

故选：A.

【点睛】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是

解题的关键.

14.。。内一点P,0P=3cm,过点P的最短的弦。是上除AB两点之外

的任一点，则/4。2=60°或120°.

【思路点拨】连接。4,OB,根据垂径定理得到4尸=2尸=_148=3我(cm),根据三

2

角函数的定义得到/AOP=60°,求得NAO8=120°,根据圆周角定理即可得到结论.

【解析】解：如图，连接。1,OB,

:过点P的最短的弦43=6加。加，

：.OP±AB,

：.AP=BP=l.AB=3y/3(cm)，

2

OP=3cm,

；・tanNAOP=过=迅=如,

OP3

ZAOP=60°,

：.ZAOB=120°,

：.ZAQB=^^/AOB=60°,

：.ZAQ'8=180°-ZAQB=nO0,

故NAQB=60°或120°,

故答案为：60°或120°.

O'

【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，圆内接四边形的性质，正确的作出图

形是解题的关键.

15.如图，是。。的直径，AB=4,AC=2%，如果。为圆上一点，且AO=2,那么ND4c

=30°或90°.

【思路点拨】连接A。，OD,BC,先证明是等边三角形，利用AB是圆。的直径

求得NC=90°,利用直角三角形中的三角函数可求得/C4B=30°,点D的位置有两

种情况：①当点方在的下方的圆弧上，②当点。在的上方的圆弧上，分别计算

即可.

【解析】解:如图，连接A。，OD,BC,

'：AO=OB=OD,AB=4,AD=2,

J.OA^OD^AD,

是等边三角形，ZBAD=60°,A8是圆。的直径，

AZC=90°,

•：AB=4,AC=2«,

cosZCAB=-^-=2^1-,

AB2

.\ZCAB=30°,

点D的位置有两种情况：

①当点Z）在AB的下方的圆弧上时，ZCAD=ZCAB+Z30°+60°=90°；

②当点。在4B的上方的圆弧上时，ZCAD=ZOAD-ZCAB=60°-30°=30°.

【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的

思想思考问题，属于中考常考题型.

16.如图，A8是OO的直径，弦平分/B4C,过点。分别作。E_LAC、DFLAB,垂足分

别为E、F,O。与AC交于点G.

(1)求证：EG=BF；

(2)若O。的半径r=6,BF=2,求AG长.

【思路点拨】(1)连接DG,BD,根据角平分线的性质得到NGADn/BA。，DE=DF,

求得Z)G=BD,根据全等三角形的性质即可得到结论；

(2)根据全等三角形的性质得到AE=AP=10,根据线段的和差即可得到结论.

【解析】(1)证明：连接DG,BD,

平分NBAC,DE±AC.DF±AB,

：.ZGAD=ZBAD,DE=DF,

•••DG=BD-

：.DG=BD,

在RtADEG与RtAZJFB中，

[DE=DF,

1DG=BD'

RtADEG^RtADFB(HL),

:.EG=BF；

(2)解：的半径r=6,BF=2,

：.AF=IO,

在RtAAED与RtAAFD中，

fDE=DF；

1AD=AD，

/.RtAAED^RtAAFD(HL),

：.AE=AF=10,

YEG=BF=2,

：.AG=AE-EG=8.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是

解题的关键.

17.如图，AB是。。的直径，C是标的中点，尸是线段8。上一点，连接CF并延长CF,与

交于点E,CF=BF.

(1)求证：CELAB-,

(2)若CE=12,BE=8,求AB的长.

【思路点拨】(1)根据圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系可得结论；

(2)由勾股定理得的长，设AB=x,再利用勾股定理得方程组，求解即可得到答案.

【解析】(1)证明：是面的中点，

：.BC=CD,ZD=ZCBF,

：.ZCBF=ZA,

「AB是O。的直径，

ZACB=90°,

CF=BF,

：.ZCBF=ZFCB,

：.ZA=ZECB,

VZA=90°-ZCBE,

：.ZECB=90°-ZCBE,

：.ZCEB=90°,

：.CELAB-,

(2)解：在RtZXEBC中，

VCE=12,BE=8,

:,BC=VCE2+BE2=V122+82=)

,:BC=CD,

：.BC^CD^4-.fl3,

设A3=x,

/.AE=x-8,

由勾股定理得，

\C2=(X-3)2+122

AC2=X2-(4V13)2

解得：x=26,

：.AB=26.

【点睛】此题考查的是圆周角定理、勾股定理、垂径定理、圆的弦、弧、圆心角之间的

关系等知识，根据勾股定理列出方程组是解决此题关键.

18.如图所示，AB=AC,A2为。。的直径，AC.BC分别交。。于E,D,连结ED,BE.

(1)试判断QE与BO是否相等，并说明理由；

(2)如果BC=12,AB=10,求BE的长.

【思路点拨】(1)根据题意得到就是等腰三角形ABC底边上的高，根据等腰三角形

三线合一的特点，可得出/C4O=NBA。，根据圆周角定理即可得证；

(2)本题中由于AD_LBC,BELAC,根据三角形面积公式推出进而

求出BE的长.

【解析】解：(1)DE=BD,理由如下：

为OO的直径，

ZADB=90°,

：.AD±BC,

"：AB=AC,ADLBC,

：.ZCAD=ZBAD,

•••ED=BD-

:.DE=BD；

(2),:BC=12,BD=LC=6,

2

在RtZ^AB。中，AB=10,ZADB=90°,

；•AD=VAB2-BD2=V102-62=8，

•••AB为。。的直径，

AZADB^ZAEB^90°,

：.AD±BC,BE±AC,

：.AABC的面积

22

VAB=AC=10,

：.AC-BE=CB-AD,

5

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理等知识点的运用，熟记圆周角定理、勾

股定理是解题的关键.

题组C培优拔尖练

19.如图，A、尸、B、C是O。上的四点，/APC=/BPC=60°,E4=2,PC=4,则△ABC

的面积为()

A.生如B.273C.2VSD.3M

32

【思路点拨】如图，过点A作AHLPC于点X.首先证明△ABC是等边三角形，解直角

三角形求出AC,可得结论.

【解析】解：如图，过点A作AHLPC于点

VZABC=ZAPC=6Q°,ZBAC=ZBPC=60°,

ZABC=ZBAC=ZACB=60°,

AABC是等边三角形，

'：AH±PC,

：.AH=Ri'sin60°=^3,PH=PA-cos600=1,

：.CH=PC-PH=4-1=3,

；•AC=VAH2CH2=V(V3)2+32=2V3,

.♦.△ABC的面积=1_X(273)2=3«,

4

故选：D.

【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定，解直角三角形等知识，解

题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

20.如图，半径为R的OO的弦AC=BD,AC,BD交于E,尸为前上一点，连AF、BF、AB、

AD,下列结论：①AE=BE；®^AC±BD,则4。=6尺；③在②的条件下，若盲=而,

AB=®贝UBF+C£=1.其中正确的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【思路点拨】①由弦AC=BD,可得益=而，继而可得前=俞，然后由圆周角定理，

证得/A8O=NR4C,即可判定AE=BE；

②连接。4,OD,由AE=3E,AC±BD,可求得NABZ）=45°,继而可得△AOD是等腰

直角三角形，则可求得AO=&R；

③设AF与8。相交于点G,连接CG,易证得△BGF是等腰三角形，CE=DE=EG,继

而求得答案.

【解析】解：①：弦AC=BD,

AC=BD>

•*-BC=AD，

/ABD=ABAC,

：.AE=BE；

②连接OA,OD,

'：AC±BD,AE=BE,

：.ZABE=ZBAE=45°,

AZAOD=2ZABE=90°,

"JOA^OD,

:.AD=®R；

③设AF与8。相交于点G,连接CG,

•.,3=CD.

ZFAC=ADAC,

'：AC±BD,

:在AAGE和△ADE中，

AAGE^AADE(ASA),

：.AG=ADfEG=DE,

：.ZAGD=ZADG,

VZBGF=ZAGDfNF=NADG,

：.ZBGF=ZF9

:.BG=BF,

'：AC=BD9AE=BE,

:,DE=CE,

:・EG=CE,

：.BE=BG+EG=BF+CE,

•;AB=E

.".BE—ABtcos45°=1,

：.BF+CE=1.

故其中正确的是：①②③.

故选：D.

【点睛】此题考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等腰直角三角形的性质与判定以及全

等三角形的判定与性质等知识.此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合

思想的应用.

21.如图，A8是。。的直径，C,。是。。上的点，§LOC//BD,分别与BC,0C相交于

点E,F,则下列结论：

®AD±BD；®ZAOC=ZAEC；③BC平分NAB。；@AF=DF；@BD=2OF；@ACEF

当ABED,其中一定成立的是（）

A.②④⑤⑥B.①③⑤⑥C.②③④⑥D.①③④⑤

【思路点拨】①由直径所对圆周角是直角，

②由于/AOC是OO的圆心角，/AEC是OO的圆内部的角，

③由平行线得到/OCB=ZDBC,再由圆的性质得到结论判断出/OBC=ZDBC-,

④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；

⑤用三角形的中位线得到结论；

⑥得不到△仁所和中对应相等的边，所以不一定全等.

【解析】解：①、是O。的直径，

AZADB=90°,

：.AD±BD,

②假设/AOC=ZAEC,

：.ZA=ZC,

,：ZABC=ZC,

：.ZA=ZABC,

・・，

OC//BD

：.ZC=ZCBDf

：.ZABC=ZDBC,

即：

AC,O是半圆的三等分点，

而与“C。是。。上的点”矛盾，

・•・ZAOC^ZAEC,

③、VOC//BD,

：.ZOCB=ZDBCf

•・・OC=OB,

：.ZOCB=ZOBCf

：.ZOBC=ZDBC,

・・・5C平分NABO,

④、TAB是OO的直径，

AZADB=90°,

：.AD±BD,

9：OC//BD,

：.ZAFO=90°,

・・,点。为圆心，

：.AF^DFf

⑤、由④有，AF=DF,

:点。为A2中点，

：.O尸是△ABD的中位线，

：.BD=2OF,

⑥:△CE尸和△BEO中，没有相等的边，

ACEF与ABED不全等，

故选：D.

【点睛】此题是圆综合题，主要考查了圆的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解

本题的关键是熟练掌握圆的性质.

22.在△ABC中，ZBAC=100°,AB^AC,。为△ABC外一点，且AD=AC,贝l|/8DC=

50°或或0°.

【思路点拨】根据题意画出两个图形，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出答案

即可.

【解析】解：

---

D

图1图2

如图，以A为圆心，以48为半径作圆，

'：AB^AC,AC^AD,

...点C和。也在0A上，

①如图1,当。点在优弧BC上时，

:前对的圆心角是N8AC,圆周角是N8OC,

ZBDC=1./BAC=1-x100°=50°；

22

②如图2,当。点在劣弧BC上时，

此时/8OC=180°-50°=130°；

AZBDC=5O°或130°,

故答案为：50°或130.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理和圆内接四边形的性质等知识点,

注意：一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，用了分类讨论思想.

23.如图，是。。的一条弦，点C是。。上一动点，且NACB=30°,点、E、尸分别是AC、

2C的中点，直线跖与。。交于G、H两点,若O。的半径为8,则GE+M的最大值为

12

【思路点拨】首先连接0A、。8,根据圆周角定理，求出NAOB=2NACB=60°,进而

判断出△AOB为等边三角形；然后根据。。的半径为8,可得48=。4=。8=8,再根据

三角形的中位线定理，求出所的长度；最后判断出当弦GH是圆的直径时，它的