2024-2025学年高中数学单元素养评价三复数含解析北师大版选修1-2

PAGE单元素养评价(三)(第四章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2024·全国Ⅰ卷)若z=1+i,则|z2-2z|= ()A.0 B.1 C.QUOTE D.2【解析】选D.由z=1+i得,z2=2i,2z=2+2i,所以|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.2.z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解析】选A.因为z1=z2,所以QUOTE解得m=1或m=-2,所以m=1是z1=z2的充分不必要条件.3.设z1=3-4i,z2=2+3i,则z1-2z2在复平面内对应的点位于 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选C.因为z1-2z2=3-4i-2(2+3i)=-1-10i,在复平面内对应的点(-1,-10)位于第三象限.4.已知a是实数,QUOTE是纯虚数,则a等于 ()A.1 B.-1 C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选A.QUOTE=QUOTE=QUOTE是纯虚数,则a-1=0,a+1≠0,解得a=1.5.若i(x+yi)=3+4i(x,y∈R),则复数x+yi的模是 ()A.2 B.3 C.4 【解析】选D.由i(x+yi)=3+4i,得-y+xi=3+4i,解得x=4,y=-3,所以复数x+yi的模为QUOTE=5.6.在复平面内,O是原点,,,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么对应的复数为 ()A.4+7i B.1+3iC.4-4i D.-1+6i【解析】选C.因为,,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,=-=-(+),所以对应的复数为3+2i-[(-2+i)+(1+5i)]=4-4i.7.在复平面内,复数z=QUOTE所对应的点位于 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选C.在复平面内,复数z=QUOTE=QUOTE=-QUOTE-QUOTEi,所对应的点QUOTE位于第三象限.8.若复数z=a+QUOTE的实部与虚部相等,其中a是实数,则a= ()A.1 B.0 C.-1 【解析】选A.因为z=a+QUOTE=a+QUOTE=a+i的实部与虚部相等,所以a=1.9.设复数z=1-QUOTEi(i是虚数单位),则QUOTE的虚部为 ()A.QUOTEi B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTEi【解析】选C.因为z=1-QUOTEi,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE+QUOTEi.所以QUOTE的虚部为QUOTE.10.当z=-QUOTE时,z100+z50+1的值是 ()A.1 B.-1 C.i 【解析】选D.原式=QUOTE+QUOTE+1=QUOTE+QUOTE+1=(-i)50+(-i)25+1=-i.11.已知复数QUOTE的实部与虚部互为相反数,那么实数b等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.-QUOTE【解析】选D.复数QUOTE=QUOTE=QUOTE,由于复数的实部与虚部互为相反数,那么(2-2b)+(-4-b)=0⇒b=-QUOTE.12.已知复数z满意|z|2-2|z|-3=0,则复数z在复平面内对应点的轨迹是()A.1个圆 B.线段C.2个点 D.2个圆【解析】选A.由题意知(|z|-3)(|z|+1)=0,即|z|=3或|z|=-1,因为|z|≥0,所以|z|=3,所以复数z在复平面内对应点的轨迹是1个圆.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.请把答案填在题中的横线上)13.复数QUOTE(i是虚数单位)的虚部是________.

【解析】因为QUOTE=QUOTE=1-i,所以复数QUOTE的虚部是:-1.答案:-114.-3的平方根是________.

【解析】由(±QUOTEi)2=-3得解.答案:±QUOTEi15.设z∈C,|z|=1,则|z-(1+i)|的最大值是__________.

【解析】由题意可知,复数z的轨迹为单位圆,如图,|z-(1+i)|的几何意义为单位圆上的动点到定点P的距离,由图可知,|z-(1+i)|的最大值为|AP|=1+QUOTE.答案:1+QUOTE16.下列说法中正确的序号是__________.

①若(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x∈R,y∈CR,则必有QUOTE②2+i>1+i;③虚轴上的点表示的数都是纯虚数;④若一个数是实数,则其虚部不存在;⑤若z=QUOTE,则z3+1对应的点在复平面内的第一象限.【解析】由y∈CR,知y是虚数,则QUOTE不成立,故①错误;两个不全为实数的复数不能比较大小,故②错误;原点也在虚轴上,表示实数0,故③错误;实数的虚部为0,故④错误;⑤中z3+1=QUOTE+1=i+1,对应点在第一象限,故⑤正确.答案:⑤三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)计算:(1)QUOTE(1+i).(2)QUOTE.(3)QUOTE.【解析】(1)QUOTE(1+i)=QUOTE(1+i)=QUOTE(1+i)=QUOTE+QUOTEi=-QUOTE+QUOTEi.(2)QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi.(3)QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1-i.18.(12分)已知复数z1满意(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z2.【解题指南】解题的关键就在于“z1·z2是实数”这一条件,可得z1·z2的虚部为零,进而求出结果.【解析】可以结合复数z2的虚部为2,设z2=a+2i,由已知复数z1满意(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i,又已知z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数,则虚部4-a=0,即a=4,即复数z2=4+2i.19.(12分)已知z是复数,z+2i,QUOTE均为实数(i为虚数单位),对于复数w=(z+ai)2,当a为何值时,w为:(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.【解题指南】求复数z→化简w→求待定系数a的值.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2,QUOTE=QUOTE=QUOTE(x-2i)(2+i)=QUOTE(2x+2)+QUOTE(x-4)i.由题意得x=4,所以z=4-2i.因为w=(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,(1)当w为实数时,令a-2=0,所以a=2.(2)w为虚数,只要a-2≠0,所以a≠2.(3)w为纯虚数,只要12+4a-a2=0且a-2≠0,所以a=-2或a=6.20.(12分)设复数z=2m+(4-m2)i,其中i为虚数单位,当实数m取何值时,复数z对应的点:(1)位于虚轴上.(2)位于一、三象限.(3)位于以原点为圆心,以4为半径的圆上.【解析】(1)复数z对应的点位于虚轴上,则QUOTE⇒m=0.所以m=0时,复数z对应的点位于虚轴上.(2)复数z对应的点位于一、三象限,则2m(4-m2)>0⇒m(m-2)(m+2)<0⇒m<-2或0<m<2.所以当m∈(-∞,-2)∪(0,2)时,复数z对应的点位于一、三象限.(3)复数z对应的点位于以原点为圆心,以4为半径的圆上,则|z|=QUOTE=4⇒m=0或m=±2.所以m=0或m=±2时,复数z对应的点位于以原点为圆心,以4为半径的圆上.21.(12分)已知复数z满意|z|=QUOTE,z2的虚部是2.(1)求复数z.(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积.【解析】(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi,由题意得a2+b2=2且2ab=2,解得a=b=1或a=b=-1,所以z=1+i或z=-1-i.(2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以S△ABC=1.当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以S△ABC=1.22.(12分)已知复平面内的平行四边形ABCD中,点A对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求:(1)点C,D对应的复数;(2)平行四边形ABCD的面积.【解析】(1)因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.设O为坐标原点,又因为=+,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i