2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步4第2课时空间图形的公理4和等角定理课时作业含解析北师大版必修2

PAGE第一章立体几何初步[课时作业][A组基础巩固]1．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条()A．相交 B．异面C．相交或异面 D．平行解析：在如图所示的长方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，明显直线AA1与A1D1相交，与答案：C2．如图，在四面体A­BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是()A．M，N，P，Q四点共面B．∠QME＝∠CBDC．△BCD∽△MEQD．四边形MNPQ为梯形解析：由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.对于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说法正确；对于B，依据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B说法正确；对于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正确．由三角形的中位线定理，知MQ綊eq\f(1,2)BD，NP綊eq\f(1,2)BD，所以MQ綊NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确．答案：D3.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABCA．相等B．互补C．相等或互补D．不确定解析：由于E，F，G分别为A1C1，B1C1，BB1的中点，所以EF∥A1B1∥AB，FG∥BC1，所以∠EFG与∠ABC1的两组对边分别平行，一组对应边方向相同，一组对应边方向相反，故∠EFG与∠ABC1互补．答案：B4.如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BCA．CC1与B1E是异面直线B．CC1与AE共面C．AE与B1C1D．AE与B1C1解析：由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，A错误；由于CC1在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于点E，点E不在C1C上，故CC1与AE是异面直线，同理，AE与B1C1是异面直线，所以B错误，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D错误．故选C.答案：C5．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则B1D与CC1解析：如图，B1D与CC1所成的角为∠BB1D.∵△DBB1为直角三角形．∴tan∠BB1D＝eq\f(BD,BB1)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)6.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1(1)∠DBC的两边与________的两边分别对应平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与________的两边分别对应平行且方向相反．解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别对应平行且方向相同．(2)D1B1∥BD，D1A1∥BC并且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A答案：(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A17．如图所示是正方体的平面绽开图，则在这个正方体中，①BM与ED是异面直线；②CN与BE是异面直线．以上两个结论中，正确的是________(填序号)．解析：在正方体中，直线间的关系比较清晰，所以可以把原图还原为正方体，找出相应直线间的关系．答案：①8.如图，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3).若BD＝6cm，梯形EFGH的面积为28cm2，则平行线EH，FG间的距离为________．解析：在△BCD中，∵eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，∴GF∥BD，eq\f(FG,BD)＝eq\f(2,3).∴FG＝4cm.在△ABD中，∵点E，H分别是AB，AD的中点，∴EH＝eq\f(1,2)BD＝3(cm)．设EH，FG间的距离为dcm.则eq\f(1,2)×(4＋3)×d＝28，∴d＝8.答案：8cm9.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D中，E，F，E1，F1分别为AD，AB，B1C1，C1D1(1)求证：EF綊E1F1(2)求证：∠EA1F＝∠E1CF1证明：(1)连接BD，B1D1(图略)．∵E，F分别为AD，AB的中点，∴EF∥BD且EF＝eq\f(1,2)BD.同理，E1F1∥B1D1且E1F1＝eq\f(1,2)B1D1.而在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，∴BD∥B1D1且BD＝B1D1，∴EF綊E1F1.(2)取A1B1的中点M，连接BM，F1M则BF＝A1M＝eq\f(1,2)AB.又BF∥A1M，∴BF綊A1M，∴四边形A1FBM为平行四边形，∴A1F∥BM.∵M，F1分别为A1B1，C1D1的中点，∴F1M綊C1B1，而C1B1綊BC，∴F1M∥BC且F1M＝BC，∴四边形F1MBC为平行四边形，∴BM∥F1C.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理A1E∥CE1.∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，∴∠EA1F＝∠E1CF1.10．已知正方体ABCD­A1B1C1D1(1)求A1B与B1D1所成角的大小；(2)求AC与BD1所成角的大小．解析：(1)如图，连接BD，A1D.因为ABCD­A1B1C1D1是正方体．所以DD1綊BB1，所以四边形DBB1D1为平行四边形，所以BD∥B1D1，因为A1B，BD，A1D是相等的正方形的对角线，所以A1B＝BD＝A1D，即△A1BD是正三角形，所以∠A1BD＝60°.因为∠A1BD是锐角，所以∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角．所以A1B与B1D1所成的角为60°.(2)取DD1的中点E，AC的中点O，连接EO，EA，EC.因为O为BD的中点，所以OE∥BD1.因为∠EDA＝90°＝∠EDC，AD＝DC，所以△EDA≌△EDC，所以EA＝EC.在等腰△EAC中，因为O是AC的中点，所以EO⊥AC，所以∠EOA＝90°.因为∠EOA是异面直线AC与BD1所成的角，所以AC与BD1所成的角为90°.[B组实力提升]1．如图所示，设E、F、G、H依次是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上除端点外的点，且eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝λ，eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝μ.则下列结论中不正确的为()A．当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形B．当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形C．当λ＝μ＝eq\f(1,2)时，四边形EFGH是平行四边形D．当λ＝μ≠eq\f(1,2)时，四边形EFGH是梯形解析：当λ＝μ时，EH綊FG，∴EFGH为平行四边形，故D中结论不正确．答案：D2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CDA.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2) D.eq\f(\r(7),2)解析：本题主要考查异面直线所成的角．因为CD∥AB，所以∠BAE即为异面直线AE与CD所成的角．设正方体的棱长为2，连接BE，则BE＝eq\r(5).因为AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BE.在Rt△ABE中，tan∠BAE＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2).故选C.答案：C3．在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝eq\r(2)，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________．解析：由题意可知BC∥B1C1，故A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角，连接A1B(图略)，在△A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝eq\r(2)，故∠A1CB＝60°，则异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.答案：60°4．下列命题中正确的是________．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l与平面α相交，则l与平面α内的随意直线都是异面直线；③假如两条异面直线中一条与一个平面平行，则另一条直线肯定与该平面相交；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；⑤若平面α∥平面β，直线aα，直线bβ，则直线a∥b.解析：①是公理1，所以①是正确的；②中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以②是错误的；③中，异面直线中的另一条和该平面的关系不能详细确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以③是错误的；④中，直线l与平面α没有公共点，所以直线l与平面α内的直线平行或异面，所以④是正确的；⑤中，分别在两个平行平面内的直线可以平行，也可以异面，所以⑤是错误的．答案：①④5.如图所示，两个三角形ABC和A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于同一点O，且eq\f(AO,OA′)＝eq\f(BO,OB′)＝eq\f(CO,OC′)＝eq\f(2,3).(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)的值．解析：(1)证明：∵AA′与BB′交于点O，且eq\f(AO,OA′)＝eq\f(BO,OB′)＝eq\f(2,3).∴AB∥A′B′.同理，AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)∵A′B′∥AB，AC∥A′C′且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.同理∠ABC＝∠A′B′C′.因此△ABC∽△A′B′C′，且eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AO,OA′)＝eq\f(2,3).∴eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(4,9).6.如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)当m、n满意什么条件时EFGH是平行四边形；(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明EG＝FH.解析：(1)证明：∵AE∶EB＝AH∶HD，∴EH∥BD.又∵CF∶FB＝CG∶GD，∴FG∥BD，∴EH∥FG，∴E、F、G、H四点共面