2024-2025学年高二年级上册期中模拟考试数学试题（江苏专用苏教版选择性必修第一册第1-3章）（全解全析）

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷

（江苏专用）

（时间：120分钟满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：苏教版2019选择性必修第一册第1章〜第3章。

5.难度系数：0.65o

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.经过两点/（2,%）,8（一九4）的直线/的倾斜角为135°,则加的值为（）

A.-2B.1C.3D.4

【答案】B

【解析】经过两点/（2,加）,网-，%4）的直线/的斜率为左=日，

m—4

又直线/的倾斜角为135。，所以^—=tanl350=-l,解得加=1.

故选：B.

2.求过两点/（0,4）,3（4,6）,且圆心在直线》-2了-2=0上的圆的标准方程是（）

A.（x+4）2+3+iy=25B.（x+4）2+d）2=25

C.（x-4）2+（y+l）2=25D.（x-4）2+（y-l）2=25

【答案】D

【解析】设圆心坐标为C（2b+2,b）,由圆过两点/（0,4）,B（4,6）,可得|4。|=田。|,

即［（2H2）-01+伍_4）2=［（26+2）-41+伍-6）2,解得6=1,

可得圆心为（4,1）,半径为5,则所求圆的方程为（x-4y+（y-l）2=25.

故选：D.

3.已知双曲线£-《=1经过点幺卜,2拒)，且与椭圆反+其=1有相同的焦点，则双曲线的标准方程为()

a2b2V'259

22222222

A.二-匕=1B.土一匕=1C.--^=1D.±-匕=1

142133106124

【答案】D

【解析:].•・椭圆]+：=1焦点为(±4,0),双曲线焦点为(±4,0),且c=4,

又/=/+〃=]6,解得。2=12,〃=4,

22

故双曲线的方程为二-乙=1,

124

故选：D.

4.设0。<«;<90。，方程x2+)?cosa=l所表示的曲线是()

A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线

C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线

【答案】C

【解析】若0°<e<90。，则0<costz<l,

2

2y

曲线d+y2cosa=l,即，+1-1,

cosa

------>1，]表示焦点在〉轴上的椭圆.

COS6Z

cosa

故选：C

5.设尸为抛物线。:必=4尤的焦点，点A在C上，且在第一象限，若直线/尸的倾斜角为:，则|/尸|=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点A作垂直准线于点B,

7T

过焦点F作尸C垂直于AB于点C,由题意可知p=2,ZAFx=NFAC=§,

根据抛物线的定义以尸|=以同=恒。+Q同

在RS4FC中，\AC\=\AF\-cos^=^\AF\,乂忸C|=p=2,

所以M司=|/同=J/司+2,

解得M尸1=4.

故选：C.

22

6.已知直线/：尤-了+3=0与双曲线C：三-勺=1(。>0,6>0)交于A,B两点，点尸(1,4)是弦48的中点,

ab

则双曲线。的渐近线方程是()

A.y=—xB.y=2xC.y=­xD.y=4x

42

【答案】B

2222

【解析】解：设，(再/)网与外)，可得'-4=1,&__五

aba1b2~

两式相减可得,

ab

点尸(1,4)是弦/B的中点，且直线/：x-y+3=0,

可得为+%2=2,必+必=4,yi-y2=xi-x2,

即有加=4a2，即6=2〃，

双曲线的渐近线方程为歹=±2x.经验证此时直线与双曲线有两个交点.

故选：B.

7.已知函数〃x)=/-8x,且点尸(x,y)满足/(无)+〃-y)W32,/(y)WO,若记点P构成的图形为O,

则。的面积是()

A.——16百B.——■^16^3C.64兀-16百D.64+166

【答案】A

,、,[f(x\+/(-y)<32[(x2-8x)+(y2+8^1<32

【解析】将函数表达式/x=--8x代入条件[</〃可得八，>->,

1/⑺V。p-8y<0

即肮-4）2+（了+4）匕64

（0<^<8

所以区域O即为圆（彳-勺？+（y+4）2464的内部位于x轴上方的部分，

即该圆的;去掉一个底为86，高为4的三角形，

故所求面积为5=工刍-4・4=%-166.

323

故选：A.

8.已知椭圆C:1+,=l的一个焦点为八点P,。是C上关于原点对称的两点.则归开+6忸尸|的取值

范围为（）

A.[2,26]B.[51,52]C.[51,76]D.[52,76]

【答案】C

【解析】由对称性和椭圆定义可知|尸尸|+|。同=2a=10,其中CM"7丁=3，

故I尸尸「+6\QF\=|FF|2+6（10-|PF|）=|PF|2-6|PF|+60=（|FF|-3）2+51,

不妨设尸（3,0）,P{m,n）,-5<m<5,

贝|J|P尸「=（加一3『+/=（机一3『+16-^|^=等一6机+25=]即一51,

故当加=5时，|尸尸『取得最小值，最小值为4,

当机=-5时，|尸歼取得最大值，最大值为64,

故忸同e[2,8],

故当归尸|=3时，|尸歼+6以川取得最小值,最小值为51,

・尸|=8时,|尸歼+610尸|取得最大值，最大值为25+51=76,

ik\PF^+6\QF\的取值范围是[51,76].

故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知直线/：>="-。+1,下列说法正确的是()

A.直线/过定点(-M)

B.当。=1时，/关于无轴的对称直线为尤+了=0

C.直线/一定经过第四象限

D.点尸(3,-1)到直线/的最大距离为20

【答案】BD

【解析】对于A,直线/:>=办-a+l=a(x-l)+l,所以直线/过定点0(1,1),故A错误；

对于B.当。=1时，直线方程为了=无，/关于x轴的对称直线为x+y=O,故B正确；

对于C,当。=1时，直线方程为了=工，直线/不经过第四象限，故C错误；

对于D,如图所示：

设PHL,由图象知：\PQ\>\PH\,点尸(3,-1)到直线I的最大距离为d=<(3-1)2+(-1-I)?=2/,故

D正确；

故选：BD

10.已知抛物线J?=2px(p〉0)的焦点为尸，N3是经过抛物线焦点尸的弦，M是线段N5的中点，经过

点B,M作抛物线的准线/的垂线/C,BD,MN,垂足分别是C,D,N,其中交抛物线于点0,

连接。凡NF,NB,NA,则下列说法正确的是()

A.\MN\=^AB\B.FNVAB

C.0是线段MN的一个三等分点D.AQFM=ZQMF

【答案】ABD

【解析】如图，由抛物线的定义,

对于A,得|/。=|/司，忸必=忸丹，乂=,则|九困」'司；忸司=；|/同,A正确;

对于B,^\MN\=^\AB\,\AM\=\MB\,得pW|=MM，所以ZA£4N=NMS.

rfffZMNA=ZCAN,所以NM4N=/C4N,所以AANC咨AANF,

可知//CN=Z4FN=90。，所以W_L4B,B正确；

对于D,在Rt△跖VF中，|0叫=|Q耳，可知@F=NQFN,所以=D正确；

对于C,由/即/=/。儿行，可知尸卜|。加|,所以|纱卜|0赫|,即。是MN的中点，C不正确.

故选：ABD.

11.直线严船与双曲线［-1-I交于尸两点，点P位于第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为N,点

下为双曲线的左焦点，则（）

A.若|尸0|=2将，则PFLQF

B.若PFLQF,则△尸。尸的面积为4

PF

D.|=|-|两|的最小值为4

【答案】AD

【解析】设双曲线右焦点为用，由题意可知，四边形尸尸。片为平行四边形，

由双曲线?-《=1可知：a=2,b=0c=不,

对于A,因为户0|=2疗，所以户。|=但用，所以四边形打‘06为矩形，所以刊FQF,故A正确；

对于B,据双曲线定义可知：|尸尸尸团=4,|历|=2将,

若尸7F则四边形PFQF、为矩形，

则|尸尸产+|尸同2TMi所以伊司_|际|）2+2浮忸耳卜阳「，

即42+2|尸川。用=（2行>，所以|尸司附|=6,所以\PF\\QF\=6,

所以邑物=J尸网°司=36=3,

故B不正确;

对于C,由双曲线的方程可知，

在RtAPFN中，空■=卜"『=F+E=hJ尸N『

7W|丫|印『r»Arl2AIIArl2

又因为双曲线渐近线方程为：y=±^x,所以£=凝下〈李,

/2FN2

所以FWPMIW，即牖,耳故c错误;

对于D,I尸尸IT则=2a+|尸用一|尸川=4+|尸耳TPAf24dl冏4尸机。

当且仅当|SH尸M时，|尸--|尸解取到最小值为4,故D正确.

故选：AD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若2x+即-2=0与x-y+a=O平行，则两直线之间的距离为.

【答案】昱

2

【解析】,・•直线4与4平行，・・・：2=/三7-。2,，解得4=-2,

1-1a

二・直线4：x-V-1=0,直线（：i->-2=0,

直线/,与4之间的距离d=卜IM"=—,

_V1+12

故答案为：.

13.已知点/(—2,0),5(2,0),若圆(x-a+l)z+(y-a-2)2=l上存在点M满足疝.指=5，则实数a的取

值范围是.

后+1亚-1

【答案】-2'-2-

【解析】由题意可知：圆(x-a+l)2+(y-a-2)2=l的圆心C(a-l,a+2),半径厂=1,

LlUUUULLULILUUllUUU.ULUUUILUUL

贝ij跖4=M9+O4Affi=MO+OB=MO-Ql,其中。为坐标原点,

可得疝.施=(荻+叫.(荻一珂=该?一凉=荻2_4=5,贝小荻卜3,

所以”的轨迹是以。为圆心，r=3的圆,

由题意可知：圆C与圆。有公共点，贝|尺一厂引。口4尺+厂,

即2W^(0-1)2+(«+2)2<4,解得一"+1<a<臼T

所以实数。的取值范围是一誓上1,也|二1

.田iV23+1V23-1

故答案为：———,——.

14.已知抛物线C：/=2"(夕＞0)的焦点为F，圆M:(x-Xo)2+(y-而『=户(厂＞0),圆心”是抛物

线C上一点，直线/：x=/gxj,圆/与线段〃/相交于点A,与直线/交于E,G两点，且

77T

NEMGR,^\M^\=2\AF\,则抛物线方程为.

【答案】F=2&

]TT

如图，过点M作于点K,则NEKM=—/EMG=—,

23

由图知|隧|=x0-孑=rcos]=gr①,

2

由|M4|=2|/刊可得，r=||^|=|^(x0-1)+10②,

又点A/4,而）在抛物线/=2/上，可得，2px0=10,即内=5③,

2

1g「

把①式代入②式，-r2+10=—r,解得，r=M，

44

回代入①可得，/=勺如，代入③式整理得，p2+帚7。=。,

解得，0=石或0=-20（舍去），故抛物线方程为：丁=2氐.

故答案为：y1=2亚x.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）已知直线4：2x+3y-2=0,12：小+（2机-1）＞+1=0,其中加为实数.

（1）当4〃4时，求直线4，。之间的距离；

（2）当〃7=1时，求过直线/1,4的交点，且垂直于直线x-2y+4=0的直线方程.

【解析】（1）由得2（2冽-1）=3m，解得加=2,...................................................2分

止匕时直线《：2x+3y-2=Q,l2：2x+3y+l=0,乙，不重合，.................4分

则直线4,4之间的距离为华斗=迹；...................................6分

V4+913

(2)当机=1时，，2：x+_y+l=0,

2x+3y—2=0

联立解得％=—5,>=4,..............................................................................9分

x+y+1=0

又直线x-2尸4=0斜率为:，.............................................10分

故过直线"4的交点，且垂直于直线工-2了+4=0的直线方程为y-4=-2仁+5）,12分

即2x+>+6=013分

16.（15分）已知圆C过两点/（一2,0）,5（2,4）,且圆心C在直线2尤一了一4=0上.

⑴求圆C的方程；

⑵过点P（6,g）作圆C的切线，求切线方程.

【解析】(1)根据题意，因为圆C过两点/(-2,0),8(2,4),

设22的中点为则M(0,2),

4-0

因为g=。,”=1，所以48的中垂线方程为y-2=-(x-0),即y=2-x

2一(一夕

fy=2-xlx=2

又因为圆心在直线2x-y-4=0上，联立、解得..........3分

[2x-y-4=0()=0

所以圆心C(2,0),半径『=忸。=4,故圆的方程为(X-2)2+/=16；.........................5分

(2)圆(x-2)2+/=16的圆心为C(2,0),半径,=忸。|=4,.........................................6分

当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线x=6与圆C相切；.................8分

当过点尸的切线斜率在存在时，设切线方程为y-G=Mx-6),

即fcc-y+g-6左=0(*),....................................................................................................9分

由圆心C到切线的距离怛叫=4,

即1642—8园+3=16左？+16,可得上=一^1,............................................................12、分

24

将左=一至1代入(*),得切线方程为了-6=-m8^-6)，即了=一电lx+以1,14分

综上，所求切线方程为x=6或＞=-电ix+D2.......................................................15分

244

17.(15分)2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱.返

回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”.如图，在平面直角坐标系中，某“果

圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点厂(0,-1)和短轴的两个顶点(2,0)与(-2,0).

⑴写出图中“果圆”的方程;

⑵直线＞=x交该“果圆”于/、2两点，求弦的长度(精确至！J0.01).

【解析】(1)因为椭圆的一个焦点尸(0,-1)和短轴的两个顶点(2,0)与(-2,0).

可得c=l,Z>=2,即/=5,

22

所以半个椭圆的方程为3+q=l，(yN0);.......................................................................2分

圆弧经过椭圆的一个焦点厂(0,-1)和短轴的两个顶点(2,0)与(-2,0),

设圆弧方程为―+。-厅=产,(”0),..............................................................................4分

利用卜17|=』22+/,解得"■!，所以r=g，

得/+1一|]W，(y<°)....................................................................................................6分

22

3I咛，("0)

所以果圆方程为\+q=i,(j^o),一+"7分

3-V41

3225X=---------

—+y=了，旌°),解得.

(2)由,「得4，10分

3-V41

y=x广一

22

?+q=L(y之。)

由<13分

y=%

所以Ma=0|苧-

15分

18.(17分)己知抛物线。:r=2力(p>0)的焦点为尸，点。在。上，且|。可的最小值为1.

(1)求。的方程；

(2)过点M(3,-2)的直线与。相交于A,B两点，过点N(3,-6)的直线与。相交于3,C两点，且A,C

不重合，判断直线/C是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

【解析】(1)由题意可设。(机,〃)，则/=2p%...............................................................1分

则|”|的最小值为与，则与=1，得。=2...........................................................................4分

所以。的方程为好=以.....................................................6分

(2)因为4C不重合，所以直线BC,NC的斜率必然存在.

设/(字%:4字乂1j

k=%f4=%+2

直线的斜率9一必二K一汽+必一'"一£_3

44

%-12_y=2yo+12

得必=%+2一%一九+29分

kr%一切_4一力+6

直线BC的斜率演。一1——许一第一匚

44

心126%+12

得乂=—%=~7~

%+6了2+6

2%+126乃+12,

由必=_=一2；，可得％%=1212分

%+2%+6

k二Af_4

AC

直线ZC的斜率~y^-yl~y0+y2.

4

(2A

4X义工=曳山=」一(x+3).15分

所以直线/C的方程了=----~-^-T+%=

%+了2147%+%%+%%+%

故直线AC过定点(-3,0)...................................................17分

22

19.(17分)已知双曲线C：^-}=lg>0,6>0)的离心率为近，点(3,-l)在双曲线C上.过C的左焦

点尸作直线/交C的左支于/、B两点.

(1)求双曲线C的方程.

(2)若可(-2,0),试问：是否存在直线/,使得点M在以N3为直径的圆上？若存在出直线/的方程；若

不存在，说明理由.

(3)点尸(-4,2),直线/尸交直线》=-2于点。.设直线Q4。8的斜率分别左、k2,求证：左-匕为定

值.

22

【解析】(I)由双曲线l的离心率为VL且M(3,T)在双曲线C上,

ab

可得e，=&,解得/=86=8,................................................................................2分

a

c2=a2+b2

所以双曲线的方程为《一片=1...................