《高考中的正态分布问题及解题方法浅析》6100字（论文）

第1章引言在概率论中正态分布是最重要的一种概率分布，又常常被称作为常态分布，早在十七世纪三十年代时，德国的天文学家和数学家Moivre初次提出了正态分布的概念，在后来，数学家Gauss率先将正态分布应用于天文学的研究中，故正态分布又有“高斯分布”之称，并且Gauss与法国概率论学家Laplace研究了正态分布的性质，这项工作对后世的影响极大[1]，对此做出了很多重要的贡献.正态分布不只在数学中有很重要的地位，并且在生活中也有很广泛的应用．在当今社会，许多随机变量在科学试验或生产生活中的分布可以用正态分布近似描述．比如，在农学中，观察分析同一种植物的身长、体重以及含水量等指标，通过建立正态分布模型来得出最适合该植物生长的温度、水量、阳光等条件，以便于农户更好地种植此种植物，从而达到收益最大化．在医学中，通过观察分析同种群体的身高、血红蛋白量、红细胞数等，建立正态分布模型来得出群体在健康水平下的数据区间，以便于医生在看诊中更直观的判断出该患者的某一指标是否处于健康水平．近年来，正态分布受到了国内外广泛关注，相关专业人员对关于正态分布在高考中的应用进行了更进一步地调查研究，明确了正态分布在未来高考中的热点趋势．正态分布新课内容在高中课本选修2-3中，虽然页数和课时占的比重并不大，但它有自己的意义和应用，并且为将来在大学中学习概率论打下了坚实的基础．对此，下面来探讨正态分布在高考中的解题方法，以便于高三考生们能够更有针对性，更全面的掌握复习正态分布．第2章正态分布的基本理论2.1正态分布的定义定义2.1若一个随机变量的概率密度函数为：，，，的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线[2]．定义2.2对于，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布，记作[3].定义2.3在正态分布中，当，时，现在的正态分布被称为标准正态分布.若,则，这样一般正态分布就可以转化成标准形式.2.2正态分布的图形与图形特征图2.1正态分布概率密度曲线正态分布曲线如图2.1所示，根据图形能够看出，曲线呈钟形，且关于对称，最大值可以取到；图形都处于第一、第二象限，与轴不相交，并且曲线与轴围成的面积为固定值1.正态曲线完全依赖于正态分布中的和，在正态分布中，当某个参数发生变化时，曲线也会随之发生变化.比如：当一定时，曲线的形状不会发生变化，但曲线的位置会随着的变化而变化，当变小时，曲线沿着轴平行向左移动，当变大时，曲线沿着轴平行向右移动；当一定时，曲线的位置不会发生变化，但曲线的形状会随着的变化而变化，越小，曲线上的点的分布越集中，形状显得越“瘦高”，越大，曲线上的点的分布越分散，形状显得越“矮胖”.可见，、分别决定了正态曲线的位置和形状，所以我们称和为正态概率密度函数的位置参数和形状参数[4].图2.2两种参数不同情况下的正态分布概率密度曲线定理2.1原则[5]：若，则，，，当和一定时，曲线和轴围成的面积与的增减成反比，即减少时，它的面积就随着增大，要使落在区间的概率大，就要使减小，即越小，集中在四周概率越大.因此有由此可见，若在区间外，则，几乎不可能发生，所以随机变量可能取值的区间为．在数学生活中或者现实生活中，原则的应用特别广泛，在高考中也是一个的热门的考点，需要高三考生们熟记并且能够熟练的应用.第3章高考中正态分布的解题方法3.1考查正态分布的对称性正态分布曲线一共有六个图形特征，在这六个图形特征中最基础的，也是最重要的一个特征就是正态分布图形的对称性，这是很多种正态分布问题解题的关键点，并且在高考中占分比值也比较大，若高考中有正态分布的题，那么正态分布的对称性是一定会考查到的，以下的这两道例题考查到了正态分布的对称性，我们来分析正态分布的对称性的解法.例3.1在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为().分析：由题意可知道，根据图形特征可以知道在和的概率是相等的，本题要求在的概率，就可以转化为在的概率加上在的概率，也就是两倍的在的概率．解：，，=0.8．小结：这道真题主要是考查正态分布图形的对称性来解答，也是解这道题的关键，通过正态分布图形的对称性可以得出在和在上的概率是相等的，知道了这个关键点之后，答案也就出来了，这道题比较基础，内容也很简单，没有难点．例3.2三个灯泡按照图3.1的方式连接而成，该部件正常工作的前提是灯泡正常工作，灯泡灯泡其中有一个正常工作，设每个灯泡的使用寿命（单位：小时）都服从正态分布，且每个灯泡相互独立，求该部件的使用寿命超过小时的概率为[6]：图3.1三个部件的连接图分析：由题意可得，正态分布的对称轴，该部件中每个灯泡使用寿命超过或者不超过的概率都为，灯泡与灯泡是并联电路，灯泡灯泡与灯泡是串联电路，去掉灯泡灯泡都不正常之后，剩余的概率为，也就是说灯泡1正常灯泡不正常，灯泡不正常灯泡正常和灯泡正常灯泡也正常这三种情况加起来的概率为，在乘以灯泡正常情况下的概率，就得出了总的该部件使用寿命超过小时的概率.解：设灯泡、灯泡、灯泡使用寿命超过小时分别为事件、、，当使用寿命超过小时时，灯泡、灯泡至少有一个正常为事件,该部件的使用寿命超过小时为事件.由题意可得，三个灯泡的使用寿命都服从，所以，，，，超过小时时，灯泡正常的概率为，所以.小结：该题以实际生活中的电路串并联为背景，首先通过正态分布图形的对称性得出每个灯泡使用寿命超过小时的概率和每个灯泡使用寿命不超过的概率是相等的，所以，每个灯泡使用寿命超过小时和不超过小时的概率都为，再用两个事件同时发生的条件下的概率公式求出最后的概率，希望高三考生们能够捋清楚思路，把正态分布的对称性与概率中的其他公式相结合，最终得出答案.前面的这两道例题所用到的正态分布对称性都是根据一个正态曲线的对称轴来解答的，那在高考真题中并不是只单独考查一个正态分布的对称轴，也曾经在某一个真题中出现过两个正态曲线，那这两个正态曲线就有两个正态分布的对称轴，可以通过这两条对称轴的所处轴上的数值来判断这两个正态分布图形之间的关系.下面有一道例题是应用了上面的这种方法来判断两个图形之间的关系.例3.3设，，如图3.2，分别给出了和的正态分布密度曲线图，则下面结论正确的是（）....，.，图3.2和的正态密度曲线分析：看图3.2，的对称轴在的对称轴左边，正态曲线与轴之间的面积为定值1，从而就可以得到，从正态分布密度曲线的特征来看，的数值越小，得到的正态分布的密度曲线形状就越“瘦高”，由图3.2，可以看出的曲线相比于的曲线更“瘦高”[7]，得出，从而得到，任意取一个正数，通过图3.2和正态分布密度曲线可以看出.解：这道题答案应该选，选项应该是，选项应该改为，选项是正确的，选项，，则.小结：这道题考查的主要就是正态分布曲线的对称性，、两个选项是根据和的正态曲线的对称轴在轴上的值来判断，从而来判断、选项是否正确，、两个选项是根据任意选取的的值与两条正态曲线的对称轴之间的距离来判断选项和选项中的面积大小关系是否正确．这道真题考查的知识点比较基础，但需要学生们很细心，一步一步按照学过的知识来解答，这种题型出现的次数并不是很多，所以需要同学们吃透，掌握好正态分布中的每一个知识点，这道题很好的运用了数形结合思想，同学们能够从中体会到数形结合的思想，同时也锻炼了同学们的观察思考能力.这一部分的真题主要考查到了正态分布图形的对称性，在正态分布图形对称轴的两侧，若随机变量所处于的两个区间是关于正态分布对称轴对称，那随机变量在这两个区间上的概率是相等的，若题目中有两个正态曲线，可以根据这两条对称轴的位置关系判断选项是否正确，或者根据对称轴的位置来解答问题，考查的这内容本身比较简单，没有很大的难度，但需要同学们的认真细心.3.2考查正态分布的3原则正态分布中的原则是非常重要的，不仅在数学中，在实际生活中都有很广泛的应用，通常在高考中考查到正态分布时，可能会单独的考查原则，也有可能会结合其它内容对正态分布中的原则进行考查，下面我们就来举例探讨一下在高考中是怎样考查正态分布的原则的.例3.3如图3.3,在正方形中随机投掷了个点，曲线为正态分布的密度曲线，估计落入阴影部分的点的个数（）[8]．图3.3投掷点的分布情况附：若,则，．A．2386B．2718C．3413D．4772分析：落入阴影部分点的个数等同于求阴影部分的面积，由题意可以知道，，题目里的附带信息给出了，也就是，在和上的概率是相等的，所以在上的概率就等于在上概率的一半．解：由知，，所以，故．所以落在阴影部分中点的个数估计值为（古典概型），所以.小结:这道题不仅仅用到了正态分布图形的对称性，还用到了原则，在解题过程中它们二者是相辅相成的，判断出正态分布对称轴两边对称的区间后，根据原则进一步的求解，最后又用到了概率论中的古典概型，与前面的知识相结合，求得最后的结果.例3.4已知某批零件的长度误差服从正态分布，从中这批零件中随机抽取一件，它的长度误差落在区间内的概率为（）[9]．附：若服从，则，．分析：题目中的长度误差服从的是正态分布，那这道题就可以用正态分布来解答，重点考察了正态分布的图形特征，由题意及其附带信息我们可以得到有关于和的信息，，，，，如果想得到在上的概率，可以用在上的概率减去在的概率，得出的概率是在的概率和在上的概率，而它们两个是相等的，最后就可以得到在的概率．解：==．小结：这道题是以实际生活中的工厂生产零件为例，给出了零件的长度误差服从正态分布，要求在某一个区间的概率值，正态分布的对称性和原则相结合，最终求得某个随机抽取的零件长度误差在的概率．例3.5假设每天从地去地的旅客人数记为，服从正态分布，记一天中从地去地的旅客人数不超过的概率为，求的值[10].参考数据：若，有=0.6826，=0.9544，=0.9974．分析：本题题目中已经给出正态分布，通过题目可以得知，，第一问要求得当不超过900时的概率为多少，在上的概率等于在加上在上的概率，最终就可求得．解：因为服从，所以,，,所以.小结：这道题是以实际生活中的旅客人数为背景，已知服从的是正态分布，要求随机变量小于的概率，同样的也是把正态分布的对称性和原则相结合，他们二者相辅相成，最终求得答案.这一部分考查的是原则，通常考查原则与正态分布的对称性结合起来，也会在这个的基础上再结合别的内容进行考查，但是做这种类型的题时，解题的重点还是在正态分布的原则上，考查的题目难度基本处于中等水平，同学们如果能够认真的思考问题，运用数形结合思想，把题目中考查到的知识联系起来，找到解题的关键点，题目的答案也就出来了.3.3考查化为标准正态分布前面分析讨论了在高考中考查到的正态分布的对称性和原则的解法，在高考题中对正态分布的考查并不是只有这两种类型的题，在前面我们也给出了将一般正态分布转化为标准正态分布的公式.一般正态分布转化为标准正态分布就是将一般公式中的两个参数和的值转化为，，在这两个条件下，正态分布就化成了标准正态分布．化繁为简，化成标准正态分布后，做题会更加高效.当题目中给出了一般的正态分布，但用题目所给出的条件并不能进行下一步的解答时，那在这个时候就可以把一般正态分布通过公式转化为标准正态分布，转化为标准正态分布之后，来进行下一步的解答.下面这道例题就是把一般正态分布公式转化为标准正态分布之后，经过运算求解得到最后的结果.例3.7标准正态总体在上取值的概率记为，若服从，则等于（）.分析：这个题首先要记得一般正态分布与标准正态分布的转化公式，在把题目中要求的概率转化为标准正态分布下的式子，最后可以发现分式的分子和分母可以约分，得出最后的结果.解：因为，所以，所以====.小结：这道题并没有单纯的考查正态分布的性质以及图形情况，解答这道题最关键的地方是正态分布与标准正态分布之间转化的公式，通过公式把复杂的问题变得简单化，化成了标准的正态分布，对同学们来说也比较熟悉，计算起来会更顺手，并且转化成标准正态分布后，就会发现转化后的式子可以进行约分，约分之后就可以得到选项的答案，同时考查了考生们在概率方面的计算能力，这种题型在高考全国卷中几乎没有，也拓宽了高三考生的知识面，以后遇到类似的题目可以很好的把握.由上述内容可以看出，高考并不是只考查热门的常见的考点，在正态分布中，图形的对称性和原则可谓是炙手可热，但尽管如此，也不能忽视，甚至忘记正态分布的其它内容，上面这道例题考查到了一般正态分布转化为标准正态分布的转化公式，同时也考查了考生们在概率方面的计算能力，这种题型在高考全国卷中几乎没有，也拓宽了高三考生的知识面，以后遇到类似的题目可以很好的把握.以上我们讨论探究了在高考中的正态分布问题，针对正态分布在高考中的问题，我们大致提供了三种正态分布问题的解法，第一种是在高考中考查正态分布的对称性，第二种是在高考中考查正态分布的原则，最后一种就是在高考中考查一般正态分布转化为标准正态分布，正态分布本身的内容比较简单，也没有很多的知识点，所以在考查正态分布时，出的题也不会特别难，所以需要高三考生熟记有关正态分布的知识，在做题时认真细心，冷静的分析题目要求，按照不同的解法来解决有关正态分布的问题.结论

文章以正态分布的定义定理为出发点，阐述了正态分布的图形及其图形特征，最后结合近几年的高考真题来进一步的分析近年来正态分布在高考中的热点趋势，并对在高考中考查到的有关正态分布的题的解法进行分类归纳总结