吉林省四校联考2024-2025学年高二年级上册9月月考数学试卷（含解析）

2024〜2025（上）高二年级第一次月考数学

全卷满分150分，考试时间120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.直线x+岛—2=0的倾斜角为（）

7T7T„7T57r

A.—B.—C.—D.—

6436

2.若4:x—叩—1=0与4：（机—2）x—3>+1=0是两条不同的直线，贝I]“机=—1”是的（

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

3.己知直线/的一个方向向量玩=（3,—2,1）,且直线/经过2,—1）和8（—2,31）两点，则。+6=（

A.-2B.-1C.1D.2

4.已知空间向量2=（2,3,1）,3=（1,-2,—2）,则5在B上的投影向量为（）

-2-2-

A.2bB.-2bC.-bD.――b

33

5.下列关于空间向量的说法中错误的是（）

A.平行于同一个平面的向量叫做共面向量

B.空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底

C.直线可以由其上一点和它的方向向量确定

D.任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量

6.在平行六面体48CD—中，点尸是线段3。上的一点，且PD=3PB,设47=彳，

~A^B}=b,AJ)x=c,则西=()

-1二3-「1-1f3一

A.ClH---bH----CB.—a——b+—c

24444

-123-r1-1-

C.-a+—b+—cD.—a——b+—c

44444

3

7.如图，直线y=、x+3交x轴于点4将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点。，另两个顶点

3

M,N恰好落在直线=3上.若点N在第二象限内，则tan/ZON的值为（

8.在棱长为2的正方体48CD-481GA中，跖是正方体48CD-451GA外接球的直径，点尸是正

方体48CD-451GA表面上的一点，则万•丽的取值范围是（）

A.[-2,0]B.[-1,0]C.[0,1]D.[0,2]

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.给出下列命题，其中正确的命题是（）

A.若空间向量方，B满足同=忖，则g=B

B.空间任意两个单位向量必相等

C.在正方体45CQ—451GA中，必有丽=丽

D.空间向量@=（1,1,0）的模为J5

10.已知两条平行直线4：x—y+l=0和，2：x—了+加=0之间的距离小于血，则实数加的值可能为（

A.0B.1C.2D.-1

11.如图，在棱长为2的正方体480—中，£为8片的中点，尸为42的中点，如图所示建立

空间直角坐标系，则下列说法正确的有（）

A.DB]=3^/2

B.向量衣与有所成角的余弦值为生

15

C.平面/斯的一个法向量是(4,-1,2)

D.点。到平面/斯的距离为与近

21

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.直线小乙的斜率左，心是关于人的方程2〃+8左+〃=0的两根，若4，/2,则实数

n=.

13.在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题.如图，老师事先给学生准备了一张坐标

纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为/、B、C,|NC|=2,|N8|=2G，18cl=4.现移动边NC,

使得点/、C分别在x轴、y轴的正半轴上运动，则|。回(点。为坐标原点)的最大值为

14.已知空间向量1=(1,1,1),B=(O,y,l)(OVy<l),则为5(扇3〉最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步

骤.

15.(本小题满分13分)

已知直线4:x+mj/+1=0,l2:2x-y-4=0fl3:3x+j-1=0.

(1)若这三条直线交于一点，求实数冽的值；

(2)若三条直线能构成三角形，求实数加满足的条件.

16.(本小题满分15分)

如图，在直三棱柱48C—44G中，AC1BC,AC=1,BC=2,CQ=3，点d是棱的中点

B

AD

(1)证明：ZG〃平面gCD；

(2)求直线48与平面ACD所成角的正弦值.

17.(本小题满分15分)

己知直线I:(2m+l)x-(3+m)y+m-7=0.

(1)加为何值时，点0(3,4)到直线/的距离最大，并求出最大值；

(2)若直线/分别与x轴，y轴的负半轴交于4,2两点，求AAOB(。为坐标原点)面积的最小值及此

时直线/的方程.

18.(本小题满分17分)

如图，在棱长为3的正方体ABCD-44CQ中，点£是棱44上的一点，且AE=2£4，点尸是棱AXDX

上的一点，且吊尸=2即「

(1)求异面直线4D］与CF所成角的余弦值;

(2)求直线BD到平面CEF的距离.

19.(本小题满分17分)

如图，在四棱锥尸—N8CZ)中，四边形N8CD是边长为3的正方形，尸2,平面/BCD,PC=3也，苴E

是棱延的中点，点尸是棱尸C上的一点，且PE=2EC.

(1)证明：平面NECJ_平面尸2C；

(2)求平面/斯和平面NFC夹角的大小.

第一次月考•数学参考答案、提示及评分细则

1.D•.•>=—+.•.其倾斜角为2.故选D.

-336

2.C若/J//2,则1x(-3)=(加一2)(-加)，解得加二一1或加=3,

则“加二—1”是“I、”的充分不必要条件，故选C.

3.A因为28=(—2—a,1,6+1),所以=”=十，

13

解得a=——,b=--,所以a+b=—2,故选A.

22

4口展(2,3,1>(1,-2,-2)_2-6_2_2

'Id2-l2+(-2)2+(-2)2-9

一(a-b\b2-

故G在6上的投影向量为',,=——b.故选D.

K3

5.B平行于平面a的向量，可平移至一个平行于a的平面，故为共面向量，A正确；

空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，B错误；

直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故直线上一点和方向向

量确定直线，C正确；

由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平

面的向量，D正确.故选B.

6.cpc】=4G—4尸=+—-BP=+—4g—A^A—

=丽+翅_函_章_；(而_福)=[而+；福—&5=_2+；3+%故选c.

7.A设直线与y轴的交点为2,过。作0C_148于C,过N作NDLCM于D

3

因为N在直线y=：x+3上且在第二象限内，

设N[X,：X+3],贝U|£>N|=[x+3,|OD|=—x.

又4-4,0),5(0,3),即|CM|=4,|05|=3,所以|28|=5.

1112

在△N08中，由三角形的面积公式得，-\OB^OA^-\AB^OC\,所以|OC|=1.

12

在Rt/XMW中，|(W|=|ON|,ZMNO=45°,所以sin45°=呸1==一，即|0N|=应2.

\0N\\0N\5

在RSNDO中，|ND『+|002=QN|2,即弓x+3]+(—x)2解得x=—I，=!|

因为点N在第二象限内，所以x=-一，所以|NE）|=—,|O£>|=—,

252525

所以tanNZON=M^=!，故选A.

\OD\7

8.A记正方体45CD—451G2的外接球的球心为。

易得OE=g万万万=G，且尸Oe[l,G],

所以PE.PF=（PO+OE）（PO+OF）=（PO+OE）（PO—OE）=PO-OE=PO-3e[-2,0],

故选A.

9.CD两个向量相等需要方向相同，模长相等，所以同=同不能得到万=B,A错误；

空间任意两个单位向量的模长均为1,但是方向不一定相同，故B错误，

正方体48CD-451G。中，BD,丽■的方向相同，长度相等，故而=函，故C正确；

空间向量3=（1,1,0）的模为JF+干+0=血,故D正确.故选CD.

10.AC直线4：x—y+l=0和/2：x-y+掰=0平行，则切中1，两条平行直线间距离,

解得T〈加<3且加Hl,故0和2符合要求.故选AC.

11.BCD对于A,正方体中，DB{=2V3,故A错误;

AEAQ=边5,故B正确;

对于B,4E=（0,2,l）,AQ=（-2,2,2）,故向量夹角余弦值为cos。=

5

AE\\ACX

对于C,=(0,2,1),=(-1,0,2),(0,2,l)-(4,-l,2)=0,(-l,0,2)-(4,-l,2)=0.

故(4,-1,2)是平面/斯的一个法向量，故C正确；

—■\DA-n\88A/21

对于D,D4=(2,0,0),则点D到平面/斯的距离为d=^^=7=='一，故D正确.故选

\n\V2121

BCD.

12.-2因为而且斜率存在，所以勺・左2=-1，

1

又人,左2是关于左的方程2左2+8左+〃=0的两根，kx-k2=|=->解得a=—2.

13.1+V13由已知|NC|=2,|28|=26，18cl=4.

如图，取NC的中点E.因为△CMC为直角三角形，故|OE|=g|NC|=l.

由于△4BC为直角三角形，故|叩=，|明2+L=岳，

显然国OE|+|5£|,当且仅当。、B、£三点共线时等号成立，故|。目的最大值为1+JW.

一

0Ax

14.旦cos低＞=，

3\a\\b\百xJl+V

当12歹＞0时，cos伍B)=一二二1--

''/同卜百xjl+)

由y〉0,所以,+y22,当且仅当工=＞,即>=1时等号成立，

yy

故"〉h—,

3

V-

/7_/7

当V=0时，COS®讣!=y,故COS/3)的最大值为《一.

2x-y-4=0,|x=l,

15.解：(1)由《)解得1代入4的方程，得加=1.

3x+y-1=0,[k-2,

(2)当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形.

…2x-y-4=0,[x=1,

①联立《J’解得〈代入％+加歹+1=0,得加=1；

3x+y-1=0,卜=-2,

②当I1:%+叩+1=0与4'.2x-y-4=0平行时，m二一；,

当4:x+叼+1=0与/3：3x+y-l=0平行时，加二；,

综上所述，当加工1且机且〃2W-工时，三条直线能构成三角形.(且写成或扣1分).

32

16.解：如图，以C为坐标原点，CA,CB,CG所在直线分别为X轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

所以2(1,0,0),5(0,2,0),C(0,0,0),G(0,0,3),5,(0,2,3)-4(1,0,3),

所以0^,1,0；CD=R,l,oh西=(0,2,3),

gx+y=0,

n-CD=0,

设平面gCD的一个法向量为五=(x,y,z),则＜_.即1

n-CB=0,

y2y+32=0,

令x=l,解得了=—g,z=j,所以平面gCD的一个法向量为百=0,—；,；

(1)证明：布=(—1,0,3),因为苑1•为=0,

zq仁平面B[CD,所以ZG〃平面B[CD；

(2)解：因为帮=(一1,2,—3),所以cos(四,励=叁；=一见回

'/48同49

所以直线A.B与平面B.CD所成角的正弦值是"4

1149

17.解：(1)已知直线/:(2加+1)%—(3+加)歹+冽一7=0,整理得(2%-y+1)加+%—3歹一7=0,

2%—y+1—0,x=—2,

由故直线/过定点(—2,—3),

x—3y—l=0[y=-3,

点0(3,4)到直线I的距离最大，可知点Q与定点尸(-2,-3)的连线的距离就是所求最大值,

即,(3+2)2+(4+3)2=J海为最大值.

4+375

*/kPQ=-一-=—,/.(2m+l)x-(3+m)y+加一7=0的斜率为一,,

三/日52m+122

可得——二------，解得加=-----；

7m+319

(2)若直线/分别与x轴，丁轴的负半轴交于4,5两点，

则可设直线/的方程为了+3=左(》+2),k<0,则z]，一2,0),B(0,2k-3),

13"3、1「(9\]1

c左)+――

2△403-------2-\2k-3\=-\2__\(3-2k)=-]2+(—4>-x(12+12)=12.

2k2、k)2(k)2

3

(当且仅当左=——时，取

2

故△4Q8面积的最小值为12,此时直线/的方程为3x+2y+12=0.

18.解：(1)如图所示，以。为坐标原点，DA,DC,所在直线分别为x轴，》轴，z轴建立空间直

角坐标系，所以4(3,0,0),D(0,0,3),厂(1,0,3),C(0,3,0),

所以位=(一3,0,3),丽=(1,—3,3),

6_V38

所以cos(可，丽)AD^CF

RRV9+9XV1+9+9-19

所以异面直线4D]与CF所成角的余弦值是噜

(2)因为。(0,0,0),£(3,2,3),5(3,3,0),所以而=(2,2,0),丽=(3,3,0),

—•2—•

所以EE=—£>5,所以FE/IDB,

3

又DBU平面CEF,EFu平面CEF,所以DBH平面CEF,

所以点D到平面CEF的距离即为直线BD到平面CEF的距离.

,n-FE=0,[2x+2y=0,

设平面CE尸的一个法L向量为五=(x,y,z),则《_,即1

H・CF=0,1x—3y+3z=0,

令x=l,解得y=—1,z=-1,所以平面CM的一个法向量为历=0,—1,—g

_.\DC-n\9734

因为。C=(0,3,0),所以点。到平面CEF的距离d=1,,1=——,

\n\34

即直线BD到平面CEF的距离为皿14.

34

19.(1)证明：如图，以/为坐标原点，AB,AD,/尸所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标

系，所以2(0,0,0),3