安徽省2024八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形专题训练12方法整合构造等腰三角形的常用方法课件新版沪科版

第15章轴对称图形与等腰三角形专题训练12【方法整合】构造等腰三角形的常用方法

等腰三角形＋平行线1.

在等腰三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

，

D

是

AB

延长线上一

点，

E

是

AC

上一点，

DE

交

BC

于点

F

.

如图，若

BD

＝

CE

，求证：

DF

＝

EF

.

2341证明：如图，过点

E

作

EG

∥

AB

交

BC

于点

G

，则∠

ABC

＝∠

EGC

，∠

D

＝∠

FEG

，∵

AB

＝

AC

，∴∠

ABC

＝∠

C

，∴∠

EGC

＝∠

C

，∴

EG

＝

EC

.

∵

BD

＝

CE

，∴

BD

＝

EG

.

∵∠

D

＝∠

FEG

，∠

BFD

＝∠

GFE

，∴△

BFD

≌△

GFE

，∴

DF

＝

EF

.

2341

角平分线＋垂线23412.

如图，已知等腰直角三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

，∠

BAC

＝90°，

BF

平分∠

ABC

，

CD

⊥

BD

交

BF

的延长线于点

D

，试说明：

BF

＝2

CD

.

2341解：延长

BA

，

CD

相交于点

E

，如图.∵

BF

平分∠

ABC

，

2341

2341

截长补短法角平分线＋截长模型

条件∠1＝∠2，∠

B

＝2∠

C

结论

AC

＝

AB

＋

BD

AC

＝

AB

＋

CD

2341角平分线＋补短模型

条件∠1＝∠2，∠

ABC

＝2∠

C

结论

AC

＝

AB

＋

BD

AC

＝

AB

＋

CD

23413.

[2024·信阳月考]阅读材料：截长补短法是初中数学几何题

中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线

段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线

段与另一长边相等，解答下列问题：如图①，在△

ABC

中，

AD

平分∠

BAC

，交

BC

于点

D

，且∠

B

＝2∠

C

.

(1)为了证明结论“

AB

＋

BD

＝

AC

”，小亮在

AC

上截取

AE

，使得

AE

＝

AB

，解答了这个问题，请按照小亮的

思路写证明过程；2341解：(1)如图①，在

AC

上截取

AE

，使得

AE

＝

AB

，连

接

DE

.

∵

AD

平分∠

BAC

，∴∠

BAD

＝∠

DAC

.

∵

AD

＝

AD

，∴△

ABD

≌△

AED

，∴∠

B

＝∠

AED

，

BD

＝

DE

.

∵∠

B

＝2∠

C

，∴∠

AED

＝2∠

C

.

∵∠

AED

是△

DEC

的一个外角，

∴∠

AED

＝∠

C

＋∠

EDC

，∴∠

C

＝∠

EDC

，∴

DE

＝

CE

，∴

BD

＝

EC

.

∵

AE

＋

EC

＝

AC

，∴

AB

＋

BD

＝

AC

.

23413.

[2024·信阳月考]阅读材料：截长补短法是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图①，在△ABC

中，AD平分∠BAC，交BC于点D，且∠B＝2∠C.

(2)如图②，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝58°，∠

D＝109°，∠ACD＝42°，∠ACB＝80°，AD＝10，

CE⊥AB于E，EB＝3，求AB的长.2341解：(2)如图②，在

AE

上截取

AF

＝

AD

，连接

CF

.

∵∠

D

＝109°，∠

ACD

＝42°，∴∠

DAC

＝180°－

∠

D

－∠

ACD

＝29°.∵∠

BAD

＝58°，∴∠

FAC

＝

∠

BAD

－∠

DAC

＝29°，∴∠

DAC

＝∠

FAC

＝

29°.∵

AC

＝

AC

，∴△

DAC

≌△

FAC

，∴∠

AFC

＝∠

D

＝109°，2341∴∠

CFE

＝180°－∠

AFC

＝71°.∵∠

ACB

＝80°，

∠

FAC

＝29°，∴∠

B

＝180°－∠

ACB

－∠

FAC

＝

71°，∴∠

B

＝∠

CFE

，∴

CF

＝

BC

.

∵

CE

⊥

AB

，∴

BF

＝2

BE

＝6，∴

AB

＝

AF

＋

BF

＝10＋6＝16.2341

倍角关系在△

ABC

中，∠

ABC

＝2∠

C

.

方法一：如图①，外构等腰，作

DB

＝

AB

.

方法二：如图②，内构等腰，作

AD

＝

AB

.

方法三：如图③，作

BE

平分∠

ABC

.

23414.

[一题多解]如图，在△

ABC

中，∠

ABC

＝2∠

C

，

AD

⊥

BC

，垂足为

D

.

若

BD

＝2，

CD

＝8，求

AB

的长(用2种

不同方法).2341解：(方法一)在

CD

上截取

DE

＝

BD

＝2，连接

AE

.

∵

AD

⊥

BC

，∴

AB

＝

AE

.

∴∠

AEB

＝∠

ABC

＝2∠

C

.

∵∠

AEB

＝∠

C

＋∠

EAC

，∴∠

C

＝∠

EAC

.

∴

AE

＝

EC

＝

CD

－

DE

＝6，∴

AB

＝6.2341(方法二)延长

DB

至点

F

，使得

BF

＝

AB

，连接

AF

，则

∠

F

＝∠

BAF

.

∴∠

ABC

＝∠

F

＋∠

BAF

＝2∠

F